Перегляд вихідного коду сторінки Парадокс берегової лінії

{{TOCright}}
{{unibox}}'''Парадокс [[Берегова лінія|берегової лінії]]'''&nbsp;— суперечливе спостереження в географічних науках, пов'язане з неможливістю точно визначити довжину лінії узбережжя через її [[фрактал]]оподібні властивості. Перший задокументований опис цього феномену був зроблений [[Льюїс Фрай Річардсон |Льюїсом Річардсоном]]<ref>{{MathWorld |title=Coastline Paradox | urlname= CoastlineParadox}}</ref>; згодом його було розширено [[Бенуа Мандельброт]]ом<ref>{{книга-ру
 | автор = {{nobr|Mandelbrot, Benoit M.}}
 | часть = 
 | заглавие = The Fractal Geometry of Nature
 | издательство = W. H. Freeman and Co.
 | год = 1983
 | pages = [https://archive.org/details/fractalgeometryo00beno/page/25 25—33]
 | isbn = 978-0-7167-1186-5
 | url = https://archive.org/details/fractalgeometryo00beno/page/25
 }}</ref>.

Довжина берегової лінії залежить від способу її вимірювання. Оскільки для ділянки суші можна виділити вигини будь-якого розміру, від сотень кілометрів до доль міліметра і менше, не можна очевидним чином підібрати розмір найменшого елементу, який має бути узятий для вимірювання. Отже, не можна однозначно визначити і периметр цієї ділянки. Існують різні математичні наближення для розвязання цієї задачі.

== Історія розвитку парадоксу ==
Незадовго до 1951 року [[Льюїс Фрай Річардсон]] в ході дослідження передбачуваного впливу довжини державних кордонів на імовірність початку військових конфліктів помітив наступне: формально сухопутний кордон Португалії з Іспанією дорівнює 987&nbsp;км, проте в Португальській енциклопедії довжина кордону визначена як 1 214&nbsp;км. Цей факт послужив відправною точкою для вивчення проблеми берегової лінії<ref>Ashford, Oliver M., Charnock, H., Drazin, P. G., Hunt, J. C. R. The Collected Papers of Lewis Fry Richardson / Ed. Ashford, Oliver M.&nbsp;— Cambridge University Press, 1993.&nbsp;— P. 45-46.&nbsp;— (Vol. 1. Meteorology and numerical analysis).</ref>.

Основним методом оцінки довжини кордону або берегової лінії було накладення ''N'' рівних відрізків завдовжки / на карту або аерофотознімок за допомогою циркуля. Кожен кінець відрізку повинен належати вимірюваній лінії. Досліджуючи розбіжності в оцінці меж, Річардсон виявив те, що зараз називається ''ефектом Річардсона'': масштаб вимірів обернено пропорційний до загальної довжини усіх відрізків. Тобто чим коротше використовувана лінійка, тим довше вимірювана межа. Таким чином, іспанські і португальські географи просто керувалися вимірами різних масштабів.

Найбільш вражаючим для Річардсона виявилося те, що коли величина ''l'' прагне до нуля, довжина узбережжя прагне до нескінченності. Спочатку Річардсон вважав, спираючись на геометрію Евкліда, що ця довжина досягне фіксованої величини, як це відбувається у випадку з правильними геометричними фігурами. Наприклад, периметр правильного багатокутника, вписаного в коло, наближається до довжини самого кола зі збільшенням числа сторін (і зменшенням довжини кожної сторони). У теорії геометричних вимірів така гладка крива, як коло, яке може бути приблизно представлене у вигляді невеликих відрізків із заданою межею, називається спрямлюваною кривою.

Понад десять років після завершення Річардсоном своєї роботи Мандельброт розробив нову гілку математики&nbsp;— фрактальну геометрію&nbsp;— для опису таких існуючих в природі комплексів, що не випрямляються, як нескінченна берегова лінія<ref name='Mand28'>Мандельброт (1983).&nbsp;— С. 28.</ref>. Його власне визначення фрактала як основи його дослідження таке<ref>Мандельброт (1983).&nbsp;— С. 1.</ref>:
{{початок цитати}}Я придумав слово ''фрактал'', узявши за основу латинський прикметник ''fractus''. Відповідне латинське дієслово ''frangere'' означає ''ламати'': створювати нерегулярні фрагменти. Тому розумно, що, окрім «фрагментний», ''fractus'' також повинне означати і «нерегулярний».{{кінець цитати}}

Ключовою властивістю фракталів є [[самоподібність]], що полягає в прояві однієї і тієї ж загальної фігури на будь-якому масштабі. Берегова лінія сприймається як чергування заток і мисів. Гіпотетично, якщо ця берегова лінія має властивість самоподібності, то незалежно від того, наскільки сильно масштабується та або інша частина, все одно проявляється аналогічна картина менших заток і мисів, накладена на більші затоки і миси, аж до піщинок. На таких масштабах берегова лінія виявляється ниткою, що миттєво змінюється, потенційно нескінченно, із стохастичним розташуванням заток і мисів. У таких умовах (на відміну від гладких кривих) Мандельброт стверджує: «Довжина берегової лінії виявляється недосяжним уявленням, що ковзає між пальцями тих, хто намагається його зрозуміти»<ref name='Mand28' />.

== Математична інтерпретація ==
Поняття [[Довжина|довжини]] походить від [[Евклідова відстань|відстані Евкліда]]. У геометрії Евкліда пряма лінія є найкоротшою відстанню між двома точками. Геодезична лінія на поверхні сфери, що називається [[Велике коло|великим колом]], вимірюється уздовж кривої, яка лежить в площині, що містить кінцеві точки шляху і центр сфери. [[Довжина кривої]] обчислюється складніше. При використанні лінійки довжину кривої можна приблизно обчислити, підсумовуючи довжини відрізків, що сполучають точки:

[[Файл: Arclength.svg|міні|330px|center]]

Використання усе більш коротких відрізків даватиме усе більш точне значення, що наближається до реального значення довжини дуги. Таке точне значення для нескінченно малих відстаней можна обчислити за допомогою [[Математичний аналіз|математичного аналізу]]. Наступна анімація показує, наскільки [[Гладка функція|гладкою]] може бути подібна крива з точним значенням довжини:

[[Файл: Arc length.gif|міні|330px|center]]

Проте не усі криві можуть бути виміряні подібним способом. [[Фрактал]] має різну складність залежно від масштабу, тому вимірювані значення довжин фракталів можуть непередбачувано змінюватися.

<center>
{| class="toccolours" border="0" cellpadding="2" cellspacing="2"
|-
|colspan=12 style="background :#E4E4E4"|<div style='text - align: center;'> Крива Серпінського, де повторюється один і той же малюнок на дедалі менших масштабах, усе збільшується у довжину. </div>
|-
|[[Файл: Sierpiński curve order 1.svg |border|160px]]
|[[Файл: Sierpiński curve order 2.svg |border|160px]]
|[[Файл: Sierpiński curve order 3.svg |border|160px]]
|[[Файл: Sierpiński curve order 4.svg |border|160px]]
|[[Файл: Sierpiński curve order 5.svg |border|160px]]
|-
|
|
|
|
|
|}
</center>

Мал. [[Крива Серпінського]], що повторює один і той же малюнок на все менших масштабах, продовжує збільшуватися в довжині. Якщо розглядати ітерації в нескінченно подільному геометричному просторі, її довжина прагне до нескінченності. В той же час площа фігури, обмеженої цією кривою, прагне до певного значення&nbsp;— аналогічно тому, що площа острова вимірюється набагато легше, ніж довжина його берегової лінії.

Довжина «істинного фрактала» завжди прямує до нескінченності, так само як і довжини нескінченно малих вигинів берегової лінії підсумовуються до нескінченності<ref>Post & Eisen.&nbsp;— С. 550.</ref>. Але це твердження засноване на припущенні про необмеженість простору, який, у свою чергу, навряд чи відбиває реальну концепцію простору і відстані на [[Атом|атомному]] рівні. Найменшою одиницею вимірювання довжини у Всесвіті вважається [[Довжина Планка|планківська довжина]], набагато менша від розмірів атома.

Берегова лінія із властивістю самоподібності входить до «першої категорії фракталів, а саме є кривою з фрактальною розмірністю більше 1». Це останнє твердження є розширенням Мандельбротом думки Річардсона. Мандельброт так формулює ефект Ричардсона<ref>Мандельброт (1983).&nbsp;— С. 29-31.</ref>:

: <math>L(\epsilon)\sim F\epsilon^{1-D}</math>

де довжина берегової лінії L є функцією від одиниці вимірювання ε і апроксимується виразом з правої частини. F&nbsp;— константа, D&nbsp;— параметр Річардсона, залежний від самої берегової лінії (Річардсон не дав теоретичного пояснення цієї величини, проте Мандельброт визначив D як нецілочисельну форму [[Розмірність Гаусдорфа|розмірності Гаусдорфа]], пізніше&nbsp;— фрактальної розмірності. Іншими словами, D&nbsp;— це практично виміряне значення «нерівності»). Перегрупувавши праву частину виразу, отримуємо:

: <math>\frac {F} {\epsilon^{D}} \cdot \epsilon</math>

де Fε<sup>- D</sup> має бути кількістю одиниць ε, необхідних для отримання L. [[Фрактальна розмірність]]&nbsp;— це число вимірювань об'єкта, використовуване для апроксимації фракталу: 0&nbsp;— для точки, 1&nbsp;— для лінії, 2&nbsp;— для площадкових фігур. Оскільки ламана лінія, що вимірює довжину берега, не поширюється в одному напрямі і в той же час не є площею, значення D у виразі займає проміжне положення між 1 і 2 (для узбережжя зазвичай менше 1,5). Воно може бути інтерпретоване як товста лінія або смуга шириною 2ε. Більше «розбиті» узбережжя мають більше значення D і тим самим L виявляється довше при однакових ε. Мандельброт показав, що D не залежить від ε.

В цілому берегові лінії відрізняються від математичних фракталів, оскільки вони формуються з використанням численних дрібних деталей, що створюють моделі тільки статистично<ref>{{книга-ру
| автор = {{nobr|Peitgen, H.-O.}}, {{nobr| Jürgens, H.}}, {{nobr| Saupe, D.}}
 | часть = Irregular Shapes: Randomness in Fractal Constructions
 | заглавие = Chaos and Fractals: New Frontiers of Science
 | ссылка = http://books.google.com/books?id=LDCkFOkD2IIC&lpg=PP1&pg=PA424
 | издание = 2-е изд
 | издательство = Springer
 | год = 2004
 | pages = 424
 | isbn = 0-387-21823-8
 }}</ref>.

== Парадокс на практиці ==
У реальності на берегових лініях відсутні деталі менші 1 см. Це пов'язано з ерозією і іншими морськими явищами. У більшості місць мінімальний розмір значно більший. Тому модель нескінченного фрактала не підходить для берегових ліній.

З практичних міркувань вибирають мінімальний розмір деталей рівним порядку одиниць вимірювання. Так, якщо берегова лінія вимірюється в кілометрах, то невеликі зміни ліній, набагато менші одного кілометра, просто не беруться до уваги. Для вимірювання берегової лінії в сантиметрах мають бути розглянуті усі невеликі варіації розміром біля одного сантиметра. Проте на масштабах близько сантиметрів мають бути зроблені різні довільні нефрактальні припущення, наприклад, там, де [[гирло]] приєднується до моря, або в тих місцях, де мають бути проведені вимірювання на широких [[Ватти|ваттах]]. Крім того, використання різних методів вимірювання для різних одиниць не дозволяє зробити [[Перетворення одиниць вимірювання|перетворення цих одиниць]] за допомогою простого множення.

Граничні випадки парадоксу берегової лінії включають узбережжя з великим числом [[фіорд]]ів: це узбережжя [[Норвегія|Норвегії]], [[Чилі]], північно-західне узбережжя [[Північна Америка|Північної Америки]] і інші. Від південного краю [[Ванкувер (острів) |острова Ванкувер]] в північному напрямі до південного краю [[Південно-східна Аляска|Південно-східної Аляски]] вигини узбережжя канадської провінції [[Британська Колумбія]] складають понад 10&nbsp;% довжини канадської берегової лінії (з урахуванням усіх островів [[Канадський Арктичний архіпелаг|Канадського Арктичного архіпелагу]])&nbsp;— 25725&nbsp;км з 243042&nbsp;км на лінійній відстані, рівній всього 965 км<ref>Sebert, L. M., and M. R. Munro. 1972. Dimensions and Areas of Maps of the National Topographic System of Canada. Technical Report 72-1. Ottawa, Ont: Surveys and Mapping Branch, Department of Energy, Mines and Resources.</ref>.

== Див. також ==
* [[Фрактальна розмірність]]
* [[Парадокс нагромадження]]
* [[Апорії Зенона]]
* [[Суперечка про кордон Аляски]]

== Література ==
* {{cite web | url = http://users.math.yale.edu/public_html/People/frame/Fractals/Panorama/Nature/Coastlines/Coastlines.html | title= Coastlines  |author= Michael Frame, Benoit Mandelbrot, and Nial Neger |work= Fractals |publisher= yale.edu |accessdate=2016-02-13 |lang= en }}
* {{книга-ру|автор= |часть= II.5 How long is the coast of Britain?|заглавие= The Fractal Geometry of Nature|издательство= Macmillan|год= 1983|pages= [https://archive.org/details/fractalgeometryo00beno/page/25 25—33]|isbn= 978-0-7167-1186-5|url= https://archive.org/details/fractalgeometryo00beno/page/25}}
* {{cite web |url= https://geozoneblog.wordpress.com/2012/03/26/how-much-length-do-you-really-need-ahhh-shoreline-length-that-is/ |title= How Much Length Do You Really Need? Ahhh, Shoreline Length That Is! |date=2012-03-26 |work= NOAA GeoZone Blog on Digital Coast |publisher= geozoneblog.wordpress.com |accessdate=2016-02-13 |lang= en}}

<center>
{| class="toccolours" border="0" cellpadding="2" cellspacing="2"
|-
|colspan=12 style="background:#E4E4E4"|<div style='text-align: center;'>Парадокс вимірювання довжини берегової лінії [[Велика Британія (острів)|Великої Британії]]</div>
|-
|[[Файл: Britain-fractal-coastline-100km.png |border|150px]]
|[[Файл: Britain-fractal-coastline-50km.png |border|150px]]
|-
|<div style='text-align: center;'><small> Відрізки по 100&nbsp;км, довжина 2800 км </small></div>
|<div style='text-align: center;'><small> Відрізки по 50&nbsp;км, довжина 3400 км </small></div>
|}
</center>

== Примітки ==
{{примітки}}

{{Парадокс}}
{{Фрактали}}
[[Категорія:Фрактали]]
[[Категорія:Математичні парадокси]]
[[Категорія:Картографія]]