Перегляд вихідного коду сторінки Перетин множин

{{redirect|Перетин}}
{{unibox}}
{{Теоретико-множинні операції}}
В [[математика|математиці]], зокрема в [[теорія множин|теорії множин]], '''пере́тином'''{{джерело}} двох [[множина|множин]] ''A'' і ''B'' називається множина, яка складається з усіх елементів множини ''A'', які водночас належать і множині ''B'' та навпаки (всі елементи множини ''B'', які належать ''A'') і тільки них. Вона і позначається як "''A''&cap;''B'' та є підмножиною обох.
[[Файл:Venn_A_intersect_B.svg|150px|right|thumb|Перетин множин ''A'' та ''B'']]

Формально: 
:<math>A \cap B = \{x \mid x\in A \wedge x \in B\}.</math>; <math>A \cap B \subseteq A \land A \cap B \subseteq B</math>

Якщо одна множина є підмножиною другої, то їхній перетин дорівнює першій множині:
<math>A \subseteq B \to A \cap B = A</math>

Якщо перетин двох множин ''A'' і ''B'' є порожнім, тобто не містить спільних елементів, то кажуть, що такі множини не перетинаються.

Цей факт позначається як ''A''&cap;''B''&nbsp;=&nbsp;&Oslash;.

'''Приклади:'''
* {1, 2, 3} &cap; {2, 3, 4} = {2, 3}.
* {1, 2} &cap; {3, 4} = &Oslash;.

== Алгебраїчні властивості ==
* Перетин множин є [[бінарна операція|бінарною операцією]] на довільному [[булеан]]і <math>2^X</math>;
* Операція перетину множин [[комутативність|комутативна]]:
:<math>A \cap B = B \cap A; \!</math>
* Операція перетину множин [[Асоціативність|асоціативна]]:
:<math>(A\cap B) \cap C = A \cap (B \cap C); \!</math>
* [[Універсальна множина]] <math>X</math> є [[нейтральний елемент|нейтральним елементом]] операції перетину множин:
:<math>A\cap X = A; \!</math>
* З вищеперечислених властивостей випливає, що булеан з операцією перетину множин є [[Абелева група|абелевою групою]];
* Операція перетину множин [[Ідемпотентність|ідемпотентна]]:
:<math>A \cap A = A; \!</math>
* Якщо <math>\emptyset</math> — [[порожня множина]], то
:<math>A \cap \emptyset = \emptyset.</math>

== Перетин довільної кількості множин ==
В загальному випадку, якщо множина '''M''' є непорожньою множиною, елементами якої в свою чергу є множини. Тоді елемент ''x'' є елементом перетину '''M''' тоді й тільки тоді, коли для кожного елемента ''A'' з '''M''', ''x'' є елементом ''A''.

В символьній формі:
:<math> x \in \bigcap \mathbf{M} \iff \forall A \in \mathbf{M}, \ x \in A .</math>

Наприклад, множина ''A''&cap;''B''&cap;''C'' є перетином такої колекції множин {''A'',''B'',''C''}.

Позначення перетину довільної кількості множин такі:
: <math>\bigcap \mathbf{M},</math> або <math>\bigcap_{A\in\mathbf{M}} A.</math>

Остання нотація може бути узагальнена до
: <math>\bigcap_{i\in I} A_{i},</math>
що позначає перетин колекції множин {''A''<sub>''i''</sub>&nbsp;: ''i''&nbsp;&isin;&nbsp;''I''}.
Тут ''I'' - непорожня множина, і ''A''<sub>''i''</sub> - множина для кожного ''i'' в ''I''.

В цьому випадку ''I'' є [[індексна множина]] (тобто множина індексів, [[натуральне число|натуральних чисел]]), і можна застосувати нотацію, аналогічну нотації для сум:
: <math>\bigcap_{i=1}^{\infty} A_i</math>

Також можна писати "''A''<sub>1</sub>&nbsp;&cap; ''A''<sub>2</sub>&nbsp;&cap; ''A''<sub>3</sub>&nbsp;&cap; ...

== Див. також ==
* [[Кон'юнкція]]
* [[Переріз множини дійсних чисел]]

== Джерела ==
* {{Куратовский.Мостовский.Теория множеств}}

{{Теорія множин}}
{{Математична логіка}}

[[Категорія:Теорія множин]]
[[Категорія:Бінарні операції]]
[[Категорія:Основні поняття теорії множин]]
[[Категорія:Операції над множинами]]
[[Категорія:Перетин]]