Перегляд вихідного коду сторінки Політоп

[[Файл:Assorted polygons.svg|thumb|400px|right|Деякі види двовимірних політопів: відкритий ([[Межа (топологія)|межу]] не включено), тільки межа ([[внутрішність]] не включено), замкнений (містить і межу, і внутрішність) та з самоперетинами (різні ділянки мають різне заповнення).]]
В елементарній [[геометрія|геометрії]], '''політоп''' ({{lang-en|polytope }})&nbsp;— це геометричний об'єкт з «плоскими» сторонами. Поняття політопа узагальнюється на довільне число [[Розмірність простору|розмірностей]], відповідно числу розмірностей кажуть про '''''n''-політоп'''. Наприклад, двовимірний [[багатокутник]] є 2-політопом, а тривимірний [[багатогранник]] є 3-політопом. Під пласкими сторонами (''k''+1)-політопа розуміють сторони на одиницю меншої розмірності&nbsp;— ''k''-політопи.

Деякі теорії узагальнюють ідею політопа та розглядають такі об'єкти як необмежені {{Нп|апейротоп|||Apeirotope}} і [[Теселяція|мозаїку]], розбиття або замощення викривлених [[многовид]]ів, включаючи, наприклад, [[Сферичний многогранник|сферичні багатогранники]], та теоретико-множинні [[Абстрактний багатогранник|абстрактні політопи]].

== Підходи до визначення ==
Нині термін політоп охоплює широкий клас об'єктів і має різні визначення в математичній літературі. Багато з цих визначень не [[Логічна еквівалентність|еквівалентні]], що призводить до різних наборів об'єктів, які називають політопами. Вони реалізують різні підходи до узагальнення [[Опуклий політоп|опуклих політопів]], щоб включити інші об'єкти з аналогічними властивостями.

Оригінальний підхід за [[Людвіг Шлефлі|Людвігом Шлефлі]], Торольдом Госсе та іншими починається з розширення за аналогією на чотири або більше вимірів ідеї [[багатокутник]]а і багатогранника відповідно в двох і трьох вимірах.

Спроби узагальнити [[Ейлерова характеристика|ейлерову характеристику]] [[багатогранник]]ів до багатовимірних політопів привели до розробки [[Топологія|топології]] і трактування розкладу або [[CW-комплекс]]у як аналога політопа. За такого підходу політоп можна розглядати як теселяцію або розклад деякого заданого многовиду. Прикладом такого підходу є визначення політопа як множини точок, яка допускає [[Симпліційний комплекс|симпліційне]] розкладання. У цьому визначенні політоп є об'єднанням скінченного числа [[симплекс]]ів, з додатковою властивістю, що для будь-яких двох симплексів, які мають непорожній [[перетин]], їхній перетин є [[Вершина (геометрія)|вершиною]], [[Ребро (геометрія)|ребром]] або [[Грань (геометрія)|гранню]] вищої міри, ніж два<ref name="Grünbaum2003">Grünbaum (2003)</ref>. Однак це визначення не дозволяє існування зіркових політопів зі внутрішніми структурами, і тому є обмеженим певними галузями математики.

Відкриття [[Зірчастий многогранник|зірчастих багатогранників]]&nbsp;та інших незвичайних конструкцій призвело до ідеї багатогранника як обмежувальної поверхні, нехтуючи її внутрішню частину.&nbsp;У цьому світлі опуклі політопи в ''р''-просторі [[Логічна еквівалентність|еквівалентні]] [[Сферичний многогранник|замощенню (''р''-1)-сфери]], тоді як інші можуть бути замощеннями інших [[Еліпс|еліптичних]], плоских або тороїдальних (''р''-1)-[[Поверхня|поверхонь]]. Багатогранник розуміють як поверхню, чиї [[Грань (геометрія)|грані]] є [[Многокутник|багатокутниками]], а [[4-політоп]]&nbsp;— як [[гіперповерхня|гіперповерхню]], чиї [[Фасета (геометрія)|фасети]] (грані) є багатогранниками, і так далі.

Ідею побудови вищих політопів від політопів меншої розмірності також іноді поширюють вниз за розмірністю, розглядаючи ребро як [[1-політоп]], обмежений парою точок, а точку або [[Вершина (геометрія)|вершину]]&nbsp;— як 0-політоп. Такий підхід використовується, наприклад, у теорії [[Абстрактний многогранник|абстрактних політопів]].

У деяких галузях математики, терміни «політоп» і «багатогранник» використовують у іншому сенсі: ''багатогранник'' є загальним об'єктом у будь-якому числі вимірів, а ''політоп'' означає [[Обмеження (математика)|обмежений]] багатогранник<ref>Nemhauser and Wolsey, "Integer and Combinatorial Optimization, " 1999, ISBN 978-0471359432, Definition 2.2.</ref>. Ця термінологія, як правило, обмежується [[Опуклий політоп|опуклими]] політопами та багатогранниками. За цією термінологією, опуклий багатогранник є [[Перетин множин|перетином]] скінченного числа [[Півпростір|півпросторів]] і визначається його сторонами, тоді як опуклий політоп є [[Опукла оболонка|опуклою оболонкою]] скінченного числа точок і визначається його [[Вершина (геометрія)|вершинами]].

== Елементи ==
Політоп містить елементи різної розмірності, такі як вершини, ребра, грані, клітини і&nbsp;т.&nbsp;д. Термінологія для них не повною мірою відповідає одна одній за різними авторами. Наприклад, деякі автори використовують ''грань'' для позначення (n—1)-вимірного елемента, тоді як інші використовують ''грань'' для позначення конкретно 2-вимірної грані. Автори можуть використовувати ''J''-грань для того, щоб указати на елемент із ''J'' вимірами. Деякі з них використовують термін ''ребро'' для позначення гребеня, тоді як [[Гарольд Коксетер|Коксетер]] називає ''коміркою'' (n—1)-вимірний елемент.

Терміни, прийняті в цій статті, наведено в таблиці:
{| class="wikitable"
!Розмірність
елемента
!Термін (n-політоп)
|-
| -1
|Нульовий політоп (необхідний в [[Абстракція|абстрактній]] теорії)
|-
|0
|[[Вершина (геометрія)|вершина]]
|-
|1
|[[Ребро (геометрія)|ребро]]
|-
|2
|[[Грань (геометрія)|грань]]
|-
|3
|[[3-грань|комірка]]
|-
|….
|….
|-
|''J''
|''J'' -гранний&nbsp;— елемент рангу ''J'' = -1, 0, 1, 2, 3, …, ''N''
|-
|…
|…
|-
|''n''&nbsp;— 2
|гребінь або підгрань&nbsp;— (n—2)-грань
|-
|''n''&nbsp;— 1
|[[Фасета (геометрія)|фасета]]&nbsp;— (n—1)-грань
|-
|''n''
|сам n-політоп
|}
n-Вимірний політоп обмежений певним числом (n—1)-вимірних [[Фасета (геометрія)|фасет]]. Ці фасети є самі політопами, чиї фасети є (n—2)-вимірними ''гребенями'' початкового політопа. Кожен гребінь виникає як перетин двох фасет (але перетин двох фасет не обов'язково має бути гребенем). Гребені це політопи, чиї фасети приводять до (n—3)-вимірних меж початкового політопа, і&nbsp;т.&nbsp;д. Ці обмежувальні субполітопи можна назвати гранями або, точніше, ''J''-вимірними гранями. 0-вимірна грань, яку називають ''вершиною'', складається з однієї точки. 1-вимірну грань, називана ''ребром'', є [[Відрізок|відрізком]]. 2-вимірна грань є [[Многокутник|багатокутником]], а 3-вимірна грань, яку іноді називають ''коміркою'', є [[Многогранник|багатогранником]].

== Властивості ==
* Кожен політоп допускає [[Тріангуляція (геометрія)|тріангуляцію]], тобто, може бути поданий як об'єднання скінченної множини симплексів <math>\mathcal{S}</math> таких що
:* для будь-якого зі симплексів із <math>\mathcal{S},</math> в <math>\mathcal{S}</math> входять усі його грані;
:* будь-які два симплекси або взагалі не мають спільної точки, або перетинаються тільки по цілій грані певної розмірності.
* Перетин і об'єднання скінченного числа політопів є політопом.

== Варіації та узагальнення ==
Топологічний політоп&nbsp;— [[топологічний простір]], [[Гомеоморфізм|гомеоморфний]] деякому політопу.

== Застосування ==
При вивченні [[Оптимізація|оптимізації]], [[лінійне програмування]] вивчає [[Екстремум|максимуми]] і [[Екстремум|мінімуми]] [[Лінійна функція|лінійних функцій]] звужених до меж n-вимірного політопа.

У лінійному програмуванні політопи виникають при використанні [[Узагальнені координати|узагальнених барицентричних координат]].

У [[твістор]]ній теорії, галузі [[Теоретична фізика|теоретичної фізики]], політоп, який називається {{Нп|амплітуедр|3=en|4=Amplituhedron}}, використовують для розрахунку амплітуди розсіювання субатомних частинок при їх зіткненні. Конструкція носить чисто теоретичний характер, без відомого фізичного прояву, введена для того, щоб значно спростити деякі розрахунки.

== Див. також ==
* [[Многогранник]]
* [[Повністю зрізаний 5-стільник]]

== Примітки ==
{{reflist}}

{{Багатовимірність}}
{{Основні опуклі правильні й однорідні політопи в розмірностях 2-10}}
{{Бібліоінформація}}
{{math-stub}}
[[Категорія:Топологічні простори]]
[[Категорія:Многогранники|П]]
[[Категорія:Багатовимірна евклідова геометрія]]