Перегляд вихідного коду сторінки Перетворення Мебіуса

{{unibox}}[[Файл:Mob3d-elip-opp-200.png|thumb|right|200px|Перетворення на комплексній площині (сірим) та сфері Рімана (чорним)]]
{{сирий переклад}}
В [[геометрія|геометрії]] та [[комплексний аналіз|комплексному аналізі]] '''перетворення Мебіуса''' [[комплексна площина|комплексної площини]] є [[раціональна функція|раціональною функцією]] однієї [[Комплексне число|комплексної]] змінної вигляду

: <math>f(z) = \frac{az + b}{cz + d},</math>

де <math>z</math>&nbsp;— змінна, коефіцієнти <math>a</math>, <math>b</math>, <math>c</math>, <math>d</math>&nbsp;— комплексні числа, що задовольняють умову <math>ad-bc\neq0</math>.

Геометрично перетворення Мебіуса можна отримати наступним шляхом:{{sfn|Arnold|Rogness|2008|loc=Theorem 1}}
* Виконати [[Стереографічна проєкція|стереографічну проєкцію]] одиничної сфери у тривимірному просторі на площину.
* Повернути та перемістити сферу в нове положення та змінити орієнтацію в просторі.
* Виконати стереографічну проєкцію (з нового положення сфери) на площину.

Ці перетворення [[Конформне відображення|зберігають кути]], відображають будь-яку пряму у пряму або коло, відображають будь-яке коло у пряму або коло.

Перетворення Мебіуса&nbsp;— це [[проєктивне перетворення|проєктивні перетворення]] [[сфера Рімана|комплексної проєктивної прямої]].
Вони утворюють [[Група (математика)|групу]], яка називається '''групою Мебіуса''', що є [[проєктивна група|проєктивною групою]] <math>{\rm PGL}(2,\mathbb{C})</math>.
Група Мебіуса разом з її [[підгрупа]]ми має численні застосування в математиці та фізиці.

Перетворення Мебіуса названо на честь [[Август Фердинанд Мебіус|Августа Фердинанда Мебіуса]]. Проте, для нього також використовують такі назви як: [[проєктивне перетворення]], [[дробово-лінійне перетворення]], або ж білінійне перетворення.

== Загальний огляд ==
Перетворення Мебіуса визначаються на [[сфера Рімана|розширеній комплексній площині]] <math>\mathbb{\widehat{C}}=\mathbb {C}\cup\left\{\infty\right\}</math> (тобто, [[комплексна площина|комплексній площині]], доповненій [[точка на нескінченності|нескінченно віддаленою точкою]]).

[[Стереографічна проєкція]] ототожнює <math>\mathbb{\widehat{C}}</math> із сферою, яку прийнято називати [[сфера Рімана|сферою Рімана]].
Також <math>\mathbb{\widehat{C}}</math> можна розглядати як комплексну [[проєктивний простір|проєктивну лінію]] <math>\operatorname{CP^{1}}</math>.
Перетворення Мебіуса&nbsp;— це [[бієкція|бієктивне]] [[конформне відображення]] сфери Рімана самої на себе, тобто [[автоморфізм]] сфери Рімана як [[комплексний многовид|комплексного многовиду]].
Також ці перетворення є автоморфізмами <math>\operatorname{CP^{1}}</math> як алгебраїчного многовиду.
Отже, сукупність усіх перетворень Мебіуса утворює [[Група (математика)|групу]] відносно [[композиція (математика)|композиції]].
Ця група називається групою Мебіуса і іноді позначається як <math>\operatorname{Aut}(\mathbb{\widehat{C}})</math>.

Група Мебіуса є [[ізоморфізм|ізоморфною]] до групи [[ізометрія (математика)|ізометрій]], що зберігають орієнтацію, [[гіперболічний простір|гіперболічного простору]], а тому відіграє важливу роль при вивченні {{нп|гіперболічний 3-вимірний многовид|гіперболічних 3-вимірних многовидів||Hyperbolic 3-manifold}}.

У [[фізика|фізиці]] {{нп|одиничний компонент|одиничний компонент||Identity component}} [[група Лоренца|групи Лоренца]] діє на [[небесна сфера|небесну сферу]] так само, як група Мебіуса діє на сферу Рімана.
Насправді ж ці дві групи є ізоморфними.
Спостерігач, який прискорюється до релятивістичних швидкостей, побачить візерунок із сузір'їв, який можна споглядати поблизу Землі, та який неперервно змінюється відповідно до інфінітезимальних перетворень Мебіуса.
Це спостереження часто приймають як вихідну точку [[теорія твісторів|теорії твісторів]].

Певні [[підгрупа|підгрупи]] групи Мебіуса утворюють групи автоморфізмів інших [[Однозв'язна область|однозв'язних]] поверхонь Рімана ([[комплексна площина]] та [[гіперболічна площина]]).
Таким чином, перетворення Мебіуса відіграють важливу роль у теорії [[Ріманова поверхня|поверхонь Рімана]]. [[Фундаментальна група]] кожної поверхні Рімана&nbsp;— це [[дискретна група|дискретна підгрупа]] групи Мебіуса (див. [[група Фукса]] та {{нп|група Клейна|група Клейна||Kleinian group}}).
Особливо важливою дискретною підгрупою групи Мебіуса є [[модулярна група]], що займає центральне місце в теорії багатьох [[фрактал]]ів, [[модулярна форма|модулярних форм]], [[еліптична крива|еліптичних кривих]] та [[рівняння Пелля|рівнянь Пелля]].

Перетворення Мебіуса можна більш загально визначити в просторах розмірності більшої за ''2'' як бієктивні конформні відображення [[гіперсфера|''n''-сфери]] на ''n''-сферу, які зберігають орієнтацію.
Таке перетворення є найбільш загальною формою конформного відображення сфери. Відповідно до [[Теорема Ліувіля (комплексний аналіз)|теореми Ліувілля]], перетворення Мебіуса можна виразити як композицію зсувів, [[Подібність (геометрія)|подібностей]], ортогональних перетворень та інверсій.

== Означення ==
Загальний вигляд перетворення Мебіуса задається формулою
: <math>f(z) = \frac{az + b}{cz + d},</math>
де <math>a</math>, <math>b</math>, <math>c</math>, <math>d</math>&nbsp;— будь-які [[Комплексне число|комплексні числа]], що задовольняють умову <math>ad-bc\neq0</math>. Якщо <math>ad=bc</math>, то визначена вище раціональна функція є константою, оскільки
: <math>f(z)=\frac{az+b}{cz+d}=\frac{a(cz+d)}{c(cz+d)}-\frac{ad-bc}{c(cz+d)}=\frac{a}{c},</math>
a, отже, не розглядається у цьому випадку як перетворення Мебіуса.

У випадку <math>c\neq0</math> це означення розширюється на всю [[сфера Рімана|сферу Рімана]] наступним чином:
: <math>f\left(\frac{-d}{c}\right)=\infty \qquad \text{і} \qquad f(\infty)=\frac{a}{c}.</math>
Якщо <math>c=0</math>, то вважаємо
: <math>f(\infty)=\infty.</math>

Таким чином, перетворення Мебіуса завжди є бієктивною [[голоморфна функція|голоморфною функцією]], що відображає точки сфери Рімана у точки сфери Рімана.

Сукупність усіх перетворень Мебіуса утворює [[Група (математика)|групу]] відносно [[композиція (математика)|композиції]].
На цій групі можна задати структуру [[комплексний многовид|комплексного многовиду]] таким чином, щоб композиція та інверсія були [[голоморфна функція|голоморфними відображеннями]].
Тоді група Мебіуса є [[група Лі|групою Лі над комплексним полем]].
Групу Мебіуса зазвичай позначають як <math>\operatorname{Aut}(\mathbb{\widehat{C}})</math>, оскільки вона є групою автоморфізмів сфери Рімана.

== Нерухомі точки ==
Кожне перетворення Мебіуса, що не є тотожним, має дві [[нерухома точка|нерухомі точки]] <math>\gamma_{1}</math> й <math>\gamma_{2}</math> на сфері Рімана. Слід звернути увагу на те, що нерухомі точки враховуються з урахуванням [[кратність (математика)|кратності]]; параболічними перетвореннями є ті, для яких нерухомі точки збігаються.
Будь-яка (або обидві) з цих нерухомих точок може бути нескінченно віддаленою точкою.

=== Означення нерухомих точок ===

Нерухомі точки перетворення
:<math>f(z)=\frac{az+b}{cz+d}</math>
знаходяться як розв'язки рівняння <math>f(\gamma)=\gamma</math>.
При <math>c\neq0</math> це рівняння має два корені, які отримуємо за допомогою його зведення до рівняння вигляду
:<math>c\gamma^2-(a-d)\gamma-b=0,</math>
що є квадратним рівнянням відносно <math>\gamma</math>, корені якого можна знайти за [[квадратична формула|формулою]]
:<math>\gamma_{1,2}=\frac{(a-d)\pm\sqrt{(a-d)^2+4bc}}{2c}=\frac{(a-d)\pm\sqrt{\Delta}}{2c}</math>
з дискримінантом рівним
:<math>\Delta =(\operatorname{tr}{\mathfrak {H}})^2-4\det{\mathfrak {H}}=(a+d)^2-4(ad-bc).</math>
Параболічні перетворення мають співпадаючі нерухомі точки при нульовому дискримінанті.
При <math>c\neq0</math> та ненульовому дискримінанті перетворення є еліптичним або гіперболічним.

При <math>c=0</math> квадратне рівняння вироджується у лінійне, а перетворення у свою чергу є лінійним.
Це відповідає ситуації, коли одна з нерухомих точок є нескінченно віддаленою точкою.
При <math>a\neq d</math> друга нерухома точка є скінченною і визначається як
:<math>\gamma=-\frac{b}{a-d}.</math>
У цьому випадку перетворення буде простим, тобто таким, що утворюється композицією з [[паралельне перенесення|зсувів]], [[обертання (математика)|поворотів]] та {{нп|розтягування|розтягів||Dilation (metric space)}}:
:<math>z\longmapsto\alpha z+\beta.</math>
Якщо <math>c=0</math> і <math>a=d</math>, то обидві нерухомі точки є нескінченно віддаленими, і перетворення Мебіуса відповідає чистим зсувам:
:<math>z\longmapsto z+\beta</math>.

=== Топологічне доведення ===

Топологічно той факт, що (нетотожні) перетворення Мебіуса фіксують 2 точки (з урахуванням кратності), відповідає [[Характеристика Ейлера|характеристиці Ейлера-Пуанкаре]] сфери, що дорівнює <math>2</math>
:<math>\chi\big(\widehat{\mathbb{C}}\big)=2.</math>
По-перше, [[Проєктивна група|проєктивна лінійна група]] <math>{\rm PGL}(2,K)</math> є точно <math>3</math>-транзитивною: для будь-яких двох упорядкованих трійок різних точок існує єдине відображення, яке змінює одну трійку на іншу, як і для перетворень Мебіуса, і з тим самим алгебраїчним доведенням (особливо, [[Корозмірність|врахування розмірності]], оскільки група є тривимірною).
Таким чином, будь-яке відображення, що фіксує принаймні <math>3</math> точки, є тотожним.

Далі, ототожнюючи групу Мебіуса з групою <math>{\rm PGL}(2,\mathbb{C})</math>, можна побачити, що будь-яка [[функція Мебіуса]] є гомотопічною до тотожної функції.
Дійсно, будь-який елемент [[Загальна лінійна група|загальної лінійної групи]] може бути зведений до тотожного відображення за допомогою методу Жордана-Гауса.
Це показує, що проєктивна лінійна група також є лінійно-зв'язною, забезпечуючи гомотопію до тотожного відображення.
[[Теорема Лефшеца про нерухому точку]] стверджує, що сума індексів (у цьому контексті, кратності) нерухомих точок відображення з скінченною кількістю нерухомих точок дорівнює [[Теорема Лефшеца про нерухому точку|числу Лефшеца]] відображення, що в цьому випадку є слідом тотожного відображення на гомологічних групах, який є просто характеристикою Ейлера.

Зауважимо, що проєктивна лінійна група дійсної проєктивної прямої <math>{\rm PGL}(2,\mathbb{R})</math> може не фіксувати жодних точок.
Наприклад, <math>\frac{1+x}{1-x}</math> не має (дійсних) нерухомих точок: хоча як комплексне перетворення воно фіксує точки <math>\pm {\rm i}</math>, <ref name="коментар1" group="коментар">Геометрично це відображення є [[Стереографічна проєкція|стереографічною проєкцією]] повороту на <math>90^\circ</math> навколо <math>\pm{\rm i}</math>  з періодом <math>4</math>: <math>0\mapsto 1\mapsto \infty \mapsto -1\mapsto 0.</math></ref>; тоді як відображення <math>2x</math> фіксує дві точки <math>0</math> і <math>\infty</math>.
Це відповідає тому факту, що характеристика Ейлера кола (дійсної проєктивної прямої) дорівнює <math>0</math>, і, отже, теорема Лефшеца про нерухому точку говорить лише про те, що воно повинно фіксувати принаймні <math>0</math> точок, але, можливо, і більше.

=== Нормальна форма ===

Перетворення Мебіуса також іноді записують через їхні нерухомі точки, тобто у так званій '''нормальній формі'''.
Спочатку розглянемо непараболічний випадок, для якого існує дві різні нерухомі точки.

''Непараболічний випадок:''

Будь-яке непараболічне перетворення є [[спряження|спряженим]] до розтягу/повороту, тобто перетворенням вигляду:
:<math>z\longmapsto kz,</math>
<math>(k\in \mathbb{C})</math> з нерухомими точками <math>0</math> та <math>\infty</math>.
Щоб показати це, розглянемо відображення
:<math>g(z)=\frac{z-\gamma_{1}}{z-\gamma_{2}},</math>
яке відображає точки <math>\gamma_{1}</math> і <math>\gamma_{2}</math> у точки <math>0</math> та <math>\infty</math>. Припускаємо, що точки <math>\gamma_{1}</math> і <math>\gamma_{2}</math> є різними та скінченними. Якщо одна з них є нескінченно віддаленою точкою, то <math>g</math> можна змінити так, щоб зафіксувати нескінченність і відобразити іншу точку у <math>0</math>.

Якщо <math>f</math> має різні нерухомі точки <math>\gamma_{1}</math> і <math>\gamma_{2}</math>, то перетворення <math>gfg^{-1}</math> має нерухомі точки в <math>0</math> та <math>\infty</math>, а тому є розтягом: <math>gfg^{-1}(z)=kz</math>.
Тоді рівняння для нерухомих точок перетворення <math>f</math> можна записати наступним чином:
:<math>\frac{f(z)-\gamma_{1}}{f(z)-\gamma_{2}}=k\cdot\frac{z-\gamma_{1}}{z-\gamma_{2}}</math>.
Розв'язавши відносно <math>f</math> отримуємо (у матричній формі):
:<math>\mathfrak {H}(k;\gamma _{1},\gamma _{2})=\begin{pmatrix}\gamma _{1}-k\gamma _{2}&(k-1)\gamma _{1}\gamma _{2}\\1-k&k\gamma _{1}-\gamma _{2}\end{pmatrix}</math>,
або якщо одна з нерухомих точок є нескінченно віддаленою:
:<math>\mathfrak {H}(k;\gamma ,\infty )=\begin{pmatrix}k&(1-k)\gamma \\0&1\end{pmatrix}.</math>

З наведених вище виразів можна обчислити значення похідної <math>f</math> у нерухомих точках:
:<math>f'(\gamma _{1})=k \qquad \text{і} \qquad f'(\gamma _{2})=\frac{1}{k}</math>.
Зауважимо, що фіксуючи порядок нерухомих точок,  можемо виокремити один із множників <math>(k)</math> відображення <math>f</math> як '''характеристичну константу''' <math>f</math>. Зміна порядку нерухомих точок еквівалентна до використання оберненого множника як характеристичної константи:
:<math>\mathfrak {H}(k;\gamma _{1},\gamma _{2})=\mathfrak {H}\left(\frac{1}{k};\gamma _{2},\gamma _{1}\right)</math>.

Для локсодромних перетворень, при <math>|k|>1</math>, говорять, що <math>\gamma_{1}</math> — '''відштовхувальна''' нерухома точка, а <math>\gamma_{2}</math> — '''притягальна''' нерухома точка. Для <math>|k|<1</math>, ролі точок змінюються.

''Параболічний випадок:''

У параболічному випадку існує лише одна нерухома точка <math>\gamma</math>.
Перетворення, що ставить цій точці у відповідність <math>\infty</math>, має вигляд
:<math>g(z)=\frac{1}{z-\gamma}</math>,
або є тотожним, якщо <math>\gamma</math> вже є нескінченно віддаленою точкою. Перетворення <math>gfg^{-1}</math> фіксує нескінченність, а, отже, є зсувом:
:<math>gfg^{-1}(z)=z+\beta</math>.
Тут <math>\beta</math> називається '''довжиною зсуву'''.
Тоді формула для нерухомої точки параболічного перетворення має вигляд
:<math>\frac {1}{f(z)-\gamma}=\frac {1}{z-\gamma}+\beta</math>.
Розв'язавши відносно <math>f</math> отримуємо (у матричній формі):
:<math>\mathfrak {H}(\beta ;\gamma)=\begin{pmatrix}1+\gamma\beta &-\beta\gamma ^{2}\\\beta &1-\gamma\beta \end{pmatrix}</math>
або якщо <math>\gamma=\infty</math>:
:<math>\mathfrak {H}(\beta ;\infty )=\begin{pmatrix}1&\beta \\0&1\end{pmatrix}.</math>
Зауважимо, що <math>\beta</math> не є характеристичною константою <math>f</math>, яка завжди дорівнює <math>1</math> для параболічного перетворення.
З наведених співвідношень знаходимо:
:<math>f'(\gamma )=1</math>.

== Полюси перетворень ==

Точка <math>z_{\infty}=-\frac{d}{c}</math>, яку <math>\mathfrak{H}</math> відображає у нескінченно віддалену точку, називається [[Полюс (комплексний аналіз)|полюсом]] <math>\mathfrak{H}</math>.
Обернений полюс <math>Z_{\infty}=\frac{a}{c}</math> — це точка, в яку відображається нескінченно віддалена точка.
Точка, що знаходиться на однаковій відстані від двох полюсів, завжди збігається з точкою, що лежить рівно посередині між двома нерухомими точками:
:<math>\gamma_{1}+\gamma_{2}=z_{\infty}+Z_{\infty}</math>.
Ці чотири точки є вершинами [[Паралелограм|паралелограма]], який іноді називають '''характеристичним паралелограмом''' перетворення.

Перетворення <math>\mathfrak{H}</math> можна визначити за допомогою двох нерухомих точок <math>\gamma_{1}</math>, <math>\gamma_{2}</math> та полюса <math>z_{\infty}</math>:
:<math>\mathfrak {H}=\begin{pmatrix}
Z_{\infty}&-\gamma_{1}\gamma_{2}\\
1&-z_{\infty}\end{pmatrix},\qquad Z_{\infty }=\gamma_{1}+\gamma_{2}-z_{\infty}</math>.
Це дозволяє нам отримати формулу для перетворення між <math>k</math> та <math>z_{\infty}</math> з урахуванням <math>\gamma_{1}</math>, <math>\gamma_{2}</math>:
:<math>z_\infty = \frac{k \gamma_1 - \gamma_2}{1 - k}</math>
:<math>k= \frac{\gamma_2 - z_\infty}{\gamma_1 - z_\infty}
= \frac{Z_\infty - \gamma_1}{Z_\infty - \gamma_2}
= \frac {a - c \gamma_1}{a - c \gamma_2},</math>
що зводиться до вигляду
:<math>k=\frac{(a+d)+\sqrt{(a-d)^2+4bc}}{(a+d)-\sqrt{(a-d)^2+4bc}}</math>.
Останнє співвідношення співпадає з однією (взаємнообернених) з часток <math>\frac{\lambda_{1}}{\lambda_{2}}</math> [[Власні значення матриці|власних значень]] матриці
:<math>\mathfrak{H}=\begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix}</math>,
що визначає перетворення (зверніть увагу на інформацію, наведену в попередньому розділі щодо характеристичних констант перетворення). [[Характеристичний поліном]] даного перетворення дорівнює
:<math>\det(\lambda I_{2}-\mathfrak {H})=\lambda ^2-\operatorname{tr}\mathfrak {H}\lambda+\det\mathfrak {H}=\lambda^2-(a+d)\lambda +(ad-bc)</math>,
та має два корені
:<math> \lambda_{i}=\frac{(a + d) \pm \sqrt {(a - d)^2 + 4 b c}}{2}=\frac{(a + d) \pm \sqrt {(a + d)^2 - 4(ad-b c)}}{2}=c\gamma_i+d \ .
</math>

==Прості перетворення Мебіуса та композиція==

Перетворення Мебіуса можна представити як [[Композиція функцій|композицію послідовності]] простих перетворень.
Нижченаведені прості перетворення також є перетвореннями Мебіуса:

* <math> f(z)=z+b  (a=1, c=0, d=1)</math> — [[паралельне перенесення]];
* <math> f(z)=az \quad (b=0, c=0, d=1) </math> — комбінацією [[Гомотетія|гомотетії]] та [[Обертання (математика)|обертання]]; якщо <math>|a|=1</math>, то перетворення є поворотом, а якщо <math>a\in \mathbb{R}</math> — гомотетією;
* <math> f(z)=\frac{1}{z} \quad(a=0, b=1, c=1, d=0)</math> — [[Інверсія (геометрія)|інверсія]] та  [[Відбиття (геометрія)|відбиття]] відносно дійсної осі.

=== Композиція простих перетворень ===

Якщо <math>c\neq0</math>, то

* <math>  f_{1}(z)=z+\frac{d}{c}</math> — [[паралельне перенесення]] на відстань <math>\frac{d}{c}</math>;
* <math>  f_{2}=\frac{1}{z}</math>  — інверсія та [[Відбиття (геометрія)|відбиття]] відносно дійсної осі;
* <math>  f_{3}=\frac{bc-ad}{c^2}\cdot z</math>  — [[гомотетія]] та [[Обертання (математика)|поворот]];
* <math>  f_{4}=z+\frac{a}{c}</math> — [[паралельне перенесення]]  на відстань <math>\frac{a}{c}</math>.

Тоді [[Композиція функцій|композиція]] цих визначає перетворення Мебіуса:
:<math>f_{4}\circ f_{3}\circ f_{2}\circ f_{1}(z)=f(z)=\frac{az+b}{cz+d}.</math>
Тобто
:<math>\frac{az+b}{cz+d}=\frac{a}{c}+\frac{e}{z+\frac{d}{c}}, \qquad \text{де} \quad e=\frac{bc-ad}{c^2}.</math>
За допомогою цього представлення стають очевидними багато властивостей перетворень Мебіуса.

== Елементарні властивості ==

Перетворення Мебіуса еквівалентні послідовності більш простих перетворень. З огляду на таку композиція багато властивостей перетворень Мебіуса є очевидними.

=== Формула для оберненого перетворення ===

Існування оберненого перетворення Мебіуса та його запис у явній формі можна легко вивести за допомогою композиції обернених функцій простіших перетворень. Тобто, визначимо функції <math>g_{1}</math>, <math>g_{2}</math>, <math>g_{3}</math>, <math>g_{4}</math> таким чином, щоб кожна <math>g_{i}</math> була оберненою до <math>f_{i}</math>. Тоді композиція
:<math>g_{1}\circ g_{2}\circ g_{3}\circ g_{4}(z)=f^{-1}(z)=\frac{dz-b}{-cz+a}</math>
є формулою оберненого перетворення.

=== Збереження кутів та узагальнених кіл ===

З цього розкладу бачимо, що перетворення Мебіуса мають усі нетривіальні властивості [[Інверсія (геометрія)|інверсії кола]]. Наприклад, доведення властивості про збереження кутів зводиться до доведення того, що інверсія кола зберігає кути, оскільки інші типи перетворень — розтяги й [[Ізометрія (математика)|ізометрії]] (паралельне перенесення, відбиття, поворот), які тривіально зберігають кути.

Крім того, перетворення Мебіуса відображають {{нп|узагальнені кола|узагальнені кола||Generalised circle}} в узагальнені кола, оскільки інверсія кола має цю властивість. Узагальнене коло — це або коло, або пряма; пряма розглядається як коло за рахунок точки на нескінченності. Зуважимо, що перетворення Мебіуса не обов'язково відображає кола у кола, а лінії у лінії: воно може перетворювати їх одне на одне. Навіть якщо перетворення відображає коло в інше коло, воно не обов'язково відображає центр першого кола у центр другого кола.

=== Збереження подвійного відношення ===

[[Подвійне відношення|Подвійні відношення]] є інваріантними щодо перетворень Мебіуса. Тобто, якщо перетворення Мебіуса відображає чотири різні точки <math>z_{1}</math>, <math>z_{2}</math>, <math>z_{3}</math>, <math>z_{4}</math> відповідно у чотири різні точки <math>w_{1}</math>, <math>w_{2}</math>, <math>w_{3}</math>, <math>w_{4}</math>, то
:<math>\frac{(z_{1}-z_{3})(z_{2}-z_{4})}{(z_{2}-z_{3})(z_{1}-z_{4})}=\frac{(w_{1}-w_{3})(w_{2}-w_{4})}{(w_{2}-w_{3})(w_{1}-w_{4}}.</math>
Якщо одна з точок <math>z_{1}</math>, <math>z_{2}</math>, <math>z_{3}</math>, <math>z_{4}</math> є нескінченно віддаленою точкою, то подвійне відношення можна визначити, взявши відповідну границю; наприклад, подвійне відношення <math>z_{1}</math>, <math>z_{2}</math>, <math>z_{3}</math>, <math>\infty</math>  буде дорівнювати
:<math>\frac{(z_{1}-z_{3})}{(z_{2}-z_{3})}.</math>
Подвійне відношення чотирьох різних точок є дійсним [[Тоді й лише тоді|тоді і тільки тоді]], коли через них проходить пряма або коло. Це інший шлях доведення того, що перетворення Мебіуса зберігають узагальнені кола.

=== Спряження ===

Дві точки <math>z_{1}</math> і <math>z_{2}</math> називаються '''спряженими''' відносно узагальненого кола <math>C</math>,
якщо задане узагальнене коло <math>D</math> проходить через точки <math>z_{1}</math> і <math>z_{2}</math>, а також перетинає <math>C</math> у двох точках <math>a</math> та <math>b</math>,
так що точки <math>(z_{1}, z_{2}; a, b)</math> перебувають у [[Подвійне відношення|подвійному гармонійному відношенні]] (тобто їх подвійне відношення дорівнює <math>-1</math>). Дана властивість не залежить від вибору кола <math>D</math>,  і іноді її називають '''симетричною''' відносно прямої чи кола.<ref>{{citation|last=Olsen|first=John|title=The Geometry of Mobius Transformations |url=http://www.johno.dk/mathematics/moebius.pdf}}</ref><ref>{{mathworld|id=SymmetricPoints|title=Symmetric Points}}</ref>

Дві точки <math>z</math>, <math>z^*</math> є спряженими відносно деякої прямої, якщо вони є [[Відбиття (геометрія)|симетричними]] відносно неї. Дві точки є спряженими відносно кола, якщо вони відображаються одна в одну при інверсії відносно цього кола.

Точку <math>z^*</math>, спряжену до <math>z</math>, коли пряма <math>L</math> визначається на основі вектора <math>{\rm e}^{{\rm i}\theta}</math> у точці <math>z_{0}</math>, можна задати наступним чином:
:<math>z^*=e^{2i\theta}{\overline{z-z_{0}}}+z_{0}.</math>
Точку <math>z^*</math>, спряжену до <math>z</math>, коли <math>C</math> є колом радіуса <math>r</math> з центром у точці <math>z_{0}</math>, можна визначити як
:<math>z^*=\frac {r^2}{\overline {z-z_{0}}}+z_{0}.</math>
Оскільки перетворення Мебіуса зберігають узагальнені кола та подвійні відношення, вони зберігають також і спряження.

=== Проєктивні матричні представлення ===

Звичайна [[Дія групи|дія]] групи <math>{\rm PGL}(2,\mathbb{C})</math> на [[Сфера Рімана|комплексну проєктивну пряму]] <math>{\mathbb{CP}}^1</math> це те ж саме, що і звичайна дія групи Мебіуса на сферу Рімана, де проективна лінія <math>{\mathbb{CP}}^1</math> та сфера Рімана визначаються наступним чином:
: <math>[z_{1}:z_{2}]\sim  [z_{1}/z_{2},  1].</math>
Тут <math>[z_{1}: z_{2}]</math>&nbsp;— [[однорідні координати]] на <math>{\mathbb{CP}}^1</math>; точка <math>[1:0]</math> відповідає точці <math>\infty</math> сфери Рімана. Використовуючи однорідні координати, можна спростити багато конкретних обчислень, що включають в себе перетворення Мебіуса, оскільки не потрібно розрізняти випадки, що стосуються <math>\infty</math>.

З кожною [[Невироджена матриця|невиродженою]] комплексною матрицею розміру <math>2\times2</math>
: <math>\mathfrak {H}=\begin{pmatrix}a&c\\b&d\end{pmatrix}</math>
можемо пов'язати перетворення Мебіуса
: <math>[z,\ 1]{\begin{pmatrix}a&c\\b&d\end{pmatrix}} = [az+b, cz+d] = \left[{\frac {az+b}{cz+d}}, 1\right] = f(z).</math>
Умова <math>ad-bc\neq0</math> еквівалентна тому, що [[визначник]] вищезазначеної матриці не дорівнює нулю, тобто для матриці існує обернена.

Неважко перевірити, що в такому випадку [[Множення матриць|добуток]] двох матриць можна ототожнити з композицією двох відповідних перетворень Мебіуса. Іншими словами, відображення
: <math>\pi\colon \ \operatorname{GL}(2,\mathbb {C})\to \operatorname{Aut}({\widehat{\mathbb{C}}})</math>
[[Загальна лінійна група|загальної лінійної групи]] <math>\operatorname{GL}(2,\mathbb {C})</math> на групу Мебіуса, що ставить у відповідність матриці <math>\mathfrak {H}</math> перетворення <math>f</math>, є [[Гомоморфізм груп|гомоморфізмом груп]].

Зауважимо, що будь-яка матриця, яка отримана шляхом множення матриці <math>\mathfrak {H}</math> на комплексне число <math>\lambda</math>, визначає одне і те ж перетворення, тому перетворення Мебіуса визначає свою матрицю [[Точність до|з точністю до]] сталих множників. Іншими словами: [[Ядро (алгебра)|ядро]] <math>\pi</math> складається з усіх скалярних множників [[Одинична матриця|одиничної матриці]] <math>I</math>, і [[Теореми про ізоморфізми|перша теорема про ізоморфізми]] [[Теорія груп|теорії груп]] стверджує, що [[фактор-група]] <math>\operatorname{GL}(2,\mathbb {C})/((\mathbb {C}/{0})I)</math> є ізоморфною до групи Мебіуса. Ця фактор-група відома як [[Проєктивна група|проєктивна лінійна група]] і зазвичай позначається як <math>{\rm PGL}(2,\mathbb{C})</math>,
: <math>\operatorname{Aut} ({\widehat {\mathbb {C} }})\cong \operatorname{PGL} (2,\mathbb {C}).</math>
Те саме ототожнення групи <math>{\rm PGL}(2,\mathbb{K})</math> з групою дробових лінійних перетворень та з групою проєктивних лінійних автоморфізмів проєктивної лінії має місце над будь-яким полем <math>\mathbb{K}</math>. Це цікаво з алгебраїчної точки зору, зокрема для скінченних полів, хоча випадок комплексних чисел є найбільш цікавим з геометричної точки зору).

Якщо обмежитися матрицями <math>\mathfrak {H}</math> з визначниками рівними одиниці, то відображення <math>\pi</math> в свою чергу обмежуватиметься сюр'єктивним відображенням [[Загальна лінійна група#Спеціальна лінійна група|спеціальної лінійної групи]] <math>\operatorname{SL}(2,\mathbb {C})</math> на групу Мебіуса; за цих обмежень ядро формується з плюс та мінус одиниці, а фактор-група <math>\operatorname{SL}(2,\mathbb {C}/{\pm I})</math>, яка позначається як <math>\operatorname{PSL}(2,\mathbb {C})</math>, також є ізоморфною групі Мебіуса:
: <math>\operatorname{Aut} ({\widehat {\mathbb {C} }})\cong \operatorname{PSL} (2,\mathbb {C}).</math>
Звідси випливає, що група Мебіуса&nbsp;— це тривимірна комплексна група Лі (або <math>6</math>-вимірна дійсна група Лі). Це [[Напівпроста алгебра Лі|напівпроста]] {{нп|компактна група|некомпактна||Compact group}} група Лі.

Зауважимо, що є рівно дві матриці з одиничним визначником, які можна використовувати для представлення будь-якого перетворення Мебіуса. Тобто <math>\operatorname{SL}(2,\mathbb {C})</math> є {{нп|група накриття|подвійним накриттям||Covering group}} для групи <math>\operatorname{PSL}(2,\mathbb {C})</math>. Оскільки група <math>\operatorname{SL}(2,\mathbb {C})</math> є [[Однозв'язна область|однозв'язною]], то вона є [[Накриття (топологія)|універсальним накриттям]] для групи Мебіуса. Отже, для групи Мебіуса [[Фундаментальна група|фундаментальною групою]] є група <math>\mathbb{Z}_{2}</math>.

=== Визначення перетворення за трьома точками ===

Нехай задано набір з трьох різних точок <math>z_{1}</math>, <math>z_{2}</math>, <math>z_{3}</math> на сфері Рімана й другий набір з різних точок <math>w_{1}</math>, <math>w_{2}</math>, <math>w_{3}</math>, то існує лише одне перетворення Мебіуса <math>f(z)</math> таке, що <math>f(z_{i})=w_{i}</math> для <math>i=1, 2, 3</math>. (Іншими словами, [[дія групи]] Мебіуса на сферу Рімана є точно 3-транзитивною). Існує декілька способів визначити <math>f(z)</math> за заданим набором точок.

=== Відображення в <math>0</math>, <math>1</math>, <math>\infty</math> ===

Неважко перевірити, що перетворення Мебіуса
:<math>f_{1}(z)=\frac{(z-z_{1})(z_{2}-z_{3})}{(z-z_{3})(z_{2}-z_{1})}</math>
з матрицею
:<math>\mathfrak{H}_{1}=\begin{pmatrix}z_{2}-z_{3}&-z_{1}(z_{2}-z_{3})\\z_{2}-z_{1}&-z_{3}(z_{2}-z_{1})\end{pmatrix}</math>
відображає <math>z_{1}</math>, <math>z_{2}</math>, <math>z_{3}</math> в <math>0</math>, <math>1</math> та <math>\infty</math> відповідно.
Якщо одна з точок <math>z_{i}</math> рівна <math>\infty</math>, то правильну формулу для <math>\mathfrak{H}_{1}</math> отримуємо з наведеної вище, поділивши спочатку всі елементи на <math>z_{i}</math>, а потім перейшовши до границі при <math>z_{i}\rightarrow \infty</math>.

Якщо <math>\mathfrak{H}_{2}</math> визначено аналогічно для відображення <math>w_{1}</math>, <math>w_{2}</math>, <math>w_{3}</math> в <math>0</math>, <math>1</math> та <math>\infty</math>, то матриця <math>\mathfrak{H}</math>, яка відображає <math>z_{1,2,3}</math> в <math>w_{1,2,3}</math>, визначається як
:<math>\mathfrak {H}={\mathfrak {H}_{2}}^{-1}\mathfrak{H}_{1}.</math>
Стабілізатор для <math>\{0, 1, \infty\}</math> (як невпорядкований набір) — це підгрупа, також відома як [[Подвійне відношення|ангармонічна група]].

=== Явна формула визначника ===

Рівняння
:<math>w=\frac {az+b}{cz+d}</math>
еквівалентне рівнянню звичайної [[Гіпербола (математика)|гіперболи]]
:<math>cwz-az+dw-b=0</math>
на <math>(z, w)</math>-площині.
Таким чином, проблема побудови перетворення Мебіуса <math>\mathfrak{H}(z)</math>, що відображає трійку <math>(z_{1}, z_{2}, z_{3})</math> в іншу трійку <math>(w_{1}, w_{2}, w_{3})</math>, еквівалентна знаходженню коефіцієнтів <math>a</math>, <math>b</math>, <math>c</math>, <math>d</math> гіперболи, що проходить через точки <math>(z_{i}, w_{i})</math>.
Явну формулу можна знайти, обчисливши [[визначник]]
:<math>\det\begin{pmatrix}zw&z&w&1\\z_{1}w_{1}&z_{1}&w_{1}&1\\z_{2}w_{2}&z_{2}&w_{2}&1\\z_{3}w_{3}&z_{3}&w_{3}&1\end{pmatrix}</math>
застосовуючи [[Теорема Лапласа|теорему Лапласа]] до першого рядка.
У результаті, отримуємо формули
:<math>a=\det\begin{pmatrix}z_{1}w_{1}&w_{1}&1\\z_{2}w_{2}&w_{2}&1\\z_{3}w_{3}&w_{3}&1\end{pmatrix},</math>
:<math>b=\det\begin{pmatrix}z_{1}w_{1}&z_{1}&w_{1}\\z_{2}w_{2}&z_{2}&w_{2}\\z_{3}w_{3}&z_{3}&w_{3}\end{pmatrix},</math>
:<math>c=\det\begin{pmatrix}z_{1}&w_{1}&1\\z_{2}&w_{2}&1\\z_{3}&w_{3}&1\end{pmatrix},</math>
:<math>d=\det\begin{pmatrix}z_{1}w_{1}&z_{1}&1\\z_{2}w_{2}&z_{2}&1\\z_{3}w_{3}&z_{3}&1\end{pmatrix}</math>
для коефіцієнтів <math>a</math>, <math>b</math>, <math>c</math>, <math>d</math>, що утворюють матрицю
:<math>\mathfrak {H}=\begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix}.</math>
Побудована матриця <math>\mathfrak {H}</math> має визначник, що дорівнює
:<math>(z_{1}-z_{2})(z_{1}-z_{3})(z_{2}-z_{3})(w_{1}-w_{2})(w_{1}-w_{3})(w_{2}-w_{3}),</math>
який не рівний нулю, якщо <math>w_{i}</math> (відповідно <math>z_{i}</math>) є попарно різними, тоді перетворення Мебіуса є добре визначеним.
Якщо одна з точок <math>z_{i}</math> або <math>w_{i}</math> дорівнює <math>\infty</math>, то спочатку ділимо всі чотири визначника на цю змінну, а потім переходимо до границі при прямувані цієї змінної до <math>\infty</math>.

== Підгрупи групи Мебіуса ==

Якщо накласти вимогу, що коефіцієнти <math>a</math>, <math>b</math>, <math>c</math>, <math>d</math> перетворення Мебіуса є дійсними числами та задовольняють умову <math>ad-bc=1</math>, то в результаті отримаємо підгрупу групи Мебіуса, яка позначається як [[SL(2,R)|<math>\operatorname{PSL}(2,\mathbb {R})</math>]].
Це група тих перетворень Мебіуса, які відображають [[верхня півплощина|верхню півплощину]] <math>H=x+{\rm i}y\colon y>0</math> в саму себе; ці перетворення є еквівалентними  групі всіх {{нп|біголоморфізм|біголоморфних||Biholomorphism}} (іншими словами: [[Бієкція|бієктивних]], [[Конформне відображення|конформних]] та  тих, що зберігають орієнтацію) відображень <math>H\rightarrow H</math>.
Якщо ввести відповідну [[Ріманів многовид|метрику]], то верхня півплощина перетворюється на модель [[гіперболічна геометрія|гіперболічної площини]] <math>H^2</math>, [[модель Пуанкаре у верхній півплощині]], а <math>\operatorname{PSL}(2,\mathbb {R})</math> є групою всіх ізометрій <math>H^2</math> у цій моделі, що зберігають орієнтацію.

Підгрупа групи всіх перетворень Мебіуса, що відображає відкритий диск <math>D=z\colon |z|<1</math> в себе, складається з усіх перетворень вигляду
:<math>f(z)={\rm e}^{{\rm i}\phi}{\frac {z+b}{{\bar{b}}z+1}},</math>
де <math>\phi\in\mathbb {R}</math>, <math>b\in\mathbb{C}</math> і <math>|b|<1</math>.
Ці перетворення еквівалентні  групі всіх біголоморфних (іншими словами: бієктивних та тих, що зберігають орієнтацію й кути) відображень <math>D\rightarrow D</math>.
Якщо ввести відповідну метрику, відкритий диск перетвориться на іншу модель гіперболічної площини, [[Конформно-евклідова модель|конформно-евклідову модель]], а ця група є групою всіх ізометрій <math>H^2</math> у цій моделі, що зберігають орієнтацією.

Оскільки обидві вищезазначені підгрупи є групами ізометрій <math>H^2</math>, то вони є ізоморфними. Явний ізоморфізм визначається за допомогою спряження перетворення
:<math>f(z)=\frac{z+{\rm i}}{{\rm i}z+1},</math>
яке бієктивно відображає одиничний відкритий диск у верхню півплощину.

Як альтернативу розглянемо відкритий диск радіуса <math>r</math> з центром у точці <math>r{\rm i}</math>. Модель диску Пуанкаре на цьому диску стає ідентичною до моделі верхньої півплощини, коли <math>r</math> прямує до <math>\infty</math>.

[[Максимальна компактна підгрупа]] групи Мебіуса <math>\mathcal{M}</math> визначається як\footnote{Tóth 2002, Section 1.2, Rotations and Möbius Transformations, p. 22}
:<math>\mathcal {M}_{0}:=\left\{z\mapsto{\frac{uz-{\bar {v}}}{vz+{\bar {u}}}}\colon |u|^{2}+|v|^{2}=1\right\},</math>
і відповідає при ізоморфізм <math>\mathcal{M}\cong\operatorname{PSL}(2,\mathbb{C})</math> {{нп|проєктивна спеціальна унітарна група|проєктивній спеціальній унітарній групі||Projective unitary group}} <math>\operatorname{PSU}(2,\mathbb{C})</math>, яка ізоморфна [[Ортогональна група|спеціальній ортогональній групі]] <math>\operatorname{SO}(3)</math> поворотів у тривимірному просторі, і може бути проінтерпретована як повороти сфери Рімана.
Будь-яка скінченна підгрупа спряжена максимальній компактній групі, і, отже, вони в точності відповідають групам багатогранника, [[Точкові групи симетрії у тривимірному просторі|точковим групам у тривимірному просторі]].

{{нп|Ікосаедричні групи|Ікосаедричні групи||Icosahedral symmetry}} перетворень Мебіуса [[Фелікс Кляйн]] використовував для отримання аналітичного розв'язку [[рівняння п'ятого степеня]] в {{Harvard citation|Tóth|2002}}.{{sfn|Tóth|2002|loc=Section 1.6, Additional Topic: Klein's Theory of the Icosahedron, [https://books.google.com/books?id=i76mmyvDHYUC&pg=PA66 p.&nbsp;66]}}; сучасне пояснення наведене в {{Harvard citation|Tóth|2002}}.{{sfn|Tóth|2002|loc=Section 1.6, Additional Topic: Klein's Theory of the Icosahedron, [https://books.google.com/books?id=i76mmyvDHYUC&pg=PA66 p.&nbsp;66]}}

Якщо накласти вимогу, щоб коефіцієнти <math>a</math>, <math>b</math>, <math>c</math>, <math>d</math> перетворення Мебіуса були [[Цілі числа|цілими числами]] та задовольняли умову <math>ad-bc=1</math>, то отримаємо [[Модулярна група|модулярну групу]] <math>\operatorname{PSL}(2,\mathbb {Z})</math>, дискретну підгрупу групи <math>\operatorname{PSL}(2,\mathbb {R})</math>, яка важлива при дослідженні [[Ґратка (порядок)|граток]] на комплексній площині, [[Еліптична функція|еліптичних функцій]] та [[Еліптична крива|еліптичних кривих]]. Дискретні підгрупи групи <math>\operatorname{PSL}(2,\mathbb {R})</math> відомі як [[група Фукса|групи Фукса]]; вони  важливі при вивченні [[Ріманова поверхня|поверхонь Рімана]].

== Класифікація ==
[[File:Apollonian circles.svg|thumb|A hyperbolic transformation is shown. Попередні зображення одиничного кола — це [[кола Аполлонія]] зі співвідношенням відстані ''c''/''a'' та фокусами в −''b''/''a'' та −''d''/''c''. Для одних і тих же фокусів −''b''/''a'' та −''d''/''c'' червоні кола відображені в промені через початок координат.]]

Надалі вважатимемо, що матриця <math>\mathfrak{H}</math> нормована таким чином, що <math>\det{\mathfrak {H}}=ad-bc=1</math>.

Неодиничні перетворення Мебіуса зазвичай поділяються на чотири типи: '''параболічні''', '''еліптичні''', '''гіперболічні''' та '''локсодромні'''; причому гіперболічні перетворення є підкласом локсодромних.
Класифікація має як алгебраїчне так і геометричне обґрунтування.
Геометрично, різні типи призводять до різних перетворень комплексної площини, як це показано на рисунках нижче.

Чотири типи перетворень можна визначити за допомогою [[Слід матриці|сліду]] його матриці <math>\operatorname{tr} {\mathfrak {H}}=a+d</math>.
Зауважимо, що слід є інваріантним при [[спряження|спряженні]], тобто
:<math>\operatorname {tr} {\mathfrak {GHG}}^{-1}=\operatorname {tr} {\mathfrak{H}},</math>
і тому кожен член класу спряження матиме однаковий слід.
Будь-яке перетворення Мебіуса може бути записане таким чином, що його матриця <math>\mathfrak {H}</math> має одиничний визначник (шляхом домноження елементів матриці на відповідний скаляр). Два перетворення Мебіуса <math>\mathfrak {H}</math>, <math>\mathfrak {H}'</math> (обидва не є рівносильними до тотожного перетворення) для яких виконується умова <math>\det{\mathfrak {H}}=\det{\mathfrak {H}}'=1</math> є спряженими тоді і лише тоді, коли <math>\operatorname {tr}^{2} {\mathfrak {H}}=\operatorname {tr} ^{2} {\mathfrak {H}}'</math>.

=== Параболічні перетворення ===

Неодиничне перетворення Мебіуса, визначене матрицею <math>\mathfrak{H}</math> з визначником рівним одиниці, називається '''параболічним''', якщо
:<math>\operatorname{tr}^{2}{\mathfrak {H}}=(a+d)^{2}=4</math>
(отже, слід матриці дорівнює плюс або мінус <math>2</math>; будь-яке перетворення з матрицею <math>\mathfrak{H}</math> може звестися до даного, оскільки його матриця визначається лише з точністю до знаку).
Насправді, один із варіантів для <math>\mathfrak{H}</math> має той самий [[Характеристичний поліном|характеристичний многочлен]] <math>x^2-2x+1</math>, що і одинична матриця, а тому є [[Уніпотентний елемент|уніпотентним]].
Перетворення Мебіуса є параболічним тоді й тільки тоді, коли воно має рівно одну нерухому точку в [[Сфера Рімана|розширеній комплексній площині]] <math>\widehat{\mathbb{C}}=\mathbb{C}\cup\{\infty\}</math>, що можливо лише тоді, коли це перетворення визначається матрицею, [[спряження|спряженою]] до
:<math>\begin{pmatrix}1&1\\0&1\end{pmatrix},</math>
що описує зсув на комплексній площині.

Сукупність усіх параболічних перетворень Мебіуса із '''заданою''' нерухомою точкою в <math>\widehat{\mathbb{C}}</math> разом з тотожним перетворенням утворює [[Група (математика)|підгрупу]], ізоморфну групі матриць
:<math>\left\{\begin{pmatrix}1&b\\0&1\end{pmatrix}\bigg| b\in \mathbb{C} \right\};</math>
це приклад [[Уніпотентний елемент|уніпотентного радикала]] {{нп|підгрупа Бореля|підгрупи Бореля||Borel subgroup}} (групи Мебіуса або <math>\operatorname{SL}(2,\mathbb {C})</math> для матричної групи; поняття визначено для будь-якої [[Редуктивна група|редуктивної групи Лі]]).

=== Характеристичні константи ===

Кожне непараболічне перетворення має дві нерухомі точки і визначається матрицею, спряженою до матриці
:<math>\begin{pmatrix}\lambda & 0 \\ 0 & \lambda^{- 1} \end{pmatrix}</math>
із комплексним числом <math>\lambda</math>, що не дорівнює <math>0</math>, <math>1</math> або <math>-1</math>, яке відповідає розтягу/повороту шляхом множення на комплексне число <math>k=\lambda^2</math>, що називається '''характеристичною константою''' або '''множником''' перетворення.

=== Еліптичні перетворення ===

[[File:Smith chart explanation.svg|thumb|500px|right|{{нп|Діаграма Вольтера-Сміта|Діаграма Вольтера-Сміта||Smith chart}},  що використовується в [[Електротехніка|електротехніці]] для аналізу [[Лінія зв'язку|ліній зв'язку]], є візуальним зображенням еліптичних перетворень Мебіуса <math>\Gamma=(z-1)/(z+1)</math>. Кожна точка на діаграмі Вольтера-Сміта одночасно представляє як значення ''z'' (знизу зліва), так і відповідне значення Γ (знизу справа), для  &#124;Γ &#124;&lt;1.]]
Кажуть, що перетворення є '''еліптичним''', якщо воно може бути представлене матрицею <math>\mathfrak{H}</math>, слід якої є [[Дійсне число|дійсним числом]] та задовольняє умову
:<math>0\leq\operatorname{tr}^{2}{\mathfrak{H}}<4.</math>
Перетворення є еліптичним тоді і лише тоді, коли <math>|\lambda|=1</math> і <math>\lambda\neq\pm1</math>. Якщо <math>\lambda</math> представлене у вигляді <math>\lambda={\rm e}^{{\rm i}\alpha}</math>, то еліптичне перетворення є спряженим до
:<math>\begin{pmatrix} \cos\alpha & - \sin\alpha \\\sin\alpha & \cos\alpha \end{pmatrix},</math>
де <math>\lambda</math> — дійсне число.

Зауважимо, що для будь-якої матриці <math>\mathfrak {H}</math> з характеристичною константою <math>k</math>, характеристична константа матриці <math>\mathfrak{H}^{n}</math>  дорівнює <math>k^n</math>.
Таким чином, усі перетворення Мебіуса [[Порядок (теорія груп)|скінченного порядку]] є еліптичними перетвореннями, тобто ті, де  <math>\lambda</math> є [[Корінь з одиниці|коренем з одиниці]], або, інакше кажучи, де <math>\lambda</math> є [[Раціональні числа|раціональним числом]], кратним <math>\pi</math>.
Найпростіший приклад дробового числа, кратного [[Число пі|<math>\pi</math>]], це <math>\lambda=\frac{\pi}{2}</math>, що є єдиним випадком, для якого <math>\operatorname{tr}{\mathfrak {H}}=0</math>, що також визначається як '''кругове перетворення'''; геометрично це відповідає повороту на 180° навколо двох нерухомих точок.
Цей клас перетворень представляється у матричній формі наступним чином:
:<math>\begin{pmatrix} 0 & -1 \\ 1 &0\end{pmatrix}.</math>
Є 3 представники, що фіксують <math>\{0, 1, \infty\}</math>, які є  транспозиціями в групі симетрії цих 3 точок: <math>\frac{1}{z}</math>, що фіксує <math>1</math> і міняє <math>0</math> з <math>\infty</math> (поворот на 180° навколо точок <math>1</math> і <math>-1</math>); <math>1-z</math>, що фіксує <math>\infty</math> і міняє <math>0</math> з <math>1</math> (поворот на 180° навколо точок <math>\frac{1}{2}</math> і <math>\infty</math>); і <math>\frac{z}{z-1}</math>, що фіксує <math>0</math> і міняє <math>1</math> з <math>\infty</math> (поворот на 180° навколо точок <math>0</math> і <math>2</math>).

=== Гіперболічні перетворення ===

Перетворення є '''гіперболічним''', якщо воно може бути представлене матрицею <math>\mathfrak{H}</math>, слід якої є [[Дійсне число|дійсним числом]] та задовольняє умову
:<math>\operatorname{tr}^{2}{\mathfrak {H}}> 4.</math>
Перетворення є гіперболічним тоді і лише тоді, коли <math>\lambda</math> є  дійсним числом і <math>\lambda\neq\pm1</math>.

=== Локсодромні перетворення ===

Перетворення є '''локсодромним''', якщо <math>\operatorname{tr}^{2} {\mathfrak{H}}\notin [0, 4]</math>. Перетворення є локсодромним тоді і лише тоді, коли <math>|\lambda|\neq 1</math>.

Історично[[навігація]] по [[Локсодрома|локсодромі]] відноситься до шляху з постійним [[Пеленг (навігація)|пеленгом]]; кінцевий шлях — це [[логарифмічна спіраль]], схожа за формою на перетворення комплексної площини, яке відноситься до класу локсодромних перетворень Мебіуса.
Дивіться геометричні фігури нижче.

=== Загальна класифікація ===
{| border=1 cellpadding=2 style="margin: auto; border-collapse: collapse; text-align: center;"
|- style="background:#ddf;"
! Перетворення || Квадрат сліду || Множник
! colspan=2 | Представник класу
|-
!Колове
| σ = 0
| ''k'' = −1
| <math>\begin{pmatrix}i & 0 \\ 0 & -i\end{pmatrix}</math>
| ''z'' ↦ −''z''
|-
!Еліптичне
| 0 ≤ σ < 4
|  | |''k''| = 1{{Clear}}<math>k = e^{\pm i\theta} \neq 1</math>
| <math>\begin{pmatrix} e^{i\theta/2} & 0 \\ 0 & e^{-i\theta/2}\end{pmatrix}</math>
| ''z'' ↦ ''e''<sup>''i''θ</sup> ''z''
|-
!Параболічне
| σ = 4
| ''k'' = 1
| <math>\begin{pmatrix}1 & a \\ 0 & 1\end{pmatrix}</math>
| ''z'' ↦ ''z'' + ''a''
|-
!Гіперболічне
| 4 < σ < ∞
| <math>k \in \R^{+}</math>{{Clear}}<math>k = e^{\pm \theta} \neq 1</math>
| <math>\begin{pmatrix}e^{\theta/2} & 0 \\ 0 & e^{-\theta/2}\end{pmatrix}</math>
| ''z'' ↦ ''e''<sup>θ</sup> ''z''
|-
!Локсодромне
| σ ∈ '''C''' \ [0,4]
| <math>|k| \neq 1</math>{{Clear}}<math>k = \lambda^{2}, \lambda^{-2}</math>
| <math>\begin{pmatrix}\lambda & 0 \\ 0 & \lambda^{-1}\end{pmatrix}</math>
| ''z'' ↦ ''kz''
|}

=== Дійсний випадок та примітка щодо термінології ===
Над полем дійсних чисел (якщо коефіцієнти мають бути дійсними) не має негіперперболічних локсодромних перетворень, і тому класифікація розпадається на еліптичні, параболічні та гіперболічні перетворення, як для дійсних [[Конічні перетини|конічних перетинів]].
Термінологія зумовлена розглядом половини абсолютного значення сліду <math>\frac{|\operatorname{tr}|}{2}</math> як [[Ексцентриситет|ексцентриситету]] перетворення — ділення на <math>2</math> коригує розмірність, тому тотожність має ексцентриситет рівний <math>1</math> (з цієї причини <math>\frac{\operatorname{tr}}{n}</math> іноді використовується в якості альтернативи для сліду), і абсолютне значення коригує слід, визначаючись лише із точністю до коефіцієнта <math>\pm1</math> через роботу в <math>\operatorname{PSL}</math>.
В якості альтернативи можна використовувати половину сліду в квадраті як представник для квадрата ексцентриситету, як це було зроблено вище;
ці класифікації (але не точні значення ексцентриситету, оскільки квадратура та абсолютні значення різні) мають місце для дійсних слідів, але не для комплексних слідів.
Та сама термінологія використовується й для [[SL(2,R)|класифікації елементів <math>\operatorname{PSL}(2, \mathbb{R})</math>]] (двократне покриття), а [[Ексцентриситет|аналогічні класифікації]] використовуються в інших випадках.
Локсодромні перетворення є по суті комплексним явищами і тому відповідають комплексним ексцентриситетам.

== Властивості ==
* [[Тотожне відображення]] <math>\ f(z)=z</math> також є дробово-лінійною функцією (<math>a=d=1,\; b=c=0</math>).
* [[Композиція функцій]] дробово-лінійних відображень також є дробово-лінійною функцією.
* [[Обернена функція]] до дробово-лінійної функції також є дробово-лінійною функцією.
Звідки слідує, що дробово-лінійні відображення утворюють [[група (математика)|групу]] відносно операції суперпозиції ([[група автоморфізмів]] [[сфера Рімана|сфери Рімана]], також відома під назвою ''група Мебіуса'').

Ця група є [[комплексні числа|комплексно]]-тривимірною [[група Лі|групою Лі]].

== Алгебраїчні властивості ==
{{доповнити розділ}}

== Геометричні властивості ==
* Дробово-лінійне відображення може бути представленим як суперпозиція [[паралельне перенесення|зсуву]], [[інверсія (геометрія)|інверсії]], [[обертання (математика)|повороту]] та [[гомотетія|розтягнення]].
: <math>f(z)=\frac{az+b}{cz+d}=f_4\circ f_3\circ f_2\circ f_1 (z),</math>
де
# <math>\ f_1(z)= z+d/c</math> (зсув)
# <math>\ f_2(z)= 1/z</math> (інверсія та and [[Відбиття (геометрія)|відбиття]] відносно дійсної осі)
# <math>\ f_3(z)= (- (ad-bc)/c^2) \cdot z</math> (поворот та розтягнення)
# <math>\ f_4(z)= z+a/c</math> (зсув)

* З цієї властивості слідує збереження кутів і кіл при дробово-лінійному відображенні, так як всі його складові є [[конформне відображення|конформними]]. Маються на увазі кола на [[сфера Рімана|сфері Рімана]], тобто до них крім звичайних кіл входять [[пряма|прямі]].

* Для довільних трьох точок <math>\ z_1,\; z_2,\; z_3</math> існує єдине дробово-лінійне відображення, що переводить їх в задані три точки <math>\ w_1,\; w_2, \; w_3</math>. Воно буде мати вигляд:
: <math>\frac{(z_1-z_3)(z_2-z)}{(z_1-z)(z_2-z_3)} = \frac{(w_1-w_3)(w_2-w)}{(w_1-w)(w_2-w_3)}.</math>

== Перетворення одиничного кола ==
Перетворення Мебіуса є [[автоморфізм]]ом одиничного кола <math>\ \Delta=\{z:|z|<1\}</math> тоді і тільки тоді, коли <math>a{\bar b}=c{\bar d}</math> та <math>\frac{bc}{ad}</math> належать напівінтервалу <math>[0,\;1)</math>.

Для сфери Рімана, так і для одиничного кола дробово-лінійними функціями вичерпуються всі [[конформне відображення|конформні]] автоморфізми.
Автоморфізми одиничного кола утворюють [[дійсні числа|дійсну]]-тривимірну підгрупу групи Мебіуса; кожний з яких виражається у вигляді:
: <math>f(z)=e^{i\varphi}\frac{z+\beta}{{\bar\beta}z+1},\quad\beta\in\Delta,\quad|e^{i\varphi}|=1.</math>

== Приклади ==
Важливим прикладом дробово-лінійної функції є [[перетворення Келі]]:
: <math>W(z)=\frac{z-i}{z+i}.</math>
Воно відображає [[Верхня півплощина|верхню півплощину]] в одиничне коло.

== Коментарі ==
{{примітки|group=коментар}}

== Примітки ==
{{reflist}}

== Посилання ==
* {{Commons category inline}}
* ''Шабат Б. В.'' Введение в комплексный анализ.&nbsp;— М: [[Наука (видавництво)|Наука]], 1969.&nbsp;— 577&nbsp;с. {{ref-ru}}
* {{springer|title=Quasi-conformal mapping|id=p/q076430}} {{ref-en}}
* [http://virtualmathmuseum.org/ConformalMaps/index.html Галерея конформних відображень] {{ref-en}}
* {{MathWorld | urlname= LinearFractionalTransformation | title= Linear Fractional Transformation }}

[[Категорія:Проєктивна геометрія]]
[[Категорія:Групи Лі]]
[[Категорія:Конформна геометрія]]
[[Категорія:Елементарні функції комплексної змінної]]