Перегляд вихідного коду сторінки Поверхня обертання

[[Файл:DoubleCone.png|thumb|250px|right|Прямий конус отримується при обертанні прямої]]
[[Файл:Ruled hyperboloid.jpg|thumb|250 px|[[гіперболоїд|Однопорожнинний гіперболоїд]]]]
'''Пове́рхня оберта́ння'''&nbsp;— [[поверхня]], утворена при обертанні навколо прямої (осі обертання) довільної лінії (твірної). Наприклад, якщо обертати пряму, що перетинає [[вісь обертання]], то при її обертанні отримуємо [[конічна поверхня|колову конічну поверхню]], якщо пряма паралельна до осі обертання, то [[циліндрична поверхня|колову циліндричну]], якщо схрещується з віссю&nbsp;— [[гіперболоїд|однопорожнинний гіперболоїд]]. Одна й та сама поверхня може бути отримана обертанням різних кривих.

Поверхні обертання є об'єктом вивчення в [[математичний аналіз | математичному аналізі]], [[диференціальна геометрія | диференціальній]], [[аналітична геометрія | аналітичній]] і [[нарисна геометрія | нарисній]] геометрії<ref name=SGAU1>{{Cite web |url=http://www.ssau.ru/resources/sotrudniki/other/3/lection9/ |title=СГАУ «Курс лекций по начертательной геометрии» Губанов А. Н. под руководством Чемпинского Л. А. |accessdate=15 травня 2013 |archiveurl=https://web.archive.org/web/20121215133354/http://ssau.ru/resources/sotrudniki/other/3/lection9/ |archivedate=15 грудня 2012 |deadurl=yes }}</ref>.

== Приклади ==
* [[Сфера]]&nbsp;— отримується обертанням кола навколо осі, що розташована в тій самій площині та проходить через центр сфери.
* [[Тор (геометрія)|Тор]]&nbsp;— отримується обертанням кола навколо осі, яка його не перетинає та лежить в тій самій площині.
* [[Еліпсоїд обертання]]&nbsp;— отримується обертанням [[еліпс]]а навколо однієї з його осей.
* Параболоїд обертання&nbsp;— [[параболоїд | еліптичний параболоїд]], отриманий обертанням [[парабола | параболи]] навколо своєї осі.
* [[Конус]] прямий круговий&nbsp;— отримується обертанням прямої навколо іншої прямої (осі), що перетинає першу.
* Кругова [[циліндрична поверхня]]&nbsp;— утворюється обертанням прямої, паралельної до осі обертання.
* [[Катеноїд]]&nbsp;— поверхня, утворена обертанням [[ланцюгова лінія | ланцюгової лінії]] <math>y=a\,\operatorname{ch}\,\frac{x}{a}</math> навколо осі <math>OX</math>.

== Площа ==
[[Площа поверхні]] обертання, яка утворюється обертанням плоскої кривої скінченної довжини навколо осі, що лежить в площині кривої, але не перетинає криву, дорівнює добутку [[Довжина кривої|довжини кривої]] на довжину кола з радіусом, рівним відстані від осі до [[центр мас | центру мас]] кривої. Це твердження називається [[Теореми Паппа — Гульдина#Друга теорема|другою теоремою Гюльдена]], або теоремою Паппа про центроїди.

Наприклад, для [[Тор (геометрія)|тора]] з радіусами <math> r, R \, </math>, площа поверхні дорівнює
: <math>S=(2\pi r)\cdot(2\pi R) = 4\pi^2 r R</math>.

[[Площа поверхні]] обертання, яка утворена обертанням явно заданої кривої <math>y=f(x),\ a\leqslant x \leqslant b</math>, навколо осі <math>0x\,</math>, обчислюється за формулою

: <math>S=2\pi\int\limits_a^b f(x) \sqrt{1+\left(f'(x)\right)^2}dx</math>

[[Площа поверхні]] обертання, яка утворена обертанням кривої, заданої параметрично <math>x=x(t),\ y=y(t),\ \alpha\leqslant t \leqslant\beta</math>, навколо осі <math>0x\,</math>, буде

: <math>S=2\pi\int\limits_\alpha^\beta y(t) \sqrt{\left(x'(t)\right)^2+\left(y'(t)\right)^2}dt</math>

Для випадку, коли крива задається в [[Полярна система координат | полярній системі координат]] рівнянням <math>r=\rho(\varphi),\ \alpha\leqslant \varphi \leqslant\beta</math>, використовують формулу

: <math>S=2\pi\int\limits_\alpha^\beta \rho(\varphi) \left|\sin\varphi\right| \sqrt{\left(\rho(\varphi)\right)^2+\left(\rho'(\varphi)\right)^2}d\varphi</math>

=== Приклад обчислення площі сфери ===

;Для параметричного рівняння
Обчислимо [[Площа|площу]] [[сфера|сфери]], яка обмежує кулю з [[радіус]]ом <math>R</math>. Сфера утворюється в результаті обертання півкола навколо осі <math> 0x \, </math>.

Параметричне рівняння півкола на площині наступне: <math>\left\{
  \begin{array}{ll}
    x(t)=R\sin t   \\
    y(t)=R\cos t
  \end{array}
\right. ,\,
</math> коли <math>t\in [0,\pi]</math>. 

Тоді <math> x\,'(t)=R\cos t, \   y\,'(t)=R\sin t\,
</math>. 

Обчислюємо площу за формулою <math> S= 2 \pi \int_0^\pi R\sin(t) \sqrt{\left(R\cos(t)\right)^2 + \left(R\sin(t)\right)^2} \, dt = 2 \pi R^2\int_0^\pi \sin(t) \, dt = 4\pi R^2.</math>

;Для явного рівняння
Обчислимо за іншою формулою. Якщо півколо задається явним рівнянням <math>y(x) = \sqrt{R^2 - x^2}</math>, то 
<math>y\,'(t)=\frac{-x}{\sqrt{R^2 - x^2}}\,
</math>. Тоді площа
<math>
S=2 \pi \int_{-R}^{R} \sqrt{R^2 - x^2}\,\sqrt{1+\frac{x^2}{R^2 - x^2}}\,dx 
= 2 \pi \int_{-R}^{R} \sqrt{R^2 - x^2 + {x^2}}\,dx 
= 2 \pi \int_{-R}^{R} R\,dx 
= 4 \pi R^2 \,
</math>

Таким чином, площа поверхні сфери буде <math>4 \pi R^2 \,</math>.

== Мінімальна поверхня обертання ==
[[Мінімальна поверхня обертання]]&nbsp;— це поверхня утворена обертанням відрізка кривої, яка з'єднує дві точки на площині та така, що [[Оптимізація (математика)| мінімізує]] [[площа|площу]].<ref name="Mathworld: Minimal Surface of Revolution">{{cite web | url=http://mathworld.wolfram.com/MinimalSurfaceofRevolution.html | title=Minimal Surface of Revolution | last=Weisstein | first=Eric W. | authorlink=Eric W. Weisstein | work=[[Mathworld]] | publisher=[[Wolfram Research]] | accessdate=2012-08-29}}</ref> Приклад розв'язання цієї задачі [[Варіаційне числення|варіаційного обчислення]] та приклад обчислення площі [[Катеноїд|катеноїда]], можна знайти на сайті [[MathWorld]].<ref name="Mathworld: Minimal Surface of Revolution"/>

== Об'єм ==
[[Об'єм]], обмежений поверхнею обертання, яка утворена обертанням плоскої замкненої без самоперетинів кривої навколо осі, що лежить в площині кривої, але не перетинає криву, дорівнює добутку площі плоскої фігури, обмеженої кривою, на довжину кола з радіусом, рівним віддалі від осі до центра ваги плоскої фігури.

[[Об'єм]] поверхні обертання, утвореної обертанням кривої <math>y=f(x),\ a\leqslant  x \leqslant  b</math> навколо осі <math> 0x \, </math> обчислюється за формулою

: <math>V=\pi\int\limits_a^b f^2(x)\, dx</math>

{{Hider|
  title = Доведення. |
  hidden =1 |
  content =
Відомо, що коли задана функція <math>S(x), \ (a\leqslant  x \leqslant  b)</math>, яка дорівнює площі поперечного перетину тіла площиною, перпендикулярною до осі <math> 0x \, </math>, тоді [[об'єм]] обчислюється за формулою <math>V=\int\limits_a^b S(x)\, dx</math>. Для поверхні обертання поперечним перетином буде коло радіуса <math>f(x)</math>. Відповідно, площа кола буде <math>S(x)=\pi f^2(x)</math>. <math>V=\int\limits_a^b \pi f^2(x)\, dx=\pi\int\limits_a^b f^2(x)\, dx\,</math>.
 |
  title-style = color: black;  font-weight: bold; text-align: left;| 
  content-style = color: black;  text-align: left; |
}}

== Див. також ==
{{Портал|Математика}}
* [[Лінійчата поверхня]]
* [[Мінімальна поверхня]]
* [[Мінімальна поверхня обертання]]
* [[Поверхня Ліувілля]], узагальнення поверхонь обертання
* [[Тіла обертання]]
* [[Фігури обертання]]

== Примітки ==
{{примітки}}

== Література ==
* {{Фіхтенгольц.укр}}
* {{Клепко_ВМ|частина=Поверхні обертання|сторінки=158-159}}
* {{MathWorld|urlname=SurfaceofRevolution}}

{{Категорія:Поверхні}}