Перегляд вихідного коду сторінки Перетворення Гільберта

{{unibox}}[[Файл:Hilbert transform.svg|300px|thumb|Перетворення Гільберта прямокутного сигналу.]]

У [[Математика|математиці]] та при [[Обробка сигналів|обробці сигналів]] '''перетворення Гільберта''' — специфічний [[Лінійне відображення|лінійний оператор]], який функцію <math>u(t)</math> дійсної змінної відображає в іншу функцію дійсної змінної <math>H(u)(t)</math>.
Такий лінійний оператор визначається [[Згортка |згорткою]] з функцією <math>\dfrac{1}{\pi t}</math> (див. нижче Означення).
Перетворення Гільберта має особливо просте представлення в [[Частотна область |частотній області]]:
воно визначає [[Фаза (коливання)|фазовий зсув]] на <math>\pm 90^\circ</math> (<math>\dfrac{\pi}{2}</math> радіан) для кожного частотного компоненту функції, при цьому знак зсуву залежить від знаку частоти (див. нижче  Зв'язок з перетвореннями Фур'є).
Перетворення Гільберта важливе для обробки сигналів, де воно є компонентою {{нп|Аналітичний сигнал|аналітичного представлення||Analytic signal}}
дійснозначного сигналу  <math>u(t)</math>.
Перетворення Гільберта було вперше введено [[Давид Гільберт|Давидом Гільбертом]] у такій постановці при розв'язанні частинного випадку {{нп|Задача Рімана—Гільберта|задачі Рімана—Гільберта||Riemann–Hilbert problem}} для аналітичних функцій.

== Означення ==

Перетворення Гільберта функції <math>u</math> можна розглядати як [[Згортка|згортку]] функції <math>u(t)</math> з функцією <math>h(t)=\dfrac{1}{\pi t}</math>, відомою як [[Інтегральна формула Коші|ядро Коші]].
Оскільки функція <math>\dfrac{1}{t}</math> [[Точно розв'язувана задача|неінтегрована]] в околі <math>t=0</math>, то інтеграл, який визначає згортку, не завжди є збіжним.
Замість цього, перетворення Гільберта визначається з використанням [[Головне значення інтеграла за Коші|головного значення інтеграла за Коші]] (яке позначається тут як <math>\operatorname{p.v.}</math>). У явному вигляді, перетворення Гільберта функції (чи сигналу) <math>u(t))</math> визначається як
: <math>\begin{align}
\operatorname {H} (u)(t)={\frac {1}{\pi }} \operatorname{p.v.} \int _{-\infty }^{+\infty }{\frac {u(\tau )}{t-\tau }}\,{\rm d} \tau ,
\end{align}</math>
за умови, що цей інтеграл існує у сенсі головного значення.
Це і є в точності згортка функції <math>u</math> із [[Узагальнена функція|помірним розподілом]] <math>\operatorname{p.v.}\frac{1}{\pi m}</math>.<ref>due to {{harvnb|Schwartz|1950}}; see {{harvnb|Pandey|1996|loc=Chapter 3}}.</ref>
Також, за допомогою заміни змінних, головне значення інтеграла за Коші можна записати явно як <ref>{{harvnb|Zygmund|1968|loc=§XVI.1}}</ref>  
: <math>\begin{align}
\operatorname {H} (u)(t)={-\frac {1}{\pi }}\lim_{\varepsilon \to 0} \int _{\varepsilon }^{\infty}{\frac {u(t+\tau )-u(t-\tau)}{\tau }}\,{\rm d} \tau.
\end{align}</math>
Якщо перетворення Гільберта послідовно двічі застосувати до функції <math>u</math>, то в результаті функція <math>u</math> змінює знак:
: <math>\begin{align}
\operatorname {H} (\operatorname {H} (u))(t)=-u(t),
\end{align}</math>
за умови, що інтеграли в обох ітерації є збіжними у відповідному сенсі.
Зокрема, оберненим перетворенням є <math>-\operatorname {H}</math>.
Цей факт найлегше побачити, розглянувши дію перетворення Гільберта на перетворення Фур'є функції <math>u(t)</math> (див. нижче Зв'язок з перетворенням Фур'є).

Для [[аналітична функція|аналітичної функції]] у [[Верхня півплощина|верхній півплощині]], перетворення Гільберта описує зв'язок між дійсною та уявною частинами граничних значень.
Тобто, якщо функція <math>f(z)</math> є аналітичною у верхній півплощині комплексної площини
<math>\{ z\colon \operatorname{Im} \{z\} >0\}</math> і <math>u(t)=\operatorname{Re}\{f(t+0{\rm i})\})</math>, то <math>\operatorname{Im}\{f(t+0{\rm i})\}=\operatorname{H}(u)(t)</math>
з точністю до адитивної константи, за умови, що перетворення Гільберта існує.

== Позначення ==

У теорії [[Обробка сигналів|обробки сигналів]] перетворення Гільберта функції <math>u(t)</math> зазвичай позначають як <math>\hat{u}(t)</math>.<ref>e.g., {{harvnb|Brandwood|2003|loc=p. 87}}</ref> Проте в математиці це позначення вже широко використовують для перетворення Фур'є функції <math>u(t)</math>. Інколи для перетворення Гільберта використовують позначення <math>\tilde{u}(t)</math>.<ref>e.g., {{harvnb|Stein|Weiss|1971}}</ref> Крім того, багато джерел визначають перетворення Гільберта як від'ємне до одного з визначених тут.<ref>e.g., {{harvnb|Bracewell|2000|loc=p. 359}}</ref> 

== Історія ==
Перетворення Гільберта виникло у 1905 році в роботі Гільберта про проблему Рімана щодо аналітичних функцій,{{sfn|Kress|1989}}{{sfn|Bitsadze|2001}} яка стала відома як {{нп|Задача Рімана—Гільберта|задача Рімана—Гільберта||Riemann–Hilbert problem}}.
Робота Гільберта в основному стосується перетворення Гільберта для функцій, що визначені на колі.{{sfn|Khvedelidze|2001}}{{sfn|Hilbert|1953}}
Деякі з його попередніх робіт, що пов'язані з дискретним перетворенням Гільберта, базуються на лекціях, які він читав в [[Геттінген]]і. Ці результати пізніше були опубліковані у дисертації {{sfn|Hardy|Littlewood|Pólya|1952|loc=§9.1}} Германа Вейля.
Шур покращив результати Гільберта про дискретне перетворення Гільберта і розширив їх на інтегральний випадок.{{sfn|Hardy|Littlewood|Pólya|1952|loc=§9.2}} Ці результати були послаблені для просторів [[Простір Lp|<math>L^2</math> та <math>l^2</math>]].
В 1928 році {{нп|Марсель Ріс|Марсель Ріс||Marcel Riesz}} довів, що перетворення Гільберта можна визначити для функції <math>u</math> у просторі [[Простір Lp|<math>L^{p}(\mathbb{R})</math>]] при <math>1<p<\infty</math>. Ріс також довів, що перетворення Гільберта є
[[Обмежений оператор|обмеженим оператором]] у просторі <math>L^{p}(\mathbb{R})</math> при <math>1<p<\infty)</math>, і, що аналогічні результати справедливі для перетворення Гільберта на колі, а також для дискретного перетворення Гільберта.{{sfn|Riesz|1928}}
Перетворення Гільберта було мотиваційним прикладом для [[Антоній Зигмунд|Антонія Зигмунда]]
та {{нп|Альберт Кальдерон|Альберта Кальдерона||Alberto Calderón}} при дослідженні {{нп|синулярний інтеграл|синулярних  інтегралів||Singular integral}}{{sfn|Calderón|Zygmund|1952}}. Ці дослідження зіграли фундаментальну роль в сучасному гармонійному аналізі.
Різноманітні узагальнення перетворень Гільберта, такі як білінійне і трилінійне перетворення, і сьогодні залишаються активними областями досліджень.

== Зв'язок з перетворенням Фур'є ==
Перетворення Гільберта — це оператор множення.{{sfn|Duoandikoetxea|2000|loc=Chapter 3}} 
Множником оператора <math>\operatorname {H}</math> є <math>\sigma_{\rm H}= -{\rm i} \operatorname{sgn}(\omega)</math>, де <math>\operatorname{sgn}</math> — це [[функція знаку]].
Отже,
: <math>\begin{align}
\mathcal{F}(\operatorname{H} (u))(t)(\omega)=-{\rm i} \operatorname{sgn}(\omega)\cdot\mathcal{F}(u)(\omega),
\end{align}</math>
де <math>\mathcal{F}</math> — перетворення Фур'є.Оскільки <math>\operatorname{sgn}(x)=\operatorname{sgn}(2\pi x)</math>, то цей результат можна використовувати для трьох загально відомих означень для перетворення Фур'є <math>\mathcal{F}</math>.
Згідно з [[Формула Ейлера|формулою Ейлера]]
:<math> -i\,\operatorname{sgn}(\omega)  =  
	\begin{cases}
		{\rm i}={\rm e}^{+\frac{{\rm i}\pi}{2}}, &\text{при} \ \omega<0,\\
		0,  &\text{при} \ \omega=0,\\
		-{\rm i}={\rm e}^{-\frac{{\rm i}\pi}{2}}, &\text{при} \ \omega>0.
	\end{cases}
</math>
Таким чином, перетворення Гільберта <math>\operatorname {H}(u)(t)</math> має ефект зсуву фази для компонент з
[[Від'ємна частота|від'ємною частотою]] функції <math>u(t)</math> на <math>90^\circ</math> (<math>\frac{\pi}{2}</math>)
і для компонент з додатною частотою — на <math>-90^\circ</math>, а <math>{\rm i}\operatorname H (u)(t)</math> має ефект відновлення компонент з додатною частотою при зсуві компонент з від'ємною частотою додатково на <math>+90^\circ</math>, що приводить у результаті до зміни знаку (тобто множення на <math>-1</math>). Якщо перетворення Гільберта застосовується двічі, то  фаза для компонент від'ємної та додатної частот функції <math>u(t)</math> відповідно зміщуються на <math>+180^\circ</math> та <math>-180^\circ</math>, які є еквівалентними сумами.Сигнал змінює знак, тобто <math>\operatorname{H}(\operatorname {H} (u))=-u</math>, оскільки
: <math>\begin{align}
(\sigma_{\rm H}(\omega))^{2}=e^{\pm {\rm i}\pi}=-1
\quad \text{для}\quad \omega=0.
\end{align}</math>

== Таблиця деяких перетворень Гільберта ==
У наступній таблиці, параметр [[Частота|частоти]] <math>\omega</math> — є дійсним.
{| class="wikitable"
|-
! Сигнал<br /> <math>u(t)\,</math> !! Перетворення Гільберта<br /><ref group="fn">Деякі автори (наприклад, Брейсвелл) використовують оператор <math>-\operatorname{H}</math>, як означення прямого перетворення. Звідси випливає, що у правому стовпчик цієї таблиці необхідно змінити знак.</ref> <math>H(u)(t)\,</math>
|-
| align="center"| <math>\sin(\omega t)</math> <ref group="fn" name="ex02">Перетворення Гільберта для функцій синуса та косинуса можна визначити, взявши головне значення інтеграла на нескінченності. Таке означення узгоджується з дистрибутивністю означення перетворення Гільберта.</ref>||  align="center"|  <math>\begin{array}{ll} \sin\left(\omega t-\dfrac{\pi}{2}\right), & \omega>0\\
		  \sin\left(\omega t+\dfrac{\pi}{2}\right), & \omega<0\end{array}</math>
|-
| align="center"| <math>\cos(\omega t)</math>,<ref group="fn" name="ex02"/> ||  align="center"| <math>\begin{array}{ll} \cos\left(\omega t-\dfrac{\pi}{2}\right), & \omega>0\\
		  \cos\left(\omega t+\dfrac{\pi}{2}\right), & \omega<0\end{array}</math>
|-
| align="center"|<math>{\rm e}^{{\rm i}\omega t}</math>||  align="center"| <math>\begin{array}{ll}{\rm e}^{{\rm i}\left(\omega t-\frac{\pi}{2}\right)}, &\omega>0\\
                                  {\rm e}^{{\rm i}\left(\omega t-\frac{\pi}{2}\right)}, & \omega>0\end{array}</math>
|-
| align="center"|<math>{\rm e}^{{-\rm i}\omega t}</math>||  align="center"| <math>\begin{array}{ll}{\rm e}^{{-\rm i}\left(\omega t-\frac{\pi}{2}\right)}, &\omega>0\\
                                  {\rm e}^{{-\rm i}\left(\omega t-\frac{\pi}{2}\right)}, & \omega>0\end{array}</math>
|-
| align="center"| <math>1 \over t^2 + 1</math> ||  align="center"| <math>t \over t^2 + 1</math>
|-
| align="center"| '''[[Функція sinc]]''' <br /> <math>\sin(t) \over t</math>||  align="center"| <math> 1- \cos(t)\over t</math>
|-
| align="center"| '''[[Дельта-функція Дірака]]''' <br /><math>\delta(t) \, </math> ||  align="center"| <math> {1 \over \pi t}</math>
|-
| align="center"|'''[[Характеристична функція]]''' <br /> <math>\chi_{[a,b]}(x) \,</math> ||  align="center"| <math>\frac{1}{\pi}\ln \left \vert \frac{x-a}{x-b}\right \vert \,</math>
|}
'''Примітки'''
<references group="fn"/>
Доступна {{sfn|King|2009b}} достатньо велика таблиця перетворень Гільберта.
Зауважимо, що перетворення Гільберта для константи дорівнює нулю

== Область визначення ==

Зовсім не очевидно, що перетворення Гільберта взагалі є добре визначеним, оскільки відповідний невласний інтеграл має збігатися у відповідному сенсі.
Проте перетворення Гільберта добре визначене для широкого класу функцій, а саме у просторі <math>L^{p}(\mathbb{R})</math>, <math>1<p<\infty</math>.

Точніше, якщо функція <math>u</math> з простору <math>L^{p}(\mathbb{R})</math>, <math>1<p<\infty</math>, тоді границя,
що визначає цей невласний інтеграл
: <math>\begin{align}
\operatorname {H} (u)(t)={-\frac {1}{\pi }}\lim_{\varepsilon \to 0} \int _{\varepsilon }^{\infty}{\frac {u(t+\tau )-u(t-\tau)}{\tau }}\,{\rm d} \tau,
\end{align}</math>
існує для [[Майже скрізь|майже всіх]] <math>t</math>.
Границя функції також існує в просторі <math>L^{p}(\mathbb{R})</math> і фактично є границею в середньому для невласного інтеграла.
А саме
: <math>\begin{align}
\operatorname {H} (u)(t)={-\frac {1}{\pi }}\lim_{\varepsilon \to 0} \int _{\varepsilon }^{\infty}{\frac {u(t+\tau )-u(t-\tau)}{\tau }}\,{\rm d} \tau\rightarrow\operatorname {H} (u)(t),
\end{align}</math>
у нормі <math>L^{p}</math> при <math>\varepsilon\rightarrow0</math>. Збіжність є поточковою майже всюди за теоремою Тітчмарша.{{sfn|Titchmarsh|1948|loc=Chapter 5}}

У випадку <math>p=1</math> перетворення Гільберта все ще збігається поточково майже всюди, але саме по собі може бути неінтегровним, навіть локально.{{sfn|Titchmarsh|1948|loc=§5.14}} Зокрема, збіжність у середньому, у цьому випадку загалом негарантоване.
Перетворення Гільберта для функції з <math>L^{1}</math> є збіжним, але <math>L^1</math> — у слабкому сенсі, і перетворення Гільберта є обмеженим оператором з простору
<math>L^{1}</math> у простір <math>L^{1, w}</math>.{{sfn|Stein|Weiss|1971|loc=Lemma V.2.8}} (Зокрема, оскільки перетворення Гільберта також є оператором множення в просторі <math>L^{2}</math>, то інтерполяційна теорема Марцинкевича та аргумент дуальності надають альтернативне доведення того, що оператор <math>\operatorname{H}</math> є обмеженим у просторі <math>L^{p}</math>.)

==Властивості==

=== Обмеженість ===
Якщо <math>1<p<\infty</math>, то перетворення Гільберта в просторі <math>L^{p}(\mathbb{R})</math> є обмеженим лінійним оператором, тобто існує константа <math>C_p</math> така, що
: <math>\begin{align}
\|\operatorname{H}u\|_p\leq C_p\|u\|_p,
\end{align}</math>
для всіх <math>u\in L^{p}(\mathbb{R})</math>.<ref name=":0">This theorem is due to {{harvnb|Riesz|1928|loc=VII}}; see also {{harvnb|Titchmarsh|1948|loc=Theorem 101}}.</ref>
Найкраще константа <math>C_p</math><ref name=":0" /> визначається як <ref>This result is due to {{harvnb|Pichorides|1972}}; see also {{harvnb|Grafakos|2004|loc=Remark 4.1.8}}.</ref>
:<math>C_p = \begin{cases}
 \operatorname{tg}\dfrac{\pi}{2p}, & \text{якщо} ~ 1 < p \leq 2,\\ 
  \operatorname{ctg} \dfrac{\pi}{2p}, & \text{якщо} ~ 2 < p < \infty.
\end{cases}</math>

Найпростіший спосіб знаходження найкращої константи <math>C_p</math> для <math>p</math>, яке є степенем <math>2</math>, через так звану рівність Котлара
: <math>\begin{align}
(\operatorname{H}f)^{2}=f^{2}+2\operatorname{H}(f\operatorname{H}f)
\end{align}</math>
для всіх дійснозначних функцій <math>f</math>.
Ті самі найкращі константи мають місце для періодичного перетворення Гільберта.

З обмеженості перетворення Гільберта випливає <math>L^{p}(\mathbb{R})</math> збіжність симетричного оператора частинної суми
: <math>\begin{align}
S_R f=\int\limits_{-R}^{R}\hat{f}(\xi){\rm e}^{2\pi{\rm i}x\xi}{\rm d}\xi
\end{align}</math>
для функції <math>f</math> з простору <math>L^{p}(\mathbb{R})</math>.<ref>Дивись, наприклад {{harvnb|Duoandikoetxea|2000|p=59}}.</ref>

=== Антисамоспряженість ===
Перетворення Гільберта є {{нп|антисамоспряжений|антисамоспряженим||Self-adjoint}} оператором відносно дуального утворення пар між простором <math>L^{p}(\mathbb{R})</math> та дуальним простором <math>L^{q}(\mathbb{R})</math>, де <math>p</math> та <math>q</math>
— [[Нерівність Гельдера|спряжені за Гельдером]] і <math>1<p</math>, <math>q<\infty</math>. У символьній формі
: <math>\begin{align}
\left \langle \operatorname{H}u,v \right \rangle=\left \langle u,-\operatorname{H}v \right \rangle
\end{align}</math>
для <math>u\in L^{p}(\mathbb{R})</math> та <math>v\in L^{q}(\mathbb{R})</math>.{{sfn|Titchmarsh|1948|loc=Theorem 102}}

=== Обернене перетворення ===
Перетворення Гільберта є [[Інволюція|антиінволюцією]]{{sfn|Titchmarsh|1948|p=120}}, тобто
:<math>\begin{align}
\operatorname{H}(\operatorname{H}(u))=-u
\end{align}</math>
за умови, що кожне перетворення є добре визначеним.
Оскільки оператор <math>\operatorname{H}</math> зберігає простір <math>L^{p}(\mathbb{R})</math>, то перетворення Гільберта є оборотне в просторі <math>L^{p}(\mathbb{R})</math> і
: <math>\begin{align}
\operatorname{H}^{-1}=-\operatorname{H}.
\end{align}</math>

=== Структура над комплексною площиною ===
Оскільки <math>\operatorname{H}^{2}=-\operatorname{I}</math> (<math>\operatorname{I}</math> — [[Тотожне відображення|тотожний оператор]] у дійсному [[Банахів простір|банаховому просторі]] дійснозначних функцій у просторі <math>L^{p}(\mathbb{R})</math>, то перетворення Гільберта визначає {{нп|лінійна комплексна структура|лінійну комплексну структуру||Linear complex structure|}} в банаховому просторі. Зокрема, при <math>p=2</math> перетворення Гільберта надає гільбертовому простору дійснозначних функцій в просторі <math>L^{2}(\mathbb{R})</math> структуру \emph{комплексного} гільбертового простору.

[[Квантовий стан|Квантові стани]] (зокрема, комплексні) перетворення Гільберта допускають за {{нп|теорема Пелі—Вінера|теоремою Пелі—Вінера||Paley–Wiener theorem}} представлення у вигляді [[Голоморфна функція|голоморфних функцій]] у верхній та в нижній півплощинах
у [[Простір Гарді|просторі Гарді]] {{нп|простір H|<math>\operatorname{H}^{2}</math>||H square}}.

== Згортки ==
Перетворення Гільберта можна  формально реалізувати як
[[Згортка|згортку]] з [[Узагальнена функція|узагальненою функцією повільного росту]]{{sfn|Duistermaat|Kolk|2010|p=211}}
: <math>\begin{align}
 h(t) = \operatorname{p.v.}\frac {1}{\pi\,t}.
\end{align}</math>
Таким чином, формально можна записати
:<math>\operatorname{H} (u) =h*u.
</math>
Однак, апріорі можна визначити лише для узагальненої функції <math>u</math> з [[Носій функції|компактним носієм]]. 
З цим можна працювати дещо строгіше, оскільки  функції з компактними носіями(які очевидно є узагальненими) є [[Щільна множина|щільними]] в просторі <math>L^{p}</math>. Як альтернативу можна використати той факт, що <math>h(t)</math> є [[Узагальнена функція|узагальненою похідною]] від функції <math>\log\dfrac{|t|}{\pi}</math>, а саме
: <math>\begin{align}
\operatorname {H} (u)(t)={\frac {{\rm d} }{{\rm d} t}}\left({\frac {1}{\pi }}\left(u*\log {\bigl |}\cdot {\bigr |}\right)(t)\right).
\end{align}</math>
Для більшості обчислювальних задач Перетворення Гільберта можна розглядати як згортку.
Наприклад, у формальному сенсі перетворення Гільберта згортки — це згортка перетворення Гільберта, що застосована лише до одного з множників:
:<math>\begin{align}
\operatorname {H}(u * v) = \operatorname {H}(u)*v =u * \operatorname {H} (v).
\end{align}</math>
Це строго коректно, якщо <math>u</math> і <math>v</math> — це узагальнені функції з компактними носіями, оскільки в цьому випадку
:<math>\begin{align}
h*(u*v)=(h*u)*v=u*(h*v).
\end{align}</math>
Таким чином, переходячи до відповідної границі, з теореми Тічмарша {{sfn|Titchmarsh|1948|loc=Theorem 104}} випливає також коректність для <math>u \in L^{p}</math> і <math>v \in L^{q}</math> за умови, що
:<math>\begin{align}
1 <\frac{1}{p}+\frac{1}{q}.
\end{align}</math>

=== Інваріантність ===
У просторі <math>L^{2}(\mathbb{R})</math> перетворення Гільберта має наступні інваріантні властивості:
*Воно комутує зі зсувами, тобто з операторами <math>\operatorname{T}_af(x)=f(x + a)</math> для всіх <math>\alpha \in \mathbb{R}</math>.
*Воно комутує з додатніми розтягами, тобто з операторами <math>\operatorname{M}_\lambda f(x)=f(\lambda x )</math> для всіх <math>\lambda>0</math>.
*Воно [[Антикомутативність|антикомутує]] з віддзеркаленням <math>R f(x)=f(-x)</math>. Таким чином, з точністю до мультиплікативної константи перетворення Гільберта — це єдиний обмежений оператор у просторі <math>L^{2}</math>, який володіє вищезгаданими властивостями.{{sfn|Stein|1970|loc=§III.1}} Насправді існує ширша множина операторів, що комутують з перетворенням Гільберта. Група <math>{\rm SL}(2,\mathbb{R})</math> дія якої у просторі <math>L^{2}(\mathbb{R})</math> за допомогою унітарних операторів <math>\operatorname{U}_g</math> визначається формулою
: <math>\begin{align}
 \operatorname{U}_{g}^{-1}f(x)=\frac {1}{cx+d} f\left(\frac{ax+b}{cx+d}\right),\quad g=\begin{bmatrix}a&b\\c&d\end{bmatrix},\quad \text{для} \quad ad-bc=\pm 1.
\end{align}</math>
{{нп|Унітарне представлення|Унітарне представлення||Unitary representation}} — це приклад
{{нп|головне представлення ряду|головного представлення ряду||Principal series representation}} групи  <math>{\rm SL}(2,\mathbb{R})</math>. У цьому випадку унітарне представлення є звідним, розщепленим як ортогональна сума два інваріантних підпросторів: 
[[Простір Гарді|простору Гарді]] <math>\operatorname{H}^{2}</math> і його дуального простору. Це простори <math>L^{2}</math> граничних значень голоморфних функцій на верхній та нижній півплощинах. Простір <math>H^{2}(\mathbb{R})</math> і його дуальний простір у точності складаються з функцій простору <math>L^{2}(\mathbb{R})</math>, що зануляються перетвореннями Фур'є відповідно на від'ємній та додатній частинах дійсної осі. Оскільки перетворення Гільберта дорівнює оператору <math>\operatorname{H}=-{\rm i}(2P-\operatorname{I})</math>, де <math>P</math> — це ортогональна проєкція з простору <math>L^{2}(\mathbb{R})</math> у простір  <math>H^{2}(\mathbb{R})</math>, <math>\operatorname{I}</math> —  [[Тотожне відображення|тотожний оператор]], то з цього випливає, що простір <math>H^{2}(\mathbb{R})</math> і його ортогональний простір є власними просторами оператора <math>\operatorname{H}</math> для власних значень <math>\pm {\rm i}</math>.
Іншими словами оператор <math>\operatorname{H}</math> комутує з унітарним оператором <math>\operatorname{U}_g</math>. Обмеження операторів <math>\operatorname{U}_g</math> на простір <math>H^{2}(\mathbb{R})</math> і його дуальний простір визначає незвідні представлення групи <math>{\rm SL}(2,\mathbb{R})</math> — так названа {{нп|границя представлень дискретних рядів|границя представлень дискретних рядів||Discrete series representation}}<ref>See {{harvnb|Bargmann|1947}}, {{harvnb|Lang|1985}}, and {{harvnb|Sugiura|1990}}.</ref>.

==Розширення області визначення==

=== Перетворення Гільберта для узагальнених функцій ===
Перетворення Гільберта можна узагальнити на деякі простори
[[Узагальнена функція|узагальнених функцій]] {{harv|Pandey|1996|loc=Chapter 3}}.
Оскільки перетворення Гільберта комутує з диференціюванням і є обмеженим оператором на просторі <math>L^{p}</math>, то оператор <math>\operatorname{H}</math>
звужується і отримуємо неперервне перетворення на
[[Проєктивна границя|проєктивній границі]][[Простір Соболєва|просторів Соболєва]]:
: <math>\begin{align}
\mathcal{D}_{L^{p}}={\underset{n\to\infty}{\underset{\longleftarrow }{\lim }}}W^{n,p}(\mathbb{R}).
\end{align}</math>
Перетворення Гільберта можна визначити в дуальному просторі простору <math>\mathcal{D}_L^{p}</math>, позначається як <math>\mathcal{D}'_{L^{p}}</math> і складається  з <math>L^p</math> узагальнених функцій.
Це досягається за допомогою двоїстості:
для всіх <math>u\in \mathcal{D}'_{L^{p}}</math> перетворення Гільберта визначається як
: <math>\begin{align}
\operatorname {H} (u)\in {\mathcal {D}}'={L^{p}}=\langle \operatorname {H} u,v\rangle \ \triangleq \ \langle u,-\operatorname {H} v\rangle ,\quad {\text{для всіх}}\ v\in {\mathcal {D}}_{L^{p}}.
\end{align}</math>
Перетворення Гільберта можна визначити на просторі
[[Узагальнена функція|узагальнених функцій]] повільного росту за допомогою підходу Гельфанда і Шилова,{{sfn|Gel'fand|Shilov|1968}} але необхідно значно більше уваги через сингулярність інтегралу.

=== Перетворення Гільберта для обмежених функцій ===
Перетворення Гільберта можна також визначити для функцій з простору <math>L^{\infty}(\mathbb{R})</math>, але це потребує деяких модифікацій та застережень. При правильному розумінні перетворення Гільберта відображає простір <math>L^{\infty}(\mathbb{R})</math> у
[[Банахів простір|банаховий простір]]класів функцій з {{нп|обмежені середні коливання|обмеженими середніми коливаннями||Bounded mean oscillation}}. При наївній інтерпретації перетворення Гільберта для обмежених функцій очевидно погано визначене.
Наприклад, для функції <math>u=\operatorname{sgn}(x)</math> інтеграл, що визначає перетворення Гільберта <math>\operatorname{H}(u)</math> є розбіжним майже всюди до <math>\pm\infty</math>. Щоб уникнути таких складнощів, перетворення Гільберта для функцій з простору <math>L^{\infty}</math>  визначається наступною [[Регуляризація|регуляризованою]] інтегральною формулою
: <math>\begin{align}
\operatorname{H}(u)(t)=\operatorname {p.v.} \int _{-\infty }^{\infty }u(\tau )\left\{h(t-\tau )-h_{0}(-\tau )\right\}\,{\rm d} \tau,
\end{align}</math>
де як і вище <math>h(x)=\dfrac{1}{\pi x}</math> і
: <math>\begin{align}
h_{0}(x)=\begin{cases}0&\text{для}~|x|<1,\\
\dfrac{1}{\pi x}&{\text{для}}~|x|\geq 1.\end{cases}
\end{align}</math>
Модифіковане перетворення Гільберта узгоджується з оригінальним перетворенням Гільберта для функції з компактним носієм виходячи із загального результату Кальдерона і Зигмунда <ref>{{harvnb|Calderón|Zygmund|1952}}; see {{harvnb|Fefferman|1971}}.</ref>.
Більше того, розглядуваний інтеграл збігається поточково і майже всюди (відносно норми для функцій з обмеженими середніми коливаннями) до функції з обмеженими середніми коливаннями. {{нп|Глибокий результат|Глибокий результат||List of mathematical jargon}} роботи Вефермана <ref>{{harvnb|Fefferman|1971}}; {{harvnb|Fefferman|Stein|1972}}</ref> полягає в тому, що функція є функцією з обмеженими середніми коливаннями тоді й лише тоді, коли вона має вигляд <math>+\operatorname{H}(g)</math> для деяких <math>f,g \in L^{\infty}(\mathbb{R})</math>

==Спряжені функції==
Перетворення Гільберта можна зрозуміти в термінах пари функцій <math>f(x)</math> і <math>g(x)</math> таких, що функція
: <math>\begin{align}
F(x)=f(x)+{\rm i}g(x)
\end{align}</math>
є розв'язком крайової задачі
[[Голоморфна функція|голоморфної функції]] <math>F(z)</math> у верхній півплощині.{{sfn|Titchmarsh|1948|loc=Chapter V}} 
За цих умов, якщо функції <math>f</math> і <math>g</math> є достатньо інтегровані, тоді одна є перетворенням Гільберта іншої. 
Нехай <math>f\in L^{p}(\mathbb{R})</math>, тоді згідно теорії [[Інтегральна формула Пуассона|інтеграла Пуассона]], функція <math>f</math> допускає єдине гармонічне продовження у верхній півплощині, і це продовження визначається як
: <math>\begin{align}
u(x+{\rm i}y)=u(x,y)={\frac {1}{\pi }}\int _{-\infty }^{\infty }f(s) {\frac {y}{(x-s)^{2}+y^{2}}}\,{\rm d} s,
\end{align}</math>
тобто згорткою функції <math>f</math> з
[[Інтегральна формула Пуассона|ядром Пуассона]]
: <math>\begin{align}
P(x,y)=\frac {y}{\pi  \left(x^{2}+y^{2}\right)}.
\end{align}</math>
Більше того, це єдина гармонічна функція <math>f</math> визначена у верхній півплощині така, що
<math>F(z)=u(z)+{\rm i}v(z)</math> є голоморфною і
: <math>\begin{align}
\lim _{y\to \infty }v (x+{\rm i}y)=0.
\end{align}</math>
Гармонічна функція отримується з функції <math>f</math> за допомогою згортки зі спряженим ядром Пуассона
: <math>\begin{align}
Q(x,y)={\frac {x}{\pi  \left(x^{2}+y^{2}\right)}}.
\end{align}</math>
Отже,
: <math>\begin{align}
v(x,y)=\frac {1}{\pi }\int _{-\infty }^{\infty }f(s)\frac {x-s}{(x-s)^{2}+y^{2}}\,{\rm d} s.
\end{align}</math>
Справді, дійсна та уявна частини ядра Коші мають вигляд
: <math>\begin{align}
\frac {{\rm i}}{\pi z}=P(x,y)+{\rm i} Q(x,y).
\end{align}</math>
Таким чином, <math>F=u+{\rm i}v</math> є голоморфною за
[[Інтегральна формула Коші|інтегральною формулою Коші]]. Функція <math>v</math> одержана з функції <math>u</math> таким чином, називається {{нп|гармонічна спряженість|гармонічно спряженою||Harmonic conjugate}} до функції <math>u</math>. 
(Недотична) границя на межі для функції <math>v(x,y)</math> при <math>y\rightarrow0</math> є перетворенням Гільберта функції <math>f</math>.
Таким чином,
: <math>\begin{align}
\operatorname{H}(f)=\lim _{y\to 0}Q(-,y)\star f.
\end{align}</math>

==Теорема Тітчмарша==

Теорема Тітчмарша (названа на честь {{нп|Е.Ч. Тітчмарш|Е.Ч. Тітчмарша||Edward Charles Titchmarsh}}, який включив її у свою роботу 1937 року) уточнює зв'язок між граничними значеннями голоморфних функцій у верхній півплощині та перетворенням Гільберта.{{sfn|Titchmarsh|1948|loc=Theorem 95}}
Теорема дає необхідні та достатні умови, щоб комплекснозначна {{нп|квадратично інтегрована|квадратично інтегрована||Square-integrable function}} функція <math>F(x)</math> на дійсній прямій була граничним значенням функції в [[Простір Гарді|просторі Гарді]] <math>H^2(U)</math> голоморфних функцій у верхній півплощині <math>U</math>.
Теорема стверджує, що наступні умови для комплекснозначної квадратично інтегрованої функції
<math>F\colon \mathbb{R}\to \mathbb{C}</math> еквівалентні:
* Функція <math>F(x)</math> є границею при <math>z\rightarrow x</math> голоморфної функції <math>F(z)</math> у верхній півплощині такої, що
: <math>\begin{align}
 \int_{-\infty }^{\infty }|F(x+{\rm i} y)|^{2}\,{\rm d} x<K.
\end{align}</math>
* Дійсна і уявна частини функції <math>F(x)</math> є перетвореннями Гільберта одна одної.
* Перетворення Фур'є <math>\mathcal{F}(F)(x)</math> дорівнює нулю при <math>x<0</math>.
Більш слабший результат справедливий для функцій з класу [[Простір Lp]] при <math>p>1</math>{{sfn|Titchmarsh|1948|loc=Theorem 103}}. Зокрема, якщо <math>F(z)</math> голоморфна функція така, що
: <math>\begin{align}
\int _{-\infty }^{\infty }|F(x+{\rm i}y)|^{p}\,{\rm d} x<K
\end{align}</math>
для всіх <math>y</math>, то існує комплекснозначна функція <math>F(x)</math> з простору <math>L^{p}(\mathbb{R})</math> така, що <math>F(x+{\rm i}y)\rightarrow F(x)</math> в нормі простору <math>L^{p}</math> при <math>y\rightarrow 0</math> (а також збігається поточково [[Майже скрізь|майже скрізь]]. Крім того,
: <math>\begin{align}
F(x)=f(x)-{\rm i}g(x),
\end{align}</math>
де <math>f</math> — це дійснозначна функція в просторі <math>L^{p}(\mathbb{R})</math> і <math>g</math> — перетворення Гільберта функції <math>f</math> (із класу <math>L^{p}</math>). Це не вірно у  випадку <math>p=1</math>. Фактично, перетворення Гільберта функції <math>f</math> з простору <math>L^{1}</math> необов'язково збігається в середньому до іншої функції з простору <math>L^{1}</math>.
Тим не менш,{{sfn|Titchmarsh|1948|loc=Theorem 105}} перетворення Гільберта функції <math>f</math> збігається майже всюди до скінченної функції <math>g</math> такої, що
: <math>\begin{align}
\int _{-\infty }^{\infty }{\frac {|g(x)|^{p}}{1+x^{2}}}\,{\rm d} x<\infty.
\end{align}</math>
Цей результат прямо аналогічний результату [[Колмогоров Андрій Миколайович|Андрія Колмогорова]] для функцій Гарді на диску.{{sfn|Duren|1970|loc=Theorem 4.2}} Хоча цей результат зазвичай називають теоремою Тітчмарша, але він об'єднує багато інших робіт, включаючи роботи Гарді, Пелі і Вінера (див. {{нп|теорема Пелі—Вінера|теорему Пелі—Вінера||Paley–Wiener theorem}}, а також роботи Ріса, Хілле і Тамаркіна.<ref>see {{harvnb|King|2009a|loc=§&nbsp;4.22}}.</ref>

==Задача Рімана—Гільберта==

Одне з формулювань задачі Рімана—Гільберта спрямована на знаходження пар функцій <math>F_+</math> та <math>F_-</math> таких, що <math>F_{+}</math> є голоморфною у верхній півплощині, а <math>F_-</math> є голоморфною в нижній півплощині, таких, що для значень <math>x</math> вздовж дійсної осі має місце співвідношення
: <math>\begin{align}
F_{+}(x)-F_{-}(x)=f(x),
\end{align}</math>
де <math>f(x)</math> — деяка задана дійснозначна функція при <math>x\in\mathbb{R}</math>. Ліву частину цього співвідношення можна розуміти або як різницю границь функцій <math>F_{\pm}</math> з відповідних півплощин, або як {{нп|гіперфункція|гіперфункції||Hyperfunction}} розподілу. Дві функції такого вигляду — розв'язки задачі Рімана — Гільберта. Формально, якщо <math>F_{\pm}</math> є розв'язками задачі Рімана—Гільберта
: <math>\begin{align}
f(x)=F_{+}(x)-F_{-}(x),
\end{align}</math>
то перетворення Гільберта функції <math>f(x)</math> визначається як {{sfn|Pandey|1996|loc=Chapter 2}}
: <math>\begin{align}
\operatorname{H}(f)(x)=-{\rm i}\big(F_{+}(x)+F_{-}(x)\big).
\end{align}</math>

==Перетворення Гільберта на колі==

Див. також: [[Простір Гарді]]
Для періодичної функції <math>f</math> визначено кругове перетворення Гільберта:
: <math>\begin{align}
\tilde{f}(x)\triangleq \frac {1}{2\pi}\operatorname{p.v.} \int _{0}^{2\pi} f(t)\operatorname{ctg} \left(\frac{x-t}{2}\right)\,{\rm d} t.
\end{align}</math>
Кругове перетворення Гільберта використовується для характеристики простору Гарді та для дослідженні спряженої функції в рядах Фур'є.
Ядро
: <math>\begin{align}
\operatorname{ctg} \left(\frac{x-t}{2}\right)
\end{align}</math>
відоме  як '''ядро Гільберта''', оскільки саме у такому вигляді спочатку досліджувалося перетворення Гільберта.{{sfn|Khvedelidze|2001}}
Ядро Гільберта (для кругового перетворення Гільберта) можна отримати, зробивши ядро Коші <math>\dfrac{1}{x}</math> періодичним.
Точніше, для <math>x\neq0</math>
: <math>\begin{align}
\frac{1}{2}\operatorname{ctg} \left(\frac{x}{2}\right)=\frac{1}{x}+\sum _{n=1}^{\infty}\left(\frac{1}{x+2n\pi}+\frac{1}{x-2n\pi}\right).
\end{align}</math>
Багато результатів про кругове перетворення Гільберта можна отримати завдяки цьому співвідношенню з відповідних результатів для перетворення Гільберта. Інший більш прямий зв'язок забезпечується за допомогою перетворення Келі <math>C(x)=\dfrac{x-\rm i}{x+\rm i}</math>, яке переводить дійсну пряму у коло, а верхню півплощину — у одиничний диск. Перетворення Келі породжується унітарним відображенням
: <math>\begin{align}
U f(x)=\frac {1}{(x+{\rm i}) \sqrt{\pi}} f(C(x))
\end{align}</math>
з <math>L^{2}(\mathbb{T})</math> в  <math>L^{2}(\mathbb{R})</math>.
Оператор переводить простір Гарді <math>H^{2}(\mathbb{T})</math> в простір Гарді <math>L^{2}(\mathbb{R})</math>.{{sfn|Rosenblum|Rovnyak|1997|p=92}}

==Перетворення Гільберта при обробці сигналів==

=== Теорема Бедросяна ===
Теорема Бедросяна стверджує, що перетворення Гільберта добутку низькочастотного і високочастотного сигналу зі спектрами, що не перекриваються, задається добутком низькочастотного сигналу і перетворення Гільберта високочастотного сигналу або
: <math>\begin{align}
\operatorname{H} \left(f_{{\rm LP}}(t)\cdot f_{{\rm HP}}(t)\right)=f_{{\rm LP}}(t)\cdot \operatorname{H} \left(f_{{\rm HP}}(t)\right),
\end{align}</math>
де <math>f_{{\rm LP}}</math> і <math>f_{{\rm HP}}</math> — відповідно низько та високочастотні сигнали.{{sfn|Schreier|Scharf|2010|loc=14}}Категорія сигналів зв'язку, до якої це відноситься, називається вузькосмуговою моделлю сигналу. Членом цієї категорії є амплітудна модуляція високочастотної синусоїдального ''носія''
: <math>\begin{align}
u(t)=u_{m}(t)\cdot \cos(\omega t+\phi ),
\end{align}</math>
де <math>u_m(t)</math> — вузькосмуговий сигнал ''повідомлення'', наприклад, голос або музика.
Тоді за теоремою Бедросяна{{sfn|Bedrosian|1962}}
: <math>\begin{align}
\operatorname{H} (u)(t)=u_{m}(t)\cdot \sin(\omega t+\phi ).
\end{align}</math>

=== Аналітичне представлення ===
Основна стаття: {{нп|Аналітичний сигнал|Аналітичний сигнал||Analytic signal}}
Специфічним типом
[[Перетворення_Гільберта#Спряжені_функції|спряженої функції]] є
: <math>\begin{align}
u_{a}(t)\triangleq u(t)+{\rm i}\cdot \operatorname{H}(u)(t),
\end{align}</math>
відомий як '''аналітичне представлення''' функції <math>u(t)</math>.
Назва відображає його математичну придатність, здебільшого завдяки
[[Формула Ейлера|формулі Ейлера]]. Застосовуючи теорему Бедросяна до вузькосмугової моделі, аналітичне представлення набуває вигляду<ref name=":1">{{harvnb|Osgood|page=320}}</ref>
{{Equation box 1
|cellpadding= 0 |border= 0 |background colour=white
|indent=: |equation={{NumBlk|| <math>\begin{align}
  u_{a}(t)&=u_{m}(t)\cdot \cos(\omega t+\phi )+{\rm i}\cdot u_{m}(t)\cdot \sin(\omega t+\phi )\\
&=u_{m}(t)\cdot \left[\cos(\omega t+\phi )+{\rm i}\cdot \sin(\omega t+\phi )\right]\\
&=u_{m}(t)\cdot {\rm e}^{{\rm i}(\omega t+\phi )}.
\end{align}</math>
 | {{EquationRef|1}}
 }}
}}
Властивість перетворення Фур'є вказує, що ця складна [[Гетеродин|гетеродина]] операція може зсунути всі від'ємні частотні компоненти <math>u_{m}(t)</math> вище <math>0</math> Гц.
У цьому випадку уявна частина результату є перетворенням Гільберта дійсної частини.
Це непрямий спосіб отримання перетворення Гільберта.

=== Кутова (фазова/частотна) модуляція ===
Форма<ref name=":1"/>
: <math>\begin{align}
u(t)=A\cdot \cos(\omega t+\phi_{m}(t))
\end{align}</math>
називається [[Кутова модуляція|кутовою модуляцією]], який включає як [[Фазова модуляція|фазову модуляціяю]] так і [[Частотна модуляція|частотну модуляцію]]. {{нп|Миттєва частота|Миттєва частота||Instantaneous phase and frequency}} дорівнює <math>\omega+\phi'_m(t)</math>. Для досить великих <math>\omega</math> порівняно з <math>\phi'_m</math>:
: <math>\begin{align}
\operatorname{H} (u)(t)\approx A\cdot \sin(\omega t+\phi _{m}(t))
\end{align}</math>
і
: <math>\begin{align}
 u_{a}(t)\approx A\cdot {\rm e}^{{\rm i}(\omega t+\phi _{m}(t))}.
\end{align}</math>

=== Односмугова модуляція ===
Основна стаття: [[SSB|Односмугова модуляція]]
Якщо <math>u_m(t)</math> в рівнянні {{EquationNote|Eq.1}} є також аналітичним представленням (форма сигналу повідомлення), тобто
: <math>\begin{align}
u_{m}(t)=m(t)+{\rm i}\cdot {\widehat {m}}(t),
\end{align}</math>
то результат
[[SSB|Односмуговою]] модуляцією:
: <math>\begin{align}
u_{a}(t)=(m(t)+{\rm i}\cdot {\widehat {m}}(t))\cdot e^{{\rm i}(\omega t+\phi )},
\end{align}</math>
передана компонента якої дорівнює<ref>{{harvnb|Franks|1969|p=88}}</ref><ref>{{harvnb|Tretter|1995|p=80 (7.9)}}</ref>
: <math>\begin{align}
\begin{aligned}u(t)&=\operatorname{Re} \{u_{a}(t)\}\\
&=m(t)\cdot \cos(\omega t+\phi )-{\widehat {m}}(t)\cdot \sin(\omega t+\phi).\end{aligned}
\end{align}</math>

=== Казуальність ===
Функція <math>h(t)=\dfrac{1}{\pi t}</math> представляє дві проблеми до практичної реалізації у вигляді згортки

*Її тривалість нескінченна (технічно нескінчений [[Носій функції|носій]]). Замість цього необхідно використовувати наближення скінченної довжини.
Але [[Віконна функція|віконна]] довжина також зменшує ефективний частотний діапазон перетворення.  Чим менше вікно, тим більші втрати на низьких і високих частотах.
Див. також
{{нп|квадратурний фільтр|квадратурний фільтр||Quadrature filter}}.
*Це {{нп|неказуальний фільтр|некаузальний фільтр||Causal filter}}. Отже, необхідна версія із запізненням, <math>h(t-\tau )</math>. Відповідний вихід згодом затримується на <math>\tau</math>. При створенні уявної частини {{нп|аналітичний сигнал|аналітичного сигналу||Analytic signal}}, джерело (дійсна частина) має мати запізнення на еквівалентну величину.

=== Дискретне перетворення Гільберта ===
Для дискретної функції <math>u[n]</math> з {{нп|Дискретне за часом перетворення Фур'є|дискретним за часом перетворенням Фур'є||Discrete-time Fourier transform}}  (DTFT), <math>U(\omega)</math>, і дискретне перетворення Гільберта <math>\hat {u}[n]</math>, DTFT функції <math>\hat{u}[n]</math> в області <math>-\pi <\omega <\pi</math> визначається як
: <math>\begin{align}
\operatorname{DTFT} ({\hat {u}})=U(\omega )\cdot (-{\rm i}\cdot \operatorname {sgn}(\omega )).
\end{align}</math>
Обернене DTFT, використовуючи {{нп|теорема про згортки|теорему про згортки||Convolution theorem}}, має вигляд:<ref>{{harvnb|Rabiner|1975}}</ref>
: <math>\begin{align}
\begin{aligned}
{\hat {u}}[n]&=\operatorname{DTFT}^{-1}(U(\omega )) * \operatorname{DTFT}^{-1}(-{\rm i}\cdot \operatorname {sgn}(\omega ))\\
&=u[n] * \frac {1}{2\pi }\int _{-\pi }^{\pi }(-{\rm i}\cdot \operatorname {sgn}(\omega ))\cdot {\rm e}^{{\rm i}\omega n}\,{\rm d} \omega \\
&=u[n] * \underbrace{\frac{1}{2\pi }\left[\int _{-\pi }^{0}{\rm i}\cdot {\rm e}^{{\rm i}\omega n}\,{\rm d} \omega -\int _{0}^{\pi }{\rm i}\cdot {\rm e}^{{\rm i}\omega n}\,{\rm d} \omega \right]} _{h[n]},
\end{aligned}
\end{align}</math>
де
: <math>\begin{align}
h[n] \triangleq \begin{cases}0,&\text{якщо } n \text{ парне},\\
\dfrac{2}{\pi n},&\text{якщо } n \text{ непарне},\end{cases}
\end{align}</math>
...

== Див. також ==

* [[Простір Lp]]
* [[Співвідношення Крамерса-Кроніґа]]

== Примітки ==
{{reflist|25em}}

== Література ==
* Bracewell, R. (1986). The Fourier Transform and Its Applications, 2nd ed, McGraw-Hill.


{{Math-stub}}
{{Refimprove|дата=жовтень 2017}}
{{ВП-портали|Математика}}

[[Категорія:Інтегральні перетворення]]
[[Категорія:Функціональний аналіз]]
[[Категорія:Обробка сигналів]]
[[Категорія:Гармонічні функції]]