Перегляд вихідного коду сторінки Подвійне число Мерсенна

У [[Математика|математиці]] '''подвійне число Мерсенна'''&nbsp;— це [[число Мерсенна]] у формі

: <math>M_{M_p} = 2^{2^p-1}-1</math>

де ''p'' є [[Просте число|простим]].

== Приклади ==
Перші чотири члени [[Послідовність цілих чисел|послідовності]] подвійних чисел Мерсенна є<ref name="Caldwell">Chris Caldwell, [http://primes.utm.edu/mersenne/index.html#unknown ''Mersenne Primes: History, Theorems and Lists''] at the [[Prime Pages]].</ref> ({{OEIS|id=A077586}}):

: <math>M_{M_2} = M_3 = 7 </math>
: <math>M_{M_3} = M_7 = 127 </math>
: <math>M_{M_5} = M_{31} = 2147483647 </math>
: <math>M_{M_7} = M_{127} = 170141183460469231731687303715884105727 </math>

== Подвійні прості числа Мерсенна ==

Подвійне число Мерсенна, яке є [[Просте число|простим]], називається '''подвійним простим числом'''. Оскільки число Мерсенна ''M''<sub>''p''</sub> може бути простим, лише якщо ''p'' є простим (див. {{Не перекладено|просте число Мерсенна|3=en|4=Mersenne prime}} для доказу), подвійне число Мерсенна Число <math>M_{M_p}</math> може бути простим, лише якщо ''M''<sub>''p''</sub> саме по собі є простим числом Мерсенна. Для перших значень ''p'', для яких ''M''<sub>''p''</sub> є простим, <math>M_{M_{p}}</math>, як відомо, просте для ''p'' = 2, 3, 5, 7, тоді як явні дільники <math>M_{M_{p}}</math> були знайдені для ''p'' = 13, 17, 19 та 31

{| class="wikitable"
!<math>p</math>
!<math>M_{p} = 2^p-1</math>
!<math>M_{M_{p}} = 2^{2^p-1}-1</math>
!Розклад <math>M_{M_{p}}</math>
|-
|2
|[[3 (число)|3]]
|просте
|7
|-
|3
|[[7 (число)|7]]
|просте
|127
|-
|5
|[[31 (число)|31]]
|просте
|2147483647
|-
|7
|[[127 (число)|127]]
|просте
|170141183460469231731687303715884105727
|-
|11
|не просте
|не просте
|47 × 131009 × 178481 × 724639 × 2529391927 × 70676429054711 × 618970019642690137449562111 × …
|-
|13
|8191
|не просте
|338193759479 × 210206826754181103207028761697008013415622289 × …
|-
|17
|131071
|не просте
|231733529 × 64296354767 × …
|-
|19
|524287
|не просте
|62914441 × 5746991873407 × 2106734551102073202633922471 × 824271579602877114508714150039 × 65997004087015989956123720407169 × …
|-
|23
|не просте
|не просте
|2351 × 4513 × 13264529 × 76899609737 × …
|-
|29
|не просте
|не просте
|1399 × 2207 × 135607 × 622577 × 16673027617 × 4126110275598714647074087 × …
|-
|31
|2147483647
|не просте
|295257526626031 × 87054709261955177 × 242557615644693265201 × 178021379228511215367151 × …
|-
|37
|не просте
|не просте
|
|-
|41
|не просте
|не просте
|
|-
|43
|не просте
|не просте
|
|-
|47
|не просте
|не просте
|
|-
|53
|не просте
|не просте
|
|-
|59
|не просте
|не просте
|
|-
|61
|2305843009213693951
|невідомо
|
|}

Таким чином, найменшим кандидатом на наступне подвійне просте число Мерсенна є <math>M_{M_{61}}</math>, або 2<sup>2305843009213693951</sup> − 1. Будучи приблизно 1,695{{e|694127911065419641}}, це число занадто велике для будь-якого відомого на даний момент [[Тест простоти|теста простоти]]. У нього немає основного дільника нижче 4 × 10<sup>33</sup>.<ref>Tony Forbes, [http://anthony.d.forbes.googlepages.com/mm61prog.htm A search for a factor of MM61. Progress: 9 October 2008] {{Webarchive|url=https://web.archive.org/web/20090215115625/http://anthony.d.forbes.googlepages.com/mm61prog.htm |date= 15 лютого 2009 }}. This reports a high-water mark of 204204000000×(10019&nbsp;+&nbsp;1)×(2<sup>61</sup>&nbsp;−&nbsp;1), above 4×10<sup>33</sup>. Retrieved on 2008-10-22.</ref> Є імовірність, що немає інших подвійних простих чисел Мерсенна, крім чотирьох відомих.<ref name="Caldwell" /><ref>[https://www.ams.org/journals/mcom/1955-09-051/S0025-5718-1955-0071444-6/S0025-5718-1955-0071444-6.pdf I. J. Good. Conjectures concerning the Mersenne numbers. Mathematics of Computation vol. 9 (1955) p.&nbsp;120-121] [retrieved 2012-10-19]</ref>

Найменшими простими множниками <math>M_{M_{p}}</math> (де ''p'' є ''n''-им простим) є :7, 127, 2147483647, 170141183460469231731687303715884105727, 47, 338193759479, 231733529, 62914441, 2351, 1399, 295257526626031, 18287, 106937, 863, 4703, 138863, 22590223644617, … (наступний терм > 4 × 10<sup>33</sup>) ({{OEIS|id=A309130}})

== Гіпотеза про число Каталана–Мерсенна ==

[[Рекурсія|Рекурсивно]] визначена послідовність

: <math>c_0 = 2</math>
: <math>c_{n+1} = 2^{c_n}-1 = M_{c_n}</math>

називається послідовністю '''чисел Каталана-Мерсенна'''.<ref>{{MathWorld|urlname=Catalan-MersenneNumber|title=Catalan-Mersenne Number}}</ref> Першими членами послідовності є ({{OEIS|id=A007013}}):

: <math>c_0 = 2 </math>
: <math>c_1 = 2^2-1 = 3 </math>
: <math>c_2 = 2^3-1 = 7 </math>
: <math>c_3 = 2^7-1 = 127 </math>
: <math>c_4 = 2^{127}-1 = 170141183460469231731687303715884105727 </math>
: <math>c_5 = 2^{170141183460469231731687303715884105727}-1 \approx 5.454 \times 10^{51217599719369681875006054625051616349} \approx 10^{10^{37.7094}}</math>

{{Не перекладено|Ежен Шарль Каталан|3=en|4=Eugène Charles Catalan}} відкрив цю послідовність після відкриття простоти <math>M_{127}=c_4</math> [[Едуар Люка|Едуаром Люка]] у 1876.<ref name="Caldwell" /><ref>{{cite journal|year=1876|title=Questions proposées|url=https://archive.org/stream/nouvellecorresp01mansgoog#page/n353/mode/2up|journal=Nouvelle correspondance mathématique|volume=2|pages=94–96}} (probably collected by the editor). Almost all of the questions are signed by Édouard Lucas as is number 92: {{quote|Prouver que 2<sup>61</sup>&nbsp;&minus;&nbsp;1 et 2<sup>127</sup>&nbsp;&minus;&nbsp;1 sont des nombres premiers. (É. L.) (*).}} The footnote (indicated by the star) written by the editor Eugène Catalan, is as follows: {{quote|(*) Si l'on admet ces deux propositions, et si l'on observe que 2<sup>2</sup>&nbsp;&minus;&nbsp;1, 2<sup>3</sup>&nbsp;&minus;&nbsp;1, 2<sup>7</sup>&nbsp;&minus;&nbsp;1 sont aussi des nombres premiers, on a ce ''théorème empirique: Jusqu'à une certaine limite, si'' 2<sup>''n''</sup>&nbsp;&minus;&nbsp;1 ''est un nombre premier'' ''p'', 2<sup>''p''</sup>&nbsp;&minus;&nbsp;1 ''est un nombre premier'' ''p''<nowiki>'</nowiki>, 2<sup>''p''<nowiki>'</nowiki></sup>&nbsp;&minus;&nbsp;1 ''est un nombre premier'' p", etc. Cette proposition a quelque analogie avec le théorème suivant, énoncé par Fermat, et dont Euler a montré l'inexactitude: ''Si n est une puissance de 2, 2<sup>n</sup> + 1 est un nombre premier.'' (E. C.)}}</ref> Каталан [[Припущення|припустив]], що вони є простими «до певної межі». Хоча перші п'ять членів є простими, жодні відомі методи не можуть довести, що будь-які подальші члени є простими (у будь-який розумний час) просто тому, що вони занадто великі. Однак, якщо <math>c_5</math> не є простим, є шанс виявити це, обчисливши <math>c_5</math> за невеликим простим [[Модульна арифметика|модулем]] <math>p</math> (з використанням рекурсивного {{Не перекладено|піднесення до степеня по модулю|3=en|4=Modular exponentiation}}). Якщо отриманий залишок дорівнює нулю, <math>p</math> представляє дільник <math>c_5</math> і, це таким чином, спростує його простоту. Оскільки <math>c_5</math> є [[число Мерсенна|числом Мерсенна]], такий простий множник <math>p</math> мав би мати вигляд <math>2kc_4 +1</math>. Крім того, оскільки <math>2^n-1</math> є [[Складене число|складеним]], коли <math>n</math> є складеним, виявлення складеного члена в послідовності виключає можливість будь-яких інших простих чисел в послідовності.

== У масовій культурі ==
У фільмі [[Futurama]] ''[[Футурама: Звір з мільярдом спин|Звір з мільярдом спин]]'', подвійне число Мерсенна <math>M_{M_7}</math> коротко видно у «елементарному доказі [[Гіпотеза Гольдбаха|гіпотези Гольдбаха]] ». У фільмі це число відоме як «марсіанське просте».

== Див. також ==

* {{Не перекладено|Ланцюг Каннінгема|3=en|4=Cunningham chain}}
* {{Не перекладено|Подвійна експоненційна функція|3=en|4=Double exponential function}}
* [[Числа Ферма]]
* [[Досконале число]]
* [[Просте число Віферіха]]

== Примітки ==
{{reflist}}

== Джерела ==

* {{Citation|author-link=L. E. Dickson|last=Dickson|first=L. E.|title=[[History of the Theory of Numbers]]|orig-year=1919|publisher=Chelsea Publishing|location=New York|year=1971}}
* {{MathWorld|urlname=DoubleMersenneNumber|title=Double Mersenne Number}}
* Tony Forbes, [http://anthony.d.forbes.googlepages.com/mm61.htm A search for a factor of MM61].
* [https://web.archive.org/web/20141015012140/http://www.garlic.com/~wedgingt/MMPstats.txt Status of the factorization of double Mersenne numbers]
* [http://www.doublemersennes.org Double Mersennes Prime Search]
* [http://www.mersenneforum.org/forumdisplay.php?f=99 Operazione Doppi Mersennes]
{{Класи натуральних чисел}}
[[Категорія:Цілочисельні послідовності]]