Перегляд вихідного коду сторінки Періодична послідовність

У [[Математика|математиці]] '''періодична послідовність''' — це [[послідовність]], у якій ті самі [[Терм (логіка)|терми]] повторюються знову і знову:

: ''a''<sub>1</sub>, ''a''<sub>2</sub>, ..., ''a''<sub>''p''</sub>,&nbsp;&nbsp;''a''<sub>1</sub>, ''a''<sub>2</sub>, ..., ''a''<sub>''p''</sub>,&nbsp;&nbsp;''a''<sub>1</sub>, ''a''<sub>2</sub>, ..., ''a''<sub>''p''</sub>, ...

Кількість ''р'' повторюваних доданків називають '''періодом'''<ref name=":0">{{Cite web|date=7 лютого 2011|title=Ultimately periodic sequence - Encyclopedia of Mathematics|url=https://encyclopediaofmath.org/index.php?title=Ultimately_periodic_sequence&oldid=15942|url-status=live|accessdate=13 серпня 2021|website=encyclopediaofmath.org}}</ref>.

== Визначення ==
'''(Чисто) періодична''' послідовність (з '''періодом ''p'''''), або '''''p''-періодична послідовність''', це послідовність ''a''<sub>1</sub>, ''a''<sub>2</sub>, ''a''<sub>3</sub>, ..., у якій

: ''a''<sub>''n''+''p''</sub> = ''a''<sub>''n''</sub>

для всіх значень ''n''<ref name=":0"/><ref name=":1">{{Cite web|last=Weisstein|first=Eric W.|title=Periodic Sequence|url=https://mathworld.wolfram.com/PeriodicSequence.html|accessdate=2021-08-13|website=mathworld.wolfram.com|language=en}}</ref><ref>{{Cite web|last=Bosma|first=Wieb|title=Complexity of Periodic Sequences|url=https://www.math.ru.nl/~bosma/pubs/periodic.pdf|url-status=live|accessdate=13 серпня 2021|website=www.math.ru.nl}}</ref><ref name=":2">{{Cite journal|last=Janglajew|first=Klara|last2=Schmeidel|first2=Ewa|date=2012-11-14|title=Periodicity of solutions of nonhomogeneous linear difference equations|url=https://doi.org/10.1186/1687-1847-2012-195|journal=Advances in Difference Equations|volume=2012|issue=1|pages=195|doi=10.1186/1687-1847-2012-195|issn=1687-1847|doi-access=free}}</ref><ref>{{Cite book
|url=https://books.google.com/books?id=YyCyDwAAQBAJ&dq=%22periodic+sequence%22+AND+%22cycle%22&pg=PA180
|title=Handbook of Applied Cryptography
|last=Menezes
|first=Alfred J.
|last2=Oorschot
|first2=Paul C. van
|last3=Vanstone
|first3=Scott A.
|date=2018-12-07
|publisher=CRC Press
|language=en
|isbn=978-0-429-88132-9
}}</ref>. Якщо послідовність розглядати як [[Функція (математика)|функцію]], областю визначення якої є множина [[Натуральне число|натуральних чисел]], то періодична послідовність є просто особливим типом [[Періодична функція|періодичної функції]]. Найменше значення ''p'', для якого періодична послідовність є ''p''-періодичною, називають її '''найменшим періодом'''<ref name=":0" /><ref name=":3">{{Cite web|last=Weisstein|first=Eric W.|title=Least Period|url=https://mathworld.wolfram.com/LeastPeriod.html|accessdate=2021-08-13|website=mathworld.wolfram.com|language=en}}</ref> або '''точним періодом'''<ref name=":3" />. 

== Приклади ==
Кожна стала функція є 1-періодичною<ref name=":2"/>.

Послідовність <math>1,2,1,2,1,2\dots</math> є періодичною з найменшим періодом 2<ref name=":1"/>.

Послідовність цифр у [[Десяткова система числення|десятковому]] розкладі 1/7 є періодичною з періодом 6:

: <math>\frac{1}{7} = 0.142857\,142857\,142857\,\ldots</math>

Загалом, послідовність цифр у десятковому розкладі будь-якого [[Раціональне число|раціонального числа]] є періодичною (див. нижче)<ref>{{Cite web|last=Hosch|first=William L.|date=1 червня 2018|title=Rational number|url=https://www.britannica.com/science/rational-number|url-status=live|accessdate=13 серпня 2021|website=Encyclopedia Britannica|language=en}}</ref>. 

Послідовність степенів &#x2212; 1 є періодичною з періодом два:

: <math>-1,1,-1,1,-1,1,\ldots</math>

Загальніше, послідовність степенів будь-якого [[Корінь з одиниці|кореня з одиниці]] є періодичною. Те саме справедливо для степенів будь-якого елемента скінченного [[Порядок (теорія груп)|порядку]] в [[Група (математика)|групі]]{{Джерело}}.

[[Періодична точка]] для функції {{Math|''f'' : ''X'' → ''X''}} — точка {{Mvar|x}}, [[Орбіта (динаміка)|орбіта]] якої

: <math>x,\, f(x),\, f(f(x)),\, f^3(x),\, f^4(x),\, \ldots</math>

є періодичною послідовністю. Тут, <math>f^n(x)</math> означає {{Nobr|{{mvar|n}}-разову}} [[Композиція функцій|композицію]] {{Mvar|f}}, застосовану до {{Mvar|x}}<ref name=":3"/>.  Періодичні точки важливі в теорії [[Динамічна система|динамічних систем]]. Кожна функція від [[Скінченна множина|скінченної множини]] на саму себе має періодичну точку; [[виявлення циклу]] — це алгоритмічна задача знаходження такої точки.

== Тотожності ==

=== Часткові суми ===

: <math>\sum_{n=1}^{kp+m} a_{n} = k*\sum_{n=1}^{p} a_{n} + \sum_{n=1}^{m} a_{n}</math>, де k і m<p — натуральні числа{{Джерело}}.

=== Часткові добутки ===

: <math>\prod_{n=1}^{kp+m} a_{n} = ({\prod_{n=1}^{p} a_{n}})^k * \prod_{n=1}^{m} a_{n}</math>, де k і m<p — натуральні числа{{Джерело}}.

== Періодичні послідовності нулів і одиниць ==
Будь-яку періодичну послідовність можна побудувати поелементним додаванням, відніманням, множенням і діленням періодичних послідовностей, що складаються з нулів і одиниць. Періодичні нульові та одиничні послідовності можна виразити як суми тригонометричних функцій:

: <math>\sum_{k=1}^{1} \cos (-\pi\frac{n(k-1)}{1})/1 = 1,1,1,1,1,1,1,1,1...</math>&nbsp;— період 1,

: <math>\sum_{k=1}^{2} \cos (2\pi\frac{n(k-1)}{2})/2 = 0,1,0,1,0,1,0,1,0...</math>&nbsp;— період 2,

: <math>\sum_{k=1}^{3} \cos (2\pi\frac{n(k-1)}{3})/3 = 0,0,1,0,0,1,0,0,1,0,0,1,0,0,1...</math>&nbsp;— період 3,

: <math>...</math>

: <math>\sum_{k=1}^{N} \cos (2\pi\frac{n(k-1)}{N})/N = 0,0,0...,1</math>&nbsp;— період <math>N</math>.

== Узагальнення ==
Послідовність є '''зрештою періодичною''', якщо її можна зробити періодичною, відкинувши деяку скінченну кількість початкових членів. Наприклад, послідовність цифр у десятковому розкладі 1/56 є періодичною:

: 1/56 = 0. 0 1 7&nbsp;&nbsp;8 5 7 1 4 2&nbsp;&nbsp;8 5 7 1 4 2&nbsp;&nbsp;8 5 7 1 4 2&nbsp;&nbsp;... {{джерело}}

Послідовність є '''остаточно періодичною''', якщо вона задовольняє умову <math>a_{k+r} = a_k</math> для деякого ''r'' і достатньо великого ''k''<ref name=":0"/>.

Послідовність є '''асимптотично періодичною''', якщо її члени наближаються до членів періодичної послідовності. Тобто послідовність ''x''<sub>1</sub>,&nbsp;''х''<sub>2</sub>,&nbsp;''х''<sub>3</sub>,&nbsp;... є асимптотично періодичною, якщо існує періодична послідовність ''a''<sub>1</sub>,&nbsp;''a''<sub>2</sub>,&nbsp;''a''<sub>3</sub>,&nbsp;... для якої

: <math>\lim_{n\rightarrow\infty} x_n - a_n = 0.</math><ref name=":2"/><ref>{{Cite book
|url=https://books.google.com/books?id=Yc03DwAAQBAJ&dq=%22asymptotically+periodic+sequence%22+AND+%22definition%22+-wikipedia&pg=PA12
|title=New Developments in Difference Equations and Applications: Proceedings of the Third International Conference on Difference Equations
|last=Cheng
|first=SuiSun
|date=2017-09-29
|publisher=Routledge
|language=en
|isbn=978-1-351-42880-4
}}</ref><ref>{{Cite journal|last=Shlezinger|first=Nir|last2=Todros|first2=Koby|date=2019-01-01|title=Performance analysis of LMS filters with non-Gaussian cyclostationary signals|url=https://arxiv.org/pdf/1708.00635.pdf|journal=Signal Processing|language=en|volume=154|pages=260–271|arxiv=1708.00635|doi=10.1016/j.sigpro.2018.08.008|issn=0165-1684}}</ref> 

Наприклад, послідовність

: 1/3,&nbsp;&nbsp;2/3,&nbsp;&nbsp;1/4,&nbsp;&nbsp;3/4,&nbsp;&nbsp;1/5,&nbsp;&nbsp;4/5,&nbsp;&nbsp;. . .

є асимптотично періодичною, оскільки її члени наближаються до членів періодичної послідовності 0, 1, 0, 1, 0, 1, .... 

== Примітки ==
{{примітки|2}}
{{Послідовності й ряди}}
[[Категорія:Ряди та послідовності]]