Перегляд вихідного коду сторінки Перелік матриць

[[Файл:Класифікація матриць.svg|thumb|427px|right|Деякі важливі класи матриць.]]
Тут зібрані найважливіші класи [[Матриця (математика)|матриць]], що використовуються в [[Математика|математиці]], [[Наука|науці]] (в цілому) і [[Прикладні наукові дослідження|прикладній науці]] (зокрема).

Під '''матрицею''' розуміється прямокутний [[Масив (структура даних)|масив]] чисел, що називаються ''елементами''<!-- , як це показано на малюнку справа. -->. Матриці мають довгу історію досліджень та застосувань, що призводить до різних способів їх класифікації. Перша група матриць задовольняє конкретним умовам і обмеженням на їх елементи, включаючи постійні матриці&nbsp;— матриці, що складаються з [[Константа|певних чисел]]. Важливим прикладом матриць такого виду є [[одинична матриця]]:

<math>I_n = \begin{bmatrix}
1 & 0 & \cdots & 0 \\
0 & 1 & \cdots & 0 \\
\vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\
0 & 0 & \cdots & 1 \end{bmatrix}.</math>

Інші способи класифікації матриць пов'язані або з їх [[Власні значення матриці|власними значеннями]], або з умовами, які представляються у вигляді матричних рівнянь (співвідношень). Нарешті, в багатьох областях науки, зокрема у фізиці і в хімії, зустрічаються матриці спеціального виду, які застосовуються виключно в цих областях.

== Матриці, що визначаються властивостями елементів ==
Даний нижче список матриць визначається умовами, які накладаються на елементи матриць. Багато які з таких властивостей можна застосовувати тільки до квадратних матриць. В квадратній матриці є дві діагоналі: головна діагональ (що йде з лівого верхнього кута в правий нижній кут) і побічна діагональ (що йде з лівого нижнього кута в правий верхній кут).

=== Матриці загального вигляду ===
Матриці, представлені нижче, характеризуються тим, що властивості елементів матриць описуються в термінах структури матриці. Сюди відноситься взаємне розташування ненульових елементів, а також властивості інваріантності щодо матричних перетворень.

{| class="wikitable sortable"
! Назва !! Опис !! Примітки, пояснення
|-
| [[Бінарна матриця]] || Матриця, що складається з нулів та одиниць. || Синоніми: булева матриця, логічна матриця.
|-
|  [[Бінарна матриця]]||   || синонім для (0,1) -матриці, бінарної матриці і логічної матриці. ||
|-
| {{не перекладено|Матриця альтернансу||ru|Альтернативная матрица}} || Матриця, елементи якої представляють собою значення функцій в певних точках. || <math>a_{i,j} = f_j(\alpha_i)</math>
|-
|  [[Нульова матриця]] || Матриця, що повністю складається з нулів.|| <math>a_{ij} = 0</math>
|-
| [[Антидіагональна матриця]] || Квадратна матриця, всі елементи якої, що лежать поза побічною діагоналлю, дорівнюють нулю. ||
|-
| [[Косоермітова матриця|Антиермітова матриця]] ||  [[Квадратна матриця]] з комплексними елементами, що переходить в себе зі зміною знака при операції ермітового спряження (тобто при [[Спряжені числа|комплексному спряженні]] кожного елемента і подальшому транспонуванні матриці), <math>A  =  -A^*.</math>   ||    Синонім косо-ермітової матриці.
|-
| [[Кососиметрична матриця|Антисиметрична матриця]] ||     ||   Синонім кососиметричної матриці
|-
|  {{не перекладено|Стрілкова матриця||en|Arrowhead matrix}}
|| Квадратна матриця, всі елементи якої дорівнюють нулю, крім елементів першого стовпчика, першого рядка і головної діагоналі. ||
|-
|  [[Смугова матриця]]
|| Квадратна матриця, всі ненульові елементи якої прилягають до головної діагоналі. ||
|-
| {{не перекладено|Бідіагональна матриця||en|Bidiagonal matrix}} || Матриця, всі ненульові елементи якої знаходяться на головній діагоналі і на одній з під- або наддіагоналей. ||
|-
|  [[Бісиметрична матриця]] || Квадратна матриця, симетрична як відносно головної діагоналі, так і відносно антидіагоналі. ||
|-
|  [[Блочна матриця#Блочні діагональні матриці|Блочно-діагональна матриця]] || [[Блочна матриця]], що має матриці тільки на головній діагоналі. ||
|-
| [[Блочна матриця]] ||  Матриця, яка розбита на підматриці, що називаються блоками. ||
|-
|  [[Блочно-тридіагональна матриця]] ||  [[Блочна матриця]], блоки якої організовано, як у тридіагональної матриці. ||
|-
| [[Матриця Коші]] || Матриця, кожен елемент якої має вигляд  <math>a_{ij}=1/(x_i+y_j),</math> де <math>x_i</math> и <math>y_j</math> — дві ін'єкційні послідовності.||
|-
|  [[Центросиметрична матриця]] || Матриця, симетрична відносно свого центру, тобто: <math>a_{ij} = a_{n - i + 1, n - j + 1}</math> ||
|-
|  [[Конференційна матриця]] || Квадратна матриця з нульовими елементами на діагоналі і елементами виду +1 і -1 поза діагоналлю, така, що <math>C^T C</math> — одинична матриця. ||
|-
|  {{не перекладено|Комплексна матриця Адамара||en|Complex Hadamard matrix}} || Матриця, всі рядки і стовпці якої попарно ортогональні один одному, а самі елементи унімодулярні. <!-- A matrix with all rows and columns mutually orthogonal, whose entries are unimodular.--> ||
|-
| {{не перекладено|Супозитивна матриця||en|Copositive matrix}}
|| Квадратна матриця з дійсними елементами, така, що квадратична форма <math>x^T Ax</math>  виявляється невід'ємною для кожного невід'ємного <math>x</math>. || <math>f(x)=x^TAx</math>
|-
| [[Діагонально панівна матриця|Діагонально-домінуюча матриця]] || Матриця, елементи якої задовільняють умову <math>|a_{ii}| \geq \sum_{j\neq i} |a_{ij}| \quad\text{for all } i, \,</math> ||
|-
| [[Діагональна матриця]] || Матриця, у якої всі елементи поза головною діагоналлю дорівнюють нулю. ||
|-
| [[Елементарна матриця]] ||  Матриця, яка утворюється з одиничної за допомогою елементарних перетворень. ||
|-
| [[Еквівалентна матриця]] || Матриця, яка утворюється з іншої матриці за допомогою елементарних перетворень рядків або стовпців.||
|-
|  [[Фробеніусова нормальна форма|Матриця Фробеніуса]] || Матриця, яка утворюється з одиничної за допомогою зсуву і додавання нового стовпця. <!-- A square matrix in the form of an identity matrix but with arbitrary entries in one column below the main diagonal.--> ||
|-
| [[Ермітова матриця]], ермітово-самосполучена матриця || [[Квадратна матриця]] з комплексними елементами, що переходить в себе при операції [[Ермітово-спряжена матриця|ермітового спряження]] (тобто при комплексному спряженні кожного елемента і подальшому транспонуванні матриці), <math>A  =  A^*.</math>||
|-
| [[Матриця перестановки]] || Квадратна матриця, в якій в кожному стовпці і в кожному рядку стоїть рівно одна одиниця, а решта нулі. Є матричним представленням перестановки. ||
|-
| {{не перекладено|Узагальнена матриця перестановки||en|Generalized permutation matrix}} || Квадратна матриця з рівно одним ненульовим елементом в кожному рядку і в кожному стовпці. ||
|-
| [[Персиметрична матриця]] || Матриця, симетрична щодо антидіагоналі: <math>a_{ij} = a_{n - j + 1, n - i + 1}.</math>||
|-
| [[Поліноміальна матриця]] || Матриця, всі елементи якої є поліномами. ||
|-
| [[Додатня матриця]] || Матриця, всі елементи якої є додатніми.||
|-
| {{не перекладено|Матриця кватерніонів||ru|Матрица кватернионов}} || Матриця, всі елементи якої представляють собою [[кватерніони]]. ||
|-
| Матриця знака || Матриця, всі елементи якої дорівнюють 1, 0 або -1.||
|-
| {{не перекладено|Матриця сигнатури||en|Signature matrix}} || Матриця, всі елементи якої рівні або 1, або -1.||
|-
| [[Косоермітова матриця]] ||  Квадратна комплексна матриця, яка змінює знак при [[Ермітово-спряжена матриця|ермітовому сполученні]]. || Те ж, що і антіермітова матриця.
|-
| [[Кососиметрична матриця]] || Квадратна матриця, яка змінює знак при транспонуванні, <math>a_{ij} = -a_{ji}.</math>|| Те ж, що і антисиметрична матриця.
|-
|  {{не перекладено|Небесна матриця||en|Skyline matrix}} ||  Стрічкова матриця, реорганізована таким чином, щоб зменшити займаний простір. ||
|-
| [[Розріджена матриця]] || Матриця, що практично повністю складається з нулів. || Алгоритми для розріджених матриць дозволяють обробляти більші матриці, ніж для щільних.
|-
| [[Матриця Сильвестра]] ||  [[Квадратна матриця]], чиї елементи - це коефіцієнти двох поліномів. || Матриця Сильвестра не вироджена тоді і тільки тоді, коли два поліноми [[Взаємно прості числа|взаємно прості]].
|-
| [[Симетрична матриця]] || [[Квадратна матриця]], яка збігається зі своєю транспонованою: <math>A=A^T</math> (<math>a_{i , j }  =  a_{j,i} </math>).||
|-
| [[Діагонально-постійна матриця]] || Матриця, у якої на діагоналях стоять одні й ті ж елементи. ||
|-
|  [[Трикутна матриця]] || Матриця, у якої всі елементи вище головної діагоналі нульові (нижня трикутна матриця), або матриця, у якої всі елементи нижче головної діагоналі нульові (верхня трикутна матриця).||
|-
|  [[Тридіагональна матриця]] || Матриця, у якої всі ненульові елементи розташовуються на трьох діагоналях: на головній, на першій зверху і першій знизу.||
|-
|  [[Унітарна матриця]] || Квадратна комплексна матриця, обернення якої дає [[Ермітово-спряжена матриця|ермітово-спряжену матрицю]],<math>A^{-1}=A^*.</math> || 
|-
|  Спеціальна унітарна матриця || [[Унітарна матриця]], детермінант якої дорівнює одиниці. ||
|-
|  [[Визначник Вандермонда|Матриця Вандермонда]] || Матриця, рядки (або стовпці) якої є послідовними ступенями: 1, {{math|''a''}}, {{math|''a''<sup>2</sup>}}, {{math|''a''<sup>3</sup>}}, ..., {{math|''a''<sup>''n''</sup>}}||
|-
| {{не перекладено|Матриця Уолша||en|Walsh matrix}} || Квадратна матриця розміру, рівного ступеню двійки, що складається з елементів +1 або -1.||
|-
| [[Z-матриця]] || Матриця, всі недіагональні елементи якої менше нуля.|| 
|-
| [[Ганкелева матриця]] || Квадратна матриця, у якої на кожній побічній діагоналі стоять рівні елементи.|| 
|}

=== Постійні матриці ===
Матриці, представлені нижче, характеризуються тим, що їх елементи є одними і тими ж для всіх можливих розмірів матриць.
<!-- The list below comprises matrices whose elements are constant for any given dimension (size) of matrix. The matrix entries will be denoted ''a<sub>ij</sub>''. The table below uses the [[Kronecker delta]] δ<sub>''ij''</sub> for two integers ''i'' and ''j'' which is 1 if ''i'' = ''j'' and 0 else.
-->

{| class="wikitable sortable"
! Назва !! Опис !! Умови на елементи !! Примітки
|-
| [[Нульова матриця]] || Матриця, у якої всі елементи нульові. || <math>a_{ij} = 0</math> || 
|-
| [[Матриця одиниць]] || Матриця, всі елементи якої є одиницями. || <math>a_{ij} = 1</math> || 
|-
| [[Одинична матриця]] || Квадратна матриця, у якої на головній діагоналі стоять одиниці, а інші елементи дорівнюють нулю. || <math>a_{ij} = \delta_{ij}</math> || 
|-
| [[Матриця зсуву]] || Матриця, у якої на одній з побічних діагоналей стоять одиниці, а інші елементи нульові. || <math>a_{ij} = \delta_{i+1,j}</math> або <math>a_{ij} = \delta_{i-1,j}</math> || Множенням на цю матрицю елементи зсуваються на одну позицію.
|-
| [[Обмінна матриця]] || [[Бінарна матриця]], у якої на антидіагоналі стоять одиниці, а всі інші елементи нульові. || <math>a_{ij} = \delta_{n + 1 - i, j}</math> || Див. [[Матриця перестановки]].
|-
|[[Матриця Гільберта]] ||  || <math>a_{ij} = {(i+j-1)}^{-1}</math> || Див. [[Ганкелева матриця]].
|-
| {{не перекладено|Матриця Лемера||ru|Матрица Лемера}} ||  || ''a<sub>ij</sub>'' = min(''i, j'') ÷ max(''i, j'') || Див. додатню [[Симетрична матриця|симетричну]] матрицю.
|-
| {{не перекладено|Матриця Паскаля||ru|Матрица Паскаля}} || Матриця, що складається з елементів [[Трикутник Паскаля|трикутника Паскаля.]] ||  || 
|-
| [[Матриці Паулі|Матриця Паулі]] || Блочна матриця, що складається з блоків розміру 2 × 2, кожен з яких являє собою комплексну ермітову і унітарну матрицю.<!-- When combined with the ''I''<sub>2</sub> identity matrix, they form an orthogonal basis for the 2&nbsp;×&nbsp;2 complex Hermitian matrices. --> ||  || 
|-
| {{не перекладено|Матриця Редхеффера||ru|Матрица Редхеффера}} ||  || ''a''<sub>''ij''</sub> = 1, якщо ''i'' ділиться на ''j'' або якщо ''j'' = 1; в іншому випадку, ''a''<sub>''ij''</sub> = 0. || Див. [[Бінарна матриця|(0,1) - матриця]]
|}

== Перетворені матриці ==
* [[Обернена матриця]]
* [[Транспонована матриця]]
* [[Ермітово-спряжена матриця]]
* [[Союзна матриця]]

== Матриці, що задовольняють умовам на добутки або зворотні матриці ==
{| class="wikitable sortable"
! Назва !! Опис !! Примітки
|-
| [[Ідемпотентність|Ідемпотентна]] матриця ||  Матриця ''A, що має властивість'' ''A''² = ''AA'' = ''A''. ||
|-
| [[Невироджена матриця|Оборотна матриця]] ||  Квадратна, що має [[Обернена матриця|зворотну]], тобто, таку матрицю ''B'', що ''AB'' = ''BA'' = ''I''. || Оборотні матриці утворюють [[Загальна лінійна група|загальну лінійну групу]].
|-
| [[Інволюція (математика)|Інволютивна]] матриця ||  Квадратна матриця ''A'', обернена сама до себе, тобто ''AA'' = ''I''. ||
|-
| [[Нільпотентна матриця]] ||  Квадратна матриця ''A'' така, що ''A''<sup>''q''</sup> = 0 для деякого додатнього ''q''. || Еквівалентно, всі власні значення A дорівнюють 0.
|-
| [[Нормальна матриця]]|| Квадратна матриця, <span>комутуюча  зі своєю [[Ермітово-спряжена матриця|ермітово-спряженою]]</span>: ''AA''<sup>∗</sup> = ''A''<sup>∗</sup>''A'' || Для таких матриць справедлива [[спектральна теорема]].
|-
| [[Ортогональна матриця]] ||  Матриця, що дорівнює своїй [[Транспонована матриця|транспонованій]]: ''A''<sup>−1</sup> = ''A''<sup>''T''</sup>. || Такі матриці утворюють ортогональну групу.
|-
| Ортонормована матриця || Матриця, стовпчики якої є ортонормованими векторами. ||
|-
| [[Вироджена матриця]] ||  Квадратна матриця, що не є оборотною. ||
|-
| [[Унімодулярна матриця]] || Квадратна матриця з цілими коефіцієнтами, детермінант якої дорівнює +1 або -1. ||
|-
| [[Уніпотентна матриця]] || Квадратна матриця, всі власні значення якої дорівнюють 1. || Еквівалентно, {{nowrap|''A'' &minus; ''I''}} нільпотентна. Дивись також уніпотентна група.
|-
| [[Унімодулярна матриця#Повна унімодулярність|Цілком унімодулярна матриця]] || Матриця, будь-яка несингулярна підматриця якої є [[Унімодулярна матриця|унімодулярною]].|| Використовується в лінійному програмуванні при релаксації цілих програм.
|-
| {{не перекладено|Матриця ваги||ru|Весовая матрица}} ||  Квадратна матриця, елементи якої належать множині {0, 1, -1}, так що AAT = wI для деякого цілого w. ||
|}

== Матриці, що використовуються в теорії графів ==
* [[Матриця суміжності]]
* Матриця бісуміжності
* [[Степенева матриця|Матриця ступеня]]
* Матриця Едмондса
* [[Матриця інцидентності]]
* [[Матриця Кірхгофа]] (матриця Лапласа)
* Матриця суміжності Зейделя
* Матриця Тутте

== Матриці, що використовуються в фізиці ==
* [[CKM-матриця|Матриця Кабібо-Кобаяші-Москави]]
* [[Матриці_Дірака#Гамма-матриці|Гамма матриці Дірака]]
* [[Матриці Паулі]]
* [[Матриці Гелл-Манна]]
* [[Матриця розсіяння|S-матриця]]
* [[Матриця густини]]

== Джерела ==
* {{Гантмахер.Теорія матриць}}
* {{Ланкастер.Теорія матриць}}
* {{Хорн.Джонсон.Матричний аналіз}}
* [http://www.ee.ic.ac.uk/hp/staff/dmb/matrix/special.html Brookes, M., «The Matrix Reference Manual», Imperial College, London, UK]

[[Категорія:Типи матриць]]