Перегляд вихідного коду сторінки Подовжений трисхилий купол

{{без картки|Многогранник}}
{| border="2" bgcolor="#ffffff" cellpadding="5" align="right" style="margin-left:10px" width="400"
!bgcolor=#e7dcc3 colspan=2|<span style="color: MediumBlue"><big><big>Подовжений трисхилий купол</big></big> </span>
|-
| colspan="2" align="center" |[[Файл:Green elongated triangular cupola.svg|280x280пкс]]
|-
| bgcolor="#e7dcc3" |'''Тип'''||[[Правильногранний многогранник|Багатогранник Джонсона]] '''J<sub>18</sub>'''.
|-
| bgcolor="#e7dcc3" |'''Властивості'''||[[Опуклий політоп|Опуклий]], рівносторонній, [[Правильний многокутник|правильногранний]]
|-
| colspan="2" bgcolor="#E6E6FB" align="center" |<big>'''Комбінаторика'''</big>
|-
| bgcolor="#e7dcc3" |'''Елементи'''|| 14 граней ((3+1){3} + 3x3{4} + 1{6}) <br/>27 ребер<br/>15 вершин: 6 вершин (3-го [[Степінь вершини (теорія графів)|степеня]]) + [6+3](4-го)
|-
| bgcolor="#e7dcc3" |'''[[Грань (геометрія)|Грані]]'''||
4=3+1 [[Правильний трикутник|Правильних трикутників]],<br/> 9=3x3 [[Квадрат]]ів,<br/> 1 [[Правильний шестикутник]].
|-
| bgcolor="#e7dcc3" |'''[[Характеристика Ейлера]]'''||
<math>\chi=\Gamma-\hbox{P}+\hbox{B} = 2</math>

|-
| bgcolor="#e7dcc3" |'''[[Конфігурація вершини]]'''|| {{math|6(4{{sup|2}}.6)<br>3(3.4.3.4)<br>6(3.4{{sup|3}})}}
|-
| bgcolor="#e7dcc3" |'''[[Вершинна фігура]]'''||3 [[прямокутник]]а з довжинами сторін 1 та <math>\sqrt{2}</math> <br/> 6 [[Рівнобедрений трикутник|рівнобедрених трикутників]] з довжинами сторін <math>\sqrt{2}</math>, <math>\sqrt{2}</math>, <math>\sqrt{3}</math> <br/> 6 [[Рівнобічна трапеція|рівнобедрених трапецій]] з довжинами сторін <math> 1 </math>, <math>\sqrt{2}</math>, <math>\sqrt{2}</math>, <math>\sqrt{2}</math>
|-
| colspan="2" bgcolor="#E6E6FA" align="center" |<big>'''Класифікація'''</big>
|-
| bgcolor="#e7dcc3" |'''Позначення'''||
• '''J<sub>18</sub>''' (в нотації {{Не перекладено|Норман Джонсон (математик)|Нормана Джонсона|en|Norman Johnson (mathematician)}})<br/>• '''M<sub>4</sub>'''+ '''П<sub>6</sub>''' (в нотації Залгаллера{{Sfn|Залгаллер|1967}})<br/>• '''Q<sub>3</sub>P<sub>6</sub>''' {{Sfn|Norman W. Johnson}} {{rp|стор.187}} (в {{Не перекладено|Нотація Конвея для багатогранників|3=en|4=Conway polyhedron notation|нотації Конвея}})
|-
| bgcolor="#e7dcc3" |'''[[Список груп сферичної симетрії|Група симетрії]]'''||
{{Не перекладено|Циклічна симетрія в тривімірному просторі|C<sub>3v</sub>|en|Cyclic symmetry in three dimensions}}, [3], (*33), порядок 6<br/>(Циклічна симетрія 3-Піраміди)
|-
| bgcolor="#e7dcc3" |'''[[Ортогональна група|Група поворотів]]''' ||C<sub>3</sub>, [3]<sup>+</sup>, (33), порядок 3
|-
| bgcolor="#e7dcc3" |'''[[Дуальний многогранник|Двоїстий багатогранник]]'''||
[[Файл:Dual elongated triangular cupola.png|150px|]]
|-
| bgcolor="#e7dcc3" |'''[[Розгортка]]'''|| [[Файл:Johnson_solid_18_net.png|250px|]]
|}
Рівносторонній '''подовжений''' '''трисхилий купол''' є одним із [[Правильногранний многогранник|багатогранників Джонсона]] ({{math|''J''{{sub|18}}}} або {{math|''M''{{sub|4}} +''П''{{sub|6}}}} (за Залгаллером{{Sfn|Залгаллер|1967}}).

Багатогранник Джонсона&nbsp;— один із 92 строго [[Опуклий політоп|опуклих]] багатогранників, що мають [[Правильний многокутник|правильні]] грані, але не є [[Однорідний многогранник|однорідним]] (тобто він не є [[Правильний многогранник|правильним багатогранником]], [[Архімедове тіло|архімедовим тілом]], [[Призма (математика)|призмою]] або [[Антипризма|антипризмою]]). [[Правильногранний многогранник|Правильногранні багатогранники]] названі ім'ям {{Не перекладено|Норман Джонсон (математик)|Нормана Джонсона|en|Norman Johnson (mathematician)}}, який першим перелічив їх в 1966&nbsp;р. {{Sfn|Norman W. Johnson}}

Подовжений трисхилий купол утворюється поєднанням [[Трисхилий купол|трисхилого купола]] та правильної рівносторонньої шестикутної [[Призма (математика)|призми]] по їх шестикутним граням.

Подовжений трисхилий купол складено з 14 граней: 3+1 = 4 [[Правильний трикутник|правильних трикутників]], 3х3 = 9 [[квадрат]]ів та 1 [[Шестикутник|правильного шестикутника]].

Чотири трикутних граней оточені трьома квадратами; три квадратні грані оточені трьома трикутними та однією квадратною гранями; три квадратні грані оточені трьома квадратними та однією шестикутною гранями; три квадратні грані оточені однією трикутною, двома квадратними та однією шестикутною гранями; шестикутна грань оточена шістьма квадратними гранями.

Має 27 ребер однакової довжини: 3+6= 9 ребер розташовані між двома квадратними гранями, 3+3+6=12 ребер&nbsp;— між трикутною та квадратною гранями, решта 6&nbsp;— між квадратною та шестикутною гранями.

У подовженого трисхилого купола 15 вершин: 3 вершини оточені двома трикутними та двома квадратними гранями (почергово); 6 вершин оточені трикутною та трьома квадратними гранями; 6 вершин оточені двома квадратними та шестикутною гранями.
[[Файл:Подовжений трисхилий купол.png|ліворуч|міні|Подовжений трисхилий купол]]
Подовжений трисхилий купол має вісь поворотної симетрії 3-го порядку, що проходить через центри трикутної та шестикутної паралельних граней; а також три площини дзеркальної симетрії, що проходять через вісь купола та середини сторін нижньої (шестикутної) основи.

[[Центральна симетрія|Центру симетрії]] не має.

Подовжений трисхилий купол не належить до елементарних багатогранників Джонсона {{Sfn|Norman W. Johnson}}{{rp|Стор.174}}, так як його можна розділити площиною на два менших [[Опуклий політоп|опуклих багатогранника]] з правильними гранями, а саме на [[трисхилий купол]] ({{math|''J''{{sub|3}}}}) та рівносторонню [[Шестикутна призма|шестикутну призму]].

== Формули ==

=== Діагоналі ===
Кількість діагоналей опуклого багатогранника: <math>\binom{B}{2} - P</math> , де В&nbsp;— кількість вершин, Р&nbsp;— кількість ребер багатогранника. 

Для подовженого трисхилого купола:

<math>\binom{15}{2} - 27 = \frac{15}{2} \cdot \frac{14}{1}- 27 = 78</math> діагоналей (27 граневих та 51 просторових).{{-}}
{| border="2"
! colspan="3" style="background:#C0C0FF" |<big>Діагоналі подовженого трисхилого купола з довжиною ребра <math>a</math></big>
|-
| rowspan="2" class="hintergrundfarbe5" |[[Файл:Подовжений трисхилий купол, діагоналі.png|безрамки|259x259пкс]]
|Граневі діагоналі
|<math>AB=\sqrt{2}\cdot a \approx 1.41421356237 \cdot a</math> <br /><math>HE=\sqrt{3}\cdot a \approx 1.73205080756 \cdot a</math> <br /> <math> HF=2 \cdot a </math>
|-
|Просторові діагоналі
|<math>AC=KB=\sqrt{3}\cdot a \approx 1.73205080756 \cdot a</math><br /> <math> KC=KE=2 \cdot a </math> <br /> <math>KF=\sqrt{5}\cdot a \approx 2.2360679775 \cdot a</math> <br /> <math>AD=\sqrt{\frac{ 2\left (3+\sqrt{6}  \right )}{3}}  \cdot a \approx 1.90604122774 \cdot a</math><br /> <math>AE =\sqrt{\frac{ 9+2\sqrt{6} }{3}}  \cdot a \approx 2.152438886903 \cdot a</math> <br /> <math>AF =\sqrt{\frac{ 2\left (6+\sqrt{6}  \right )}{3}}  \cdot a \approx 2.373392753392 \cdot a</math>
|}

=== Метричні характеристики ===
{| border="2"
! colspan="3" bgcolor="#c0c0ff" |<big>Для подовженого трисхилого купола з довжиною ребра <math>a</math>:</big>
|-
| bgcolor="#DC DC DC" |'''[[Вписана сфера|Вписаної]], [[Напіввписана сфера|напіввписаної]] та [[Описана сфера|описаної сфер]]''' 
'''подовжений трисхилий купол не має'''
|-
| bgcolor="#ececec" |'''Висота <big>H</big>'''
(Відстань між паралельними трикутною та шестикутною гранями)
|<math>H=  \left ( 1+ \frac {\sqrt{6}}{3} \right ) \cdot a </math>
|<math>\approx 1.81649658\cdot a </math>
|-
| bgcolor="#ececec" |'''[[Площа поверхні]]'''
|<math>S =  \left ( 9 +\frac{5 \sqrt{3}}{2} \right )  \cdot a^2 </math>
|<math>\approx 13.33012701 \cdot a^2 </math>
|-
| bgcolor="#ececec" |'''[[Об'єм]]'''
|<math>V = \frac{5\sqrt{2}+9 \sqrt{3}}{6}  \cdot a^3</math>
|<math>\approx 3.77658751333 \cdot a^3 </math>
|-
|bgcolor="#ececec" |'''[[Сферичність]]'''
|<math> \Psi =  \frac{2 \sqrt [3] {(293+90\sqrt{6}) \pi }} {18+5\sqrt{3}} </math>
|<math> \Psi\thickapprox 0.8797978 </math>
|}

=== Кути ===
Плоскі кути граней при вершинах: 60°, 90°, 120°.
{|border="2"
! colspan="3" width="500" style="background:#c0c0ff" |<big>Кути багатогранника</big>
|-
| class="hintergrundfarbe5" style="background:#ececec" |'''Кут між несусідніми ребрами при вершині верхньої основи'''
|<math> \varphi = \arccos \left (- \frac{1}{2} \right ) </math>
|<math> = \frac{2 \pi}{3}  </math> [[Радіан|'''рад''']]  <br/> ''' = 120°'''
|-
| class="hintergrundfarbe5" style="background:#ececec" |'''[[Двогранний кут]] між гранями {3} та {4}'''<br/> (грані трисхилого купола)
|<math> \alpha= \arccos \left ( -\frac{\sqrt{3}}{3}  \right ) = \arcsec \left ( -\sqrt{3} \right ) </math>
|'''≈ 2.1862760354 [[Радіан|рад]]'''  <br/> ''' ≈ 125°15′ 51.8028′′'''
|-
|bgcolor="#ececec" |'''[[Двогранний кут]] між гранями {3} та {4}'''<br/> (грані між трисхилим куполом та призмою)
|<math> \beta= \arccos \left ( -\frac{2 \sqrt{2}}{3}  \right ) </math>
|'''≈ 2.8017557441 [[Радіан|рад]]'''  <br/> '''≈ 160°31′ 43.6057′′'''
|-
|bgcolor="#ececec" |'''[[Двогранний кут]] між гранями {4} та {4}'''<br/> (грані між трисхилим куполом та призмою)
|<math> \gamma= \arccos \left ( -\frac{\sqrt{6}}{3}  \right ) </math>
|'''≈ 2.5261129449 [[Радіан|рад]]'''  <br/> ''' ≈ 144°44′ 8.1971′′'''
|-
| class="hintergrundfarbe5" style="background:#ececec" |'''[[Двогранний кут]] між гранями {4} та {4}'''<br/> (грані шестикутної призми)
|<math> \delta= \arccos \left (- \frac{1}{2} \right ) </math>
|'''=''' <math> \frac{2\pi}{3} </math> '''[[Радіан|рад]]''' <br/> '''=''' '''120°'''
|-
| class="hintergrundfarbe5" style="background:#ececec" |'''[[Двогранний кут]] між гранями {4} та {6}'''
|
|'''=''' <math> \frac{\pi}{2} </math> '''[[Радіан|рад]]'''<br/> ''' = 90°'''
|-
| class="hintergrundfarbe5" style="background:#ececec" |'''[[Тілесний кут]] при вершині нижньої основи (шестикутної)'''
|
|<math> \Omega = \frac{2 \pi}{3}  </math> '''[[Стерадіан|ср]]'''
|-
|bgcolor="#ececec" |'''[[Тілесний кут]] при вершині 4.4.4.3 (стик купола та призми)'''
|<math> \Omega_1 = \frac{2\pi}{3} + \frac{1}{2} \arccos \left( -\frac{7}{9} \right) =  </math> <br/> <math> = \frac{2\pi}{3} +4 \arctan \left(\sqrt{3} - \sqrt{2} \right) </math>
|<math> \Omega_1 </math> '''≈ 3.3253545197 [[Стерадіан|ср]]'''
|-
| class="hintergrundfarbe5" style="background:#ececec" |'''[[Тілесний кут]] при вершині верхньої основи (трикутної)'''
|<math> \Omega_2 =  \arccos \left( -\frac{7}{9} \right) = 4 \arcsin \left(\frac{\sqrt{3}}{3} \right) = </math> <br/> <math> = 8 \arctan \left(\sqrt{3} - \sqrt{2} \right) </math>
|<math> \Omega_2 </math> '''≈ 2.461918834 [[Стерадіан|ср]]'''
|}
[[Центр інерції|Центр мас]] подовженого трисхилого купола лежить на його осі симетрії на відстані <math>\frac{421+65\sqrt{6}}{772} \cdot a \approx 0.7515762  \cdot a  </math> від нижньої (шестикутної) основи <ref>{{Cite web|title=Elongated triangular cupola centroid - Wolfram{{!}}Alpha|url=https://www.wolframalpha.com/|website=www.wolframalpha.com|accessdate=2023-10-01|language=en}}</ref>.

== Координати вершин ==
[[Файл:Подовжений трисхилий купол, координати вершин.png|міні|266x266пкс]]
Координати вершин подовженого трисхилого купола з довжиною ребра a = 1: <ref>{{Cite web|title=Elongated triangular cupola vertex coordinates - Wolfram{{!}}Alpha|url=https://www.wolframalpha.com/|website=www.wolframalpha.com|accessdate=2023-10-08|language=en}}</ref>

* <math>\left ( \frac{\sqrt{3}}{3},0, \frac{\sqrt{6}}{3} \right )</math>, <math>\left (-\frac{\sqrt{3}}{6} ,\pm \frac{1}{2},  \frac{\sqrt{6}}{3} \right )</math> — ці координати визначають три вершини верхньої трикутної грані.
* <math>\left ( 0, \pm 1 , 0 \right )</math>, <math>\left (\frac{\sqrt{3}}{2}, \pm \frac{1}{2}, 0 \right )</math>, <math>\left (- \frac{\sqrt{3}}{2}, \pm \frac{1}{2}, 0 \right )</math> — ці координати визначають шість вершин, що лежать між верхньою (трикутною) та нижньою (шестикутною) паралельними гранями.
* <math>\left ( 0, \pm 1 , -1 \right )</math>, <math>\left (\frac{\sqrt{3}}{2}, \pm \frac{1}{2},-1  \right )</math>, <math>\left (- \frac{\sqrt{3}}{2}, \pm \frac{1}{2}, -1 \right )</math> — ці координати визначають шість вершин нижньої (шестикутної) грані.

При цьому вісь симетрії подовженого трисхилого купола співпадає з віссю координат Oz, а площина координат xOz співпадає з однією з площин симетрії багатогранника.

== Двоїстий багатогранник ==
Подовжений трисхилий купол не має канонічно-[[Дуальний многогранник|двоїстого]] багатогранника ([[Напіввписана сфера|середньовписані сфери]] обох багатогранників співпадають).

Його топологічно-двоїстий може бути побудований лише загальним чином (кожній грані початкового багатогранника відповідає вершина двоїстого, кожній вершині початкового — грань двоїстого, з дотриманням [[Симетрія|симетрії]] початкового багатогранника), а тому форми та розміри двоїстого багатогранника до початкового подовженого трисхилого купола можуть різнитися.

Двоїстий багатогранник до подовженого трисхилого купола ([https://levskaya.github.io/polyhedronisme/?recipe=C1000dJ18 3-D модель, dJ18]),

має 15 [[Грань (геометрія)|граней]]: 3 дельтоїда, 6 [[Трикутник|трикутників]], 6 [[Чотирикутник|чотирикутників]]; 27 ребер, 14 вершин. 
{| class="wikitable" width="320"
|- valign="top"
![[Дуальний многогранник|Двоїстий багатогранник]]
![[Розгортка многогранника|Розгортка]] двоїстого
!Поєднання подовженого трисхилого купола та його двоїстого багатогранника
|- valign="top"
|[[Файл:Dual elongated triangular cupola.png|258x258пкс]]
|[[Файл:Dual elongated triangular cupola net.png|259x259пкс]]
|[[Файл:Подовжений трисхилий купол та його двоїстий.png|безрамки]]
|}

== Замощення простору ==
[[Стільник (геометрія)|Замостити]] [[тривимірний простір]] без проміжків та накладень можна за допомогою подовжених трисхилих куполів, [[Квадратна піраміда|квадратних пірамід]] (J<sub>1</sub>) та [[Правильний тетраедр|правильних тетраедрів]]. <ref>{{Cite web|title=J18 honeycomb|url=http://woodenpolyhedra.web.fc2.com/J18.html|website=woodenpolyhedra.web.fc2.com|accessdate=2023-10-08}}</ref>

== Примітки ==
{{Reflist|2}}

== Література ==
* {{Стаття
|автор = {{не переведено 5|Норман Джонсон|Norman W. Johnson||Norman Johnson (mathematician)}}.
|ref = Norman W. Johnson
|заголовок = Convex Solids with Regular Faces
|рік = 1966
|том=18
|сторінок = 169—200
|issn=0008-414X
|doi=10.4153/CJM-1966-021-8
|журнал=Canadian Journal of Mathematics
|видання посилання=https://cms.math.ca/publications/cjm/
|мова=англ.}} (Містить оригінальне перерахування 92 тіл і гіпотезу, що інших немає.)
* {{Книга
|автор = Залгаллер&nbsp;В.&nbsp;А.
|ref = Залгаллер
|заголовок = 
|рік = 1967
|серія = Зап. научн. сем. ЛОМИ
|посилання = http://mi.mathnet.ru/znsl1408
|місце = м.—л.
|видавництво = наука
|том = 2
|тираж = 
|сторінок = 221
|ISBN = 
|назва = Выпуклые многогранники с правильными гранями
}} (Перший доказ, що існує тільки 92 тіл Джонсона.)

== Посилання ==
* {{MathWorld|urlname=ElongatedTriangularCupola|title=Elongated Triangular Cupola}}
* {{Polytope Wiki|urlname=Elongated_triangular_cupola|title=Elongated triangular cupola}}
* McCooey, David.[http://dmccooey.com/polyhedra/ElongatedTriangularCupola.html Elongated Triangular Cupola]
* Klitzing, Richard. [https://bendwavy.org/klitzing/incmats/etcu.htm "etcu"]
* Quickfur. [http://www.qfbox.info/4d/J18 «The Elongated Triangular Cupola»]

{{Багатогранники}}
[[Категорія:Многогранники Джонсона]]