Перегляд вихідного коду сторінки Полярна система координат

{{Otheruses|ПСК|тип=скорочення}}
[[Файл:Polar graph paper.svg|thumb|right|300px|Полярна сітка на якій відкладено декілька кутів з позначками в градусах.]]

'''Полярна система координат'''&nbsp;— двовимірна [[система координат]], в якій кожна [[точка]] на [[площина|площині]] визначається двома числами&nbsp;— [[кут]]ом та [[відстань|відстанню]]. Полярна система координат особливо корисна у випадках, коли відношення між точками найпростіше зобразити у вигляді відстаней та кутів; в більш поширеній, [[Декартова система координат|Декартовій]], або прямокутній системі координат, такі відношення можна встановити лише шляхом застосування [[Тригонометричне рівняння|тригонометричних рівнянь]].

Полярна система координат задається [[промінь (геометрія)|променем]], який називають ''нульовим'' або ''полярною віссю''. Точка, з якої виходить цей промінь називається ''початком координат'' або ''полюсом''. Будь-яка інша точка на площині визначається двома полярними координатами: радіальною та кутовою. Радіальна координата (зазвичай позначається <math>r</math>) відповідає відстані від точки до [[Початок координат|початку координат]]. Кутова координата, що також зветься ''полярним кутом'' або [[азимут]]ом (позначається ''φ'') і дорівнює куту між полярною віссю та напрямком на точку.
<ref name="brown">{{cite book
 | last = Brown
 | first = Richard G.
 | editor = Andrew M. Gleason
 | year = 1997
 | title = Advanced Mathematics: Precalculus with Discrete Mathematics and Data Analysis
 | publisher = McDougal Littell
 | location = Evanston, Illinois
 | isbn = 0-395-77114-5
 | url-access = registration
 | url = https://archive.org/details/advancedmathemat00rich_0
 }}</ref>
 
Визначена таким чином радіальна координата може набувати значення від нуля до нескінченості, а кутова координата змінюється в межах від 0° до 360°. Однак, для зручності діапазон значень азимуту можна розширити за межі повного кута, а також дозволити йому набувати від'ємних значень, що відповідає повороту за годинниковою стрілкою.

== Історія ==
Поняття кута та радіуса були відомі ще в першому тисячолітті до н.&nbsp;е. Грецький астроном [[Гіппарх]] (190—120&nbsp;рр. до н.&nbsp;е.) створив таблицю, в якій для різних кутів наводились довжини [[Хорда (геометрія)|хорд]]. Існують свідчення про застосування ним полярних координат для визначення положення небесних тіл.<ref name="milestones">
{{cite web
 |last        = Friendly
 |first       = Michael
 |title       = Milestones in the History of Thematic Cartography, Statistical Graphics, and Data Visualization
 |url         = http://www.math.yorku.ca/SCS/Gallery/milestone/sec4.html
 |accessdate  = 2006-09-10
 |deadurl     = yes
 |archiveurl  = https://web.archive.org/web/20060925115456/http://www.math.yorku.ca/SCS/Gallery/milestone/sec4.html
 |archivedate = 2006-09-25
}}
</ref>
[[Архімед]] в своєму творі ''[[Спіралі]]'', описує [[спіраль Архімеда]], функцію, радіус якої залежить від кута. Роботи грецьких дослідників, однак, не розвинулись у цілісне визначення системи координат.

В 9-му столітті перський математик [[Хабас аль-Хасіб аль-Марвазі]] застосовував методи [[Картографічна проєкція|картографічних проєкцій]] та [[сферична тригонометрія|сферичної тригонометрії]] для перетворення полярних координат в іншу систему координат з центром у певній точці на сфері, у цьому випадку, для визначення [[Кібла|Кібли]]&nbsp;— напряму на [[Мекка|Мекку]].<ref>{{citation|title=Mathematics and the Divine|last=T. Koetsier|first=L. Bergmans|publisher=[[Elsevier]]|year=2005|isbn=0444503285|page=169}}</ref> Перський географ [[Абу Райхан Біруні]] (973—1048) висунув ідеї, що виглядають як описання полярної системи координат.<ref name=MacTutor>{{MacTutor|id=Al-Biruni|title=Abu Arrayhan Muhammad ibn Ahmad al-Biruni}}</ref> Він був першим, хто, приблизно [[1025]] року, описав полярну екві-азимутальну еквідистантну проєкцію [[небесна сфера|небесної сфери]].<ref>David A. King (1996), «Astronomy and Islamic society: Qibla, gnomics and timekeeping», in Roshdi Rashed (ed.), ''[[Encyclopedia of the History of Arabic Science]]'', Vol. 1, pp. 128—184 [153], Routledge, London and New York</ref>

Існують різні версії щодо запровадження полярних координат як [[Формальна система|формальної системи]] координат. Повну історію виникнення та дослідження описано в праці професора з [[Гарвардський університет|Гарварду]] [[Джуліан Лоувел Кулідж]] ''Походження полярних координат''.<ref name="coolidge">{{cite journal
  | last = Coolidge
  | first = Julian
  | authorlink = Julian Lowell Coolidge
  | title = The Origin of Polar Coordinates
  | journal = American Mathematical Monthly
  | volume = 59
  | pages = 78–85
  | year = 1952
  | url = http://www-history.mcs.st-and.ac.uk/Extras/Coolidge_Polars.html
  | doi = 10.2307/2307104
}}
</ref> [[Грегуар де Сент-Вінсент]] та [[Бонавентура Кавальєрі]] незалежно один від одного прийшли до схожої концепції в середині [[17 століття|17-го століття]]. Сент-Вінсент описав полярну систему в особистих нотатках [[1625]] року, надрукувавши свої праці [[1647]] року, а Кавальєрі надрукував перші свої праці [[1635]] року, а виправлену версію&nbsp;— [[1653]] року. Кавельєрі застосовував полярні координати для обчислення площі, обмеженої [[спіраль Архімеда|спіраллю Архімеда]]. [[Блез Паскаль]] згодом використав полярні координати для обчислення довжин [[парабола|параболічних дуг]].

У книзі ''[[Метод флюксій]]'' (написаній [[1671]] року та надрукованій [[1736]]), сер [[Ісаак Ньютон]] досліджував перетворення між полярними координатами, які він позначав як «Сьомий спосіб; Для спіралей» ({{lang-en|Seventh Manner; For Spirals}}), та дев'ятьма іншими системами координат.<ref>{{cite journal
  | last = Boyer
  | first = C. B.
  | title = Newton as an Originator of Polar Coordinates
  | journal = American Mathematical Monthly
  | volume = 56
  | pages = 73–78
  | year = 1949
  | url =https://archive.org/details/sim_american-mathematical-monthly_1949-12_56_10/page/73
  | doi = 10.2307/2306162 }}
</ref> У статті, опублікованій 1691 року в журналі ''[[Acta Eruditorum]]'', [[Якоб Бернуллі]] використав систему з точкою на прямій, які він назвав ''полюсом'' та ''полярною віссю'', відповідно. Координати задавались як відстань від полюса та кут від полярної осі. Робота Бернуллі була присвячена проблемі пошуку радіуса кривини кривих, визначених в цій системі координат.

Запровадження терміну ''полярні координати'' приписують [[Ґреґоріо Фонтана]]. У [[18 століття|18-му столітті]] він входив до лексикону італійських авторів. В англійську мову термін потрапив через переклад трактату [[Сільвестр Франсуа Лакруа|Сильвестра Лакруа]] ''Диференціальне та інтегральне числення'', написаного [[1816]] року [[Джордж Пікок|Джорджем Пікоком]].<ref>
{{cite web
 |last        = Miller
 |first       = Jeff
 |title       = Earliest Known Uses of Some of the Words of Mathematics
 |url         = http://members.aol.com/jeff570/p.html
 |accessdate  = 2006-09-10
 |archiveurl  = https://www.webcitation.org/65TkzsbuI?url=http://lifestream.aol.com/
 |archivedate = 2012-02-15
 |deadurl     = no
}}
</ref><ref>{{cite book
  | last = Smith
  | first = David Eugene
  | title = History of Mathematics, Vol II
  | publisher = Ginn and Co.
  | year = 1925
  | location = Boston
  | pages = 324 }}
</ref> Для тривимірного простору полярні координати вперше запропонував [[Алексі Клеро]], а [[Леонард Ейлер]] був першим, хто розробив відповідну систему.<ref name="coolidge" />

== Графічне представлення ==

[[Файл:Polar coordinates.svg|thumb|250px|Точка в полярній системі координат.]]

Кожна точка в полярній системі координат може бути визначена двома полярними координатами, що зазвичай мають назву <math>r</math> (радіальна координата) та φ (кутова координата, полярний кут, азимут, інколи пишуть θ або ''t''). Координата <math>r</math> відповідає відстані до полюса, а координата φ дорівнює куту відкладеному проти годинникового напряму від променя, який відповідає 0° (інколи називається полярною віссю).<ref name="brown" />

Наприклад, точка з координатами (3, 60°) виглядатиме на графіку як точка на промені, який лежить під кутом 60° до полярної осі, на відстані 3 одиниць від полюсу. Точка з координатами (−3, 240°) буде намальована на тому ж місці, оскільки від'ємна відстань зображається в додатну в протилежному напрямі (на 180°).

Однією з важливих особливостей полярної системи координат є те, що одна й та сама точка може бути представлена нескінченною кількістю способів. Це відбувається тому, що для визначення азимута точки потрібно повернути полярну вісь таким чином, щоб він вказував на точку. Але напрям на точку не зміниться, якщо здійснити довільну кількість додаткових повних обертів. У загальному випадку точка (<math>r</math>,&nbsp;φ) може бути представлена у вигляді (<math>r</math>,&nbsp;φ&nbsp;±&nbsp;<math>n</math>×360°) або (−<math>r</math>,&nbsp;φ&nbsp;±&nbsp;(2<math>n</math>&nbsp;+&nbsp;1)180°), де <math>n</math>&nbsp;— довільне [[цілі числа|ціле число]].<ref>
{{cite web
 |url         = http://www.fortbendisd.com/campuses/documents/Teacher/2006%5Cteacher_20060413_0948.pdf
 |title       = Polar Coordinates and Graphing
 |accessdate  = 2006-09-22
 |date        = 2006-04-13
 |format      = PDF
 |archiveurl  = https://www.webcitation.org/65Tl0XlQe?url=http://campuses.fortbendisd.com/campuses/documents/Teacher/2006/teacher_20060413_0948.pdf
 |archivedate = 2012-02-15
 |deadurl     = yes
}}
</ref>

Для позначення полюса використовують координати (0,&nbsp;φ). Незалежно від координати φ точка з нульовою відстанню від полюса завжди перебуватиме на ньому.<ref>{{cite book|title=Precalculus: With Unit-Circle Trigonometry|last=Lee|first=Theodore|coauthors=David Cohen, David Sklar|year=2005|publisher=Thomson Brooks/Cole|edition=Fourth Edition|isbn=0534402305}}</ref> Для отримання однозначних координат точки, зазвичай обмежують значення відстані невід'ємними значеннями <math>r</math>&nbsp;≥&nbsp;0 а кут φ — інтервалами [0,&nbsp;360°) або (−180°,&nbsp;180°] (у радіанах — [0,&nbsp;2π) або (−π,&nbsp;π]).<ref>{{cite book|title=Complex Analysis (the Hitchhiker's Guide to the Plane)|url=https://archive.org/details/complexanalysish0000stew|first=Ian|last=Stewart|coauthors=David Tall|year=1983|publisher=Cambridge University Press|isbn=0521287634}}</ref>

Кути в полярних координатах задаються або в градусах, або в [[радіан]]ах, при цьому 2[[pi|π]] rad = 360°. Вибір, зазвичай, залежить від галузі застосування. У навігації традиційно застосовують градуси, у той час як у деяких галузях фізики, та майже в усіх розділах математики застосовують радіани.<ref>{{cite book
  | last = Serway
  | first = Raymond A. 
  | coauthors = Jewett, Jr., John W.
  | title =  Principles of Physics
  | publisher = Brooks/Cole—Thomson Learning
  | year = 2005
  | isbn = 0-534-49143-X }}</ref>

=== Зв'язок між декартовими та полярними координатами ===
<!-- [[Файл:Polar to cartesian.svg|right|thumb|250px|На діаграмі показано залежність між полярними та Декартовими координатами.]] -->

Пару полярних координат <math>r</math> та φ можна перевести в [[Декартові координати]] <math>x</math> та <math>y</math> шляхом застосування тригонометричних функцій синуса та косинуса:
: <math>x = r \cos \varphi \,</math>
: <math>y = r \sin \varphi, \,</math>

декартові координати <math>x</math> та <math>y</math> можуть бути перетворені в полярні координати (<math>r</math>; φ) таким чином:
: <math>r^2 = y^2 + x^2 \,</math> (за [[теорема Піфагора|теоремою Піфагора]]).

Для визначення кутової координати φ, слід взяти до уваги два такі міркування:
* Для <math>r</math> = 0, φ може бути довільним [[дійсні числа|дійсним числом]].
* Для <math>r</math> ≠ 0, аби отримати унікальне значення φ, слід обмежитись інтервалом в 2π. Зазвичай, обирають інтервал [0, 2π) або (−π, π].

Для обчислення φ в інтервалі [0, 2π), можна скористатись такими рівняннями (<math>\text{arctg}\;</math> позначає обернену функцію до [[тригонометричні функції|тангенса]]):
: <math>\varphi = 
\begin{cases}
\text{arctg}\;(\frac{y}{x})        & x > 0,  \quad y \ge 0\\
\text{arctg}\;(\frac{y}{x}) + 2\pi &  x > 0, \quad y < 0\\
\text{arctg}\;(\frac{y}{x}) + \pi  &  x < 0\\
\frac{\pi}{2}               &  x = 0, \quad y > 0\\
\frac{3\pi}{2}              &  x = 0, \quad y < 0
\end{cases}</math>

Для обчислення φ в інтервалі (−π, π], можна скористатись такими рівняннями:<ref>{{cite book|first=Bruce Follett|last=Torrence|coauthors=Eve Torrence|title=The Student's Introduction to Mathematica®|url=https://archive.org/details/studentsintroduc0000torr|year=1999|publisher=Cambridge University Press|isbn=0521594618}}</ref>
: <math>\varphi = 
\begin{cases}
\text{arctg}\;(\frac{y}{x}) &  x > 0\\
\text{arctg}\;(\frac{y}{x}) + \pi &  x < 0, \quad y \ge 0\\
\text{arctg}\;(\frac{y}{x}) - \pi &  x < 0, \quad y < 0\\
\frac{\pi}{2} &  x = 0, \quad y > 0\\
-\frac{\pi}{2} &  x = 0, \quad y < 0
\end{cases}</math>

[[File:Cartesian to polar.gif|thumb|200px|Декартова площина відображена в полярній системі координат]]
Зважаючи на те, що для обчислення полярного кута не досить знати відношення y до x, а ще й додатково знаки одного з цих чисел, багато сучасних [[мова програмування|мов програмування]] мають серед своїх функцій окрім функції [[atan]], яка визначає арктангенс числа, ще й додаткову функцію [[atan2]], яка має окремі аргументи для [[чисельник]]а та [[знаменник]]а. У мовах програмування, що підтримують необов'язкові аргументи (наприклад, у [[Common Lisp]]), функція <code>atan</code> може отримувати значення координати ''x''.

== Рівняння кривих у полярних координатах ==

Завдяки радіальній природі полярної системи координат, деякі криві можуть бути досить просто описані полярним рівнянням, тоді як рівняння в декартовій системі координат були б набагато складнішими. Серед найвідоміших кривих можна назвати [[Троянда (плоска крива)|полярну троянду]], [[спіраль Архімеда]], [[лемніската|лемніскату]], [[равлик Паскаля]] та [[кардіоїда|кардіоїду]].

=== Коло ===
[[Файл:circle r=1.svg|thumb|right|Коло задане рівнянням <math>r</math>(φ)&nbsp;=&nbsp;1]]

Загальне рівняння кола з центром в (<math>r_0, \theta</math>) та радіусом <math>a</math> має вигляд:

: <math>r^2 - 2 r r_0 \cos(\varphi - \theta) + r_0^2 = a^2.\, </math>

Це рівняння може бути спрощене для окремих випадків, наприклад

: <math>r(\varphi)=a \,</math>

є рівнянням, що визначає коло з центром в полюсі та радіусом <math>a</math>.<ref name="ping">
{{cite web
 |first       = Johan
 |last        = Claeys
 |url         = http://www.ping.be/~ping1339/polar.htm
 |title       = Polar coordinates
 |accessdate  = 2006-05-25
 |archiveurl  = https://www.webcitation.org/65Tl13GSP?url=http://www.ping.be/~ping1339/polar.htm
 |archivedate = 2012-02-15
 |deadurl     = yes
}}
</ref>

=== Пряма ===
''Радіальні'' [[пряма|прямі]] (ті, що проходять через полюс) визначаються рівнянням

: <math>\varphi = \theta \,</math>,

де θ&nbsp;— кут, на який пряма відхиляється від полярної осі; тобто, θ&nbsp;=&nbsp;arctg&nbsp;<math>m</math> де <math>m</math>&nbsp;— [[нахил]] прямої в Декартовій системі координат. Нерадіальна пряма, що [[перпендикулярність|перпендикулярно]] перетинає радіальну пряму φ&nbsp;=&nbsp;θ в точці (<math>r</math><sub>0</sub>, θ) визначається рівнянням

: <math>r(\varphi) = {r_0}\sec(\varphi-\theta). \,</math>

=== Полярна троянда ===
[[Файл:Rose 2sin(4theta).svg|thumb|right|Полярна роза задана рівнянням <math>r</math>(φ)&nbsp;=&nbsp;2&nbsp;sin&nbsp;4φ.]]

[[Троянда (плоска крива)|Полярна троянда]]&nbsp;— відома математична крива, схожа на квітку з пелюстками. Вона може бути визначена простим рівнянням в полярних координатах:

: <math>r(\varphi) = a \cos (k\varphi + \theta_0)\,</math>

для довільної сталої <math>\theta_0</math> (включно з 0). Якщо ''k''&nbsp;— [[цілі числа|ціле число]], то це рівняння визначатиме розу з ''k'' пелюстками для [[парність (математика)|непарних]] ''k'', або з 2''k'' пелюстками для парних ''k''. Якщо ''k''&nbsp;— [[раціональні числа|раціональне]], але не ціле, графік заданий рівнянням утворить фігуру подібну до рози, але пелюстки будуть перекриватись. Рози з 2, 6, 10, 14 і&nbsp;т.&nbsp;д. пелюстками цим рівнянням визначити неможливо. [[Змінна]] <math>a</math> визначає довжину пелюсток.

{{-}}

=== Спіраль Архімеда ===
[[Файл:Spiral of Archimedes.svg|thumb|right|Одна з гілок спіралі Архімеда що задається рівнянням ''r''(φ)&nbsp;=&nbsp;φ для 0&nbsp;<&nbsp;θ&nbsp;<&nbsp;6π]]

Відома [[спіраль Архімеда]] названа на честь її винахідника, давньогрецького математика [[Архімед]]а. Цю спіраль можна визначити за допомогою простого полярного рівняння:

: <math>r(\varphi) = a+b\varphi. \,</math>

Зміни параметру ''a'' призводять до повороту спіралі, а параметру ''b''&nbsp;— відстані між витками, яка є константою для конкретної спіралі. Спіраль Архімеда має дві гілки, одну для φ&nbsp;>&nbsp;0 а іншу для φ&nbsp;<&nbsp;0. Дві гілки плавно сполучаються в полюсі. Дзеркальне відображення однієї гілки відносно прямої що проходить через кут 90°/270° дасть іншу гілку. Ця крива цікава тим, що була описана в математичній літературі однією з перших, після [[конічний перетин|конічного перетину]], й найкраще серед інших визначається саме полярним рівнянням.

{{-}}

=== Конічні перетини ===
[[Файл:Elps-slr.svg|thumb|right|250px|Еліпс.]]
{{main|Конічні перетини}}
[[Конічні перетини|Конічний перетин]], один з фокусів якого знаходиться в полюсі, а інший десь на полярній осі (так, що мала піввісь лежить вздовж полярної осі) задається рівнянням:

: <math>r  = { \ell\over {1 + e \cos \varphi}}</math>

де ''e''&nbsp;— [[ексцентриситет]], а <math>\ell</math>&nbsp;— фокальний параметр. Якщо ''e''&nbsp;&gt;&nbsp;1, це рівняння визначає [[гіпербола (математика)|гіперболу]]; якщо ''e''&nbsp;=&nbsp;1, то [[парабола|параболу]]; якщо ''e'' &lt; 1, то [[еліпс]]. Окремим випадком є ''e'' = 0, що визначає [[коло]] з радіусом <math>\ell</math>.

== Комплексні числа ==
[[Файл:Imaginarynumber2.svg|thumb|right|265px|Приклад комплексного числа ''z'' нанесеного на комплексну площину.]]
[[Файл:Euler's formula.svg|thumb|right|265px|Приклад комплексного числа нанесеного на графік з використанням [[формула Ейлера|формули Ейлера]].]]

Кожне [[комплексні числа|комплексне число]] може бути представлене точкою на [[комплексна площина|комплексній площині]], і, відповідно, ця точка може визначатись або в декартових координатах (прямокутна або декартова форма), або в полярних координатах (полярна форма). Комплексне число ''z'' може бути записане в прямокутній формі як:

: <math>z = x + iy\,</math>

де ''i''&nbsp;— [[уявна одиниця]], або в полярній (дивіться формули перетворення між системами координат вище):

: <math>z = r\cdot(\cos\varphi+i\sin\varphi)</math>

і звідси, як:

: <math>z = re^{i\varphi} \,</math>

де ''e''&nbsp;— [[Число e|число Ейлера]]. Завдяки [[формула Ейлера|формулі Ейлера]], обидва представлення еквівалентні.<ref>{{cite book
 | last = Smith
 | first = Julius O.
 | title = Mathematics of the Discrete Fourier Transform (DFT)
 | accessdate = 2006-09-22
 | year = 2003
 | publisher = W3K Publishing
 | isbn = 0-9745607-0-7
 | chapter = Euler's Identity
 | chapterurl = http://ccrma-www.stanford.edu/~jos/mdft/Euler_s_Identity.html
 | archive-date = 2006-09-15
 | archive-url = https://web.archive.org/web/20060915004724/http://ccrma-www.stanford.edu/~jos/mdft/Euler_s_Identity.html
 }}</ref> (Слід відзначити, що в цій формулі, подібно до решти формул, які містять [[піднесення до степеня]] кутів, кут φ задано в радіанах.)

Для переходу між прямокутним та полярним представленням комплексних чисел, можуть використовуватись наведені вище формули перетворення між системами координат.

Операції [[множення]], [[ділення]] та [[піднесення до степеня]] з комплексними числами, зазвичай, простіше проводити в полярній формі. Згідно з правилами піднесення до степеня:

* Множення:
:: <math>r_0 e^{i\varphi_0} \cdot r_1 e^{i\varphi_1}=r_0 r_1 e^{i(\varphi_0 + \varphi_1)} \,</math>
* Ділення:
:: <math>\frac{r_0 e^{i\varphi_0}}{r_1 e^{i\varphi_1}}=\frac{r_0}{r_1}e^{i(\varphi_0 - \varphi_1)} \,</math>
* Піднесення до степеня ([[формула Муавра]]):
:: <math>(re^{i\varphi})^n=r^ne^{in\varphi} \,</math>

== У математичному аналізі ==

Операції [[математичний аналіз|математичного аналізу]] теж можна сформулювати, використовуючи полярні координати.<ref>{{cite web|url=http://archives.math.utk.edu/visual.calculus/5/polar.1/index.html|title=Areas Bounded by Polar Curves|author=Husch, Lawrence S.|accessdate=2006-11-25|archiveurl=https://www.webcitation.org/65Tl1oOio?url=http://archives.math.utk.edu/visual.calculus/5/polar.1/index.html|archivedate=2012-02-15|deadurl=no}}</ref><ref>{{cite web|url=http://archives.math.utk.edu/visual.calculus/3/polar.1/index.html|title=Tangent Lines to Polar Graphs|author=Lawrence S. Husch|accessdate=2006-11-25|archiveurl=https://www.webcitation.org/65Tl2Egqc?url=http://archives.math.utk.edu/visual.calculus/3/polar.1/index.html|archivedate=2012-02-15|deadurl=no}}</ref>

=== Диференційне числення ===
Справедливі такі формули:
: <math>r \tfrac{\partial}{\partial r}= x \tfrac{\partial}{\partial x} + y \tfrac{\partial}{\partial y} \,</math>
: <math>\tfrac{\partial}{\partial \varphi} = -y \tfrac{\partial}{\partial x} + x \tfrac{\partial}{\partial y} .</math>
Щоб знайти [[тангенс]] кута нахилу [[Дотична|дотичної]] до будь-якої даної точки полярної кривої ''r''(φ) у [[Декартова система координат|декартових координатах]], виразимо їх через систему рівнянь у параметричному вигляді:
: <math>x=r(\varphi)\cos\varphi \,</math>

: <math>y=r(\varphi)\sin\varphi \,</math>
[[Похідна|Диференціюючи]] обидва рівняння по φ отримаємо:
: <math>\frac{dx}{d\varphi}=r'(\varphi)\cos\varphi-r(\varphi)\sin\varphi \,</math>

: <math>\frac{dy}{d\varphi}=r'(\varphi)\sin\varphi+r(\varphi)\cos\varphi. \,</math>
Поділивши ці [[рівняння]] (друге на перше), отримаємо шуканий тангенс кута нахилу дотичної у декартовій системі координат у точці (''r'',&nbsp;''r''(φ)):
: <math>\frac{dy}{dx}=\frac{r'(\varphi)\sin\varphi+r(\varphi)\cos\varphi}{r'(\varphi)\cos\varphi-r(\varphi)\sin\varphi}.</math>

=== Інтегральне числення ===

[[Файл:Polar coordinates integration region.svg|thumb|Область ''R'', яка утворена полярною кривою ''r''(φ) та променями φ = ''a'' та φ = ''b''.]]
Нехай ''R''&nbsp;— область, яку утворюють полярна крива ''r''(φ) і промені φ = ''a'' та φ = ''b'', де 0&nbsp;<&nbsp;''b''&nbsp;−&nbsp;''a''&nbsp;<&nbsp;2π. Тоді [[площа]] цієї області знаходиться [[Визначений інтеграл|визначеним інтегралом]]:
: <math>\frac12\int_a^b \left[r(\varphi)\right]^2\, d\varphi.</math>
[[Файл:Polar coordinates integration Riemann sum.svg|thumb|Область ''R'' наближено утворена з ''n'' секторів (тут, ''n'' = 5).]]
Такий результат можна отримати наступним чином. Спочатку розіб'ємо інтервал [''a'',&nbsp;''b''] на довільне число підінтервалів ''n''. Таким чином довжина такого підінтервалу Δφ дорівнює ''b''&nbsp;−&nbsp;''a'' (повна довжина інтервалу) поділена на ''n'' (число підінтервалів). Нехай для кожного підінтервалу ''i'' = 1, 2, …, ''n'' φ<sub>''i''</sub>&nbsp;— середня точка. Побудуємо [[Сектор (геометрія)|сектори]] з центром у полюсі, [[радіус]]ами ''r''(φ<sub>''i''</sub>), центральними кутами Δφ і довжиною дуг <math>r(\varphi_i)\Delta\varphi\,</math>. Тому площа кожного такого сектора буде <math>\tfrac12r(\varphi_i)^2\Delta\varphi</math>. Звідси, повна площа всіх секторів:
: <math>\sum_{i=1}^n \tfrac12r(\varphi_i)^2\,\Delta\varphi.</math>
Якщо число підінтервалів ''n'' збільшувати, то похибка такого наближеного виразу буде зменшуватися. Поклавши ''n'' → ∞, вище отримана [[сума]] стане [[Сума Рімана|інтегральною]]. [[Границя (математика)|Границя]] цієї суми при Δφ → 0 визначає вищеописаний [[інтеграл]]:
: <math>\lim_{\Delta \varphi \rightarrow 0} \sum_{i=1}^\infty \tfrac12r(\varphi_i)^2\,\Delta\varphi = \frac12\int_a^b \left[r(\varphi)\right]^2\, d\varphi</math>

==== Узагальнення ====
Використовуючи [[декартові координати]], площа нескінченно малого елементу може бути обчислена як ''dA'' = ''dx'' ''dy''. Під час переходу до іншої системи координат у [[багатократний інтеграл|багатократних інтегралах]], необхідно використовувати [[Якобіан|визначник Якобі]]:
: <math>J = \det\frac{\partial(x,y)}{\partial(r,\varphi)}
=\begin{vmatrix}
  \frac{\partial x}{\partial r}  & \frac{\partial x}{\partial \varphi} \\
  \frac{\partial y}{\partial r}  & \frac{\partial y}{\partial \varphi}
\end{vmatrix}</math>
Для полярної системи координат, визначник [[Матриця Якобі|матриці Якобі]] дорівнює ''r'':
: <math>J 
=\begin{vmatrix}
  \cos\varphi & -r\sin\varphi \\
  \sin\varphi &  r\cos\varphi
\end{vmatrix}
=r\cos^2\varphi + r\sin^2\varphi = r.</math>
Отже, площу елемента у полярних координатах можна записати так:
: <math>dA = J\,dr\,d\varphi = r\,dr\,d\varphi.</math>
Тепер, [[Функція (математика)|функція]], записана у полярних координатах, може бути [[Інтегрування|інтегрованою]] таким чином:
: <math>\iint_R f(r,\varphi) \, dA = \int_a^b \int_0^{r(\varphi)}  f(r,\varphi)\,r\,dr\,d\varphi.</math>
Тут область ''R'' така сама, як і у попередньому розділі, тобто така, яку утворюють полярна крива ''r''(φ) і промені φ = ''a'' та φ = ''b''.

Формула для обчислення площі, яку описано у попередньому розділі, отримана у випадку ''f''=1. Цікавим результатом застосування формули для кратних інтегралів є [[інтеграл Гауса]]:
: <math> \int_{-\infty}^\infty e^{-x^2} \, dx = \sqrt\pi.</math>

=== [[Векторний аналіз]] ===
До полярних координат можна застосувати елементи [[Векторний аналіз|векторного аналізу]]. Будь-яке [[векторне поле]]
<math> \mathbf{F} </math> можна записати в полярній системі координат, використовуючи [[Одиничний вектор|одиничні вектори]]
: <math>\mathbf{e}_r=(\cos \varphi,\sin \varphi )\, </math>

у напрямку <math>\mathbf{r}</math>, і
: <math>\mathbf{e}_\varphi=(-\sin\varphi,\cos\varphi)\, </math>:

: <math> \mathbf{F} = F_r  \mathbf{e}_r + F_\varphi \mathbf{e}_\varphi </math>.

Зв'язок між декартовими компонентами поля <math> F_x \, </math> та <math> F_y \, </math> і його компонентами в полярній системі координат задається рівняннями:
: <math> F_x = F_r \cos \varphi - F_\varphi \sin \varphi \, </math>
: <math> F_y = F_r \sin \varphi + F_\varphi \cos \varphi \, </math>

Відповідним чином у полярній системі координат визначаються оператори векторного аналізу. Наприклад, [[градієнт]] скалярного поля <math> \Phi(r, \varphi) \, </math> записується:
: <math> \text{grad } \Phi = \frac{\partial \Phi}{\partial r} \mathbf{e}_r  + \frac{1}{r} \frac{\partial \Phi}{\partial \varphi} \mathbf{e}_\varphi</math>.

== Тривимірне розширення ==
Полярна система координат поширюється в третій вимір двома системами: циліндричною та сферичною, обидві містять двовимірну полярну систему координат як підмножину. По суті, циліндрична система розширює полярну додаванням ще однієї координати відстані, а сферична&nbsp;— ще однієї кутової координати.

=== Циліндричні координати ===
[[Файл:Cylindrical Coordinates.svg|thumb|right|250px|Точка ''P'' накреслена в циліндричній системі координат.]]
{{main|Циліндрична система координат}}

Циліндрична система координат, грубо кажучи, розширює пласку полярну систему додаванням третьої лінійної координати, що має назву ''висоти'' і дорівнює висоті точки над нульовою площиною подібно до того, як Декартова система розширюється на випадок 3-х вимірів. Третя координата зазвичай позначається як ''z'', утворюючи трійку координат (''ρ'', φ, ''z'').

Трійку циліндричних координат можна перевести в Декартову систему такими перетвореннями:
: <math> \begin{align}
x &= \rho \, \cos\varphi \\
y &= \rho \, \sin\varphi \\
z &= z.
\end{align} </math>

=== Сферичні координати ===
[[Файл:Spherical with grid.svg|thumb|right|250px|Точка накреслена в сферичній системі координат.]]
{{main|Сферична система координат}}

Також полярні координати можна розширити на випадок трьох вимірів шляхом додавання кутової координати θ, що дорівнює куту повертання від вертикальної осі z (називається [[зеніт]]ом або [[широта|широтою]], значення знаходяться в інтервалі від 0 до 180°). Тобто, сферичні координати, це трійка (r, θ, φ), де r&nbsp;— відстань від центру координат, φ&nbsp;— кут від осі x (як і в пласких полярних координатах), θ&nbsp;— широта. Сферична система координат подібна до [[географічні координати|географічної системи координат]] для визначення місця на поверхні Землі, де початок координат збігається з центром Землі, [[широта]] δ є доповненням θ і дорівнює δ = 90° − θ, а [[довгота]] ''l'' обчислюється за формулою ''l'' = φ − 180°.<ref>{{cite web|url=http://www.math.montana.edu/frankw/ccp/multiworld/multipleIVP/spherical/body.htm|title=Spherical Coordinates|first=Frank|last=Wattenberg|year=1997|accessdate=2006-09-16|archiveurl=https://www.webcitation.org/65Tl2ecLu?url=http://www.math.montana.edu/frankw/ccp/multiworld/multipleIVP/spherical/body.htm|archivedate=2012-02-15|deadurl=yes}}</ref>

Трійку сферичних координат можна перевести в декартову систему такими перетвореннями:
: <math> \begin{align}
x &= r \, \sin\theta \, \cos\varphi \\
y &= r \, \sin\theta \, \sin\varphi \\
z &= r \, \cos\theta.
\end{align} </math>

=== Узагальнення на ''n'' вимірів ===

Полярну систему координат можна розширити на випадок ''n''-мірного простору. Нехай <math>x_{i}\in \mathbb{R}</math>, <math>i=1,\ldots,n</math>&nbsp;— координатні вектори n-мірної декартової системи координат. Необхідні координати в n-вимірній полярній системі можна вводити як кут відхилення вектора <math>x\in \mathbb{R}^{n}</math> від координатної осі <math>x_{i+2}</math>.

Для переведення узагальнених n-вимірних полярних координат у декартові можна скористатись такими формулами:

: <math> \begin{array}{lcr}
x_{1}  & = & r\ \cos\varphi\ \sin\vartheta_{1}\ \sin\vartheta_{2} \ \cdots\ \sin\vartheta_{n-3}\ \sin\vartheta_{n-2}\\  
x_{2}  & = & r\ \sin\varphi\ \sin\vartheta_{1}\ \sin\vartheta_{2} \ \cdots \ \sin\vartheta_{n-3}\ \sin\vartheta_{n-2}\\
x_{3}  & = &  r\ \cos\vartheta_{1}\ \sin\vartheta_{2} \ \cdots \ \sin\vartheta_{n-3}\ \sin\vartheta_{n-2} \\  
x_{4}  & = & r\ \cos\vartheta_{2} \ \cdots\  \sin\vartheta_{n-3}\ \sin\vartheta_{n-2}\\
\vdots &  \vdots &           \vdots  \qquad\qquad\qquad\quad\\ 
x_{n-1}  & = &                    r\ \cos\vartheta_{n-3}\ \sin\vartheta_{n-2}\\
x_{n}  & = &                    r\ \cos\vartheta_{n-2} 
\end{array} </math>

Як можна показати, випадок ''n=2''відповідає звичайній полярній системі координат на площині, а ''n=3'' звичайній [[сферична система координат|сферичній системі координат]].

[[Якобіан]] перетворення полярних координат в Декартові матиме вигляд:
: <math>\det\frac{\partial(x_{1},\ldots,x_{n})}{\partial(r,\varphi,\vartheta_{1},\ldots,\vartheta_{n-2})}=r^{n-1} \sin\vartheta_{1} \left(\sin\vartheta_{2}\right)^{2}\ldots \left(\sin\vartheta_{n-2}\right)^{n-2}</math>
Де n-вимірний елемент об'єму матиме вигляд:
: <math>\begin{matrix} \mathrm dV &=& r^{n-1} \sin\vartheta_{1} \left(\sin\vartheta_{2}\right)^{2}\ldots \left(\sin\vartheta_{n-2}\right)^{n-2} \mathrm dr\ \mathrm d\varphi\ \mathrm d\vartheta_{1} \ldots \mathrm d\vartheta_{n-2} \\ 
&=& r^{n-1}\ \mathrm dr\ \mathrm d\varphi\ \prod\limits_{j=1}^{n-2} (\sin\vartheta_{j})^{j}\ \mathrm d\vartheta_{j} \end{matrix}.</math>

== Застосування ==

Полярна система координат двовимірна і тому може застосовуватись лише в тих випадках, коли місце знаходження точки визначається на площині, або для випадку однорідності властивостей системи в третьому вимірі, наприклад, при розгляді течії в круглій трубі. Найкращим контекстом застосування полярних координат є випадки, що сильно пов'язані з напрямом та відстанню від деякого центру. Наприклад, в наведених вище прикладах видно, що простих рівнянь в полярних координатах достатньо для визначення таких кривих як [[спіраль Архімеда]], рівняння яких в [[декартова система координат|декартовій системі координат]] набагато складніше. Крім того, багато фізичних систем&nbsp;— таких, що містять тіла, що рухаються навколо центру, або явища, що розповсюджуються з деякого центру&nbsp;— набагато простіше моделювати в полярних координатах. Причиною створення полярної системи координат було дослідження орбітального руху та руху по колу.

=== Позиціювання та навігація ===
{{Main|Навігація}}

Полярну систему координат часто застосовують у [[навігація|навігації]], оскільки пункт призначення можна задати як відстань та напрям руху від відправної точки. Наприклад, в [[авіація|авіації]], для навігації застосовують трохи змінену версію полярних координат. У цій системі, що зазвичай використовується для навігації, промінь 0° називають напрямком 360, а кути відраховуються в напрямку за годинниковою стрілкою. Напрямок 360 відповідає напрямку на [[північний магнітний полюс]], а напрями 90, 180, та 270 відповідають магнітним сходу, заходу та півдню.<ref>{{cite web|url=http://www.thaitechnics.com/nav/adf.html|title=Aircraft Navigation System|accessdate=2006-11-26|first=Sumrit|last=Santhi|archiveurl=https://www.webcitation.org/65Tl3UH91?url=http://www.thaitechnics.com/nav/adf.html|archivedate=2012-02-15|deadurl=no}}</ref> Так, літак, що летить 5 [[миля|морських миль]] на схід можна описати як літак, що летить 5 одиниць в напрямку 90 ([[центр керування польотами]] назве його [[фонетичний алфавіт|найне-зіро]]).<ref>{{cite web|url=http://www.faa.gov/library/manuals/aircraft/airplane_handbook/media/faa-h-8083-3a-7of7.pdf|format=PDF|title=Emergency Procedures|type=pdf|accessdate=2007-01-15|archiveurl=https://www.webcitation.org/65Tl55K3e?url=http://www.faa.gov/library/manuals/aircraft/airplane_handbook/media/faa-h-8083-3a-7of7.pdf|archivedate=2012-02-15|deadurl=no}}</ref>

=== Моделювання ===
[[Файл:Bosch 36W column loudspeaker polar pattern.png|thumb|Фронт потужності звукової хвилі промислового [[гучномовець|гучномовця]] показаний в сферичних полярних координатах при шістьох частотах.]]
{{Main|Моделювання}}

Системи з радіальною симетрією дуже добре підходять для описання в радіальних координатах, де полюс системи координат збігається з центром симетрії. Як приклад можна навести рівняння току ґрунтових вод у випадку радіально симетричних колодязів. Системи з центральними силами також підходять для моделювання в полярних координатах. До таких систем належать [[гравітація|гравітаційні поля]], що підпорядковуються закону зворотно-квадратичної залежності, так і системи з точковими джерелами енергії, такі як [[антена|радіо-антени]].

[[Тривимірне моделювання]] звуку [[гучномовець|гучномовців]] може використовуватися для прогнозування їхньої ефективності. Необхідно зробити декілька діаграм в полярних координатах для широкого діапазону частот, оскільки фронт істотно змінюється залежно від частоти звуку. Полярні діаграми допомагають побачити, що багато гучномовців зі зниженням частоти звуку втрачають направленість.

У полярних координатах також прийнято представляти [[Мікрофон#Характеристика направленості|характеристику направленості мікрофонів]], що визначається відношенням чутливості Мα при падінні звукової хвилі під кутом α відносно акустичної осі мікрофона до його осьової чутливості: φ = M<sub>α</sub>/M<sub>0</sub>

== Посилання ==
{{reflist}}

== Див. також ==
{{Портал|Математика}}
* [[Системи координат в елементарній математиці]]
* [[Системи координат]]

== Посилання ==
* {{Фіхтенгольц.укр}}
* {{dmoz|Science/Math/Software/Graphing|Програми для малювання графіків}}

{{добра стаття}}

[[Категорія:Системи координат]]