Перегляд вихідного коду сторінки Площа

{{Otheruses}}
{{Фізична величина
| назва = Площа
| зображення = Rectangle 4x5.svg
| підпис = Прямокутник із розмірами сторін 5x4 має площу 20
| символи = S або A
| SI = [[Квадратний метр|м{{sup|2}}]]
| СГС = [[Сантиметр|см]]{{sup|2}}
| СГСЕ = 
| СГСМ = 
| інші = 
| базовівеличини = 
| розмірність = [[Довжина|L]]<sup>2</sup>
| величина = 
| іншівеличини = 
| примітки = 
| nocat = 
}} 

'''Пло́ща'''&nbsp;— [[фізична величина]], що визначає розмір поверхні, одна з основних властивостей геометричних фігур, у математиці розглядається як міра множини точок, які займають поверхню або якусь її частину<ref>[http://leksika.com.ua/12260220/ure/ploscha «Площа»] {{Webarchive|url=https://web.archive.org/web/20170326225844/http://leksika.com.ua/12260220/ure/ploscha |date=26 березня 2017 }} // {{УРЕ}}</ref>. Історично, обчислення площі називалося [[Квадратура (математика)|квадратурою]]. Фігура, що має площу, називається квадрованою. Площу нескладних геометричних фігур визначають, підраховуючи кількість одиничних [[квадрат]]ів, якими фігури можна покрити. Фігури, що мають однакову площу називають ''рівновеликими''.

Загальний метод обчислення площі геометричних фігур надало [[інтегральне числення]]. Узагальненням поняття площі стала теорія [[міра множини|міри множини]], яка є придатною для ширшого класу геометричних об'єктів.

Площа у системі [[Міжнародна система одиниць (SI)|SI]] вимірюється у ''м²'' ([[Квадратний метр|метрах квадратних]]). Площу заведено позначати великою латинською літерою ''S'', у англомовній літературі&nbsp;— великою латинською літерою ''A'' (від {{lang-en|area}})<ref>ДСТУ 3651.1-97 Похідні одиниці фізичних величин міжнародної системи одиниць та позасистемні одиниці. Основні поняття, назви та позначення.</ref><ref name=BIPM2006Ch5>{{Cite journal|author= Bureau international des poids et mesures|year= 2006|url= http://www.bipm.org/utils/common/pdf/si_brochure_8_en.pdf|title= The International System of Units (SI)|version= 8th ed.|accessdate= 2008-02-13|journal= |archive-date= 5 листопада 2013|archive-url= https://web.archive.org/web/20131105051930/http://www.bipm.org/utils/common/pdf/si_brochure_8_en.pdf}} Chapter 5. {{ref-en}}</ref>.

== Формальне визначення ==
[[Файл:Jordan illustration.png|right|thumb|Множина вимірна за Жорданом, якщо внутрішня міра Жордана дорівнює зовнішній мірі Жордана]]
Площею в [[планіметрія|планіметрії]] може назватися будь-яка величина, яка задовольняє умовам{{sfn|Энциклопедия элементарной математики, кн. 5|1966|с=7—13}}<ref name="mathenc"/>:
* вона додатно-визначена (тобто не менша від нуля);
* вона адитивна (площа об'єднання двох фігур, що не перетинаються, дорівнює сумі площ цих двох фігур);
* у [[конгруентність (геометрія)|конгруентних]] фігур площа однакова;
* для [[квадрат]]а зі стороною 1 вона приймається рівною 1.
З даного визначення площі випливає її монотонність, тобто площа частини фігури є меншою від площі всієї фігури.

Спочатку визначення площі було сформульоване для [[Многокутник|многокутників]], згодом воно було розширене на квадровані фігури. Квадрованою називається така фігура, яку можна вписати у многокутник і у яку можна вписати многокутник, причому площі обох многокутників різняться на довільно малу величину. Такі фігури називають також [[Міра Жордана|вимірними за Жорданом]]<ref name="mathenc"/>. Для фігур на площині, які не складаються з цілої кількості одиничних квадратів, а також для тривимірних поверхонь, площа визначається за допомогою [[границя|граничного переходу]].

== Історична довідка ==

=== Площа плоских фігур ===
Протягом багатьох років площа вважалася первинним поняттям, яке не вимагає визначення. Основним завданням математиків було обчислення площі, при цьому їм були відомі основні її властивості{{sfn| Энциклопедия элементарной математики, кн. 5 |1966|с=7—13}}. У [[Математика в Стародавньому Єгипті|Стародавньому Єгипті]] використовувались точні правила обчислення площі прямокутників, прямокутних трикутників і трапецій, площа довільного чотирикутника визначалась приблизно як добуток півсум пар протилежних сторін. Застосування такої наближеної формули пов'язане з тим, що ділянки, площу яких треба було визначити, були в основному близькими до прямокутних і [[похибка]] у такому випадку залишалась невеликою. Історик математики [[Юшкевич Адольф Павлович|А.&nbsp;П.&nbsp;Юшкевич]] припускає, що єгиптяни могли і не знати, що користуються наближеною формулою. У задачі 50 [[Папірус Рінда|папірусу Рінда]] використовується формула обчислення площі круга, яка вважалась рівною площі квадрата зі стороною, рівною 8/9 діаметра круга{{sfn|История математики, т. I|1970|с=30—32}}. Такими ж формулами користувались і у [[Вавилонська математика|Вавилоні]], однак для площі круга наближення було менш точним. Крім того, вавилоняни могли наближено обчислити площі [[Правильний многокутник|правильних п'яти-, шести- і семикутника]] зі стороною рівною одиниці. У [[Шістдесяткова система числення|шістдесятковій системі]] їм відповідали ''1,40'', ''2,37,20'' і ''3,41'', відповідно{{sfn|История математики, т. I|1970|с=47—53}}.

Основним прийомом обчислення площі при цьому була побудова квадрата, площа якого дорівнює площі заданої багатокутної фігурі, зокрема у книзі I «[[Начала Евкліда|Начал]]» [[Евклід]]а, що присвячена планіметрії прямолінійних фігур, доводиться, що трикутник є рівновеликим половині прямокутника, що має з ним одинакові основи і висоту{{sfn|История математики, т. I|1970|с=111—114}}. Метод розкладання, що ґрунтувався на тому, що дві рівноскладені фігури є рівновеликими, дозволяв також обчислити площі паралелограмів й довільних многокутників<ref name="kvant"/>.

Наступним кроком було обчислення площ круга, кругового сектора, лунок та інших фігур. Основу обчислень при цьому становив [[метод вичерпування]] многокутниками<ref name="mathenc">{{книга |заголовок=Математическая энциклопедия (в 5 томах) |частина = Площадь|місце=М. |рік=1982 |том=4 |посилання=http://eqworld.ipmnet.ru/ru/library/books/Vinogradov_MatEnc_t4.djvu |видавництво=Советская Энциклопедия }}</ref><ref name="kvant">''Болтянский В.'' [http://kvant.mccme.ru/1977/05/o_ponyatiyah_ploshchadi_i_obem.htm О понятиях площади и объёма.] {{Webarchive|url=https://web.archive.org/web/20170505023703/http://kvant.mccme.ru/1977/05/o_ponyatiyah_ploshchadi_i_obem.htm |date=5 травня 2017 }} [[Квант (журнал)|Квант]], №&nbsp;5, 1977, c.2—9</ref>, з якого бере початок [[теорія границь]]. Метод полягає у побудові послідовності площ, які при поступовому нарощуванні «вичерпують» площу, що розглядається. Метод вичерпування, який отримав свою назву лише у XVII столітті, ґрунтується на [[Аксіома Архімеда|аксіомі неперервності Евдокса&nbsp;— Архімеда]], авторство якої приписується [[Евдокс Кнідський|Евдоксу Кнідському]], котрий за її допомогою показав, що площі кругів відносяться одна до одної як квадрати їх діаметрів. Метод описаний у «Началах» Евкліда: [[аксіома]] Евдокса сформульована у книзі V, а сам метод вичерпування і відношення, що ґрунтуються на ньому&nbsp;— у книзі XII{{sfn|История математики, т. I|1970|с=111—114}}. Більшої досконалості у застосуванні методу досягнув [[Архімед]], котрий за його допомогою вирахував площу сегмента параболи та площу поверхні сфери<ref name=autogenerated1>{{книга |заголовок=Математическая энциклопедия (в 5 томах) |частина = Исчерпывания метод|місце=М. |рік=1982 |том=2 |посилання=http://eqworld.ipmnet.ru/ru/library/books/Vinogradov_MatEnc_t2.djvu |видавництво=Советская Энциклопедия}}</ref>{{sfn|История математики, т. I|1970|с=101—105}}. Праця Архімеда «Про спіралі» містить багато тверджень, що стосуються площ різних витків спіралі та їх співвідношень{{sfn|Boyer & Merzbach|2010|p=127—128}}. Архімеду належить ідея використання площ або об'ємів як вписаних, так і описаних фігур для визначення величини заданої площі чи об'єму{{sfn|История математики, т. I|1970|с=117—124}}.

У Стародавній Індії на початках користувались тією ж формулою для обчислення площ чотирикутників, що й єгиптяни та греки. [[Брамагупта]] використовував [[Формула Брамагупти|формулу]] для обчислення площі чотирикутників, виражену через їх півпериметр, що давала вірне значення для вписаного у коло чотирикутника. Формули обчислення площі зазвичай не доводились, але демонструвались з наочними рисунками{{sfn|История математики, т. I|1970|с=197—198}}. Формула Брамагупти є аналогом [[Формула Герона|формули Герона]] для площі трикутника, яку той навів у своїй «Метриці»{{sfn|Boyer & Merzbach|2010|p=172, 219}}.

Розвиток та узагальнення методу вичерпування відбулися лише у XVII столітті. У 1604 році у праці «Три книги про центр тяжіння тіл» [[Лука Валеріо]] ({{lang-it|Luca Valerio}} 1552—1618) широко використовує теорему, за якою різниця між площами вписаної і описаної фігур, складених з паралелограмів можна зробити меншою від будь-якої заданої площі{{sfn|История математики, т. II|1970|с=131—135}}. Справжній прорив було зроблено [[Йоганн Кеплер|Й. Кеплером]], якому для астрономічних розрахунків потрібно було вміти обчислювати площу еліпса. Кеплер розглядав площу як «суму ліній» і, розліновуючи еліпс з кроком у один градус, показав{{sfn|История математики, т. II|1970|с=166—171}}, що <math>\int\limits_0^\varphi \sin x dx = 1 - \cos \varphi</math>. [[Бонавентура Кавальєрі|Б. Кавальєрі]], обґрунтовуючи схожий метод, названий «[[Принцип Кавальєрі|методом неподільних]]», порівнював площі плоских фігур, використовуючи перетин фігур паралельними прямими{{sfn|История математики, т. II|1970|с=174—181}}. Застосування [[Первісна|первісної]] для знаходження площі плоскої фігури є найуніверсальнішим методом. За допомогою первісної доводиться [[принцип Кавальєрі]], за яким дві плоскі фігури мають однакову площу, якщо при перетині кожної з них прямою, паралельною до фіксованої, отримуються відрізки однакової довжини. Принцип був відомий задовго до формування інтегрального числення<ref name="mathenc"/><ref name="kvant"/>.

=== Площа поверхонь ===
Обчисленням площ кривих поверхонь займався Архімед, визначивши, зокрема, площу поверхні кулі {{sfn|История математики, т. I|1970|с=117—124}}. У загальному випадку для визначення площі поверхні неможливо скористатися а ні розгорткою (не підходить для сфери), а ні наближенням багатогранними поверхнями (аналогом методу вичерпування). Останнє продемонстрував [[Герман Шварц|Г. Шварц]], побудувавши для бічної поверхні циліндра послідовності, які приводять до різних результатів (так званий «[[чобіт Шварца]]»)<ref name="mathenc"/><ref>''Дубровский В. Н.'' [http://kvant.mccme.ru/1978/05/v_poiskah_opredeleniya_ploshch.htm  В поисках определения площади поверхности] {{Webarchive|url=https://web.archive.org/web/20170627044343/http://kvant.mccme.ru/1978/05/v_poiskah_opredeleniya_ploshch.htm |date=27 червня 2017 }} // [[Квант (журнал)|Квант]].&nbsp;— 1978. №&nbsp;5.&nbsp;— С.31—34.</ref>.

Загальний прийом обчислення площі поверхні на рубежі XIX—XX століть запропонував [[Герман Мінковський|Г. Мінковський]], який для кожної поверхні будував «огортальний шар» малої сталої товщини, тоді площа поверхні буде приблизно рівною об'єму цього шару, поділеному на його товщину. Граничне значення цього відношення при товщині шару, що прямує до нуля дає точне значення площі. Однак, для площі за Мінковським не завжди виконується властивість адитивності. Узагальнення даного визначення приводить до поняття лінії за Мінковським<ref>''Дубровский В. Н.'' [http://kvant.mccme.ru/1979/04/ploshchad_poverhnosti_po_minko.htm Площадь поверхности по Минковскому] {{Webarchive|url=https://web.archive.org/web/20170215170530/http://kvant.mccme.ru/1979/04/ploshchad_poverhnosti_po_minko.htm |date=15 лютого 2017 }} // [[Квант (журнал)|Квант]].&nbsp;— 1979. №&nbsp;4.&nbsp;— С.33—35.</ref>.

== Площа в аналітичній геометрії ==
[[Аналітична геометрія]] дозволяє розв'язувати геометричні задачі алгебраїчними методами, оперуючи такими поняттями як [[система координат]], [[вектор]] тощо. [[Площина]] в тривимірному просторі має дві поверхні. Площі цих двох поверхонь позначаються із протилежними знаками. Оскільки орієнтація поверхні задається вектором нормалі до неї, то площу теж визначають як вектор, колінеарний нормалі до поверхні.

Наприклад, для паралелограма, побудованого на векторах <math> \mathbf{a} </math> та <math> \mathbf{b} </math> площа визначається як [[векторний добуток]]:
: <math> \mathbf{S} = [\mathbf{a} \times \mathbf{b}] </math>.

При зміні порядку множників у цій формулі, <math> \mathbf{S} </math> міняє знак, що відповідає нормалям до двох різних боків поверхні. Як добуток двох векторів <math> \mathbf{S} </math> є [[псевдовектор]]ом&nbsp;— при зміні напрямку кожного із векторів <math> \mathbf{a} </math> та <math> \mathbf{b} </math> на протилежний, <math> \mathbf{S} </math> напрямку не міняє.

== Площа в математичному аналізі ==
[[Файл:Areabetweentwographs.svg|thumb|287px|Площу між двома графіками можна знайти як різницю інтегралів відповідних функцій]]
Математичний аналіз надає широкі можливості для обчислення площ криволінійних фігур. Поняття [[інтеграл]]а, яке має широке застосування і в інших галузях, має просту інтерпретацію, як площа криволінійної фігури обмеженої підінтегральною функцією, віссю абсцис і двома прямими, паралельними осі ординат:

: <math> S = \int_a^b f(x)dx </math>.

Оскільки функція <math> f(x) </math> може мати як додатні, так і від'ємні значення на інтервалі [''a, b''], то інтеграл теж може бути додатнім або від'ємним. Для того, щоб отримати площу фігури в її геометричному сенсі потрібно інтегрувати абсолютну величину функції:
: <math> S = \int_a^b |f(x)|dx </math>.

Виходячи з цього означення, площу між двома [[графік функції|графіками]] функцій можна знайти як [[інтеграл]]ів однієї функції, ''f''(''x''), [[віднімання|мінус]] інтеграл іншої функції, ''g''(''x'').
: <math> S = \int_a^b |f(x) - g(x)| dx </math>.

Площу криволінійної фігури, обмеженої функцією <math> r = r(\varphi) </math>, вираженою в [[полярна система координат|полярних координатах]], знаходять за формулою
: <math> S = {1 \over 2} \int_0^{2\pi} r^2 \, d\varphi </math>.

Площу обмежену [[Параметричне рівняння|параметричною кривою]] <math>\mathbf{u}(t) = (x(t), y(t)) </math> з кінцевими точками <math> \mathbf{u}(t_0) = \mathbf{u}(t_1) </math> знаходять за [[теорема Гріна|теоремою Гріна]] [[Криволінійний інтеграл|криволінійним інтегралом]]
: <math> \oint_{t_0}^{t_1} x \dot y \, dt  = - \oint_{t_0}^{t_1} y \dot x \, dt  =  {1 \over 2} \oint_{t_0}^{t_1} (x \dot y - y \dot x) \, dt </math>

Водночас, ця формула є z-координатою векторного добутку:

: <math>{1 \over 2} \oint_{t_0}^{t_1} \mathbf{u} \times \dot{\mathbf{u}} \, dt.</math>

В цій формулі крапка над <math> \mathbf{u} </math> означає [[похідна|похідну]].

Для поверхні <math>\Omega</math> у тривимірному просторі, заданої функцією <math>z = z(x,y)</math> над деякою областю <math>\Omega'</math> (або <math>\Omega'</math> є [[проєкції|проєкцією]] поверхні <math>\Omega</math> на площину <math>xOy</math><ref>{{cite book|title=Лекции по Высшей Математике|author=Мышкис А. Д.|year=1973}}</ref>):
: <math> S = \iint\limits_{\Omega}d\Omega = \iint\limits_{\Omega '} \sqrt{1 + \left(\frac{\partial z}{\partial x}\right)^2 + \left(\frac{\partial z}{\partial y} \right)^2 }\, dx dy.</math>

== Корисні рівняння ==
[[Файл:Area.svg|right|200px]]

=== Поширені рівняння для обчислення площі планіметричних фігур ===

{| class="wikitable"
! Фігура
! Рівняння
! Змінні
|-
|[[Квадрат]]
|<math>s^2\,\!</math>
|<math>s</math>&nbsp;— довжина сторони квадрата.
|-
|[[Правильний трикутник]]
||<math>\frac{\sqrt{3}}{4}s^2\,\!</math>
||<math>s</math>&nbsp;— довжина сторони трикутника.
|-
|[[Правильний шестикутник]]
|<math>\frac{3\sqrt{3}}{2}s^2\,\!</math>
|<math>s</math>&nbsp;— довжина сторони шестикутника.
|-
|[[Правильний восьмикутник]]
|<math>2(1+\sqrt{2})s^2\,\!</math>
|<math>s</math>&nbsp;— довжина сторони восьмикутника
|-
|Правильний багатокутник
|<math>\frac{P^2/n} {4 \cdot \tan(\pi/n)}\,\!</math>
|<math>P</math>&nbsp;— периметр, а <math>n</math>&nbsp;— кількість сторін.
|-
|Правильний багатокутник (кути в градусах)
|<math>\frac{P^2/n} {4 \cdot \tan(180^\circ/n)}\,\!</math>
|<math>P</math>&nbsp;— периметр, а <math>n</math>&nbsp;— кількість сторін.
|-
|Прямокутний [[трикутник]]
|<math>\frac{ab}{2}\,\!</math>
|<math>a</math> і <math>b</math>&nbsp;— катети трикутника.
|-
|rowspan=4|Довільний [[трикутник]]
|<math>\frac{1}{2}ah\,\!</math>
|<math>a</math>&nbsp;— сторона трикутника, <math>h</math>&nbsp;— висота, проведена до цієї сторони.
|-
|<math>\frac{1}{2}ab \sin \alpha\,\!</math>
|<math>a</math>, <math>b</math>&nbsp;— будь-які дві сторони, <math>\alpha</math>&nbsp;— кут між ними.
|-
|<math>\sqrt{p(p - a)(p - b)(p - c)}\,\!</math> ([[формула Герона]])
|<math>a</math>, <math>b</math>, <math>c</math>&nbsp;— сторони трикутника, <math>p</math>&nbsp;— півпериметр <math> \left(p = \frac{a+b+c}{2}\right)</math>.
|-
|<math>\frac{1}{2}\begin{vmatrix}  x_0 & y_0 & 1 \\ x_1 & y_1 & 1 \\ x_2 & y_2 & 1 \end{vmatrix} </math>
|у випадку обходу вершин трикутника за годинниковою стрілкою отримаємо додатний результат, інакше від'ємний.
|-
|[[Прямокутник]]
|<math>ab \,\!</math>
|<math>a</math> та <math>b</math>&nbsp;— довжини сторін прямокутника (його довжина та ширина).
|-
|rowspan=2|[[Паралелограм]]
|<math>ah\,\!</math>
|<math>a</math> та <math>h</math>&nbsp;— довжина сторони та опущеної на неї висоти відповідно.
|-
|<math>ab \sin \alpha\,\!</math>
|<math>a</math> і <math>b</math>&nbsp;— сусідні сторони паралелограма, <math>\alpha</math>&nbsp;— кут між ними.
|-
|[[Ромб]]
|<math>\frac{1}{2}cd</math>
|<math>c</math> та <math>d</math>&nbsp;— довжини [[діагональ|діагоналей]] ромба
|-
|[[Трапеція]]
|<math>\frac{1}{2}(a+b)h \,\!</math>
|<math>a</math> та <math>b</math>&nbsp;— паралельні сторони а <math>h</math>&nbsp;— відстань між ними (висота [[Трапеція|трапеції]])
|-
| Довільний [[чотирикутник]]
| style="text-align:center" | <math>\sqrt{(p-a)(p-b)(p-c)(p-d)-abcd\cos^2\alpha}</math> <br/> ([[формула Брамагупти]])
| <math>a</math>, <math>b</math>, <math>c</math>, <math>d</math>&nbsp;— сторони чотирикутника, <math>p</math>&nbsp;— його півпериметр, <math>\alpha</math>&nbsp;— півсума протилежних кутів кутів чотирикутника
|-
| Довільний [[многокутник]] (опуклий і неопуклий)
| style="text-align:center" | <math>\frac{1}{2}\left|\sum^{n}_{i=1}(x_{i+1}-x_i)(y_{i+1}+y_i)\right|</math> <br/> ([[метод трапецій (математика)|метод трапецій]])
| <math>(x_i;y_i)</math>&nbsp;— координати вершин многокутника за порядком їх обходу, замикаючи останню з першою: <math>(x_{n+1};y_{n+1})=(x_1;y_1)</math>; при наявності отворів напрям їх обходу&nbsp;— протилежний до напряму обходу зовнішньої границі многокутника
|-
|[[Еліпс]]
|<math>\pi ab \,\!</math>
|<math>a</math> та <math>b</math>&nbsp;— довжини малої та великої півосей відповідно
|}

=== Формули для обчислення площі поверхні тіл у просторі ===

{| class="wikitable"
! Тіло
! Рівняння
! Змінні
|-
|Повна площа поверхні [[циліндр]]а
|<math>2\pi r^2+2\pi r h \,\!</math>
|<math>r</math> та <math>h</math>&nbsp;— радіус та висота відповідно.
|-
|Площа бічної поверхні [[циліндр]]а
|<math>2 \pi r h \,\!</math>
|<math>r</math> та <math>h</math>&nbsp;— радіус та висота відповідно.
|-
|Повна площа [[конус]]а
|<math>\pi r (l + r) \,\!</math>
|<math>r</math> та <math>l</math>&nbsp;— радіус та висота бічної поверхні відповідно.
|-
|Площа бічної поверхні [[конус]]а
|<math>\pi r l \,\!</math>
|<math>r</math> та <math>l</math>&nbsp;— радіус та твірна бічної поверхні відповідно.
|-
|Площа поверхні [[сфера|сфери]] ([[Куля (геометрія)|кулі]])
|<math>4\pi r^2\,\!</math> або <math>\pi d^2\,\!</math>
|<math>r</math> та <math>d</math> радіус та діаметр, відповідно.
|}

Наведені вище формули призначені для обчислення площі багатьох фігур.

=== Формули для обчислення площі круга, його частин, описаних і вписаних у коло фігур ===

{| class="wikitable"
! Фігура
! Рівняння
! Змінні
|-
|[[Круг]]<!-- Саме круг, а не коло! В кола немає площі. -->
|<math>\pi r^2 \,\!</math> або <math>\frac{\pi d^2}{4} \,\!</math>
|<math>r</math>&nbsp;— радіус, а <math>d</math>&nbsp;— [[діаметр]] круга.
|-
|[[Сектор (геометрія)|Сектор круга]]
|<math>\frac{\alpha r^2}{2}\,\!</math>
|<math>r</math>&nbsp;— радіус круга, <math>\alpha</math>&nbsp;— центральний кут сектора (в [[радіан]]ах).
|-
|[[Сегмент круга]]
|<math>\frac{r^2}{2}(\alpha - \sin \alpha)\,\!</math>
|<math>r</math>&nbsp;— радіус круга, <math>\alpha</math>&nbsp;— центральний кут сегмента (в [[радіан]]ах).
|-
|Трикутник, вписаний у коло
|<math>\frac{abc}{4R}</math>
|<math>a</math>, <math>b</math>, <math>c</math>&nbsp;— сторони трикутника, <math>R</math>&nbsp;— радіус описаного кола.
|-
|Довільний багатокутник, описаний навколо кола
|<math>\frac{1}{2}Pr\,\!</math>
|<math>r</math>&nbsp;— радіус кола, вписаного в багатокутник, а <math>P</math>&nbsp;— [[периметр]] багатокутника.
|}

== Вимірювання площ ==
[[Файл:Planimeter Full.jpg|thumb|200px|Планіметр Амслера-Кораді у робочому положенні]]
Прилад, що слугує для простого механічного визначення площ (інтегрування) плоских замкнутих контурів носить назву ''[[планіметр]]''.

Найбільше використовувалась одна з можливих реалізацій даного приладу&nbsp;— планіметр Амслера-Кораді, фактично є частковим випадком [[аналогова обчислювальна машина|аналогового обчислювального пристрою]]. Основними частинами найпоширенішого планіметра є обвідний важіль з штифтом, який обводить контур фігури і лічильний механізм, що, фіксуючи переміщення штифта, вказує шукану величину площі<ref>[http://leksika.com.ua/11630628/ure/planimetr «Планіметр» ] {{Webarchive|url=https://web.archive.org/web/20170326050953/http://leksika.com.ua/11630628/ure/planimetr |date=26 березня 2017 }}// {{УРЕ}}</ref>.

== Одиниці вимірювання площ ==

=== Метричні одиниці ===
[[Файл:Area conversion - square mm in a square cm.png|thumb|В одному [[квадратний сантиметр|квадратному сантиметрі]] міститься 100 квадратних міліметрів]]
[[Файл:1 km2.svg|thumb|В одному [[квадратний кілометр|квадратному кілометрі]] міститься 100 [[гектар]]ів]]
* [[Квадратний кілометр]], 1 км² = 1 000 000 м²;
* [[Гектар]], 1 га = 10 000 м²;
* [[Ар]] ([[сотка]]), 1а = 100 м²;
* [[Квадратний метр]], похідна одиниця системи [[Міжнародна система одиниць (SI)|SI]]<ref name=B>[[Міжнародне бюро мір і ваги|Bureau International des Poids et Mesures]] [http://www.bipm.org/en/CGPM/db/11/12/ Resolution 12 of the 11th meeting of the CGPM (1960)] {{Webarchive|url=https://web.archive.org/web/20120728105135/http://www.bipm.org/en/CGPM/db/11/12/ |date=28 липня 2012 }}, retrieved 15 July 2012</ref>;
* [[Квадратний метр|Квадратний сантиметр]], 1 см² = 0,0001 м²;
* [[Квадратний міліметр]], 1 мм² = 0,000 001 м².

=== Британські/американські одиниці ===
* [[Квадратний дюйм]], 1 in² = 0,000645 м²;
* [[Квадратний фут]], 1&nbsp;ft² = 144 in² = 0,09 м²;
* [[Квадратний ярд]], 1 yr² = 9&nbsp;ft² = 0,84 м²;
* 1 [[квадратна миля]] = 2589987,83 м² = 2,59 км².

=== Стародавні одиниці ===
* [[Морг поля|Морг]] (Середньовічна Європа), найчастіше 1 морг = 0,57 [[гектар|га]] = 5700 м² (прусський морг&nbsp;— 0,2553 га)
* [[Дьонюм|Дуньом]] (Османська імперія), 1 дунам = 919,3 м²
* [[Арура (єгипетська)|Арура]] (Стародавній Єгипет), 1 арура = 2735,29 м²
* [[Плефр]] (Візантія), 1 плефр = 1261,9 м²
* [[Унція]] (Римська імперія), 1 унція = 209,91 м²
* [[Югер]] (Римська імперія)), 1 югер = 12 унцій = 2519 м²
* [[Центурія]] (Римська імперія), 1 центурія = 200 югерів = 503800 м².

== Площі деяких об'єктів ==
{| class="wikitable"
|-
! Об'єкт !! Площа у квадратних метрах
|-
| [[Ядерна пора]] || 2×10<sup>-14</sup><ref>[http://www.ks.uiuc.edu/Research/npc/ Gateway to the Nucleus ] {{Webarchive|url=https://web.archive.org/web/20130822054452/http://www.ks.uiuc.edu/Research/npc/ |date=2013-08-22 }}{{ref-en}}</ref>
|-<ref>[]</ref>
| Бактерія [[E. coli]] || 6×10<sup>-12</sup><ref>[https://web.archive.org/web/20111027220034/http://www.ccdb.ualberta.ca/CCDB/cgi-bin/STAT_NEW.cgi  General Statistics]{{ref-en}}</ref>
|-
| [[Піксель]] у [[Рідкокристалічний дисплей|LCD дісплеї]] 3D-окулярів || 7×10<sup>-11</sup><ref>[https://www.sven.de/dpi/ DPI Calculator] {{Webarchive|url=https://web.archive.org/web/20200717113342/https://www.sven.de/dpi/ |date=17 липня 2020 }}{{ref-en}}</ref>
|-
| Переріз людської [[Волосся|волосини]] || 5×10<sup>-9</sup>
|-
| [[Центральна ямка]] ока|| 9×10<sup>-8</sup>
|-
| Дірка від [[діркопробивач]]а || 4×10<sup>-5</sup>
|-
| [[Поштова марка]] || 5×10<sup>-4</sup>
|-
| [[Кредитна картка]] || 4,6×10<sup>-3</sup>
|-
| [[ISO 216|Лист А4]] || 0,0625
|-
| [[Баскетбольний м'яч]] || 0,18
|-
| Середня площа людини || 1,73<ref>[https://www.ncbi.nlm.nih.gov/pmc/articles/PMC2812484/ The Average Body Surface Area of Adult Cancer Patients in the UK: A Multicentre Retrospective Study] {{Webarchive|url=https://web.archive.org/web/20220303212702/http://www.ncbi.nlm.nih.gov/pmc/articles/PMC2812484/ |date=3 березня 2022 }}{{ref-en}}</ref>
|-
| Легені людини || 70<ref>[https://books.google.com.ua/books?id=pAuiWvNHwZcC&pg=PA120 Lung Surfactants: Basic Science and Clinical Applications] {{Webarchive|url=https://web.archive.org/web/20200722200258/https://books.google.com.ua/books?id=pAuiWvNHwZcC&pg=PA120 |date=22 липня 2020 }}{{ref-en}}</ref>
|-
| Футбольне поле || 7140
|-
| [[Майдан Свободи (Харків)]] || 119 000
|-
| [[Ватикан]] || 440 000
|-
| [[Монако]] || 2×10<sup>6</sup>
|-
| [[Шпола]] (17000 жителів) || 6,1×10<sup>7</sup>
|-
| [[Київ]] || 8,4×10<sup>8</sup>
|-
| [[Сиваш (Генічеський район)|Озеро Сиваш]] || 4×10<sup>9</sup>
|-
| [[Чернівецька область]] || 8×10<sup>9</sup>
|-
| [[Шрі-Ланка]] || 6,5×10<sup>10</sup>
|-
| [[Україна]] || 6×10<sup>11</sup>
|-
| [[Римська імперія]] (максимальна площа) || 5×10<sup>12</sup><ref>[http://peterturchin.com/PDF/Turchin_Adams_Hall_2006.pdf East-West Orientation of Historical Empires and Modern States] {{Webarchive|url=http://arquivo.pt/wayback/20160517210851/http://peterturchin.com/PDF/Turchin_Adams_Hall_2006.pdf |date=17 травня 2016 }}{{ref-en}}</ref>
|-
| [[Місяць (супутник)|Місяць]] || 3,7×10<sup>13</sup>
|-
| [[Земля]] || 5,1×10<sup>14</sup>
|-
| [[Нептун (планета)|Нептун]] || 7,6×10<sup>15</sup>
|-
| [[Юпітер (планета)|Юпітер]] || 6,1×10<sup>16</sup>
|-
| [[Сонце]] || 6,1×10<sup>18</sup>
|-
| [[Альдебаран]] || 11,8×10<sup>21</sup>
|-
| [[Бетельгейзе]] || 4,8×10<sup>24</sup>
|-
| [[UY Щита]] || 1,8×10<sup>25</sup>
|-
| Площа, що замітається [[Плутон (карликова планета)|Плутоном]] при переміщенні по орбіті || 1,1×10<sup>26</sup>
|-
| [[Хмара Оорта]] || 5,1×10<sup>32</sup>
|-
| [[Чумацький Шлях]] (приблизна площа галактичного диску) || 5,1×10<sup>32</sup><ref>[https://imagine.gsfc.nasa.gov/features/cosmic/milkyway_info.html The Milky Way] {{Webarchive|url=https://web.archive.org/web/20150810122028/https://heasarc.gsfc.nasa.gov/docs/cosmic/milkyway_info.html |date=10 серпня 2015 }}{{ref-en}}</ref>

|}

== Див. також ==
{{Портал|Математика}}
* [[Площа поверхні]]
* [[Метод вичерпування]]
* [[Поверхневий інтеграл]]
* [[Принцип Кавальєрі]]
* [[Одна сьома площі трикутника]]
* [[Найбільший многокутник одиничного діаметра]]

== Примітки ==
{{reflist|2}}

== Джерела ==
* {{Книга|автор=[[Борисенко Олександр Андрійович|Борисенко О. А.]] |назва=Диференціальна геометрія і топологія: Навч. посібник для студ. |рік=1995 |місце = Харків|видавництво = Основа |розміщення= |isbn=5-7768-0388-8 |сторінок=304|ref =Борисенко }}
* {{книга |Заголовок = Энциклопедия элементарной математики|частина= [http://ilib.mccme.ru/djvu/encikl/enc-el-5.htm Геометрия] |посилання =  |відповідальний = Под редакцией [[Александров Павло Сергійович|П. С. Александрова]], А. И. Маркушевича и А. Я. Хинчина|місце = М. |видавництво = Наука |рік = 1966|сторінок = 624|том=5|ref = Энциклопедия элементарной математики, кн. 5}}{{ref-ru}}
* {{Фіхтенгольц.укр}}
* {{книга |заголовок = История математики: в 3 т.|частина = [http://ilib.mccme.ru/djvu/istoria/istmat1.htm С древнейших времён до начала Нового времени] |посилання =  |відповідальний = Под редакцией [[Юшкевич Адольф Павлович|А. П. Юшкевича]]   |місце=М. |видавництво=Наука | рік=1970 |том=1  |сторінок = 352 |ref = История математики, т. I}}{{ref-ru}}
* {{книга   |заголовок=История математики: в 3 т. |частина = [http://ilib.mccme.ru/djvu/istoria/istmat2.htm Математика XVII столетия]  |посилання =  |відповідальний = Под редакцией А. П. Юшкевича   |місце=М. |видавництво=Наука |рік=1970 |том=2  | сторінок= 300|ref = История математики, т. II}}{{ref-ru}}
* {{Книга   |автор = Boyer C. B., Merzbach U. C.   |заголовок = A History of Mathematics   |ссылка = http://books.google.ca/books?id=BokVHiuIk9UC&source=gbs_navlinks_s   |рік = 2010   |видавництво = John Wiley & Sons   |сторінок = 640   |ref = Boyer & Merzbach   |назва =    |archivedate = 9 липня 2019   |archiveurl = https://web.archive.org/web/20190709130802/https://books.google.ca/books?id=BokVHiuIk9UC&source=gbs_navlinks_s   }}{{ref-en}}

== Посилання ==
* {{Клепко_ВМ|частина=Обчислення площ плоских фігур|сторінки= 425}}
{{Commons category|Area}}
* [http://ua.onlinemschool.com/math/formula/area/ Формули площі геометричних фігур] {{Webarchive|url=https://web.archive.org/web/20170428110316/http://ua.onlinemschool.com/math/formula/area/ |date=28 квітня 2017 }} на сайті «OnlineMSchool»
* ''Гейдман Б. П.'' [http://www.mccme.ru/mmmf-lectures/books/books/book.9.pdf Площади многоугольников] {{Webarchive|url=https://web.archive.org/web/20170610050706/http://www.mccme.ru/mmmf-lectures/books/books/book.9.pdf |date=10 червня 2017 }}.&nbsp;— М.: МЦНМО, 2001&nbsp;— 24 с.&nbsp;— (Библиотека «Математическое просвещение», выпуск 9).&nbsp;— ISBN 5-900916-72-3.
{{бібліоінформація}}
[[Категорія:Площа| ]]
[[Категорія:Надпопулярні статті]]