Перегляд вихідного коду сторінки Парні та непарні функції

'''Парні функції''' і '''непарні функції'''&nbsp;— [[Функція (математика)|математичні функції]], які задовольняють певним відношенням [[Симетрія в математиці|симетрії]]. Ця властивість функцій важлива в багатьох областях [[Математичний аналіз|математичного аналізу]], особливо в [[Степеневий ряд|теорії степеневих рядів]] і [[Ряд Фур'є|рядів Фур'є]]. Названі на честь [[Парність (математика)|парності]] степенів [[Степенева функція|степеневих функцій]], які задовольняють кожну умову: функція <math>f(x)=x^n</math> є парною, якщо ''n''&nbsp;— парне ціле число, і непарною, якщо ''n''&nbsp;— ціле непарне число.

== Парні функції ==
[[Файл:Function_x^2.svg|праворуч|міні|276x276пкс|[[Парна функція|Приклад парної функції]]: {{math|''f''(''x'') {{=}} ''x''<sup>2</sup>}}]]
Функція <math>f:\Chi\subset \mathbb R\rightarrow \mathbb R</math> називається '''парною''', якщо для будь-якого <math>x</math> з області визначення функції виконується рівність<math>f(-x)=f(x)</math>.{{R|Алгебра10|Гельфанд|веб}}

[[Графік функції|Графік]] парної функції [[Відбиття (геометрія)|симетричний]] відносно [[ордината|осі ординат]].{{R|Гельфанд}}

;''Приклади парних функцій:''
* <math>y=|x|</math>
* <math>y=x^2</math>
* <math>y=\cos x</math>

[[Алгоритм]] дослідження функції <math>y=f(x)</math> на парність:

* Знайти для функції <math>y=f(x)</math> [[Область визначення|область визначення функції]] <math>D(y)</math> та встановити чи симетрична <math>D(y)</math> відносно нуля.
* Якщо область визначення функції <math>D(y)</math> симетрична відносно нуля, тоді:
** скласти вираз <math>f(-x)</math>;
** порівняти <math>f(-x)</math> та<math>f(x)</math> , якщо функція <math>f(x)=f(-x)</math> для будь-якого значення <math>x</math> з області визначення функції <math>D(y)</math>, то функція <math>y=f(x)</math>&nbsp;— парна.

;''Приклад'':
Дослідити на парність функцію <math>y=4x^6-3x^4+5</math>

Розв'язання: <math>f(-x)=4(-x)^6-3(-x)^4+5=4(x)^6-3(x)^4+5=f(x)</math>, отже функція парна.

Якщо точка <math>M(a;b)</math> належить графіку парної функції <math>f</math>, то точка <math>M(-a;b)</math> також належить її графіку.<ref name=":0">{{Cite book
|title=Алгебра 9 клас
|last=Мерзляк
|first=А.Г.
|last2=Полонський
|first2=В.Б.
|last3=Якір
|first3=М.С.
|year=2017
|publisher=Гімназія
}}</ref>

== Непарні функції ==
[[Файл:Function-x3.svg|праворуч|міні|[[Непарна функція|Приклад непарної функції]]: {{math|''f''(''x'') {{=}} ''x''<sup>3</sup>}}.]]

Функція <math>f:\Chi\subset \mathbb R\rightarrow \mathbb R</math> називається '''непарною''', якщо для будь-якого <math>x</math> з області визначення функції виконується рівність<math>f(-x)=-f(x)</math>.{{R|Алгебра10|Гельфанд|веб}}

[[Графік функції|Графік]] непарної функції [[Центральна симетрія|симетричний]] відносно [[Початок координат|початку координат]].{{R|Гельфанд}}

;''Приклади непарних функцій'':
* <math>y=-x</math>
* <math>y=x^3</math>
* <math>y=\sin x</math>

Алгоритм дослідження функції <math>y=f(x)</math> на непарність:

* Скласти вираз <math> f(-x)</math>, для цього у функції <math> y=f(x)</math> замінити [[аргумент]] <math> x</math> на <math> -x</math>;
* Порівняти <math> f(-x)</math> і <math> -f(x)</math>, якщо <math> f(-x)=-f(x)</math>, то функція&nbsp;— непарна.

;''Приклад''
З'ясувати, чи функція <math>f(x)=3x^5-8x^3</math>&nbsp;— парна, непарна або загального виду.

<math>f(-x)=3(-x)^5-8(-x)^3=-3x^5+8x^3=-(3x^5-8x^3)=-f(x) </math>, тобто, функція непарна.

Якщо точка <math>M(a;b)</math> належить графіку непарної функції <math>f</math>, то точка <math>M(-a;-b)</math> також належить її графіку.<ref name=":0" />

== Основні властивості ==
* Алгебраїчна сума двох парних (непарних) функцій є парною (непарною) функцією.{{R|Вирченко}}
* Добуток двох парних або двох непарних функцій парною функцією.{{R|Вирченко}}
* Добуток парної та непарної функцій є непарною функцією.{{R|Вирченко}}
* Як для парної, так і для непарної функцій справедливо <math>\left| f(x) \right| = \left| f(-x) \right|</math>.{{R|Вирченко}}
* Розклад в [[Ряд Тейлора|ряд Маклорена]] парної функції містить лише члени з парними степенями.<ref name=":1">{{Cite web|url=https://mathworld.wolfram.com/EvenFunction.html|title=Even functions|last=W., Weisstein, Eric.|accessdate=13 листопада 2021|archive-date=13 листопада 2021|archive-url=https://web.archive.org/web/20211113172949/https://mathworld.wolfram.com/EvenFunction.html}}</ref>
* Розклад в ряд Маклорена непарної функції містить лише члени з непарними степенями.<ref name=":2">{{Cite web|url=https://mathworld.wolfram.com/OddFunction.html|title=Odd function|last=W., Weisstein, Eric.|accessdate=13 листопада 2021|archive-date=13 листопада 2021|archive-url=https://web.archive.org/web/20211113172946/https://mathworld.wolfram.com/OddFunction.html}}</ref>
* Похідна парної функції — непарна; похідна непарної функції — парна.<ref name=":1" /><ref name=":2" />

=== Декомпозиція функцій ===
Довільну функцію <math>f(x)</math> одного змінного, визначену в симетричній відносно початку координат області (разом із <math>x</math> до області визначення належить і <math>-x</math>), можна представити у вигляді суми парної та непарної функцій:{{R|Гельфанд|Вирченко}}
: <math>f(x) = \frac{f(x)+f(-x)}{2} + \frac{f(x)-f(-x)}{2}</math>
Тут перший доданок є парною, а другий&nbsp;— непарною функцією.

== Див. також ==
* [[Парна функція]]
* [[Непарна функція]]

== Примітки ==
{{reflist|refs=
<ref name="Алгебра10">{{Cite book
|title=Алгебра профільний рівень 10 клас
|last1=Мерзляк
|first1=А.Г.
|last2=Номіровський
|first2=Д.А.
|authorlink2=Номіровський Дмитро Анатолійович
|last3=Полонський
|first3=В.Б.
|last4=Якір
|first4=М.С.
|authorlink4=Якір Михайло Семенович
|year=2018
|publisher=Гімназія
|location={{Х.}}
|isbn=978-966-474-311-9
}}</ref>
<ref name="Гельфанд">{{cite book|прізвище1=Гельфанд И.М.|автор-посилання1=Гельфанд Ізраїль Мойсейович|прізвище2=Глаголева Е.Г.|прізвище3=Шноль Э.Э.|назва=Функции и графики (основные приёмы)|серія=Математика. Библиотека физико-математической школы|рік=1968|видавець=Наука|розміщення={{М.}}|мовою=російською}}</ref>
<ref name="веб">{{cite web|url=https://miyklas.com.ua/p/algebra/10/chislovi-funktciyi-14346/parni-i-neparni-funktciyi-14351/re-495cde19-b9b9-4f3c-a159-93ced1f8a166|title=Парні та непарні функції|website=miyklas.com.ua|accessdate=11 листопада 2021|archive-date=10 листопада 2021|archive-url=https://web.archive.org/web/20211110144917/https://miyklas.com.ua/p/algebra/10/chislovi-funktciyi-14346/parni-i-neparni-funktciyi-14351/re-495cde19-b9b9-4f3c-a159-93ced1f8a166}}</ref>
<ref name="Вирченко">{{Вирченко.Графики функций}}</ref>
}}

== Джерела ==
* {{Cite book
|title=Алгебра профільний рівень 10 клас
|last=Мерзляк
|first=А.Г.
|last2=Номіровський
|first2=Д.А.
|authorlink2=Номіровський Дмитро Анатолійович
|last3=Полонський
|first3=В.Б
|last4=Якір
|first4=М.С.
|authorlink4=Якір Михайло Семенович
|year=2018
|publisher=Гімназія
|isbn=978-966-474-311-9
}}
* {{Фіхтенгольц.укр}}

{{Бібліоінформація}}
[[Категорія:Типи функцій]]
[[Категорія:Елементарна арифметика]]