Перегляд вихідного коду сторінки Пентаграма

{| border="1" bgcolor="#ffffff" cellpadding="5" align="right" style="margin-left:10px" width="250"
!bgcolor=#e7dcc3 colspan=2|Правильна пентаграма
|-
|align=center colspan=2|[[Файл:Pentagram green.svg|200px]]<br/>Пентаграма&nbsp;— правильна п'ятипроменева зірка
|-
!bgcolor=#e7dcc3|Тип многокутника||[[Зірка (геометрія)|Зірка]]
|-
|bgcolor=#e7dcc3|[[Ребро (геометрія)|Ребра]] і [[Вершина (геометрія)|вершини]]||5
|-
|bgcolor=#e7dcc3|[[Символ Шлефлі]]||{5/2}
|-
|bgcolor=#e7dcc3|[[Діаграма Коксетера–Динкіна]]||[[Файл:CD ring.png]] [[Файл:CD 5-2.png]] [[Файл:CD dot.png]]
|-
|bgcolor=#e7dcc3|[[Діедрична група|Група симетрії правильних многокутників]]|| D<sub>5</sub> (Порядок 10)
|-
|bgcolor=#e7dcc3|[[Внутрішній кут]]<br/>([[Градус (геометрія)|градусів]])||36°
|}

'''Пентагра́ма ''' (також '''п'ятипроменева зірка''', '''зірчастий пятикутник'''; {{lang-el|πεντάγραμμον}} від {{lang-el2|πέντε}}&nbsp;— «п'ять» і {{lang-el2|γράμμα}}&nbsp;— «риска, лінія»)&nbsp;— плоский неопуклий [[багатокутник]] з п'ятьма вершинами та п'ятьма сторонами, що взаємно перетинаються між собою.

Якщо сторони пентаграми та кути між ними рівні, то пентаграма є '''правильною'''. 

Правильний зірчастий п'ятикутник позначається [[Символ Шлефлі|символом Шлефлі]] як {''5''/''2''} ( ''5''&nbsp;— кількість сторін багатокутника, а ''2''&nbsp;— його щільність).

Група симетрії правильної п'ятипроменевої зірки&nbsp;— [[діедрична група]] D<sub>''5''</sub> порядку 10.

Правильні зірчасті багатокутники вперше систематично вивчались Томасом Брадвардіном та Йоганном Кеплером. <ref>Coxeter, Introduction to Geometry, second edition, 2.8 ''Star polygons'', pp. 36–38</ref>

{| class=wikitable align=right width=320 style="margin: 0px 0px 10px 10px"
|+ Два типи зірчастих п'ятикутників
|- align=center
|[[Файл:Alfkors.svg|160px]]<BR>{5/2}
|[[Файл:Concave isotoxal decagon.svg|160px]]<BR>{{pipe}}5/2{{pipe}}
|}
[[Бранко Ґрюнбаум]] розрізнив два види зірчастих багатокутників. Пеший&nbsp;— зірчастий ''n''&nbsp;— кутник, сторони якого перетинаються, і точки перетину не утворюють нових вершин. Другий&nbsp;— неопуклий [[Ізотоксальна фігура|ізотоксальний]] простий 2''n''- кутник.
{{Clear}}
[[Файл:Star stoke-red.svg |мініʼ|right|120пкс|Пентаграма, променями якої є рівносторонні трикутники]]
Таким чином до п'ятипроменевої зірки (пентаграми) також можна віднести неопуклий [[Ізотоксальна фігура|ізотоксальний]] десятикутник, з десятьма сторонами та десятьма вершинами, які становлять дві групи по п'ять вершин, що чергуються між собою.

Цей тип пентаграми також можна описати як [[геометрична фігура|геометричну фігуру]], утворену шляхом приєднання назовні до сторін [[Правильний п'ятикутник|правильного п'ятикутника]] рівних [[Рівнобедрений трикутник|рівнобедрених трикутників]]. Зокрема, трикутники можуть бути [[Правильний трикутник|рівносторонніми]], або ж, наприклад, «<nowiki/>[[Золотий трикутник (геометрія)|золотими]]<nowiki/>». В останньому випадку ця пентаграма збігається з рівностороннім правильним зірчастим п'ятикутником.

Пентаграма використовувалася як символ в [[Стародавня Греція|Стародавній Греції]] і [[Вавилонія|Вавилонії]], і використовується сьогодні як символ віри в багатьох{{немає АД|20|04|2018}} [[Неоязичництво|неоязичницьких релігіях]], подібно як [[хрест]] у християн чи [[гексаграма]] в юдеїв. Пентаграму пов'язують з [[магія|магією]], і багато людей, які практикують новоязичництво, вірять в силу ювелірних виробів із зображенням пентаграми, носячи їх. Християни ж зазвичай використовують пентаграму для символічного зображення п'яти святих ран [[Ісус]]а.{{немає АД|20|04|2018}} Пентаграму асоціюють також з [[масонство]]м, про неї пишуть фантасти, нетрадиційні історики<ref>[http://cyclowiki.org/wiki/Андрей_Зиновьевич_Синельников Андрей Синельников]. [https://profilib.net/chtenie/115156/andrey-sinelnikov-tayny-peterburgskikh-krepostey-shlisselburgskaya-pentagramma-28.php Тайны петербургских крепостей. Шлиссельбургская пентаграмма]</ref> тощо.

Пентакль, за Оксфордським словником англійської мови, це дископодібний предмет із зображенням пентаграми.

== Геометрія ==
[[File:Pentagram Angles Notation.svg|thumb|Правильна п'ятипроменева зірка та її кути.]]

Пентаграма є найпростішим правильним зірчастим багатокутником. Має п'ять вершин та п'ять рівних внутрішніх кутів, кожен з яких становить <math>36^\circ</math> (або ж <math>\frac{\pi}{5}</math> [[радіан]]).
{{Clear}}
===Утворення===
[[Файл:Complete graph K5.svg|thumb|Пентаграма і правильний п'ятикутник, в який вона вписана.]]Пентаграму можна утворити, з'єднавши вершини [[Правильний п'ятикутник|правильного п'ятикутника]] через одну. Іншими словами, провівши у правильному п'ятикутнику всі його [[Діагональ|діагоналі]].

Пентаграма і п’ятикутник, в який вона вписана, утворюють [[повний граф]] із 5 вершинами.

Також пентаграму можна утворити шляхом [[ззірчення]] [[Правильний п'ятикутник|правильного п'ятикутника]], продовживши його сторони до їх взаємного перетину.
{{Clear}}
=== Золотий перетин у пентаграмі ===
[[Image:Pentagram-phi.svg|thumb|Правильна пентаграма з позначенням лінійних сегментів на її ребрах, що знаходяться у відношенні «золотого перетину» один до одного.]]
[[Золотий перетин]], ''φ'' = (1 + {{radic|5}}) / 2 ≈ 1.618,  відіграє важливу роль у правильних п'ятикутниках і пентаграмах.
 
У правильній пентаграмі (п'ятипроменевій зірці) її ребра взаємно перетинаються і точками перетину розділяться на лінійні сегменти ([[Відрізок|відрізки]]), що знаходяться у відношенні «золотого перетину» один до одного.<br />
Зокрема, відношення довжини ребра до довшого відрізка дорівнює ''φ'', так само як і відношення довжини довшого відрізка до коротшого. Також відношення довжини коротшого відрізка до відрізка, який відтинається двома ребрами, що виходять з однієї вершини (сторона п'ятикутника в центрі пентаграми), дорівнює ''φ''. 
:<math>\frac{\text{Червоний}}{\text {Зелений}} = \frac{\text{Зелений}}{\text{Синій}} = \frac{\text{Синій}}{\text{Фіолетовий}} = \varphi \approx 1.618.</math>

Пентаграма, яка вписана в правильний п'ятикутник, розділяє його на десять [[рівнобедрений трикутник|рівнобедрених трикутників]]: п'ять гострокутних («<nowiki/>[[Золотий трикутник (геометрія)|золоті трикутники]]<nowiki/>») і п'ять тупокутних («<nowiki/>[[Золотий трикутник (геометрія)|золоті гномони]]<nowiki/>»). У всіх них відношення довшої сторони до коротшої дорівнює ''φ''.

Відношення «золотого перетину» також можна знайти через кути пентаграми:

:<math>\varphi=1+2\sin(\pi/10)=1+2\sin 18^\circ\,</math>
:<math>\varphi=1/(2\sin(\pi/10))=1/(2\sin 18^\circ)\,</math>
:<math>\varphi=2\cos(\pi/5)=2\cos 36^\circ\,</math>
[[Файл:Pentagon (animated, central).svg|міні]]
Якщо побудувати нескінченну пентаграму (продовжити «правильну п'ятипроменеву зірку» п'ятикутниками і «вістряками» назовні і всередину) і надати якомусь її відрізку значення 1,000&nbsp;— отримаємо ряд чисел, який є послідовними степенями числа <math>\varphi</math> (фі): 
{| class="wikitable"
|+Степені числа <math>\varphi</math>
|-
| :<math>\begin{align}
&\varphi^0 = 1,0000...  \\
&\varphi^1 = 1,6180339... \\
&\varphi^2 = 2,6180339... \\
&\varphi^3 = 4,2360679... \\
&\varphi^4 = 6,8541019... \\
&\varphi^5 = 11,0901699...
\end{align}</math> 
|| :<math>\begin{align}
&\varphi^{-1} = 0,6180339... \\
&\varphi^{-2} = 0,3819660... \\
&\varphi^{-3} = 0,2360679... \\
&\varphi^{-4} = 0,1458980... 
\end{align}</math>
|}
Можна виявити дивну властивість цих двох послідовностей («назовні» і «всередину» від одиниці): парні степені числа <math>\varphi</math> дають ЦІЛІ ЧИСЛА при додаванні: 
:<math>\varphi^n + \varphi^{-n} ,</math>
а непарні степені&nbsp;— при відніманні:
:<math>\varphi^n - \varphi^{-n} . </math>
В результаті отримуємо послідовність натуральних чисел 2, 1, 3, 4, 7, 11, 18, .., названу «<nowiki/>[[Послідовність Люка|послідовністю Люка]]<nowiki/>». ({{OEIS|A000032}}).

Ряд Фібоначчі виходить схожим чином, при діленні на <math>\sqrt{5}</math>: <math>\frac{\varphi^n + \varphi^{-n}}{\sqrt{5}}</math> для непарних n = 2k + 1 і <math>\frac{\varphi^n - \varphi^{-n}}{\sqrt{5}}</math> для парних n = 2k (тут навпаки: непарні степені числа <math>\varphi</math> додаються, а парні&nbsp;— віднімаються). Обидві формули вивів в 19 столітті французький математик [[Жак Філіпп Марі Біне]] (1786—1856).

Варто також зауважити, що будь-який ряд, з будь-якими початковими числами, у якого наступний член виходить додаванням двох попередніх: <math>X_{n+1} = X_n + X_{n-1}</math>&nbsp;— у великих числах (при n → ∞) прагне до «<nowiki/>[[Золотий перетин|золотого відношення]]<nowiki/>» між сусідніми членами. 

Тобто до класичної формули знаходження числа <math>\varphi</math> через <math>\sqrt{5}</math>: <br/>
1) <math>\varphi = \frac{1 + \sqrt{5}}{2}</math> <br/>
ми можемо додати ще дві:<br/>
2) <math>\varphi</math> як границя співвідношення між сусідніми членами будь-якої [[Послідовність Фібоначчі|послідовності Фібоначчі]]:<br/>
:<math>\varphi = \lim_{ n \to \infty} \frac{X_n}{X_{n-1}}</math><br/>
3)  і третя формула виходить з геометрії пентаграми: <br/>
:<math>\varphi = 2 \cdot \cos \frac{\pi}{5} = \frac{1}{2 \cdot \sin \frac{\pi}{10}}</math>

== Символічне значення ==

П'ятипроменева зірка&nbsp;— символ дохристиянської епохи, його використовували під час поклоніння силам Природи. Давні люди ділили весь світ на дві половини&nbsp;— чоловічу та жіночу (боги й богині, що зберігали баланс сил). Пентаграма, або [[пентакль]], символізує жіночу половину всього земного. Цей символ часто називають «священним жіночим початком», або «священною богинею». Інакше цей символ інтерпретують, як богиню [[Венера (міфологія)|Венеру]]. Ранні релігії відштовхувались від божественості Природи, а богиня Венера і планета [[Венера]]&nbsp;— одне і те ж. Кожні вісім років Венера робить абсолютно правильну пентаграму по великому колу небесної сфери. Давні люди помітили це явище і проголосили [[Венера (планета)|Венеру]] та п'ятипроменеву зірку символом досконалості, краси та сексуальності. Шануючи це явище, древні греки влаштовували [[Олімпійські ігри]] кожні вісім років, а сучасні змагання&nbsp;— половинний цикл [[Венера (планета)|Венери]]. Саме п'ятипроменева зірка мала стати символом Ігор, проте згодом вирішили, що [[п'ять кілець]] краще відображають атмосферу заходу. [[Алхімік]]и, [[церемоніальна магія|чорнокнижники]] та ін. вважали пентаграму захистом від [[диявол]]а. Так, [[Гете]] у трагедії [[Фауст (Ґете)|«Фауст»]] описав, що [[Мефістофель]] проник до помешкання [[Фауст]]а, скориставшись невеличким проміжком у куточку начертаної на будинку пентаграми. Демонічна інтерпретація зірки історично невірна. Значення пентаграми було спаплюжено [[Католицька церква|Римською католицькою церквою]] на ранньому етапі її розвитку, це була частина компанії [[Ватикан|Ватикану]] зі знищення [[Язичництво|язичницьких]] релігій.

== Історія ==

[[Файл:Anubis Barnstar.svg|міні||200пкс|Пентаграми на зображенні [[Анубіс]]а у вигляді шакала, який сидить на гробниці. Реконструкція зображення періоду [[Стародавній Єгипет#Нове царство (біля 1580—1070 до н.е)|Нового царства]]]]

Перші зображення пентаграми датуються приблизно 3500&nbsp;р. до н.&nbsp;е., це намальовані на глині п'ятипроменеві зірки, знайдені на руїнах стародавнього міста [[Урук]]а. Зображення пентаграм зустрічаються і на [[єгипет]]ських статуях. Як пише у своїй «Новій Енциклопедії Франк-масонства» [[Артур Вейт]], єгиптяни називали пентаграму «зіркою песиголового [[Анубіс]]а».

== Див. також ==
* [[П'ятипроменева зірка]]
* [[Зірка (геральдика)]]
* [[Зірка]]
* [[Червона зірка]]

== Примітки ==
{{reflist}}

== Посилання ==
* {{УМЕ10|частина=Пентаґрам|сторінки=1319}}
{{commonscat|Pentagrams}}
* [http://ru.luckypentacle.com LuckyPentacle.com Відроджене мистецтво укладання особистих пентакля і пентаграми]{{ref-ru}}
* [http://grimuar.ru/zashita/chto-takoe-pentagramma-vidyi.html Значения разных видов пентаграмм и история их возникновения] ''Виды пентаграмм и их значение в истории колдовства'' // Пентаграма на сайті [www.grimuar.info Гримуар&nbsp;— Мир непознанного] {{ref-ru}}
* Аракелян Г. Б. ''История пентаграммы'', с. 207—270. Гл. 6 в его кн.: ''Математика и история золотого сечения''<nowiki>. М.: Логос, 2014, 404 с. ISBN 978-5-98704-663-0.</nowiki>

[[Категорія:Правильні многокутники|5]]
[[Категорія:Релігійні символи]]
[[Категорія:Окультизм]]