Перегляд вихідного коду сторінки Площа круга

{{Число Пі}}
У [[Геометрія|геометрії]], [[площа]], що замикає [[коло]] [[Радіус|радіусом]] {{mvar|r}} дорівнює {{math|{{pi}}&thinsp;''r''<sup>2</sup>}}. У цій формулі грецька літера [[Число пі|{{pi}}]] є математичною [[Константа|сталою]], що приблизно дорівнює числу 3,14159…, і яке дорівнює відношенню довжини [[Окружність|окружності]] кола до його [[Діаметр|діаметра]].

Одним із методів отримання цієї формули, що бере початок із роботи [[Архімед]]а, у якій коло розглядається як [[границя]] послідовності [[Правильний многокутник|правильних багатокутників]]. Площа правильного багатокутника дорівнює половині його [[Периметр|периметру]] помноженого на [[Апофема|відстань від його центру до сторін]], а відповідна формула (що площа є половиною периметру помноженого на радіус, тобто. {{math|{{frac|1|2}} × 2{{pi}}''r'' × ''r''}}) полягає в знаходженні границі для кола.

Хоча, часто в не формальному контексті вживають вислів '''площа кола''', строго кажучи до внутрішньої частини кола вживають термін ''круг'' (диск), у той час як ''коло'' це лише межа описана довкола, і яка по суті є [[Крива|кривою]], що не займає ніякої власної площі. Тому, '''площа круга''' є більш точним висловом, якщо йдеться про площу, що обмежена колом.

== Історія ==
Сучасні математики можуть отримати площу за допомогою методів [[Інтеграл|інтегральних обчислень]] або з складнішої гілки цих методів, [[Аналіз функцій дійсної змінної|аналізу функцій дійсних змінних]]. Однак, площу круга вивчали в [[Стародавня Греція|Стародавній Греції]]. [[Евдокс Кнідський]] у V столітті до н.&nbsp;е. знайшов, що площа круга є пропорційна квадрату його радіуса.<ref>{{cite book|url=https://archive.org/details/singlevariableca00stew/page/3|title=Single variable calculus early transcendentals.|last=Stewart|first=James|publisher=Brook/Cole|year=2003|isbn=0-534-39330-6|edition=5th.|location=Toronto ON|pages=[https://archive.org/details/singlevariableca00stew/page/3 3]|quote=However, by indirect reasoning, Eudoxus (fifth century B.C.) used exhaustion to prove the familiar formula for the area of a disk: <math>A= \pi r^2,</math>}}</ref> [[Архімед]] у своїй книзі ''{{нп|Вимірювання кола||en|Measurement of a Circle}}'' використовував засоби [[Евклідова геометрія|евклідової геометрії]] аби показати, що площа в середині кола, дорівнює площі [[Прямокутний трикутник|прямокутного трикутника]] основа якого має довжину, що дорівнює окружності кола і висоту, що дорівнює його радіусу. Довжина окружності дорівнює 2{{pi}}''r'', а площа трикутника є половиною добутку довжини основи трикутника на висоту, що в результаті дорівнює площі круга {{pi}}&thinsp;''r''<sup>2</sup>.

== Історія аргументування ==
Різні докази історично використовували аби встановити рівняння <math>A=\pi r^2</math> із різною ступеня математичної строгості. Найвідоміший з них є архімедовий [[метод вичерпування]], що є одним із ранніх використань математичного поняття [[Границя|границі]], а також основою [[Аксіома Архімеда|Аксіоми Архімеда]], що залишається частиною стандартного аналітичного пояснення [[Дійсні числа|системи дійсних чисел]]. Оригінальний доказ, який робив Архімед не є настільки суворим за сучасними стандартами, оскільки він припускає можливим порівнювати довжину дуги кола до довжини [[Січна|січної]] і дотичної лінії, і подібними твердженнями про площу, як геометрично очевидне.

=== Використання багатокутників ===
Площа [[Правильний многокутник|правильного багатокутника]] є половиною добутку його периметру на [[Апофема|апофему]]. Зі збільшенням кількості сторін правильного багатокутника, він наближується до кола, а апофема наближується до радіуса. Таким чином створюється припущення що площа круга є половиною довжини окружності, що обмежує круг помноженої на його радіус.<ref>Hill, George. ''[https://books.google.com/books?id=zSMAAAAAYAAJ&pg=PA124 Lessons in Geometry: For the Use of Beginners]'', page 124 (1894).</ref>

=== Доказ Архімеда ===
[[Файл:Area of circle and triangle.svg|thumb|Зазначені круг і трикутник мають однакову площу.]]
Відповідно до архімедових тверджень {{Harvtxt|Archimedes|c. 260 BCE}}, порівняємо площу, яка замикається колом, із прямокутним трикутником, основа якого має довжину рівну окружності кола і висоту рівну його радіусу. Якщо площа кола не дорівнює площі трикутника, тоді вона повинна бути або більшою або меншою. Відкидаємо кожен з цих випадків як суперечні, отже, рівність єдиний можливий варіант.

==== Не більше ====
[[Файл:Archimedes circle area proof - inscribed polygons.svg|міні|праворуч|Коло із вписаним квадратом і восьмикутником, що показує різницю площі]]
Припустимо, що площа ''C'', яка замикається колом, більша ніж площа ''T''&nbsp;= <sup>1</sup>⁄<sub>2</sub>''cr'' трикутника. Тоді нехай ''E'' позначає ту площу, що є надлишком. Впишемо в коло квадрат, так, що його чотири кута лежать на колі. Між квадратом і колом існує чотири сегменти. Якщо загальна площа цих областей, ''G''<sub>4</sub>, більша ніж ''E'', розділимо кожну дугу навпіл. Між колом і квадратом утворюється вписаний восьмикутник, що утворює вісім сегментів із меншою загальною площею, ''G''<sub>8</sub>. Продовжимо розбивати доки площа довкола, ''G<sub>n</sub>'', не стане меншою ніж ''E''. Тепер площа вписаного багатокутника, ''P<sub>n</sub>''&nbsp;= ''C''&nbsp;−&nbsp;''G<sub>n</sub>'', має бути більшою за площу трикутника.
: <math>\begin{align}
 E &{}= C - T \\
   &{}> G_n \\
 P_n &{}= C - G_n \\
     &{}> C - E \\
 P_n &{}> T
\end{align}</math>
Але це приводить до суперечності, що пояснюється наступним чином. Проведемо перпендикуляр із центру кола до середньої точки сторони багатокутника; його довжина, ''h'', менша за радіус кола. Також, нехай кожна сторона багатокутника має довжину ''s''; тоді сума сторін дорівнюватиме, ''ns'', є меншою за окружність кола. Площа багатокутника складається з ''n'' рівних трикутників із висотою ''h'' і основою ''s'', і таким чином дорівнює <sup>1</sup>⁄<sub>2</sub>''nhs''. Але, оскільки ''h''&nbsp;&lt;&nbsp;''r'' і ''ns''&nbsp;&lt;&nbsp;''c'', площа багатокутника повинна бути меншою за площу трикутника, <sup>1</sup>⁄<sub>2</sub>''cr'', що є суперечним. Отже, початкове припущення, що ''C'' більше за ''T'', є не правильним.

==== Не менше ====
[[Файл:Archimedes circle area proof - circumscribed polygons.svg|міні|праворуч|Коло із [[Описаний багатокутник|описаним]] навколо нього квадратом і восьмикутником, що показує різницю площі]]
Припустимо, що площа охоплена колом є меншою ніж площа ''T'' трикутника. Нехай ''D'' задає ту кількість, якої не вистачає. Опишемо квадрат довкола кола, так що середні точки кожної з його граней лежать на колі. Якщо загальна площа областей між колом і квадратом, ''G''<sub>4</sub>, є більшою за ''D'', відріжемо кути квадрата за допомогою дотичних до кола аби утворився [[Описаний багатокутник|описаний]] восьмикутник, і продовжимо відкидати кути доки площа між цим багатокутником і колом не стане меншою ніж ''D''. Площа багатокутника, ''P<sub>n</sub>'', повинна бути меншою за ''T''.
: <math>\begin{align}
 D &{}= T - C \\
   &{}> G_n \\
 P_n &{}= C + G_n \\
     &{}< C + D \\
 P_n &{}< T
\end{align}</math>
Це, також приводить до суперечності. Оскільки, перпендикуляр до точки, що є серединою кожної із сторін багатокутника є радіусом кола, з довжиною ''r''. А оскільки загальна довжина сторін більша за окружність кола, багатокутник, що складається з ''n'' однакових трикутників, має загальну площу більшу за ''T''. Знову маємо суперечність, тому наше припущення, що ''C'' може бути меншим за ''T'', є також неправильним.

Таким чином, має залишитися випадок коли площа, окреслена колом, точно дорівнює площі трикутника. Таким чином доказ завершено.

=== Доказ із перегрупуванням ===
[[Файл:CircleArea.svg|міні|праворуч|Площа кола встановлена перегрупуванням його частин]]
[[Файл:Pie Are Square.gif|міні|праворуч|Анімація перегрупування]]
Відповідно до Сато Мошун (Satō Moshun) {{Harv|Smith|Mikami|1914|loc=pp.&nbsp;130–132}} і [[Леонардо да Вінчі]] {{Harv|Beckmann|1976|loc=p.&nbsp;19}}, зможемо використати вписані правильні багатокутники іншим способом. Допустимо ми впишемо у коло [[шестикутник]]. Розділимо цей шестикутник на шість трикутників від центру фігури. Два протилежні трикутники обидва є прилеглими до двох спільних діаметрів; перемістимо їх так щоб їх сторони, що дорівнюють радіусу стали прилеглими одна до одної. Тепер вони утворюють [[паралелограм]], і сторони шестикутника тепер утворюють дві протилежні ребра, кожне з яких є основою, ''s''. Два інших ребра є радіусами, а висота дорівнює ''h'' (як у доказі Архімеда). Таким чином ми можемо зібрати всі трикутники в один великий паралелограм помістивши відповідні пари одна до одної. Так само ми можемо зробити якщо збільшимо кількість сторін до восьми та так далі. Для багатокутника з 2''n'' сторонами, паралелограм матиме основу з довжиною ''ns'', і висоту ''h''. Зі збільшенням кількості сторін багатокутника, довжина основи паралелограма наближується до половини окружності кола, а його висота наближується до радіуса кола. У граничному значенні, паралелограм стає прямокутником із шириною {{pi}}''r'' і висотою ''r''.

: {| class="wikitable" frame="vsides" style="text-align: center" cellspacing="0" cellpadding="3"
|+ '''''Площа одиничного диска шляхом перестановки n-багатокутників.'''''</span>
|- style="background-color:#eeeeee"
! colspan="3" | багатокутник !! colspan="6" | паралелограм
|- style="background-color:#dddddd"
! ''n'' !! &nbsp;&nbsp;&nbsp; !! сторона !! &nbsp;&nbsp; &nbsp; &nbsp;&nbsp; !! основа !! &nbsp;&nbsp; !! висота !! &nbsp;&nbsp; !! площа
|-
| align="right" |  4 || || 1,4142136 || || 2,8284271 || || 0,7071068 || || 2,0000000
|-
| align="right" |  6 || || 1,0000000 || || 3,0000000 || || 0,8660254 || || 2,5980762
|-
| align="right" |  8 || || 0,7653669 || || 3,0614675 || || 0,9238795 || || 2,8284271
|-
| align="right" | 10 || || 0,6180340 || || 3,0901699 || || 0,9510565 || || 2,9389263
|-
| align="right" | 12 || || 0,5176381 || || 3,1058285 || || 0,9659258 || || 3,0000000
|-
| align="right" | 14 || || 0,4450419 || || 3,1152931 || || 0,9749279 || || 3,0371862
|-
| align="right" | 16 || || 0,3901806 || || 3,1214452 || || 0,9807853 || || 3,0614675
|-
| align="right" | 96 || || 0,0654382 || || 3,1410320 || || 0,9994646 || || 3,1393502
|-
| ∞ || || 1/∞ || || {{pi}} || || 1 || || {{pi}}
|}

== Сучасні доведення ==
Існує декілька еквівалентних визначень константи {{math|{{pi}}}}. Традиційним визначенням у геометрії до появи методів числення є відношення окружності кола до його діаметру:
: <math>\pi=\frac{C}{D}.</math>
Однак, оскільки визначення окружності кола не є примітивним аналітичним поняттям, таке визначення не підходить до сучасного більш строгого розуміння. Стандартне сучасне визначення {{pi}}&nbsp;— це значення половини періоду функції [[Синус|синуса]] (або косинуса). Функцію косинуса можна визначити як [[степеневий ряд]], або як рішення конкретного [[Диференціальні рівняння|диференційного рівняння]]. Це дозволяє уникнути посилання на коло при визначенні {{pi}}, таким чином твердження про зв'язок числа {{pi}} із довжиною окружності і площі круга є теоремами, а не визначеннями, що випливають із аналітичного визначення понять таких як «площа» і «окружність».

Аналітичні визначення здебільшого еквівалентні, так як погоджуються з тим, що окружність кола вимірюється як [[Довжина кривої|довжина кривої]] за допомогою [[Інтеграл|інтегралу]]
: <math>C = 2\int_{-R}^R \frac{R\,dx}{\sqrt{R^2-x^2}} = 2R\int_{-1}^1\frac{dx}{\sqrt{1-x^2}}.</math>
Інтеграл вказаний в правій частині виразу є [[Інтеграл Абеля|абелевим інтегралом]], значення якого є половиною періоду функції [[Синус|синусу]], що дорівнює {{pi}}. Таким чином <math>C=2\pi R=\pi D</math> розглядається правдоподібним як теорема.

=== Концентричні кільця ===
[[Файл:Circle area rings.svg|thumb|right|Площа диска за допомогою інтегрування кілець]]
Використання числення, дозволяє розраховувати площу поступовим чином, розділяючи круг на концентричні кільця, за принципом шарів [[цибуля|цибулі]]. Це є методом {{нп|Інтеграція оболонки|інтеграції поверхні|en|shell integration}} в двох вимірах. Для нескінченно тонкого кільця «цибулі» з радіусом ''t'', площа яку воно займає дорівнює 2{{pi}}''t dt'', довжина окружності кільця помножується на його нескінченно малу ширину (можна апроксимувати таке кільце прямокутником із шириною=2{{pi}}''t'' і висотою=''dt''). Таким чином ми отримаємо елементарний інтеграл для диску радіусом ''r''.
: <math>\begin{align}
 \mathrm{Area}(r) &{}= \int_0^{r} 2 \pi t \, dt \\
                  &{}= 2\pi \left[\frac{t^2}{2} \right]_{0}^{r}\\
                  &{}= \pi r^2.
\end{align} </math>

Строго це виправдано правилом заміщення багатьох змінних в полярних координатах. Тобто, площа задається [[Багатократний інтеграл|подвійним інтегралом]] константної функції 1 здовж самого диску. Якщо диск позначити як ''D'', тоді у [[Полярні координати|полярних координатах]] подвійний інтеграл буде розраховуватися наступним чином:
: <math>\begin{align}
 \mathrm{Area}(r) &{}= \iint_D 1\ d(x, y)\\
 &{} = \iint_D t\ dt\ d\theta\\
 &{} = \int_0^r \int_0^{2\pi}  t\ d\theta\ dt\\
 &{} = \int_0^r \left[ t\theta \right]_{0}^{2\pi} dt\\
 &{}= \int_0^{r} 2 \pi t \, dt, \\
 \end{align}</math>
що приводить то того ж результату, який було отримано вище.

== Література ==
* {{citation
 | author=Archimedes
 |author-link=Архімед
 |editor-last=Heath
 |editor-first=T. L.
 |editor-link=T. L. Heath
 |title=The Works of Archimedes
 |date=1897
 |publisher=Cambridge University Press
 |chapter=Measurement of a circle
 |chapter-url=https://archive.org/stream/worksofarchimede029517mbp#page/n279/mode/2up
 |url=https://www.archive.org/details/worksofarchimede029517mbp
 |ref={{harvid|Archimedes|c. 260 BCE}}
}}<br/>(Originally published by [[Cambridge University Press]], 1897, based on J. L. Heiberg's Greek version.)
* {{citation
 | last = Beckmann
 | first = Petr
 | author-link = Petr Beckmann
 | title = A History of Pi
 | year = 1976
 | publisher = [[St. Martin's Press|St. Martin's Griffin]]
 | isbn = 978-0-312-38185-1
 }}
* {{citation
 | last1=Gerretsen
 | first1=J.
 | last2=Verdenduin
 | first2=P.
 | chapter=Chapter 8: Polygons and Polyhedra
 | pages=243–250
 | title=Fundamentals of Mathematics, Volume II: Geometry
 | editor= H. Behnke |editor2=F. Bachmann |editor3=K. Fladt |editor4=H. Kunle |translator=S. H. Gould
 | publisher=[[MIT Press]]
 | year=1983
 | isbn=978-0-262-52094-2
}}<br/>(Originally ''Grundzüge der Mathematik'', Vandenhoeck & Ruprecht, Göttingen, 1971,)
* {{citation
 |last=Laczkovich
 |first=Miklós
 |author-link=Miklós Laczkovich
 |title=Equidecomposability and discrepancy: A solution to Tarski's circle squaring problem
 |journal=[[Crelle's Journal|Journal für die reine und angewandte Mathematik]]
 |volume=404
 |pages=77–117
 |year=1990
 |url=http://dz-srv1,sub.uni-goettingen.de/sub/digbib/loader?ht=VIEW&did=D262326
 |mr=1037431
}}{{dead link|date=July 2017 |bot=InternetArchiveBot |fix-attempted=yes }}
* {{citation
 | last = Lange
 | first = Serge
 | author-link = Serge Lang
 | chapter = The length of the circle
 | title = Math! : Encounters with High School Students
 | year = 1985
 | publisher = [[Springer-Verlag]]
 | isbn = 978-0-387-96129-3
 }}
* {{citation
 | last1=Smith
 | first1=David Eugene
 | author1-link=David Eugene Smith
 | last2=Mikami
 | first2=Yoshio
 | pages=130–132
 | title=A history of Japanese mathematics
 | place=Chicago
 | publisher=[[Open Court Publishing Company|Open Court Publishing]]
 | year=1914
 | isbn=978-0-87548-170-8
 | url=https://archive.org/details/historyofjapanes00smituoft
}}
* {{citation
 | title=Computational Physics
 | last1=Thijsse
 | first1=J. M.
 | pages=273
 | publisher=Cambridge University Press
 | year=2006
 | isbn=978-0-521-57588-1
}}

== Примітки ==
{{reflist}}

== Посилання ==
* [https://web.archive.org/web/20180807224450/https://area-of-a-circle.com/ Area of a Circle Calculator] {{ref-en}}
* [http://www.mathopenref.com/circlearea.html Area enclosed by a circle] {{Webarchive|url=https://web.archive.org/web/20081204090422/http://www.mathopenref.com/circlearea.html |date=4 грудня 2008 }} (з інтерактивною анімацією) {{ref-en}}
* [http://www.sciencenews.org/articles/20041030/mathtrek.asp Science News on Tarski problem] {{Webarchive|url=https://web.archive.org/web/20080413114409/http://www.sciencenews.org/articles/20041030/mathtrek.asp |date=13 квітня 2008 }} {{ref-en}}
* [http://www.fxsolver.com/browse/formulas/Disk+area Calculate disk area on fxSolver] {{Webarchive|url=https://web.archive.org/web/20171201131450/https://www.fxsolver.com/browse/formulas/Disk+area |date=1 грудня 2017 }} {{ref-en}}

[[Категорія:Площа]]
[[Категорія:Кола]]