Перегляд вихідного коду сторінки Подвійна серпоротонда

{| class="wikitable" bgcolor="#ffffff" cellpadding="5" align="right" width="400" style="margin-left:10px"
! colspan="2" bgcolor="#e7dcc3" |<span style="color: MediumBlue"><big><big>Подвійна серпоротонда</big></big> </span>
|-
| colspan="2" align="center" |[[Файл: Green_bilunabirotunda.svg|280x280пкс]]
|-
| bgcolor="#e7dcc3" |'''Тип'''||[[Правильногранний многогранник|Багатогранник Джонсона]] '''J<sub>91</sub>'''.
|-
| bgcolor="#e7dcc3" |'''Властивості'''||[[Опуклий політоп|Опуклий]], рівносторонній, [[Правильний многокутник|правильногранний]]
|-
| colspan="2" bgcolor="#E6E6FB" align="center" |<big>'''Комбінаторика'''</big>
|-
| bgcolor="#e7dcc3" |'''Елементи'''|| 14 граней ([4+4]{3} + 2{4} + 4{5}) <br />26 ребер<br />14 вершин: 4 вершини (3-го [[Степінь вершини (теорія графів)|степеня]]) + {8+2}(4-го)
|-
| bgcolor="#e7dcc3" |'''[[Грань (геометрія)|Грані]]'''||
4+4=8 [[Правильний трикутник|Правильних трикутників]],<br /> 2 [[Квадрат|Квадрата]],<br /> 4 [[Правильний п'ятикутник|Правильних п'ятикутників]].
|-
| bgcolor="#e7dcc3" |'''[[Характеристика Ейлера]]'''||
<math>\chi=\Gamma-\hbox{P}+\hbox{B} = 2</math>
|-
| bgcolor="#e7dcc3" |'''[[Конфігурація вершини]]'''|| 4(3.5<sup>2</sup>)<br />8(3.4.3.5) <br />2(3.5.3.5) 
|-
| bgcolor="#e7dcc3" |'''[[Вершинна фігура]]'''||4 [[Рівнобедрений трикутник|рівнобедрених трикутників]] з довжинами сторін 1, <math>\frac{1+\sqrt{5}}{2}</math> та <math>\frac{1+\sqrt{5}}{2}</math><br /> 2 [[Прямокутник|прямокутників]] з довжинами сторін 1 та <math>\frac{1+\sqrt{5}}{2}</math><br />4 [[Чотирикутник|чотирикутників]] з довжинами сторін 1, <math>\sqrt{2}</math>, 1 та <math>\frac{1+\sqrt{5}}{2}</math>
|-
| colspan="2" bgcolor="#E6E6FA" align="center" |<big>'''Класифікація'''</big>
|-
| bgcolor="#e7dcc3" |'''Позначення'''||
• J<sub>91</sub> = L<sub>2</sub><sup>2</sup>R<sub>2</sub><sup>2</sup> {{Sfn|Norman W. Johnson}}  (в нотації {{Не перекладено|Норман Джонсон (математик)|Нормана Джонсона|en|Norman Johnson (mathematician)}})<br />• M<sub>8</sub> (в нотації Залгаллера{{Sfn|Залгаллер|1967}})
|-
| bgcolor="#e7dcc3" |'''[[Список груп сферичної симетрії|Група симетрії]]'''||
{{Не перекладено|Діедральна симетрія в тривімірному просторі|D<sub>2h</sub>|en|Dihedral symmetry in three dimensions}}, [2,2], (*222), порядок 8<br />(Діедральна симетрія 2-Призми)
|-
| bgcolor="#e7dcc3" |'''[[Дуальний многогранник|Двоїстий багатогранник]]'''||
Двічі протилежно розсічений ромбододекаедр <br />([https://levskaya.github.io/polyhedronisme/?recipe=C1000dJ91 Parabisected rhombic dodecahedron])
[[Файл:Повійна серпоротонда двоїстий.png|150px|]]
|-
| bgcolor="#e7dcc3" |'''[[Розгортка]]'''|| [[Файл:Johnson solid 91 net.png|290px|]]
|}
'''Подвійна серпоротонда''' [[Англійська мова|(англ.]] '''[[:en:Bilunabirotunda|Bilunabirotunda]]''') є одним із [[Правильногранний многогранник|багатогранників Джонсона]] ({{math|''J''{{sub|91}}}} або {{math|''M''{{sub|8}}}} (за Залгаллером{{Sfn|Залгаллер|1967}}).

Багатогранник Джонсона — один із 92 строго [[Опуклий політоп|опуклих]] багатогранників, що мають [[Правильний многокутник|правильні]] грані, але не є [[Однорідний многогранник|однорідним]] (тобто він не є [[Правильний многогранник|правильним багатогранником]], [[Архімедове тіло|архімедовим тілом]], [[Призма (математика)|призмою]] або [[Антипризма|антипризмою]]). [[Правильногранний многогранник|Правильногранні багатогранники]] названі ім'ям {{Не перекладено|Норман Джонсон (математик)|Нормана Джонсона|en|Norman Johnson (mathematician)}}, який першим перелічив їх в 1966 р. {{Sfn|Norman W. Johnson}}

Подвійна серпоротонда складена з 14 [[Грань (геометрія)|граней]]: 4+4 = 8 [[Правильний трикутник|правильних трикутників]], 2 [[Квадрат|квадратів]] і 4 [[Правильний п'ятикутник|правильних п'ятикутників]]. 

Кожна п'ятикутна грань оточена п'ятикутною та чотирма трикутними; кожна квадратна — чотирма трикутними; кожна трикутна — двома п'ятикутними та квадратною.

Має 26 [[Ребро (геометрія)|ребер]] однакової довжини.

2 ребра розташовані між двома п'ятикутними гранями, 16 ребер — між п'ятикутною і трикутною гранями, 12 ребер — між квадратною і трикутною гранями.

У подвійної серпоротонди 14 [[Вершина (геометрія)|вершин]]: 4 вершини оточені двома [[П'ятикутник|п'ятикутними]] і однією [[Трикутник|трикутною]] гранями;  2 вершини оточені двома п'ятикутними та двома трикутними гранями; 8 вершин оточені двома трикутними, квадратною та п'ятикутною гранями.
[[Файл:Подвійна серпоротонда.png|ліворуч|міні|Подвійна серпоротонда|312x312пкс]]
Подвійна серпоротонда має три осі поворотної симетрії 2-го порядку; а також три площини дзеркальної симетрії.

[[Вісь симетрії|Осі симетрії]] проходять через:

- центри квадратних граней;

- середини ребер, що сполучають дві п'ятикутні грані;

- вершини (3.5.3.5), що оточені двома трикутними та двома п'ятикутними гранями.

Подвійна серпоротонда має [[Центральна симетрія|центр симетрії]].

Подвійна серпоротонда є одним з елементарних багатогранників Джонсона.{{Sfn|Norman W. Johnson}}{{rp|Стор.174}}

[[Опуклий політоп|Опуклий многогранник]] з [[Правильний многокутник|правильними]] гранями є елементарним, якщо його неможливо розділити площиною на два менших опуклих багатогранників з правильними гранями.

Тобто цей багатогранник не утворений шляхом поєднання інших елементарних багатогранників між собою, чи з призмами, антипризмами, або нарощенням на гранях [[Правильний многогранник|тіл Платона]] чи [[Архімедове тіло|Архімеда]] інших [[Многогранник|багатогранників]]. 

При відсутності умовних ребер (окрім призм та антипризм) всього існує 28 елементарних багатогранників з правильними гранями.<ref>{{citation
|last1=Погорелов |first1=А.В. (відп.ред.)
|last2=Иванов |first2=Б.А. (автор статті). 
|title=Украинский геометрический сборник
|url=http://geometry.karazin.ua/resources/articles/33b12912121e21e4569a687160e153b0.pdf
|volume=10
|сторінка=21
|publisher=Издательство Харьковского национального университета
|year=1971|language=<sub>r</sub>u}}</ref>{{rp|стор.21}}

=== '''Назва''' ===
{{Не перекладено|Норман Джонсон (математик)|Норман Джонсон|en|Norman Johnson (mathematician)}} визначає  комплекс граней трикутник — квадрат — трикутник (трикутники приєднані до протилежних сторін квадрата) назвою "lune" ("місяць", серпоподібний), а комплекс граней, що оточують вершину типу (3.5.3.5): трикутник-п'ятикутник-трикутник-п'ятикутник — назвою "rotunda".{{Sfn|Norman W. Johnson||с=175}}{{rp|Стор.175}}

Цей багатогранник складається з двох "серпів" та двох "ротонд", звідси й назва bi-luna-bi-rotunda.

== Геометрія ==

* Подвійну серпоротонду можна розділити на частини: прямокутний [[паралелепіпед]] (чи квадратну пряму призму), два скошених прямих клина, та дві прямих піраміди з прямокутною основою.

* Подвійну серпоротонду можна розділити на дві рівновеликі частини будь-якою [[Площина|площиною]], що проходить через центр багатогранника. 

Подвійна серпоротонда має зв'язок з [[Архімедове тіло|багатогранниками Архімеда]]: [[Ікосододекаедр|ікосододекаедром]] та [[Ромбоікосододекаедр|ромбоікосододекаедром]].

* Коплекс граней  "ротонда" (трикутник-п'ятикутник-трикутник-п'ятикутник) присутній також в ікосододекаедрі, та [[П'ятисхила ротонда|п'ятисхилій ротонді]] ([[Правильногранний многогранник|багатогранник Джонсона]] {{math|''J''{{sub|6}}}}), яка є половиною ікосододекаедра.

Дві подвійні серпоротонди можна вписати в ікосододекаедр з тією ж довжиною ребра, сумістивши названі чотиригранні комплекси з аналогічними протилежними один одному комплексами граней на ікосододекаедрі. При цьому дві вершини подвійних серпоротонд зустрінуться в центрі ікосододекаедра.

* Комплекс греней "місяць" ("lune" — трикутник - квадрат - трикутник) присутній також в ромбоікосододекаедрі.

Якщо дві подвійні серпоротонди сумістити цими комплексами граней з  аналогічними протилежними один одному комплексами граней на ромбоікосододекаедрі, то між подвійними серпоротондами в самому центрі ромбоікосододекаедра можна помістити куб.

* Кожна з двох пар суміжних п’ятикутників (кожна пара п’ятикутників має спільне ребро) також може бути суміщена з п’ятикутними гранями {{Не перекладено|Двічі косо відсічений ікосаедр|двічі косо відсіченого ікосаедра|en|Metabidiminished icosahedron}}, [[Правильногранний многогранник|багатогранника Джонсона]] {{math|''J''{{sub|62}}}}. 

* Подвійна серпоротонда має слабкий зв'язок з [[Кубооктаедр|кубооктаедром]], оскільки вона може бути створена шляхом заміни чотирьох [[Квадрат|квадратних]] граней кубоктаедра на [[Правильний п'ятикутник|п'ятикутники]]. Тобто, якщо два ребра подвійної серпоротонди, що сполучають п'ятикутні грані, стягнути до точок, перетворюючи п’ятикутники на квадрати, результатом буде кубоктаедр.

== Формули ==
=== Діагоналі ===
Кількість [[Діагональ|діагоналей]] [[Опуклий політоп|опуклого багатогранника]]: <math>\binom{B}{2} - P</math>, 

де В — кількість вершин, Р — кількість ребер багатогранника. 



Для подвійної серпоротонди:

<math>\binom{14}{2} - 26 = \frac{14}{2} \cdot \frac{13}{1} -26= 91-26 = 65</math> діагоналей (24 граневих та 41 просторова).
{| border="2"
|----
! colspan="4" style="background:#C0C0FF" |<big>Діагоналі подвійної серпоротонди з довжиною ребра <math>a</math></big>
|-
| rowspan="8" class="hintergrundfarbe5" |[[Файл:Діагоналі подвійної серпоротонди.png|безрамки|338x338пкс]]
| rowspan="2" |'''Граневі діагоналі'''
|<math>AB=\sqrt{2} \cdot a</math> 
|'''≈ 1.4142135 <math>\cdot a</math>'''
|-
|<math>BC=\frac{1+\sqrt{5}}{2} \cdot a</math>
|'''≈ 1.618033988 <math>\cdot a</math>'''
|-
| rowspan="6" |'''Просторові діагоналі'''
|<math>BD=DN =\frac{1+\sqrt{5}}{2} \cdot a</math>
|'''≈ 1.618033988 <math>\cdot a</math>'''
|-
|<math>AE=BE = KE = \sqrt{\frac{5+\sqrt{5}}{2}}  \cdot a</math>
|'''≈ 1.902113032 <math>\cdot a</math>'''
|-
|<math>BF = \sqrt{\frac{7+\sqrt{5}}{2}}  \cdot a</math>
|'''≈ 2.148961141 <math>\cdot a</math>'''
|-
|<math>BL=\sqrt{3+\sqrt{5}}\cdot a</math>
|'''≈ 2.288245611 <math>\cdot a</math>'''
|-
|<math>KL=\frac{3+\sqrt{5}}{2} \cdot a</math>
|'''≈ 2.618033988 <math>\cdot a</math>'''
|-
|<math>KM = \sqrt{\frac{3(3+\sqrt{5})}{2}}  \cdot a</math>
|'''≈ 2.802517076 <math>\cdot a</math>'''
|}

=== Метричні характеристики ===
{|border="2"
! colspan="3" bgcolor="#c0c0ff" |<big>Для подвійної серпоротонди з довжиною ребра  <math>a</math>:</big>
|-
| bgcolor="#DC DC DC" |'''[[Вписана сфера|Вписаної]], [[Описана сфера|описаної]] та [[Напіввписана сфера|напіввписаної]] сфер''' 
'''подвійна серпоротонда не має'''
|-
| bgcolor="#ececec" |'''Висота <big>H<sub>1</sub></big>'''<br />(Відстань між паралельними квадратними гранями)
|<math>H_1 = \left ( 1+2\cdot\frac{\sqrt{5}-1}{4} \right ) \cdot a = \frac {1+\sqrt{5}}{2} \cdot a </math>
|'''≈ 1.618033988 <math>\cdot a</math>'''
|-
| bgcolor="#ececec" |'''Висота <big>H<sub>2</sub></big>'''<br />(Відстань між протилежними вершинами 3.5.3.5 ,<br />що оточені двома трикутними та двома п'ятикутними гранями)
|<math>H_2 = \left ( 1+2\cdot\frac{\sqrt{5}-1}{4} \right ) \cdot a = \frac {1+\sqrt{5}}{2} \cdot a </math>
|'''≈ 1.618033988 <math>\cdot a</math>'''
|-
| bgcolor="#ececec" |'''Висота <big>H<sub>3</sub></big>'''<br />(Відстань між ребрами, що з'єднують п'ятикутні грані)
|<math>H_3 = \left ( 1+2\cdot\frac{\sqrt{5}+1}{4} \right ) \cdot a = \frac {3+\sqrt{5}}{2} \cdot a </math>
|'''≈ 2.618033988 <math>\cdot a</math>'''
|-
| bgcolor="#ececec" |'''[[Площа поверхні]]'''
|<math>S =  \left ( 2+ 2\sqrt{3}+\sqrt{25+10\sqrt{5}}\right )  \cdot a^2 </math>
|'''≈ 12.3460112 <math>\cdot a^2</math>'''
|-
| bgcolor="#ececec" |'''[[Об'єм]]'''
|<math>V = \frac{17+9\sqrt{5}}{12} \cdot a^3</math>
|'''≈ 3.09371765 <math>\cdot a^3</math>'''
|}

=== Кути ===
Плоскі кути граней при вершині: 60°, 90°, 108°.
{| border="2"
! colspan="3" style="background:#c0c0ff" |<big>Кути багатогранника</big>
|-
|style="background:#ececec" width="300"|'''[[Двогранний кут]] між гранями {3} та {4}'''<br />'''в комплексі граней "місяць"'''
|<math> \alpha= \arccos \left ( -\frac{\sqrt{15}+\sqrt{3}}{6}  \right ) </math>
|'''≈ 2.7767288 [[Радіан|рад]]''' <br/> '''≈ 159°5′ 41.43318′′ '''
|-
|style="background:#ececec" |'''[[Двогранний кут]] між гранями {3} та {5} <br /> в комплексі граней "ротонда"'''
|<math> \beta= \arccos \left ( - \sqrt{\frac{5+2\sqrt{5}}{15}} \right ) 
= \frac{\pi}{2} + \arctan \left ( \frac{\varphi+1}{2} \right )     </math>
|'''≈ 2.4892345 [[Радіан|рад]]''' <br/> '''≈ 142°37′21.47469′′ '''
|-
|style="background:#ececec" |'''[[Двогранний кут]] між гранями {3} та {4}'''<br />'''стик "місяця" та "ротонди"''' 
|<math> \gamma= \arccos \left ( -\frac{\sqrt{15}-\sqrt{3}}{6}  \right ) </math>
|'''≈ 1.9356601 [[Радіан|рад]]''' <br/> '''≈ 110°54′ 18.56681′′ '''
|-
|style="background:#ececec" |'''[[Двогранний кут]] між гранями {3} та {5}<br />стик "місяця" та "ротонди"''' 
|<math> \delta= \arccos \left ( - \sqrt{\frac{5-2\sqrt{5}}{15}} \right ) 
= \frac{\pi}{2} + \arctan \left ( \frac{2- \varphi}{2} \right )       </math>
|'''≈ 1.7595068 [[Радіан|рад]]''' <br/> '''≈ 100°48′44.34107′′ '''
|-
|style="background:#ececec" |'''[[Двогранний кут]] між гранями {5} та {5}'''
|<math> \theta= \arccos \left ( \frac{\sqrt{5}}{5}\right ) = 2\cdot \arctan \left ( \frac{1}{\varphi} \right ) </math>
|'''≈ 1.1071487 [[Радіан|рад]]''' <br/> '''≈ 63°26′ 5.81576′′ '''
|-
|style="background:#ececec" |'''[[Тілесний кут]] при вершині 3.5.3.5'''
|<math> \Omega_1 = \pi+\arccos \left( \frac{3+16\sqrt{5}}{45} \right) 
= 4 \arcsin \left( \sqrt{\frac{5+2\sqrt{5}}{15}} \right) = </math><br/> <math> = 8 \cdot \arctan \left(\sqrt{5}-3+ \sqrt{15-6\sqrt{5}} \right) </math>
|<math> \Omega_1  </math>'''≈ 3.6737527 [[Стерадіан|ср]]'''
|-
|style="background:#ececec" |'''[[Тілесний кут]] при вершині 3.5.5'''
|<math> \Omega_2 = 4 \arctan \left( \frac{1}{2} \left ( 9-5\sqrt{3}-5\sqrt{5} +3\sqrt{15}\right ) \right) </math>
|<math> \Omega_2 </math> '''≈ 1.4845698 [[Стерадіан|ср]]'''
|-
|style="background:#ececec" |'''[[Сферичність]]'''
|<math> \Psi =  \frac{\sqrt [3] {\frac{\pi}{2} \cdot(347+153\sqrt{5}) }} {2+2\sqrt{3}+\sqrt{25+10\sqrt{5}}} </math>
|<math> \Psi\thickapprox 0.8316576 </math>
|}

== Координати вершин ==
[[Декартова система координат|Декартові координати]] [[Вершина (геометрія)|вершин]] подвійної серпоротонди з довжиною ребра a = 1:<ref>{{Cite web|title=Bilunabirotunda|url=https://polytope.miraheze.org/wiki/Bilunabirotunda|website=Polytope Wiki|date=|language=en}}</ref>

* <math>\left ( \frac{1}{2},0, \pm \frac{3+\sqrt{5}}{4} \right )</math>, <math>\left ( -\frac{1}{2},0, \pm \frac{3+\sqrt{5}}{4} \right )</math> — ці координати задають вершини двох ребер, що з'єднують п'ятикутні грані.
* <math>\left ( \frac{1+\sqrt{5}}{4}, \frac{1}{2}, \pm \frac{1}{2}   \right )</math>, <math>\left (\frac{1+\sqrt{5}}{4}, -\frac{1}{2},\pm\frac{1}{2}  \right )</math>, <math>\left ( -\frac{1+\sqrt{5}}{4}, \frac{1}{2}, \pm \frac{1}{2}   \right )</math>, <math>\left ( -\frac{1+\sqrt{5}}{4},- \frac{1}{2}, \pm \frac{1}{2}   \right )</math> — ці координати задають вершини, що формують квадратні грані.
* <math>\left(0,\,\pm\frac{1+\sqrt5}{4},\,0\right)</math> — ці координати задають вершини 3.5.3.5.

При цьому [[Вісь симетрії|осі симетрії]] подвійної серпоротонди збігаються з осями координат ''Ox'', ''Oy'' та ''Oz'', а [[Операція симетрії|площини симетрії]] подвійної серпоротонди збігаються з площинами координат ''xOy'', ''xOz'' й ''yOz''. Центр багатогранника знаходиться в [[Початок координат|початку координат]].

== Двоїстий багатогранник ==
Подвійна серпоротонда не має канонічно-[[Дуальний многогранник|двоїстого]] багатогранника ([[Напіввписана сфера|середньовписані сфери]] обох багатогранників співпадають). 

Її топологічно-двоїстий може бути побудований лише загальним чином (кожній грані початкового багатогранника відповідає вершина двоїстого, кожній вершині початкового — грань двоїстого, з дотриманням [[Симетрія|симетрії]] початкового багатогранника), а тому форми та розміри двоїстого багатогранника до початкової подвійної серпоротонди можуть різнитися. 

Двоїстий до подвійної серпоротонди, двічі протилежно розсічений [[ромбододекаедр]] ([https://polytope.miraheze.org/wiki/Bilunabirotunda Parabisected rhombic dodecahedron], [https://levskaya.github.io/polyhedronisme/?recipe=C1000dJ91 dJ91]),  

має 14 [[Грань (геометрія)|граней]]: 2 [[Ромб|ромби]], 4 [[Рівнобедрений трикутник|рівнобедрених трикутників]], 8 [[Чотирикутник|чотирикутників]]; 26 ребер, 14 вершин. 
{| class="wikitable" width="320"
|- valign="top"
!Двоїстий багатогранник
!Поєднання подвійної серпоротонди та її двоїстого
|- valign="top"
|[[Файл:Повійна серпоротонда двоїстий.png|безрамки|258x258пкс]]
|[[Файл:Подвійна серпоротонда-двоїстий поєднання.png|286x286пкс]]
|}

== Стільники ==
Навколо [[Куб|куба]] з піритоедричною симетрією можна розмістити шість подвійних серпоротонд. Бонні Стюарт позначив цю модель шести подвійних серпоротонд як 6J<sub>91</sub>(P<sub>4</sub>).<ref>{{Cite book
|title=Adventures Among the Toroids: A Study of Quasi-Convex, Aplanar, Tunneled Orientable Polyhedra of Positive Genus Having Regular Faces With Disjoint Interiors
|last=B. M. Stewart
|year=1980
|pages=127
|language=англ.
|isbn=978-0686119364
}} 6J<sub>91</sub>(P<sub>4</sub>) </ref>

Подвійна серпоротонда у комбінації з деякими багатогранниками утворює [[Стільник (геометрія)|стільник]], яким можна заповнити простір.

Заповнити [[Простір|трьохвимірний простір]] без проміжків та накладень можна за допомогою: подвійних серпоротонд, [[Правильний додекаедр|додекаедрів]] та [[Куб|кубів]].<ref>{{Cite web|title=Miracle Spacefilling|url=http://woodenpolyhedra.web.fc2.com/miracle.html|website=woodenpolyhedra.web.fc2.com}}</ref>
{| class="wikitable"
|- align="center" valign="top"
|[[File:J91.jpg|170px]]
|[[File:Honeycomb of regular dodecahedra-cubes-J91.png|200px]]<br />Заповнення простору подвійними серпоротондами, додекаедрами та кубами
|[[Файл:3D_space_tessellation_of_cubes_and_dodecahedra.ogg|безрамки]]<br />12 серпоротонд навколо додекаедра
Анімація заповнення простору
|[[File:Bilunabirotunda augmented cube.png|200px]]<br />6 подвійних серпоротонд навколо куба
|}



== Примітки ==
{{Reflist|2}}

== Література ==
* {{Стаття
|автор = {{не переведено 5|Норман Джонсон|Norman W. Johnson||Norman Johnson (mathematician)}}.
|ref = Norman W. Johnson
|заголовок = Convex Solids with Regular Faces
|рік = 1966
|том=18
|сторінки = 169—200
|issn=0008-414X
|doi=10.4153/CJM-1966-021-8
|Zbl=0132.14603
|журнал=Canadian Journal of Mathematics
|видання посилання=https://cms.math.ca/publications/cjm/
|мова=англ.}} (Містить оригінальне перерахування 92 тіл і гіпотезу, що інших немає.)
* {{Книга
|автор = Залгаллер&nbsp;В.&nbsp;А.
|ref = Залгаллер
|заголовок = Выпуклые многогранники с правильными гранями
|рік = 1967
|серія = Зап. научн. сем. ЛОМИ
|посилання = http://mi.mathnet.ru/znsl1408
|місце = М.—Л.
|видавництво = Наука
|том = 2
|тираж = 
|сторінок = 221 (<sub>r</sub>usian)
|ISBN = 
}} (Перший доказ, що існує тільки 92 тіл Джонсона.)

== Посилання ==

* {{MathWorld|urlname=Bilunabirotunda|title=Подвійна серпоротонда}}
* {{Polytope Wiki|urlname=Bilunabirotunda|title=Bilunabirotunda}}
* McCooey, David.[http://dmccooey.com/polyhedra/Bilunabirotunda.html Bilunabirotunda]
* Klitzing, Richard. [https://bendwavy.org/klitzing/incmats/bilbiro.htm "bilbiro"].
* Quickfur. [https://www.qfbox.info/4d/J91 "The Bilunabirotunda"]


{{Багатогранники}}
[[Категорія:Многогранники Джонсона]]