Перегляд вихідного коду сторінки Перетворення Радона

{{unibox}}[[Файл:Radon_transform.png|міні|Перетворення Радона. Карти ''f'' на (''x, y'') -область ''Rf'' на (''α, з'') -область.]]
[[Файл:Sinogram_-_Two_Square_Indicator_Phantom.svg|праворуч|міні| Перетворення Радона для [[Характеристична функція|характеристичної функції]] двох квадратів, зображених на малюнку нижче. Більш світлі області вказують на більші значення функцій. Чорний колір позначає нуль. ]]
[[Файл:Sinogram_Source_-_Two_Squares_Phantom.png|праворуч|міні| Початкова функція дорівнює одиниці на білій області і нулю в темній області.]]
В [[Математика|математиці]] '''перетворення Радона'''&nbsp;— це [[інтегральне перетворення]], яке переводить функцію ''f,'' визначену на площині, в функцію ''Rf,'' визначену на (двовимірному) просторі з прямих на площині, значення якої у певній прямій дорівнює [[Криволінійний інтеграл|криволінійному інтегралу]] від цієї функції над цією прямою.

Перетворення було введене в 1917 році {{Нп|Йоган Радон|Йоганом Радоном||Johann Radon}}{{Sfn|Radon|1917}} який також надав формулу зворотного перетворення. Крім того, Радон визначив формули для перетворення в [[Тривимірний опис об'єкта|трьох вимірах]], в яких інтегрування відбувається на площині (інтегрування по лініях відоме як {{Нп|рентгенівське перетворення|||X-ray transform}}). Пізніше це було узагальнено до [[Евклідів простір|евклідових просторів]] більш високого розміру, а ширше&nbsp;— в контексті інтегральної геометрії. [[Комплексне число|Комплексний]] аналог перетворення Радона відомий як {{Нп|перетворення Пенроуза|||Penrose transform}}. Перетворення Радона широко застосовується для [[Томографія|томографії]], створення зображення з проєкційних даних, пов'язаних із скануванням поперечного перерізу об'єкта.

== Пояснення ==
Якщо функція <math>f</math> представляє невизначену щільність, тоді перетворення Радона представляє дані проєкції, отримані як вихід томографічного сканування. Отже, зворотне перетворення Радона може бути використане для реконструкції початкової щільності з даних проєкції, і таким чином воно формує математичну основу {{Нп|Томографічна реконструкція|томографічної реконструкції||Tomographic reconstruction}}, також відому як ітеративна реконструкції.

Дані про перетворення Радона часто називають '''синограмою,''' оскільки перетворення Радона в центрі точкового джерела є синусоїдою. Отже, перетворення Радона для ряда дрібних предметів графічно постає як кількість розмитих [[Синусоїда|синусоїд]] з різними амплітудами та фазами.

Перетворення Радона корисна при [[Комп'ютерна томографія|комп'ютерній томографії]] (КВТ-сканування), також застосовується у сканерах [[штрих-код]]ів, [[Електронний мікроскоп|електронній мікроскопії]], [[Макромолекулярний комплекс|макромолекулярних комплексах]], таких як [[вірус]]и та [[Білковий комплекс|білкові комплекси]], [[Рефлекторна сейсмологія|рефлекторній сейсмології]] та при вирішенні гіперболічних [[Диференціальне рівняння з частинними похідними|часткових диференціальних рівнянь]].

== Визначення ==
Нехай ''ƒ''('''x''')&nbsp;= ''ƒ''(''x'', ''y'')&nbsp;— функція, яка задовольняє трьом умовам регулярності<ref>{{Cite journal|last=Radon|first=J.|date=December 1986|title=On the determination of functions from their integral values along certain manifolds|journal=IEEE Transactions on Medical Imaging|volume=5|issue=4|pages=170–176|doi=10.1109/TMI.1986.4307775|pmid=18244009}}</ref>:

# ''ƒ''(''x'', ''y'') — неперервна
# подвійний інтеграл <math>\int\int\frac{|f(x,y)|}{\sqrt{x^2+y^2}}dxdy</math>, що визначений на всій площині, збігається
# для будь-якої довільної точки <math>(x,y)</math> на площині виконується, що <math>\lim_{r\to\infty}\int_0^{2\pi}f(x+r\cos\phi,y+r\sin\phi)d\phi=0</math>

Перетворення Радона, ''Rƒ'', є функцією, визначеною на просторі прямих ''L'' в просторі '''R'''<sup>2</sup> [[Криволінійний інтеграл|криволінійно інтегрованою]] вздовж кожної такої прямої, як

: <math>Rf(L) = \int_L f(\mathbf{x})\,|d\mathbf{x}|.</math>

Конкретніше, параметризацію будь-якої прямої ''L'' щодо довжини дуги ''z'' завжди можна записати як

: <math>(x(z),y(z)) = \Big( (z\sin\alpha+s\cos\alpha), (-z\cos\alpha+s\sin\alpha) \Big) \,</math>

де ''s''&nbsp;— відстань ''L'' від початку і <math>\alpha</math>&nbsp;— кут, який нормальний до ''L'' вектор утворює з віссю ''х''. Звідси випливає, що величини (α, ''s'') можна вважати координатами на просторі всіх ліній в '''R'''<sup>2</sup>, а перетворення Радона в цих координатах визначають як

: <math>\begin{align}Rf(\alpha,s) &= \int_{-\infty}^{\infty} f(x(z),y(z))\, dz\\ &= \int_{-\infty}^{\infty} f\big( (z\sin\alpha+s\cos\alpha), (-z\cos\alpha+s\sin\alpha) \big)\, dz\end{align}</math>

=== Більш загальне визначення ===
Нехай <math>f
</math> - функція на <math>\mathbb{R}^{n}
</math>, інтегровувана по кожній гіперплощині. Нехай також <math>\mathbb{P}^{n}
</math> простір усіх гіперплощин у <math>\mathbb{R}^{n}
</math>, наділене відповідною топологією. Перетворення Радона функції <math>f
</math> визначається як функція <math>\hat{f}
</math> на <math>\mathbb{P}^{n}
</math>, і задається формулою

<math>\hat{f}(\xi)=\int_{\xi}f(x)dm(x),
</math>

де <math>dm
</math> - евклідова міра на гіперплощині <math>\xi.
</math>

Гіперплощину <math>\xi\in\mathbb{P}^{n}
</math> можна записати у вигляді <math>\xi=\{x\in\mathbb{P}^{n}\,|\,(x,\omega)=p\},
</math> де <math>(\cdot,\cdot)
</math> - звичайний скалярний добуток, <math>\omega=(\omega_{1},...,\omega_{n})
</math> - одиничний вектор та <math>p\in\mathbb{R}.
</math> Пари <math>(\omega,p)
</math> та <math>(-\omega,-p)
</math> приводять до однієї і тої самої гіперплощини <math>\xi:
</math> відображення <math>(\omega,\pi)\rightarrow\xi
</math> є двократне накриття <math>\mathbb{S}^{n-1}\times\mathbb{R}
</math> на <math>\mathbb{P}^{n}
</math>. Таким чином, простір <math>\mathbb{P}^{n}
</math> має канонічну структуру многовиду, відносно якої це накриваюче відображення диференційовуване й регулярне<ref>{{Cite book|title=S.Helgason - The Radon transform.|last=|first=|year=|publisher=|location=|pages=|language=|isbn=}}</ref>.

== Зв'язок з перетворенням Фур'є ==
[[Файл:Radon_transform_via_Fourier_transform.png|міні|Обчислення двовимірного перетворення Радона через два перетворення Фур'є.]]
Перетворення Радона тісно пов'язане з [[Перетворення Фур'є|перетворенням Фур'є]]. Ми визначаємо тут універсальне перетворення Фур'є як

: <math>\hat{f}(\omega)=\int_{-\infty}^\infty f(x)e^{-2\pi ix\omega }\,dx.
</math>

і для функції для 2-х векторів <math>\mathbf{x}=(x,y)</math>,

: <math>
\hat{f}(\mathbf{w})=\int\limits_{-\infty}^{\infty}
\int\limits_{-\infty }^{\infty} f(\mathbf{x})e^{-2\pi i\mathbf{x}\cdot\mathbf{w}}\,dx\, dy.
</math>

Для зручності позначте <math>\mathcal{R}_\alpha[f](s)= \mathcal{R}[f](\alpha,s)</math>. Тоді {{Нп|Теорема про зріз Фур'є|теорема Фур'є про зріз функції||Fourier slice theorem}} констатує

: <math>
\widehat{\mathcal{R}_{\alpha}[f]}(\sigma)=\hat{f}(\sigma\mathbf{n}(\alpha))
</math>

де

: <math>\mathbf{n}(\alpha)= (\cos \alpha,\sin\alpha).</math>

Таким чином, двовимірне перетворення Фур'є початкової функції вздовж лінії під кутом нахилу <math>\alpha</math>&nbsp;— це перетворення Фур'є для однієї змінної над перетворенням Радона (отримане під кутом нахила <math>\alpha</math>) цієї функції. Цей факт може бути використаний для обчислення як перетворення Радона, так і зворотньої функції.

Результат можна узагальнити для ''n-мірного'' випадку

: <math>\hat{f}(r\alpha) = \int_{-\infty}^\infty \mathcal{R}f(\alpha,s)e^{-2\pi i sr}\, ds.</math>

== Подвійне перетворення ==
Подвійне перетворення Радона є своєрідним [[Спряжений оператор|примиканням]] до перетворення Радона. Починаючи з функції ''g'' на просторі Σ<sub>''n''</sub>, подвійне перетворення Радона — функція <math>\mathcal{R}^*g</math> на '''R'''<sup>''n''</sup>, яка визначається в такий спосіб

: <math>\mathcal{R}^*g(x) = \int_{x\in\xi} g(\xi)\,d\mu(\xi).</math>

Інтеграл тут береться за множину всіх гіперплощин, що проходять через точку ''х'' ∈ '''R'''<sup>''n''</sup>, а міра ''d'' є унікальною [[Міра ймовірності|мірою ймовірності]] на множині <math>\{\xi | x\in\xi\}</math> є інваріантом при обертанні навколо точки ''x''.

Конкретно, для двовимірного перетворення Радона подвійне перетворення задається таким чином

: <math>\mathcal{R}^*g(x) = \frac{1}{2\pi}\int_{\alpha=0}^{2\pi}g(\alpha,\mathbf{n}(\alpha)\cdot\mathbf{x})\,d\alpha.</math>

У контексті обробки зображень подвійне перетворення зазвичай називають ''зворотньою проєкцією''{{sfn|Roerdink|2001}} оскільки воно приймає функцію, визначену в кожній лінії в площині, і «розмазує» або проектує її назад по лінії для створення зображення.

=== Переплетення власності ===
Нехай Δ позначає [[оператор Лапласа]] на '''R''' <sup>''n''</sup>:

: <math>\Delta = \frac{\partial^2}{\partial x_1^2}+\cdots+\frac{\partial^2}{\partial x_n^2}.</math>

Це природний обертальний інваріантний [[диференціальний оператор]] другого порядку. На Σ<sub>''n''</sub>, «радіальна» друга похідна

: <math>Lf(\alpha,s) \equiv \frac{\partial^2}{\partial s^2} f(\alpha,s)</math>

також інваріантна відносно обертання. Перетворення Радона та його подвійний є переплетеними операторами для цих двох диференціальних операторів у тому сенсі, що{{Sfn|Helgason|1984|місце=Lemma I.2.1}}

: <math>\mathcal{R}(\Delta f) = L (\mathcal{R}f),\quad \mathcal{R}^* (Lg) = \Delta(\mathcal{R}^*g).</math>

Аналізуючи рішення хвильового рівняння в декількох просторових вимірах, властивість переплетення призводить до поступального представлення Лакса і Філіпса<ref>{{Cite journal|last=Lax|first=P. D.|last2=Philips|first2=R. S.|date=1964|title=Scattering theory|journal=Bull. Amer. Math. Soc.|volume=70|pages=130–142|doi=10.1090/s0002-9904-1964-11051-x}}</ref>. У візуалізації<ref>
{{Cite journal|last=Bonneel|first=N.|last2=Rabin|first2=J.|last3=Peyre|first3=G.|last4=Pfister|first4=H.|date=2015|title=Sliced and Radon Wasserstein Barycenters of Measures|url=http://hal.archives-ouvertes.fr/hal-00881872|journal=Journal of Mathematical Imaging and Vision|volume=51|pages=22–25|doi=10.1007/s10851-014-0506-3}}</ref> та чисельному аналізі<ref>{{Cite journal|last=Rim|first=D.|date=2018|title=Dimensional Splitting of Hyperbolic Partial Differential Equations Using the Radon Transform|journal=SIAM J. Sci. Comput.|volume=40|pages=A4184–A4207|arxiv=1705.03609|doi=10.1137/17m1135633}}</ref> це використовується для зменшення багатовимірних задач на одновимірні, як метод розмірного розщеплення.

== Підходи до реконструкції ==
Процес ''реконструкції'' створює зображення (або функцію <math>f</math> у попередньому розділі) з його проєкційних даних. ''Реконструкція''&nbsp;— обернена задача.

=== Формула інверсії радону ===
У двовимірному випадку найбільш часто використовується аналітична формула для відновлення <math>f</math> знаючи його перетворення ''Радона за допомогою формули відфільтрованої зворотньої проєкції'' або ''формули інверсії Радона'':

: <math>f(\mathbf{x})=\int^{\pi}_{0}(\mathcal{R}f(\cdot,\theta)*h)(\left\langle\mathbf{x},\mathbf{n}_{\theta} \right\rangle) d\theta</math>{{Sfn|Candès|2016a}}

де <math>h</math> таке, що <math>\hat{h}(k)=|k|</math>{{Sfn|Candès|2016b}}.

Ядро згортки <math>h</math> в деякій літературі згадується як [[фільтр Рампа]].

=== Нерегулярна похибка ===
Інтуїтивно, у ''відфільтрованій'' формулі ''зворотного проектування'', за аналогією з диференціацією, для якої <math>\left(\widehat{\frac{d}{dx}f}\right)\!(k)=ik\widehat{f}(k)</math>, ми бачимо, що фільтр виконує операцію, аналогічну операції взяття похідної. Грубо кажучи, тоді фільтр робить об'єкти ''більш'' сингулярними.

Кількісне твердження про нерегулярну похибку радонової інверсії полягає в наступному: Ми маємо <math>\widehat{\mathcal{R}^*\mathcal{R}g}(k)=\frac{1}{||\mathbf{k}||}\hat{g}(\mathbf{k})</math>

де <math>\mathcal{R}^*</math> є раніше визначеним {{Нп|Суміжний|примиканням||Adjoint}} до Радонового перетворення.

Таким чином для <math>g(\mathbf{x})=e^{i \left\langle\mathbf{k}_0,\mathbf{x}\right\rangle}</math>,

: <math> \mathcal{R}^*\mathcal{R}g=\frac{1}{||\mathbf{k_0}||}e^{i \left\langle\mathbf{k}_0,\mathbf{x}\right\rangle}</math>.

Складний показник <math>e^{i \left\langle\mathbf{k}_0,\mathbf{x}\right\rangle}</math> таким чином, є власною функцією <math>\mathcal{R}^*\mathcal{R}</math> із власним значенням <math>\frac{1}{||\mathbf{k_0}||}</math>. Таким чином, сингулярні значення <math>\mathcal{R}</math> є <math>\sqrt{\frac{1}{||\mathbf{k}||}}</math>. Оскільки ці особливі значення мають прямувати до 0, <math>\mathcal{R}^{-1}</math> є необмеженим.{{Sfn|Candès|2016b}}

=== Ітеративні методи реконструкції ===
Порівняно з методом ''відфільтрованого зворотного проектування'', ітеративна реконструкція коштує великих витрат на обчислення, обмежуючи її практичне використання. Однак через недоброзичливість інверсії ''радону'' метод ''фільтруваної зворотньої проєкції'' може виявитися нездійсненним при наявності розриву або шуму. Методи ітеративної реконструкції (''наприклад'', {{Нп|SAMV (алгоритм)|ітеративна розріджена асимптотична мінімальна різниця||SAMV (algorithm)}}<ref name="AbeidaZhang">{{Cite journal|last=Abeida|first=Habti|last2=Zhang|first2=Qilin|last3=Li|first3=Jian|last4=Merabtine|first4=Nadjim|year=2013|title=Iterative Sparse Asymptotic Minimum Variance Based Approaches for Array Processing|url=https://qilin-zhang.github.io/_pages/pdfs/SAMVpaper.pdf|journal=IEEE Transactions on Signal Processing|publisher=IEEE|volume=61|issue=4|pages=933–944|arxiv=1802.03070|bibcode=2013ITSP...61..933A|doi=10.1109/tsp.2012.2231676|issn=1053-587X}}</ref>) можуть забезпечити зменшення артефактів металу, зменшення шуму та дози для реконструкції результату, що привертає великий науковий інтерес по всьому світу.

== Формули інверсії ==
Явні та обчислювально ефективні формули інверсії для перетворення Радона та його подвійності. Перетворення Радона в ''n'' розмірах може бути інвертованим формулою{{Sfn|Helgason|1984|місце=Theorem I.2.13}}

: <math>c_n f = (-\Delta)^{(n-1)/2}R^*Rf\,</math>

де

: <math>c_n = (4\pi)^{(n-1)/2}\frac{\Gamma(n/2)}{\Gamma(1/2)}.</math>

а потужність Лаплаціана (−Δ)<sup>(''n''−1)/2</sup> визначається як [[псевдодиференціальний оператор]] або, при необхідності, [[Перетворення Фур'є|перетворенням Фур'є]]

: <math>\left[\mathcal{F}(-\Delta)^{(n-1)/2}\phi\right](\xi) = |2\pi\xi|^{n-1}(\mathcal{F}\phi)(\xi).</math>

Для обчислювальних цілей, потужність Лаплаціани змішується з подвійним перетворенням ''R''<sup>*</sup>, щоб отримати{{Sfn|Helgason|1984|місце=Theorem I.2.16}}

: <math>c_nf = \begin{cases}
R^*\frac{d^{n-1}}{ds^{n-1}}Rf & n \rm{\ odd}\\
R^*H_s\frac{d^{n-1}}{ds^{n-1}}Rf & n \rm{\ even}
\end{cases}
</math>

де ''H''<sub>''s''</sub>&nbsp;— [[перетворення Гільберта]] відносно змінної ''s''. У двох вимірах оператор ''H''<sub>''s''</sub>''d''/''ds'' з'являється в обробці зображень як [[рамповий фільтр]]{{Sfn|Nygren|1997}}. Можна легко довести з теореми Фур'є про зріз і зміни змінних для інтеграції, що для компактно підтримуваної безперервної функції ƒ для двох змінних

через

: <math>f = \frac{1}{2}R^{*}H_s\frac{d}{ds}Rf.</math>

Таким чином, в контексті обробки зображень вихідне зображення ƒ може бути відновлено з даних «синограми» ''R''ƒ шляхом застосування рампового фільтру (у <math>s</math> змінній), а потім зворотнього проектування. Оскільки етап фільтрації може бути виконаний ефективно (наприклад, використовуючи методи [[Цифрова обробка сигналів|цифрової обробки сигналу]]), а один крок зворотнього проектування є просто накопиченням значень у пікселях зображення, що призводить до високоефективного, а отже, широко використовуваного алгоритму.

Явна формула інверсії, отримана останнім методом{{Sfn|Roerdink|2001}}

: <math>f(x) = \frac{1}{2}(2\pi)^{1-n}(-1)^{(n-1)/2}\int_{S^{n-1}}\frac{\partial^{n-1}}{\partial s^{n-1}}Rf(\alpha,\alpha\cdot x)\,d\alpha</math>

якщо ''n'' непарне, і

: <math>f(x) = (2\pi)^{-n}(-1)^{n/2}\int_{-\infty}^\infty \frac{1}{q}\int_{S^{n-1}}\frac{\partial^{n-1}}{\partial s^{n-1}}Rf(\alpha,\alpha\cdot x + q)\,d\alpha\,dq</math>

якщо ''n'' парне.

Подвійне перетворення також може бути обернено аналогічною формулою:

: <math>c_n g = (-L)^{(n-1)/2}R(R^*g).\,</math>

== Перетворення Радона в алгебричній геометрії ==
В [[Алгебрична геометрія|алгебраїчній геометрії]] перетворення Радона (також відоме як ''перетворення Брилінського-Радона'') будується наступним чином.

Пишуть

: <math>\mathbf P^d \stackrel{p_1} \gets H \stackrel{p_2}\to \mathbf P^{\vee, d}</math>

для [[Матриця інцидентності|універсальної гіперплощини]], тобто ''H'' складається з пар (''x'', ''h''), де ''x''&nbsp;— точка в ''d''-вимірному [[Проективний простір|проективному просторі]] <math>\mathbf P^d</math> і ''h''&nbsp;— точка у [[Дуальність|подвійному проєкційному просторі]] (іншими словами, ''x'' є лінією через початок у (''d''+1)-вимірному [[Афінний простір|афінному просторі]], а ''h''&nbsp;— гіперплощина у цьому просторі), такий, що ''x'' міститься в ''h''.

Тоді перетворення Брилінкського&nbsp;— Радона є функтором між відповідними {{Нп|Отримана категорія|похідними категоріями||Derived category}} {{Нп|Еталевий сноп|еталевих пучків|en|Étale topology}}

: <math>Rad := Rp_{2,*} p_1^* : D(\mathbf P^d) \to D(\mathbf P^{\vee, d}).</math>

Основна теорема про це перетворення полягає в тому, що це перетворення проектує [[Еквівалентність категорій|еквівалентність]] категорій {{Нп|Перекручений пучок|перекручених пучків||Perverse sheaf}} на проективному просторі та його подвійному проективному просторі аж до постійних пучків<ref>{{Harvtxt|Kiehl|Weissauer|2001}}</ref>.

== Застосування ==
{{Нп|Рентгенівська трансформація|Рентгенівська трансформація||X-ray transform}} є найбільш широко використовуваним особливим випадком цієї конструкції, і її отримують шляхом інтеграції з прямими лініями.

== Див. також ==

* {{Нп|Періодограма|||Periodogram}}
* {{Нп|Відповідний фільтр|Відповідний фільтр||Matched filter}}
* [[Зворотня згортка (математичний аналіз)|Деконволюція]]
* {{Нп|Рентгенівська трансформація|||X-ray transform}}
* {{Нп|Функція перетворення|Функція перетворення||Funk transform}}
* [[Перетворення Гафа]], коли воно пишеться у безперервній формі, дуже схоже, якщо не еквівалентне, перетворенню Радона.{{Sfn|van Ginkel|Hendricks|van Vliet|2004}}
* [[Формула Крофтона|Теорема Коші-Крофтона]] є тісно пов'язаною формулою для обчислення довжини кривих у просторі.
* [[Швидке перетворення Фур'є]]

== Примітки ==
<references group="" responsive="1"></references>

== Список літератури ==
{{Refbegin}}
* {{Citation|title=Über die Bestimmung von Funktionen durch ihre Integralwerte längs gewisser Mannigfaltigkeiten|last=Radon|first=Johann|author-link=Johann Radon|journal=Berichte über die Verhandlungen der Königlich-Sächsischen Akademie der Wissenschaften zu Leipzig, Mathematisch-Physische Klasse [Reports on the proceedings of the Royal Saxonian Academy of Sciences at Leipzig, mathematical and physical section]|place=Leipzig|publisher=Teubner|year=1917|number=69|pages=262–277}}; ''Translation:'' {{Citation|title=On the determination of functions from their integral values along certain manifolds|journal=IEEE Transactions on Medical Imaging|year=1986|volume=5|pages=170–176|last=Radon, J.|last2=Parks, P.C. (translator)|doi=10.1109/TMI.1986.4307775|pmid=18244009|number=4}}.
* {{Springer}}.
* {{Citation|first=Sigurdur|last=Helgason|author-link=Sigurður Helgason (mathematician)|title=Groups and Geometric Analysis: Integral Geometry, Invariant Differential Operators, and Spherical Functions|year=1984|publisher=Academic Press|isbn=0-12-338301-3}}.
* {{Cite web|title=Applied Fourier Analysis and Elements of Modern Signal Processing - Lecture 9|last=Candès|first=Emmanuel|url=http://statweb.stanford.edu/~candes/math262/Lectures/Lecture09.pdf|date=2 лютого 2016a|ref=harv}}
* {{Cite web|title=Applied Fourier Analysis and Elements of Modern Signal Processing - Lecture 10|last=Candès|first=Emmanuel|url=http://statweb.stanford.edu/~candes/math262/Lectures/Lecture10.pdf|date=4 лютого 2016b|ref=harv}}
* {{Cite web|url=http://www.owlnet.rice.edu/~elec539/Projects97/cult/node2.html|title=Filtered Back Projection|website=Tomographic Reconstruction of SPECT Data|last=Nygren|first=Anders J.|year=1997|ref=harv}}
* {{Cite web|title=A short introduction to the Radon and Hough transforms and how they relate to each other|last=van Ginkel|first=M.|last2=Hendricks|first2=C.L. Luengo|last3=van Vliet|first3=L.J.|year=2004|url=http://tnw.home.tudelft.nl/fileadmin/Faculteit/TNW/Over_de_faculteit/Afdelingen/Imaging_Science_and_Technology/Research/Research_Groups/Quantitative_Imaging/Publications/Technical_Reports/doc/mvanginkel_radonandhough_tr2004.pdf|archiveurl=https://web.archive.org/web/20160729172119/http://tnw.home.tudelft.nl/fileadmin/Faculteit/TNW/Over_de_faculteit/Afdelingen/Imaging_Science_and_Technology/Research/Research_Groups/Quantitative_Imaging/Publications/Technical_Reports/doc/mvanginkel_radonandhough_tr2004.pdf|archivedate=2016-07-29|ref=harv}}
{{Refend}}

== Подальше читання ==

* {{Cite book|url=https://books.google.com/?id=WbZcqdvCEfwC&printsec=frontcover&dq=integral+transform#v=snippet&q=Radon&f=false|title=Integral Transforms and Their Applications|last=Lokenath Debnath|last2=Dambaru Bhatta|date=19 квітня 2016|publisher=CRC Press|isbn=978-1-4200-1091-6}}
* {{Citation|last=Deans|first=Stanley R.|title=The Radon Transform and Some of Its Applications|year=1983|publisher=John Wiley & Sons|place=New York}}
* {{Citation|last=Helgason|first=Sigurdur|title=Geometric analysis on symmetric spaces|publisher=[[American Mathematical Society]]|place=Providence, R.I.|edition=2nd|series=Mathematical Surveys and Monographs|isbn=978-0-8218-4530-1|mr=2463854|year=2008|volume=39|doi=10.1090/surv/039}}
* {{Citation|last=Herman|first=Gabor T.|author-link=Gabor Herman|title=Fundamentals of Computerized Tomography: Image Reconstruction from Projections|year=2009|publisher=Springer|edition=2nd|isbn=978-1-85233-617-2}}
* {{Springer|title=Radon transform}}
* {{Citation|first=Frank|last=Natterer|title=The Mathematics of Computerized Tomography|series=Classics in Applied Mathematics|volume=32|publisher=Society for Industrial and Applied Mathematics|isbn=0-89871-493-1|date=June 2001}}
* {{Citation|first=Frank|last=Natterer|first2=Frank|last2=Wübbeling|title=Mathematical Methods in Image Reconstruction|publisher=Society for Industrial and Applied Mathematics|isbn=0-89871-472-9|year=2001}}
* {{Citation|author-link=Reinhardt Kiehl|last=Kiehl|first=Reinhardt|last2=Weissauer|first2=Rainer|isbn=3-540-41457-6|title=Weil conjectures, perverse sheaves and l'adic Fourier transform|publisher=Springer|year=2001|mr=1855066|doi=10.1007/978-3-662-04576-3}}

== Посилання ==

* {{MathWorld|urlname=RadonTransform}}
* {{Cite video|date=10 вересня 2015|title=Analytical projection (the Radon transform)|medium=video|url=https://www.youtube.com/watch?v=MA2y_2YySq0}}

[[Категорія:Інтегральні перетворення]]
[[Категорія:Теорія міри]]
[[Категорія:Лінійні оператори]]
[[Категорія:Сторінки з неперевіреними перекладами]]