Перегляд вихідного коду сторінки Паралельна проєкція

{{Проєкції}}
'''Паралельна проєкція''' (або '''аксонометрична проєкція''')&nbsp;— це проєкція об'єкта в [[Тривимірний простір|тривимірному просторі]] на фіксовану [[Площина|площину]], відому як {{Нп|площина проєкції|||Projection plane}} або [[площина зображення]], де промені, відомі як {{Нп|лінії зору|||Line_of_sight}} або проєкційні лінії, [[Паралельність|паралельні]] один одному. Це основний інструмент у [[Нарисна геометрія|нарисній геометрії]]. Проєкція називається
[[Ортографічна проєкція|ортографічною]], якщо промені перпендикулярні (ортогональні) площині зображення і [[Диметрична проєкція|косою]] або косокутною, якщо це не так.

== Огляд ==
[[Файл:Parallel-proj-def.svg|thumb|Термінологія та позначення паралельної проєкції. Два синіх паралельних відрізка праворуч залишаються паралельними при проектуванні на площину зображення зліва.]]
Паралельна проєкція&nbsp;— це окремий випадок [[Проєкція (математика)|проєкції]] в [[Математика|математиці]] та [[3D-проєкція|графічної проєкції]] в [[Креслення|технічному кресленні]]. Паралельні проєкції можна розглядати як межу [[Проєкція (математика)|центральної]] або [[Перспектива|перспективної проєкції]], в якій промені проходять через фіксовану точку, яку називають центром або точкою зору, в міру видалення цієї точки до нескінченності. Інакше кажучи, паралельна проєкція відповідає перспективній проєкції з нескінченною [[Фокусна відстань|фокусною відстанню]] (відстань між об'єктивом та точкою фокусування у фотографії) або [[Зум|зумом]]. Крім того, в паралельних проєкціях лінії, паралельні в тривимірному просторі, залишаються паралельними в двовимірному зображенні, що проєктується.

Перспективна проєкція об'єкта часто вважається більш реалістичною, ніж паралельна проєкція, оскільки вона схожа на [[Зір|людський зір]] і фотографію<ref>{{Cite news|title=Photography|url=https://en.wikipedia.org/w/index.php?title=Photography&oldid=1083133822|work=Wikipedia|date=2022-04-17|accessdate=2022-05-05|language=en}}</ref>. Однак паралельні проєкції популярні в технічних додатках, оскільки паралельність ліній і граней об'єкта зберігається, і зображення можна проводити прямі вимірювання. Серед паралельних проєкцій ортографічні проєкції вважаються найбільш реалістичними та широко використовуються інженерами. З іншого боку, деякі види косих проєкцій (наприклад, [[Аксонометричні проєкції|кавалерська проєкція]], [[Аксонометричні проєкції|військова проєкція]]) дуже прості у реалізації та використовуються для створення швидких та неформальних зображень об'єктів.

Термін паралельне проеціювання використовується в літературі для опису, як самої процедури (математичної функції відображення), так і результативне зображення, що отримується в результаті процедури.

== Властивості ==
[[Файл:Cube-parallel-proj-s.svg|300px|thumb|Дві паралельні проєкції куба. В орфографічній проєкції (ліворуч) проєкційні лінії перпендикулярні до площини зображення (рожеві). У похилій проєкції (праворуч) проєкційні лінії розташовані під нахилом до площини зображення.]]
Кожна паралельна проєкція має такі властивості:

* Вона однозначно визначається площиною проєкції Π та напрямком <math>{\displaystyle {\vec {v}}}</math> (паралельних) ліній проєкції. Напрямок не повинен бути паралельним площині проєкції.
* Будь-яка точка простору має єдиний образ у площині проєкції Π, а точки Π фіксовані.
* Будь-яка пряма, не паралельна напряму <math>{\displaystyle {\vec {v}}}</math>, відображається на пряму; будь-яка пряма, паралельна <math>{\displaystyle {\vec {v}}}</math>, відображається на точку.
* Паралельні прямі наносяться на паралельні прямі або пару точок (якщо вони паралельні <math>{\displaystyle {\vec {v}}}</math>).
* [[Співвідношення|Відношення]] довжини двох відрізків лінії залишається незмінним. Як окремий випадок, середні точки відображаються на [[Середня точка|середні точки]].
* [[Довжина]] відрізка прямої, паралельної поверхні проєкції, {{Нп|Залишатись постійним|залишається постійною||True_length}}. Довжина будь-якого відрізка зменшується, якщо проєкція є ортографічною.
* Будь-яке [[коло]], що лежить у площині, паралельній площині проєкції, відображається на коло з тим самим радіусом. Будь-яке інше коло відображається на [[еліпс]] або відрізок прямої (якщо напрямок <math>{\displaystyle {\vec {v}}}</math> паралельно площині кола).
* [[Кут]]и загалом не зберігаються. Але [[Прямий кут|прямі кути]] з однієї прямої, паралельної площині проєкцій залишаються незмінними.
* Будь-який [[прямокутник]] відображається на [[паралелограм]] або відрізок прямої (якщо <math>{\displaystyle {\vec {v}}}</math> паралельний площині прямокутника).
* Будь-яка постать у площині, паралельної площині зображення, конгруентна своєму зображенню.

== Типи ==
[[Файл:comparison_of_graphical_projections.svg|thumb|Порівняння проєкцій]]
[[Файл:Camera focal length distance house animation.gif|thumb|right|Паралельна проєкція відповідає перспективній проєкції з гіпотетичною точкою зору; тобто такий, де камера знаходиться на нескінченній відстані від об'єкта і має нескінченну фокусну відстань, або «зум».]]
[[Файл:Various projections of cube above plane.svg|thumb|Різні проєкції та спосіб їх виготовлення]]

=== Ортографічна проєкція ===
{{main|Ортогональна проєкція}}
Ортографічне проєктування випливає з принципів [[Нарисна геометрія|нарисної геометрії]] і є різновидом паралельного проєктування, при якому промені, які використовуються для побудови проєкції, перпендикулярні до площини проєкції. Це тип проєкції, який використовується для {{Нп|Робочі креслення|робочих креслень||Plan_(drawing)}}. Термін «ортографічний» іноді використовується спеціально для зображення об'єктів, де головні осі, або площини об'єкта також паралельні площині проєкцій (або паперу, на якому окреслюється ортографічна або паралельна проєкція). Однак також використовується термін «основний вид». У [[Ортогональна проєкція|багаторакурсних проєкціях]] створюється до шести зображень об'єкта, де кожна площина проєкції перпендикулярна до однієї з координатних осей. Однак, коли основні площини, або осі об'єкта не паралельні площині проєкції, а нахилені тією чи іншою мірою, щоб показати кілька сторін об'єкта, їх називають допоміжними видами або піктограмами. Іноді термін {{Нп|Аксонометрична проєкція|аксонометрична проєкція||Axonometric_projection}} використовується виключно цих видів і протиставляється терміну ортографічна проєкція. Проте аксонометричне проєктування точніше було назвати синонімом паралельного проєктування, а ортографічне проєктування&nbsp;— різновидом аксонометричного проєктування.

До основних видів відносяться плани, висоти та розрізи, а ізометричні, диметричні та триметричні проєкції можна вважати допоміжними видами. Типовою (але необов'язковою) характеристикою багаторакурсних ортографічних проєкцій є те, що одна вісь простору зазвичай відображається як вертикальна.

Коли напрямок перегляду перпендикулярно поверхні зображуваного об'єкта, незалежно від орієнтації об'єкта, це називається нормальною проєкцією. Отже, у разі куба, орієнтованого у системі координат простору, первинні види куба вважатимуться нормальними проєкціями.

=== Косокутна проєкція ===
{{main|Косокутна проєкція}}
[[Файл:Graphical projection comparison.png|thumb|right|Порівняння кількох видів [[3D-проєкція|графічної проєкції]]. Наявність одного або кількох головних кутів 90° зазвичай є хорошим показником того, що перспектива є «косою».]]
При косокутній проєкції паралельні проєкційні промені не перпендикулярні до площини перегляду, а падають на площину проєкції під кутом, відмінним від дев'яноста градусів<ref name="maynard">{{Cite book|url=https://books.google.com/books?id=4Y_YqOlXoxMC&q=axonometric+orthographic&pg=PA22|title=Drawing distinctions: the varieties of graphic expression|last=Maynard|first=Patric|date=2005|publisher=Cornell University Press|isbn=0-8014-7280-6|pages=22}}</ref>. Як при ортографічній, так і при косій проєкції паралельні лінії в просторі виглядають паралельними на зображенні, що проєктується. Через свою простоту коса проєкція використовується виключно для мальовничих цілей, а не для формальних, робочих креслень. У косій проєкції кути, що розділяють координатні осі, і навіть коефіцієнти ракурсу (масштабування) довільні. Створюване при цьому спотворення зазвичай послаблюється шляхом вирівнювання однієї з площин зображуваного об'єкта паралельно площині проєкції, створюючи істинно формотворне повнорозмірне зображення обраної площини. До спеціальних видів косих проєкцій відносяться військова, проєкції кавальє та кабіне<ref name="desai">{{Cite book|url=https://books.google.com/books?id=WQiIj8ZS0IoC&q=axonometric+orthographic&pg=PA231|title=Computer Graphics|last=Desai|first=Apurva A.|date=22 жовтня 2008|publisher=PHI Learning Pvt. Ltd.|isbn=978-81-203-3524-0|pages=242}}</ref>.


== Аналітичне уявлення ==
Якщо площина зображення задана рівнянням <math>\Pi:\overrightarrow{n}*\overrightarrow{x}-d=0</math> і напрямок проєкції на <math>\overrightarrow{v}</math>, тоді лінія проєкції через точку <math>P:\overrightarrow{p}</math> параметризується таким чином
:: <math>g:~\vec x = \vec p+t\vec{v}</math> з <math>t\in\mathbb{R}</math>.
Образ <math>{\displaystyle P'} of P</math> є перетин прямої g з площиною <math>{\displaystyle \Pi}</math>; він задається рівнянням

:: <math>{\displaystyle P':~{\vec {p}}'={\vec {p}}+{\frac {d-{\vec {p}}\cdot {\vec {n}}}{{\vec {n}}\cdot {\vec {v}}}}\;{\vec {v}}\  .}</math>

У деяких випадках ці формули можуть бути спрощені.

(S1) Якщо можна вибрати вектори <math>{\displaystyle {\vec {n}}}</math> і <math>\overrightarrow{v}</math> такі, що <math>{\displaystyle {\vec {n}}\cdot {\vec {v}}=1}</math>, формула зображення спрощується до

:: <math>{\displaystyle {\vec {p}}'={\vec {p}}+(d-{\vec {p}}\cdot {\vec {n}})\;{\vec {v}}\ .}</math>

(S2) В ортографічній проєкції вектори <math>{\displaystyle {\vec {n}}}</math> і <math>{\displaystyle {\vec {v}}}</math> паралельні. В цьому випадку, можна вибрати <math>{\displaystyle {\vec {v}}={\vec {n}},\;|{\vec {n}}|=1}</math> і отримати

:: <math>{\displaystyle {\vec {p}}'={\vec {p}}+(d-{\vec {p}}\cdot {\vec {n}})\;{\vec {n}}\ .}</math>

(S3) Якщо можна вибрати вектори <math>{\displaystyle {\vec {n}}}</math> і <math>{\displaystyle {\vec {v}}}</math> такі, що <math>{\displaystyle {\vec {n}}\cdot {\vec {v}}=1}</math>, і якщо площина зображення містить початок координат, d=0 і паралельна проєкція є [[Лінійне відображення|лінійним відображенням]]:

:: <math>\vec p' = \vec p - (\vec p\cdot\vec{n})\;\vec{v}=\vec p-(\vec v\otimes \vec n)~\vec p = (I_3-\vec v\otimes \vec n)\;\vec p \ .</math>

(Тут <math>{\displaystyle I_{3}}</math>&nbsp;— [[Одинична матриця|матриця тотожності]], а <math>{\displaystyle \otimes }</math>&nbsp;— [[Тензорний добуток#Тензорний добуток двох векторів|зовнішній добуток]]).

З цього аналітичного уявлення паралельної проєкції можна вивести більшість властивостей, зазначених у попередніх розділах.

== Історія ==
Аксонометрія зародилася в Китаї.<ref name=Krikke/> Її функція в китайському мистецтві була відмінною від [[Перспектива|лінійної перспективи]] в європейському мистецтві, оскільки перспектива була об'єктивною, чи поглядом з боку. Натомість у її схемах використовувалися паралельні проєкції всередині картини, що дозволяло глядачеві розглядати в одному згортку і простір, і безперервну течію часу.<ref name="Kri00"/> На думку наукового автора та журналіста журналу [[Medium]] Яна Крикке, аксонометрія та пов'язана з нею образотворча граматика набули нового значення з появою {{Нп|Візуальні обчислення|візуальних обчислень||Visual_computing}} та [[Ізометрична проєкція|інженерного креслення]].<ref name="Kri00"/><ref name=Krikke>{{Cite web|last=Krikke|first=Jan|title=Why the world relies on a Chinese "perspective"|url=https://jankrikke2020.medium.com/why-the-world-relies-on-a-chinese-perspective-cf3122caf67f|date=2018-01-02}}</ref><ref>{{Cite journal|title=Axonometry: A Matter of Perspective|url=https://dl.acm.org/doi/10.1109/38.851742|date=July 2000|doi=10.1109/38.851742|last1=Krikke|first1=J.|journal=IEEE Computer Graphics and Applications|volume=20|issue=4|pages=7–11}}</ref><ref>{{Cite web|title=A Chinese Perspective for Cyberspace?|url=http://powys-lannion.net/Powys/America/Chinese.htm}}</ref>

Концепція [[Ізометрія (математика)|ізометрії]] існувала у грубій емпіричній формі протягом століть, задовго до того, як професор [[Кембриджський університет|Кембриджського університету]] {{Нп|Вільям Фаріш|Вільям Фаріш||William_Farish_(chemist)}} (1759—1837) першим представив докладні правила для ізометричного креслення.<ref>Barclay G. Jones (1986). ''Protecting historic architecture and museum collections from natural disasters''. University of Michigan. {{ISBN|0-409-90035-4}}. p.&nbsp;243.</ref><ref>Charles Edmund Moorhouse (1974). ''Visual messages: graphic communication for senior students''.</ref>

Фаріш опублікував свої ідеї в роботі 1822 «Про ізометричної перспективи», в якій він визнав «необхідність в точних технічних робочих кресленнях, вільних від оптичних спотворень». Це призвело його до формулювання ізометрії. Ізометрія означає «рівні заходи», оскільки для висоти, ширини та глибини використовується та сама шкала.<ref name="Kri96">J. Krikke (1996). «[http://www.iias.nl/iiasn/iiasn9/eastasia/krikke.html A Chinese perspective for cyberspace?] {{Webarchive|url=https://web.archive.org/web/20090601134152/http://www.iias.nl/iiasn/iiasn9/eastasia/krikke.html |date=2009-06-01 }}». In: ''International Institute for Asian Studies Newsletter'', 9, Summer 1996.</ref>

З середини 19 століття, згідно з Яном Крикке<ref name="Kri96"/>, ізометрія стала «безцінним інструментом для інженерів, і незабаром після цього аксонометрія та ізометрія були включені до навчальної програми архітектурних курсів у Європі та США. Популярне визнання аксонометрія отримала в 1920-х роках, коли [[Модернізм (архітектура)|архітектори-модерністи]] з [[Баугауз|Баухауса]] та [[Стиль (група)|Де Стайл]] прийняли її».<ref name="Kri96"/> Архітектори Де Стайл, такі як [[Тео ван Дусбург|Тео ван Досбург]], використовували аксонометрію для своїх {{Нп|Архітектурні проєкти|архітектурних проєктів||Building_design}}, які спричинили фурор, бувши виставленими в Парижі в 1923 році.<ref name="Kri96"/>

З 1920-х років аксонометрія, або паралельна перспектива, стала важливою графічною технікою для художників, архітекторів та інженерів. Як і лінійна перспектива, аксонометрія допомагає зобразити тривимірне місце на двовимірній картинній площині. Зазвичай вона входить до стандартної комплектації систем [[Система автоматизованого проєктування і розрахунку|автоматизованого проєктування]] та інших засобів візуальних обчислень.<ref name="Kri00">Jan Krikke (2000). «Axonometry: a matter of perspective». In: ''Computer Graphics and Applications, IEEE'' Jul/Aug 2000. Vol 20 (4), pp.&nbsp;7–11.</ref>

<gallery widths="300" heights="200">
File:Optical-grinding engine model.jpg|Модель двигуна оптичного шліфування (1822 р.), намальована в ізометричній перспективі 30°<ref>William Farish (1822) "On Isometrical Perspective". In: ''Cambridge Philosophical Transactions''. 1 (1822).</ref>
Файл:Axonometric example.gif|Приклад креслення диметричної перспективи з патенту США (1874)
Файл:Bank of China Tower massing model.svg|Приклад триметричної проєкції, що показує форму [[Вежа Банку Китаю|вежі Банку Китаю]] в [[Гонконг|Гонконзі]].
Файл:Sanguo2.PNG|Приклад диметричної проєкції в китайському мистецтві в ілюстрованому виданні [[Трицарство (роман)|«Романтика трьох королівств»]], Китай, бл. 15 століття [[Наша ера]].
Файл:Along the River During the Qingming Festival (detail of original).jpg|Деталь оригінальної версії «{{Нп|Уздовж річки під час фестивалю Цінмін||| Along the River During the Qingming Festival}}», що приписується Чжан Цзедуаню (1085–1145). Зауважте, що зображення перемикається між аксонометричною та перспективною проєкцією в різних частинах зображення і, таким чином, є непослідовним.
</gallery>

== Обмеження ==
{{See also|Неможлива фігура}}
{{multiple image
| width     = 200
| image1    = IsometricFlaw 2.svg
| caption1  = На цьому малюнку синя сфера на дві одиниці вища за червону. Однак ця різниця у висоті не є очевидною, якщо охопити праву половину зображення.
| image2    = Impossible staircase.svg
| caption2  = [[Сходи Пенроуза]] зображують сходи, які ніби піднімаються (проти годинникової стрілки) або спускаються (за годинниковою стрілкою), але утворює безперервну петлю.
}}
Об'єкти, намальовані за допомогою паралельної проєкції, не здаються більшими або меншими, оскільки вони знаходяться ближче або далі від глядача. Хоча це й вигідно для [[Архітектурний рисунок|архітектурних креслень]], де виміри повинні проводитися безпосередньо по зображенню, результатом є спотворення, що сприймається, оскільки, на відміну від [[Перспектива|перспективної проєкції]], це не те, як зазвичай працює людський зір або фотографія. Це також може легко призвести до ситуацій, коли важко визначити глибину та висоту.

Ця візуальна двозначність була використана в [[оп-арт]]і, а також у малюнках «неможливих об'єктів». Хоча це не зовсім паралельно, добре відомий малюнок [[Мауріц Корнеліс Ешер|М.&nbsp;К.&nbsp;Ешера]] [[Водоспад (Ешер)|«Водоспад»]], в якому канал води, здається, безперешкодно рухається низхідним шляхом, а потім парадоксальним чином знову падає, повертаючись до свого джерела. Таким чином, здається, що вода не підпорядковується [[Закон збереження енергії|закону збереження енергії]].

== Примітки ==
{{reflist}}

== Посилання ==
* Schaum's Outline: ''Descriptive Geometry'', McGraw-Hill, (June 1, 1962),{{isbn|978-0070272903}}
* {{Citation
|author=Joseph Malkevitch
|publisher=[[American Mathematical Society]]
|title=Mathematics and Art
|date=April 2003
|journal=Feature Column Archive
|url=https://www.ams.org/featurecolumn/archive/art1.html
}}
* {{Citation
|author=Ingrid Carlbom, Joseph Paciorek
|title=Planar Geometric Projections and Viewing Transformations
|volume=10
|pages=465–502
|date=December 1978
|doi=10.1145/356744.356750
|journal=[[ACM Computing Surveys]]
|issue=4
|s2cid=708008
}}

[[Категорія:Графічні проєкції]]