Перегляд вихідного коду сторінки Площина Фано

[[Файл:Fano plane.svg|thumb|Площина Фано]]
[[Файл:Fano plane Hasse diagram.svg|thumb|[[Двоїстість (проєктивна геометрія)|Дуальність]] площини Фано: Кожна точка відповідає прямій та навпаки.]]
В [[Скінченна геометрія|скінченній геометрії]], '''площина Фано''' (від імені італійського математика [[Джино Фано]])&nbsp;— це [[Проєктивна площина|скінченна проєктивна площина]] 2-го порядку, яка має найменшу можливу кількість точок та прямих&nbsp;— всього 7 точок і 7 прямих: кожна пряма проходить через три точки і через кожну точку проходить три прямі. Стандартне позначення для цієї площини, як для представника [[Проєктивний простір|проєктивного простору]], є {{math|PG(2,2)}}, де скорочення {{math|PG}} означає {{lang-en|[[Проєктивна геометрія|Projective Geometry]]}}, перший параметр&nbsp;— геометрична розмірність, другий&nbsp;— порядок.

== Однорідні координати ==
Площину Фано можна побудувати методами [[Лінійна алгебра|лінійної алгебри]], як проєктивну площину над [[Поле Галуа|скінченним полем]] з двома елементами. Можна так само побудувати проєктивні площини над будь-яким іншим скінченним полем, але площина Фано буде найменшою.

Використовуючи стандартну побудову проєктивних просторів за допомогою [[Однорідні координати|однорідних координат]], сім точок площини Фано можна помітити сімома ненульовими трійками двійкових цифр 001, 010, 011, 100, 101, 110 і 111. Для будь-якої пари точок ''p'' і ''q'' третя точка на прямій ''pq'' має мітку, що виходить з міток ''p'' і ''q'' додаванням по [[Модульна арифметика|модулю]] 2. Іншими словами, точки площини Фано відповідають ненульовим точкам скінченного [[Векторний простір|векторного простору]] розмірності 3 над скінченним полем 2-го порядку.

Згідно з цією побудовою площина Фано вважається дезарговою, хоча площина занадто мала, щоб містити невироджену [[Конфігурація Дезарга|конфігурацію Дезарга]] (яка має 10 точок і 10 прямих).

Прямим площини Фано можна також приписати однорідні координати, знову використовуючи ненульові трійки двійкових цифр. У цій системі точка [[Інцидентність (геометрія)|інцидентна]] прямій, якщо координати точки і координати прямої мають парне число позицій, в яких обидві координати є ненульовими бітами. Наприклад, точка 101 належить прямій 111, оскільки і пряма, і точка мають ненульові біти в двох однакових позиціях. В термінах лінійної алгебри, точка належить прямій, якщо [[Скалярний добуток|внутрішній добуток]] векторів, що представляють точку і пряму, дорівнює нулю.

Прямі можна розділити на три типи:
* На три прямі, у яких двійкові коди для точок мають 0 у фіксованій позиції. Так, на прямій 100 (що містить точки 001, 010 і 011) всі точки мають 0 в першій позиції. Прямі 010 і 001 мають ту ж властивість.
* На три прямі, у яких двійковий код точки має одне і те саме значення в двох фіксованих позиціях. Так, на прямій 110 (що містить точки 001, 110 і 111) значення першої і другої позицій (координат) точок завжди одинакові. Прямі 101 і 011 мають аналогічну властивість.
* На прямій, що залишилася, 111 (що містить точки 011, 101 і 110) кожен код має в точності два ненульових біта.

== Симетрії ==
[[Файл:Walsh permutation 136 Fano red.svg|thumb|Колінеації площини Фано відповідають перестановкам 3-бітного [[Код Грея|кода Грея]]]]
Перестановки семи точок площини Фано, які зберігають інцидентність точок (прямої), тобто коли точка, що лежить на прямій, виявляється на тій самій прямій, називається «колінеацією», «[[автоморфізм]]ом» або «[[Симетрія|симетрією]]» площини. Повною групою колінеації (чи групою автоморфізмів, або [[Групи симетрії|групою симетрії]]) є [[Проєктивна група|проєктивна лінійна група]] PGL(3,2)<ref>Насправді це група PΓL(3,2), але скінченне поле 2-го порядку не має тотожного автоморфізму, тому група перетворюється на PGL(3,2).</ref>, яка в даному випадку ізоморфна проєктивній спеціальній лінійній групі [[PSL(2,7)]] = PSL(3,2) і [[Загальна лінійна група|загальній лінійній групі]] GL(3,2) (яка дорівнює PGL(3,2), оскільки поле має тільки один ненульовий елемент). Група складається зі 168 різних перестановок.

Група автоморфізмів складається з 6 [[Клас спряженості|класів спряженості]].<br/>
Усі {{Нп|Цикли і зафіксовані точки|циклічні структури||Cycles and fixed points}}, за винятком циклу довжиною 7, однозначно визначають клас спряженості:
* [[Файл:Walsh permutation 124 Fano.svg|40px]] Тотожна перестановка
* [[Файл:Fanoperm421.svg|40px]] 21 перестановка двох [[Цикл (математика)|2-циклів]]
* [[Файл:Fanoperm621.svg|40px]] 42 перестановки 4-циклів і 2-циклів
* [[Файл:Fanoperm521.svg|40px]] 56 перестановок 3-циклів
48 перестановок з повним циклом довжини 7 утворюють два класи спряженності по 24 елементи в кожному:
* [[Файл:Fanoperm713.svg|40px]] ''A'' переходить в ''B'', ''B'' в ''C'', ''C'' в ''D''. В цьому випадку ''D'' лежить на одній прямій з ''A'' і ''B''.
* [[Файл:Walsh permutation 751 Fano red.svg|40px]] ''A'' переходить в ''B'', ''B'' в ''C'', ''C'' в ''D''. В цьому випадку ''D'' лежить на одній прямій з ''A'' і ''C''.

Внаслідок [[Теорема Редфілда — Пойа|теореми Редфілда&nbsp;— Поя]] число нееквівалентних розмальовок площини Фано в ''n'' кольорів дорівнює:
: <math>{1 \over 168}\left(n^7 + 21 n^5 + 98 n^3 + 48 n\right).</math>

== Конфігурації ==
{{Докладніше|Конфігурація (геометрія)}}
Площина Фано містить такі різні [[Конфігурація (геометрія)|конфігурації]] точок та [[Конфігурація прямих|прямих]]. Для кожного виду конфігурації число копій конфігурації, помножене на число симетрій площини, за якою конфігурація зберігається, дорівнює 168, розміру усієї групи симетрій.
* Існує 7 точок і 24 симетрії, що зберігають ці точки.
* Існує 7 прямих і 24 симетрії, що зберігають ці прямі.
* Існує 7 варіантів вибору [[чотирикутник]]а з чотирьох (невпорядкованих) точок, ніякі три з яких не лежать на одній прямій і 24 симетрії, які зберігають такий чотирикутник. Ці чотири точки утворюють доповнення прямої, яка є ''діагоналлю'' чотирикутника.
* Існує 21 [[Невпорядкована пара|невпорядкована пара]] точок, кожна з яких може бути переведена симетрією в будь-яку іншу невпорядковану пару. Для кожної невпорядкованої пари існує 8 симетрій, що зберігають її.
* Існує 21 [[Прапор (геометрія)|прапор]], що складається з прямої та точки на ній. Кожен прапор відповідає невпорядкованій парі інших точок, що лежать на тій самій прямій. Для кожного прапора існує 8 різних симетрій, що зберігають його.
* Існує 28 [[трикутник]]ів, які [[Бієкція|взаємно однозначно]] відповідають 28 {{Нп|Подвійні дотичні квартики|подвійним дотичним квартикам||bitangents of a quartic}} {{sfn|Manivel|2006|с=457–486 }}. Для кожного трикутника існує шість симетрій, що зберігають його, по одному для кожної перестановки точок усередині трикутника.
* Існує 28 способів вибору точки та прямої, не інцидентних одна одній (''антипрапор'') і шість способів перестановки площини Фано, що зберігають антипрапор. Для будь-якої пари неінцидентних точки та прямої (''p'',''l'') три точки, не рівні ''p'' й такі, що не належать ''l'', утворюють трикутник, і для будь-якого трикутника існує єдиний спосіб згрупувати чотири точки, що залишилися, в антипрапор.
* Існує 28 способів побудови [[шестикутник]]а, у якому ніякі три послідовні вершини не лежать на одній прямій, і шість симетрій, що зберігають будь-який такий шестикутник.
* Існує 42 [[Впорядкована пара|впорядкованих пари]] точок і знову, кожна може бути переведена симетрією в будь-яку іншу впорядковану пару. Для впорядкованих пар існує 4 симетрії, які зберігають її.
* Існує 42 способи вибору [[чотирикутник]]а з чотирьох [[Циклічний порядок|циклічно впорядкованих]] точок, ніякі три з яких не лежать на одній прямі, і чотири симетрії, що зберігають будь-який такий впорядкований чотирикутник. Для будь-якої неорієнтованої четвірки є два циклічні порядки.
* Існує 84 способи вибору трикутника з точкою на цьому трикутнику та для кожного вибору існує дві симетрії, що зберігають цей вибір.
* Існує 84 способи вибору [[п'ятикутник]]а, за якого ніякі три послідовні вершини не лежать на одній прямій, і дві симетрії, що зберігають будь-який п'ятикутник.
* Існує 168 різних способів вибору трикутника зі впорядкуванням його трьох вершин і лише одна тотожна симетрія, що зберігає цю конфігурацію.

== Теоретико-групові побудови ==
7 точок площини відповідають 7 неодиничним елементам [[Група (математика)|групи]] (''Z''<sub>2</sub>)<sup>3</sup> = ''Z''<sub>2</sub> × ''Z''<sub>2</sub> × ''Z''<sub>2</sub>. Прямі площини відповідають підгрупам 4-го порядку, ізоморфним ''Z''<sub>2</sub> × ''Z''<sub>2</sub>. Група [[автоморфізм]]ів {{Нп|GL(3,2)|||GL(3,2)}}<!-- Проблема вікіфікації: Сторінка [[:en:GL(3,2)]] (→ [[:en:PSL(2,7)]]) перекладена як [[PSL(2,7)]], хоча хотіли [[GL(3,2)]] (SashkoR0B0T)--> групи (''Z''<sub>2</sub>)<sup>3</sup> є групою ізоморфізмів площини Фано та має порядок 168.

== Блок-схеми ==
{{Докладніше|Блок-схема (математика)}}
Площина Фано є малою [[Блок-схема (математика)|симетричною блок-схемою]], а саме, схемою 2-(7,3,1). Точки схеми є точками площини, а блоки схеми є прямими площини. Таким чином, площина Фано є важливим прикладом теорії блок-схем.

== Теорія матроїдів ==
{{main|Матроїд}}

Площина Фано є одним з важливих прикладів в теорії [[матроїд]]ів. Виключення площини Фано як {{Нп|Мінор матроїда|мінору матроїда||matroid minor}} необхідне для опису деяких важливих класів матроїдів, таких як {{Нп|Правильний матроїд|правильний||regular matroid}}, {{Нп|Графовий матроїд|графовий||graphic matroid}} та кографовий матроїди.

Якщо розбити одну пряму на три двоточкові прямі, отримаємо «нефанову конфігурацію», яку можна вкласти в дійсну площину. Це інший важливий приклад із теорії матроїдів, який слід виключити, щоби виконувалася велика кількість теорем.

== Система Штейнера ==
{{Основна стаття|Система Штейнера}}
Площина Фано, як блок-схема, є [[Система Штейнера|системою трійок Штейнера]]. А в такому разі, їй можна надати структуру [[Квазігрупа (алгебра)|квазігрупи]]. Ця квазігрупа збігається з мультиплікативною структурою, визначеною одиницями [[Октоніони|октоніонів]] ''e''<sub>1</sub>, ''e''<sub>2</sub>, …, ''e''<sub>7</sub> (без 1) якщо знаки добутку октоніонів ігнорувати{{sfn|Baez|2002|с=145–205}}.

== Тривимірний простір Фано ==
[[Файл:fano3space.png|thumb|[[PG(3,2)]], але не всі прямі намальовані]]

Площину Фано можна розширити на тривимірний випадок, щоб утворити найменший тривимірний проєктивний простір, а позначається він&nbsp;— [[PG(3,2)]].
Простір має 15 точок, 35 прямих і 15 площин.

* Кожна площина містить 7 точок і 7 прямих.
* Кожна пряма містить 3 точки та міститься у 3-х площинах.
* Площини [[Ізоморфізм|ізоморфні]] площині Фано.
* Кожна точка належить 7 прямим та 7 лініям.
* Кожна пара різних точок належить рівно одній прямій.
* Будь-яка пара різних площин перетинається по одній прямій.
* Пряма та площина, що не містить лінію, перетинаються рівно в одній точці.

== Див. також ==
* [[Словник термінів теорії графів]]
* [[Проєктивна геометрія]]
* [[Конфігурація (геометрія)|Конфігурація]]
* [[Конфігурація Сильвестра — Галлаї]]
* [[Трансильванська лотерея]]

== Примітки ==
{{примітки|2}}

== Література ==
* {{книга
|автор=John Baez 
|заголовок=The Octonions 
|url=http://www.ams.org/bull/2002-39-02/S0273-0979-01-00934-X/home.html 
|видання=Bull. Amer. Math. Soc. 
|том=39 
|рік=2002 
|doi=10.1090/S0273-0979-01-00934-X 
|випуск=2
}} ([http://math.ucr.edu/home/baez/octonions/ Online HTML version] {{Webarchive|url=https://web.archive.org/web/20081009232658/http://math.ucr.edu/home/baez/octonions/ |date=9 жовтня 2008 }})
* {{книга
|автор=J. H. van Lint, R. M. Wilson 
|рік=1992 
|заголовок=A Course in Combinatorics 
|сторінки=197
|видавництво=Cambridge University Press
}}
* {{стаття
|автор=L. Manivel
|ref= Manivel
|doi=10.1016/j.jalgebra.2006.04.029 
|випуск=1 
|видання=Journal of Algebra 
|issn=0021-8693 
|заголовок=Configurations of lines and models of Lie algebras 
|том=304 
|рік=2006
}}
* Burkard Polster (1998) ''A Geometrical Picture Book'', Chapter 1: «Introduction via the Fano Plane», also pp 21, 23, 27, 29, 71, 73, 77, 112, 115, 116, 132, 174, Springer ISBN 0-387-98437-2 .

== Посилання ==
* {{MathWorld|title=Fano Plane|urlname=FanoPlane}}
* [http://planetmath.org/finiteplane Finite plane and Fano plane] {{Webarchive|url=https://web.archive.org/web/20170301051854/http://planetmath.org/finiteplane |date=1 березня 2017 }} на [[PlanetMath]]
* {{citation |last=Baez |first=John |authorlink=John Baez |title=The Octonions |url=http://www.ams.org/bull/2002-39-02/S0273-0979-01-00934-X/home.html |journal=Bull. Amer. Math. Soc. |volume=39 |year=2002 |pages=145–205 |doi=10.1090/S0273-0979-01-00934-X |issue=2 |accessdate=20 лютого 2017 |archive-date=9 грудня 2008 |archive-url=https://web.archive.org/web/20081209030022/http://www.ams.org/bull/2002-39-02/S0273-0979-01-00934-X/home.html }} ([http://math.ucr.edu/home/baez/octonions/ Online HTML version] {{Webarchive|url=https://web.archive.org/web/20081009232658/http://math.ucr.edu/home/baez/octonions/ |date=9 жовтня 2008 }})
* {{citation |last1=van Lint |first1=J. H. |last2=Wilson |first2=R. M. |year=1992 |title=A Course in Combinatorics |page=197 |publisher=Cambridge University Press}}
* {{citation |last=Manivel |first=L. |doi=10.1016/j.jalgebra.2006.04.029 |issue=1 |journal=Journal of Algebra |issn=0021-8693 |pages=457–486 |title=Configurations of lines and models of Lie algebras |volume=304 |year=2006}}
* Burkard Polster (1998) ''A Geometrical Picture Book'', Chapter 1: «Introduction via the Fano Plane», also pp 21, 23, 27, 29, 71, 73, 77, 112, 115, 116, 132, 174, Springer ISBN 0-387-98437-2.

[[Категорія:Конфігурації]]
[[Категорія:Теорія матроїдів]]
[[Категорія:Скінченна геометрія]]