Перегляд вихідного коду сторінки Парадокс Расселла

{{unibox}}[[Файл:Honourable Bertrand Russell.jpg|міні|[[Бертран Расселл]] 1916 року]]
'''Парадо́кс Ра́сселла''' (''антиномія Расселла'', також ''парадокс Расселла&nbsp;— Цермело'')&nbsp;— відкритий 1901 року<ref>{{citation |url=http://books.google.com/?id=Xg6QpedPpcsC&pg=PA350 |title=One hundred years of Russell's paradox |author=Godehard Link |page=350 |year=2004 |isbn=9783110174380}}</ref> [[Бертран Расселл|Бертраном Расселлом]] теоретико-множинний [[парадокс]] ([[антиномія]]), що демонструє суперечливість логічної системи [[Готлоб Фреге|Фреге]], яка була ранньою спробою формалізації [[Наївна теорія множин|наївної теорії множин]] [[Георг Кантор|Георга Кантора]]. Був відкритий раніше, однак не опублікований, [[Ернст Цермело|Ернстом Цермело]].

Неформальною мовою парадокс можна описати так. Умовимось називати множину «звичайною», якщо вона не є своїм власним елементом. Наприклад, [[множина]] всіх людей є «звичайною», оскільки сама множина&nbsp;— не людина. Прикладом «незвичайної» множини є [[Універсальна множина|множина всіх множин]], оскільки вона сама є множиною, а отже й своїм власним елементом (тобто містить саму себе)<ref name=СЛ/>.

Можна розглядати множину, що складається лише з усіх «звичайних» множин, така множина називається '''''расселловою множиною'''''. Парадокс виникає за спроби визначити, чи є ця множина «звичайною» чи ні, тобто, чи містить вона сама себе як елемент. Є два варіанти.
* З одного боку, якщо вона «звичайна», то повинна містити сама себе за елемент, оскільки вона за визначенням складається з усіх «звичайних» множин. Але тоді вона не може бути «звичайною», оскільки «звичайні» множини&nbsp;— це ті, які самі себе не містять.
* Залишається припустити, що ця множина є «незвичайною». Однак, вона не може містити себе за елемент, оскільки за визначенням має складатися лише зі «звичайних» множин. Але, якщо вона не містить себе за елемент, то це «звичайна» множина.
В обох випадках&nbsp;— суперечність<ref name="СЛ">Антиномия Рассела // Словарь по логике ''Ивин А. А., Никифоров А. Л.''&nbsp;— М.: Туманит, ВЛАДОС, 1997.&nbsp;— 384 с&nbsp;— ISBN 5-691-00099-3<!--http://dic.academic.ru/dic.nsf/logic/21 --></ref>.

== Формулювання ==

Парадокс Расселла формалізується в [[Наївна теорія множин|наївній теорії множин]]. Як наслідок, наївна теорія множин є [[Суперечність теорії|суперечливою]]. Більше того, суперечливим є фрагмент наївної теорії множин, який можна визначити як [[Логіка першого порядку|теорію першого порядку]] з бінарним відношенням належності <math>\in,</math> і [[Аксіомна схема виділення|схемою виділення]]: для кожної логічної формули <math>P(x)</math> з однією вільною змінною в наївній теорії множин є [[аксіома]]
: <math>\exists y \forall x (x \in y \iff P(x))</math>.
Ця аксіома стверджує, що для кожної умови <math>P(x)</math> існує множина <math>y,</math> що складається з тих <math>x,</math> які задовольняють умові <math>P(x)</math><ref name=Stanford />.

Цього цілком достатньо, щоби сформулювати парадокс Расселла таким чином. Нехай <math>P(x)</math> є формулою <math>x \notin x.</math> (Тобто <math>P(x)</math> означає, що множина <math>x</math> не містить себе за елемент, або, нашою термінологією, є «звичайною» множиною.) Тоді, за аксіомою виділення, знаходиться множина <math>y</math> (расселлова множина) така, що
: <math>\forall x (x \in y \iff x\notin x)</math>.
Оскільки це справджується для будь-якого <math>x,</math> то справджується і для <math>x=y.</math> Тобто
: <math> y \in y \iff y\notin y.</math>
Із цього випливає, що в наївній теорії множин виводиться суперечність<ref name=Stanford>{{Стаття|автор=Andrew David Irvine, Harry Deutsch|заголовок=Russell's Paradox|посилання=http://plato.stanford.edu/archives/win2014/entries/russell-paradox/|відповідальний=Edward N. Zalta|видання=The Stanford Encyclopedia of Philosophy|рік=2014-01-01}}</ref>.

Парадокс би не виник, якщо припустити, що расселлової множини не існує. Однак саме таке припущення є парадоксальним: у [[Наївна теорія множин|канторовій теорії множин]] вважається, що будь-яка властивість визначає множину елементів, що задовольняють цій властивості. Оскільки властивість множини бути «звичайною» виглядає коректно визначеною, то має існувати множина всіх «звичайних» множин. Зараз така теорія називається ''наївною теорією множин''<ref name=autogenerated1>{{стаття|заголовок=Антиномия|автор=А. Г. Драгалин}}</ref><ref name=Gerasimov>{{Книга|автор=А. С. Герасимов.|заголовок=Курс математической логики и теории вычислимости|посилання=http://www.mccme.ru/free-books/gerasimov-3ed-mccme.pdf|відповідальний=|видання=Издание третье, исправленное и дополненное|місто=Санкт-Петербург|видавництво=ЛЕМА|рік=2011|сторінки=124—126|сторінок=284|isbn=}}</ref>.

== Варіанти ==
Є декілька видозмін парадоксу Расселла. На відміну від самого парадоксу, вони, здебільшого, не виражаються [[Формальна мова|формальною мовою]].

=== Парадокс брехуна ===
{{Main|Парадокс брехуна}}
Парадокс Расселла пов'язаний із відомим ще з античних часів парадоксом брехуна. Парадокс можна сформулювати так:&nbsp;''хтось стверджує:''&nbsp;
: &nbsp;— ''Це висловлювання хибне.''
''Чи є це висловлювання істинним, чи є хибним?''

Якщо спробувати визначити, чи є висловлювання істинним, чи хибним, ми неминуче дійдемо до суперечності. Це твердження не може бути ні тим, ні іншим.

Расселл про цей парадокс писав<ref name=Russel/>:

{{Цитата|''Це давня загадка, і ніхто не ставився до неї серйозніше, ніж до жарту, допоки не виявилось, що вона стосується таких важливих і практичних питань, як існування найбільшого [[Кардинальне число|кардинального]] та [[Порядкове число|порядкового]] чисел.''{{oq|en|It is an ancient puzzle, and nobody treated that sort of thing as anything but a joke until it was found that it had to do with such important and practical problems as whether there is a greatest cardinal or ordinal number.}}|3=|4=}}

Сам Расселл так пояснював парадокс брехуна. Щоб стверджувати що-небудь про висловлювання, слід спочатку визначити саме поняття «висловлювання», при цьому не використовуючи невизначені досі поняття. Таким чином, можна визначити висловлювання першого типу, які нічого не говорять про висловлювання. Потім можна визначити висловлювання другого типу, які говорять про висловлювання першого типу, і так далі. Висловлювання ж «це висловлювання хибне» не підпадає ні під одне з цих визначень, і таким чином не має сенсу<ref name=Russel/>.

=== Парадокс цирульника ===
{{Main|Парадокс цирульника}}
Расселл згадує такий варіант парадоксу, сформульований у формі загадки, яку йому хтось загадав<ref name=Russel>{{Книга|автор=[[Бертран Расселл]]|заголовок=The Philosophy of Logical Atomism|посилання=https://www.ualberta.ca/~francisp/NewPhil448/RussellPhilLogicalAtomismPears.pdf|відповідальний=|видання=|місто=|видавництво=|рік=|сторінки=101—104|сторінок=|isbn=0-203-86477-8}}</ref>:
: ''Нехай у якомусь селі живе цирульник, який голить усіх тих і лише тих жителів села, хто не голиться сам. Чи голить цирульник сам себе?''
Із будь-якої відповіді випливає суперечність. [[Бертран Расселл]] зазначає, що цей парадокс не еквівалентний його парадоксу й легко вирішується<ref name=Russel/>. Насправді, як парадокс Расселла показує, що не існує ''расселлової множини'', парадокс цирульника показує, що такого цирульника просто не існує. Різниця полягає в тому, що в неіснуванні такого цирульника нічого дивного немає: не для всякої властивості можна знайти цирульника, який голить людей, що мають таку властивість. Однак те, що не існує множини елементів, заданих певною цілком визначеною властивістю, суперечить наївній уяві про множини й потребує пояснення<ref name=Gerasimov/>{{sfn|Френкель, Бар-Хиллел|1966|с=17—18}}.

=== Варіант з каталогами ===
Найближчим за формулюванням до парадоксу Расселла є такий варіант викладу<ref name="Gardner">{{Книга
|автор = [[Мартін Гарднер|Гарднер М.]]
|сторінки = 22—23
|назва = А ну-ка, догадайся
|оригінал = Aha! Gotcha. Paradoxes to puzzle and delight
|рік = 1984
|місце = {{М.}}
|видавництво = [[Мир (видавництво)|Мир]]
|сторінок = 213
|відповідальний = Пер. с англ.
}}</ref>:
: ''Бібліографічні каталоги&nbsp;— це книги, що описують інші книги. Деякі каталоги можуть описувати інші каталоги. Деякі каталоги можуть навіть описувати самі себе. Чи можна укласти каталог усіх каталогів, що не описують самі себе?''
Парадокс виникає за спроби визначити, чи повинен цей каталог описувати сам себе. Незважаючи на ніби-то очевидну схожість формулювань (це фактично парадокс Расселла, в якому замість множин використовуються каталоги), цей парадокс, як і парадокс цирульника, розв'язується легко: такий каталог неможливо укласти.

=== Парадокс Ґреллінґа&nbsp;— Нельсона ===
{{Main|Парадокс Ґреллінґа — Нельсона}}
Цей парадокс 1908 року сформулювали німецькі математики {{Не перекладено|Курт Ґреллінґ||de|Kurt Grelling}} і [[Леонард Нельсон]]. Він фактично є перекладом первісного варіанту парадоксу Расселла, поданого ним у термінах [[Логіка предикатів|логіки предикатів]] {{перехід|#Історія|2}}, нематематичною мовою.
: Називатимемо прикметник ''рефлексивним'', якщо цей [[прикметник]] має ту властивість, яку визначає. Наприклад, прикметники «український», «багатоскладовий»&nbsp;— мають властивості, які вони визначають (прикметник «український» є українським, а прикметник «багатоскладовий» є багатоскладовим), тому вони є рефлексивними, у той же час прикметники «німецький», «односкладовий»&nbsp;— є ''нерефлексивними''. Чи є прикметник «нерефлексивний» рефлексивним, чи ні?
Із будь-якої відповіді випливає суперечність<ref name=Gardner/><ref>{{Книга|автор=И. В. Ященко|заголовок=Парадоксы теории множеств|посилання=http://www.mccme.ru/free-books/mmmf-lectures/book.20.pdf|відповідальний=|видання=|місто=М.|видавництво=Издательство Московского центра непрерывного математического образования|рік=2012|сторінки=5|сторінок=|серія=Библиотека «Математическое просвещение» Выпуск 20|isbn=5-94057-003-8}}</ref>. На відміну від парадоксу цирульника, розв'язання цього парадоксу не є таким простим. Не можна просто сказати, що такого прикметника «нерефлексивний» не існує, оскільки ми його тільки-що визначили. Парадокс виникає через те, що визначення терміна «нерефлексивний» некоректне саме по собі. Визначення цього терміна залежить від ''значення'' прикметника, до якого воно застосовується. А оскільки слово «нерефлексивний» саме є прикметником у визначенні, то виникає [[хибне коло]]<ref>{{Книга|автор=J. Bell|заголовок=The Art of the Intelligible: An Elementary Survey of Mathematics in its Conceptual Development|посилання=https://books.google.com/books?id=Od_sCAAAQBAJ|видавництво=Springer Science & Business Media|рік=2012-12-06|сторінки=200|сторінок=260|isbn=9789401142090}}</ref>.

== Історія ==
Імовірно, що Расселл відкрив свій парадокс у травні або червні 1901 року<ref name=Link>{{Книга|автор=Godehard Link|заголовок=One Hundred Years of Russell's Paradox: Mathematics, Logic, Philosophy|посилання=https://books.google.com/books?id=Xg6QpedPpcsC&pg=PA350|видавництво=Walter de Gruyter|рік=2004|сторінки=350|сторінок=672|isbn=9783110174380}}</ref>. Згідно з Расселлом, він намагався віднайти помилку в доказах [[Георг Кантор|Кантора]] того парадоксального факту (відомого як [[парадокс Кантора]]), що не існує максимального [[Потужність множини|кардинального числа]] (або ж [[Універсальна множина|множини всіх множин]]). Як наслідок, Расселл одержав набагато простіший парадокс<ref>{{Книга|автор=Bertrand Russel|заголовок=Introduction to Mathematical Philosophy|посилання=http://people.umass.edu/klement/imp/imp-ebk.pdf|відповідальний=|видання=|місто=|видавництво=|рік=1920|сторінки=136|сторінок=|isbn=}}</ref>. Він повідомив про свій парадокс іншим логікам, зокрема [[Альфред Норт Вайтгед|Вайтгеду]]<ref>{{Книга|автор=Bertrand Russell|заголовок=My Philosophical Development|посилання=https://books.google.com/books?id=XjncL40ZIR0C|відповідальний=|видання=|місто=|видавництво=Psychology Press|рік=1995|сторінки=58|сторінок=228|isbn=9780415136013}}</ref> та [[Джузеппе Пеано|Пеано]]<ref name=frege/>. У своєму листі до [[Готлоб Фреге|Фреге]] 16 червня 1902 року він писав, що виявив суперечність у «{{Не перекладено|Беґриффсшрифт|Беґриффсшрифті|de|Begriffsschrift}}<nowiki/>»&nbsp;— книзі Фреге, опублікованій 1879 року. Він виклав свій парадокс термінами логіки, а, відтак, термінами теорії множин, використовуючи визначення Фреге для [[Функція (математика)|функції]]<ref name=frege>{{Книга|автор=Michael Beaney|заголовок=The Frege Reader|посилання=https://books.google.com/books?id=4ktC0UrG4V8C&pg=PA253&hl=en|видавництво=Wiley|рік=1997-07-07|сторінки=253|сторінок=430|isbn=9780631194453}}</ref>:{{початок цитати}}У мене були труднощі не лише в одному місці. Ви стверджуєте (ст. 17), що функція сама може поставати як невідоме. Раніше й я так вважав. Однак зараз цей погляд мені видається сумнівним через таку суперечність. Нехай ''w'' предикат: «бути предикатом, який не застосовується до себе самого». Чи може ''w'' застосовуватись до себе самого? З будь-якої відповіді випливає протилежне. Відповідно, ми маємо зробити висновок, що ''w''&nbsp;— не предикат. Аналогічно не існує класу (як цілого) тих класів, які, взяті за ціле, не належать собі. Тому я роблю висновок, що інколи певна множина не формує цілісного утвору.
{{oq|de|
Nur in einem Punkte ist mir eine Schwierigkeit begegnet. Sie behaupten (S. 17) es könne auch die Funktion das unbestimmte Element bilden. Dies habe ich früher geglaubt, jedoch jetzt scheint mir diese Ansicht zweifelhaft, wegen des folgenden Widerspruchs: Sei w das Prädicat, ein Prädicat zu sein welches von sich selbst nicht prädicirt werden kann. Kann man w von sich selbst prädiciren? Aus jeder Antwort folgt das Gegentheil. Deshalb muss man schließen dass w kein Prädicat ist. Ebenso giebt es keine Klasse (als Ganzes) derjenigen Klassen die als Ganze sich selber nicht angehören. Daraus schliesse ich dass unter gewissen Umständen eine definierbare Menge kein Ganzes bildet<ref>{{Cite web|url=https://www.hs-augsburg.de/~harsch/germanica/Chronologie/19Jh/Frege/fre_brif.html|title=Briefwechsel mit Bertrand Russell|publisher=Bibliotheca Augustana|accessdate=2016-06-28}}</ref>.}}
{{кінець цитати}}Фреге одержав лист саме в той час, коли завершив роботу над другим томом «Основних законів арифметики» ({{lang-de|Grundgesetze der Arithmetik}}). У Фреге не залишалось часу виправити свою теорію множин. Він лише зробив додаток до другого тому з викладенням і своїм аналізом парадоксу, який починався із знаменитої зауваги:{{початок цитати}}Навряд чи зі вченим може статись що-небудь гірше, ніж, коли в нього заберуть підґрунтя саме в той час, коли він завершить свою працю. Саме в такій ситуації опинився я, одержавши лист від Бертрана Расселла, коли моя праця вже була завершена<ref>{{Книга|автор=Е. Синицын, О.Синицына|заголовок=Тайна творчества гениев|посилання=http://www.s-genius.ru/vse_knigi/functin_compl_sc.htm|відповідальний=|видання=|місто=|видавництво=|рік=|сторінки=|сторінок=|isbn=}}</ref>.
{{oq|de|
Einem wissenschaftlichen Schriftsteller kann kaum etwas Unerwünschteres begegnen, als daß ihm nach Vollendung einer Arbeit eine der Grundlagen seines Baues erschüttert wird. In diese Lage wurde ich durch einen Brief des Herrn Bertrand Russell versetzt, als der Druck dieses Bandes sich seinem Ende näherte<ref>Gottlob Frege: ''Grundlagen der Arithmetik'', II, 1903, Anhang S. 253-261.</ref>.}}
{{кінець цитати}}Далі Фреге запропонував спосіб виправлення своєї теорії, аби уникнути парадоксу Расселла. Замість аксіоми:
: <math>z \in \{x \colon P(x)\} \iff P(z)</math>,
яка стверджувала, що можна побудувати множину <math>\{x \colon P(x)\}</math> елементів, що задовольняють властивості <math>P(x),</math> він запропонував використовувати таку аксіому:
: <math>z \in \{x \colon P(x)\} \iff P(z)  \ \& \  z \neq \{x \colon P(x)\} </math>,
водночас виключивши можливість для множини бути елементом себе самої. Однак невелика модифікація парадоксу Расселла доводить, що й ця аксіома призводить до суперечності<ref>{{Книга|автор=John P. Burgess|заголовок=Fixing Frege|посилання=https://books.google.com/books?id=qqdXsato74QC&pg=PA32|видавництво=Princeton University Press|рік=2005|сторінки=32—33|сторінок=276|isbn=0691122318}}</ref>.

Расселл опублікував свій парадокс у власній книзі «{{Не перекладено|Принципи математики||en|The Principles of Mathematics}}» 1903 року<ref name=Link/>.

[[Ернст Цермело]] стверджував, що відкрив цей парадокс незалежно від Расселла та повідомив про нього 1903 року [[Давид Гільберт|Гільберту]] й іншим<ref>{{Стаття|автор=E. Zermelo|заголовок=Neuer Beweis für die Möglichkeit einer Wohlordnung.|посилання=https://eudml.org/doc/158340|мова=de|видання=Mathematische Annalen|рік=1908|том=65|сторінки=118—119|issn=0025-5831}}</ref>. Це підтвердив і Гільберт, написавши до Фреге 7 листопада 1903 року, що він знав про цей парадокс. Гільберт писав: «я думаю Цермело знайшов його років 3—4 тому… Я зустрів й інші, переконливіші суперечності ще 4—5 років тому». Окрім цього, 1978 року серед паперів [[Едмунд Гуссерль|Едмунда Гуссерля]] було віднайдено формулювання цього парадоксу, яке Цермело повідомив Гуссерлю 16 квітня 1902 року. У цьому формулюванні доводиться, що множина ''М'', яка містить усі свої підмножини за елементи, призводить до суперечності. Для доведення розглядається множина ''М'', що складається з множин, які не містять самі себе<ref>{{Стаття|автор=B. Rang and W. Thomas|заголовок=Zermelo's discovery of the "Russell Paradox"|посилання=http://www.sciencedirect.com/science/article/pii/0315086081900021|мова=en|видання=Historia Mathematica|тип=|рік=1981|місяць=|число=|том=8|номер=1|сторінки=15—22|issn=|doi=10.1016/0315-0860(81)90002-1}}</ref>.

== Варіанти розв'язання ==
У парадоксі Расселла нема помилки: він справді доводить суперечність наївної теорії множин. Щоби позбавитись суперечності, потрібно виправити теорію множин так, щоб вона не дозволяла расселлової множини. Це можна зробити декількома способами. Найприроднішим шляхом є заборона тим чи іншими способом множин, які можуть містити себе за елемент. Таким чином буде заборонено і [[Універсальна множина|множину всіх множин]] (як мінімум, сукупність усіх множин не буде сама вважатись множиною). Однак необхідно розуміти, що з одного боку, лише самої заборони множині мати себе за елемент не достатньо, аби позбавитись суперечності (як показала перша спроба Фреге виправити свою систему). З іншого боку, сам собою дозвіл множинам мати себе за елемент, не зумовлює суперечностей. Наприклад, нічого не заважає укласти каталог, який буде містити всі каталоги, водночас описуючи й себе. Низка [[Мова програмування|мов програмування]] дають змогу [[Контейнер (програмування)|контейнерам]] містити себе за елемент. Існують логічні системи, позбавлені парадоксів типу расселлових, які дають змогу множинам містити самих себе (наприклад, {{Не перекладено|New Foundations||en|}} [[Віллард Ван Орман Квайн|Віларда Ван Ормана Квайна]]).

Нижче наведено кілька з можливих підходів до побудови системи аксіом, позбавленої расселлових парадоксів.

=== Теорія типів Расселла ===
Першим, хто запропонував позбавлену від парадоксу Расселла теорію, був сам Расселл. Він розробив теорію типів, перша версія якої з'явилась у книзі Расселла «{{Не перекладено|Принципи математики||en|The Principles of Mathematics}}<nowiki/>» 1903 року. В основі цієї теорії полягає така ідея: прості об'єкти в цій теорії мають тип 0, множини простих об'єктів мають тип 1, множини множин простих об'єктів мають тип 2 і так далі. Таким чином жодна множина не може містити себе за елемент. Ні [[Універсальна множина|множина всіх множин]], ні расселлова множина не можуть бути визначені в цій теорії. Аналогічна ієрархія вводиться для висловлень і властивостей. Висловлення щодо простих об'єктів належать до типу 1, висловлення щодо властивостей висловлень типу 1 належать до типу 2 і так далі. Загалом, функція за визначенням належить до типу вищого, ніж змінні, від яких вона залежить. Такий підхід дає змогу позбавитись не лише від парадоксу Расселла, але і від багатьох інших парадоксів, як-от [[Парадокс брехуна|парадоксу брехуна]], [[Парадокс Ґреллінґа — Нельсона|парадоксу Ґреллінґа&nbsp;— Нельсона]], [[Парадокс Буралі-Форті|парадоксу Буралі-Форті]]. Расселл і Вайтгед показали, як звести до аксіом [[Теорія типів|теорії типів]] усю математику, у своїй обсяжній тритомній праці «[[Principia Mathematica]]», виданій у 1910—1913 роках.

Однак такий підхід спіткали труднощі. Зокрема, виникають проблеми за визначення таких понять, як [[Точна верхня та нижня границі|точна верхня границя]] для множини [[Дійсні числа|дійсних чисел]]. За визначенням точна верхня границя є найменшою серед усіх верхніх границь. Відповідно, визначаючи точну верхню границю, використовують множину дійсних чисел. Це означає, що точна верхня границя є об'єктом вищого типу, ніж дійсні числа. А значить, сама не є дійсним числом. Аби уникнути цього, довелось вводити так звану {{Не перекладено|Аксіома звідності|аксіому звідності|en|Axiom of reducibility}}. Через її довільність аксіому звідності відмовлялись підтримувати багато математиків, та й сам Расселл називав її дефектом своєї теорії. Окрім цього, теорія виявилось дуже складною. Як наслідок, вона не мала широкого застосування.

=== Теорія множин Цермело&nbsp;— Френкеля ===
{{Main|Теорія множин Цермело — Френкеля}}
Найвідомішим підходом до аксіоматизації математики є теорія множин Цермело&nbsp;— Френкеля (ZF), яка виникла як розширення [[Теорія множин Цермело|теорії Цермело]] (1908). На відміну від Расселла Цермело зберіг логічні принципи, а змінив лише аксіоми теорії множин. Ідея цього підходу полягає в тому, що дозволяється використовувати лише множини, побудовані з уже побудованих множин за допомогою визначеного набору аксіом<ref name=Gerasimov/>. Так, наприклад, одна з аксіом Цермело стверджує, що можна побудувати [[Булеан|множину всіх підмножин]] певної множини ([[аксіома булеана]]). Інша аксіома ([[Аксіомна схема виділення|схема виділення]]) стверджує, що з кожної множини можна виділити підмножину елементів, що наділені вказаною властивістю. У цьому полягає головна відмінність теорії множин Цермело від наївної теорії множин: у наївній теорії множин можна розглядати множину всіх елементів, що наділені вказаною властивістю, а в теорії множин Цермело&nbsp;— лише можна виділити підмножину з уже побудованої множини. У теорії множин Цермело не можна побудувати [[Універсальна множина|множину всіх множин]]. Таким чином, і расселлову множину в ній побудувати не можна.

=== Класи ===
Іноді в математиці буває корисно розглядати всі множини за одне ціле, наприклад, аби розглядати сукупність усіх [[Група (математика)|груп]]. Для цього теорію множин потрібно розширити поняттям [[Клас (теорія множин)|класу]], як, наприклад, у системі [[Теорія множин фон Неймана — Бернайса — Геделя|Неймана — Бернайса — Ґеделя]] (NBG). У цій теорії сукупність усіх множин є ''класом''. Так, наприклад, можна розглядати клас усіх груп. Водночас сам клас не є множиною і не є елементом інших класів, що дає змогу уникнути парадоксу Расселла.

Сильнішою системою, що дає змогу брати [[Квантор|квантори]] за класами, а не лише за множинами, є, наприклад, {{Не перекладено|Теорія множин Морса — Келлі|теорія множин Морса — Келлі|en|Morse–Kelley set theory}} (MK). У цій теорії основним є поняття ''класу'', а не ''множини''. Множинами в цій теорії вважають такі класи, які самі є елементами певних класів. У цій теорії формула <math>z\in \{x \colon  P(x)\}</math> вважається еквівалентною формулі
: <math>P(z) \ \& \ \exists y. z\in y</math>.
Позаяк <math>\exists y. z\in y</math> в цій теорії означає, що клас <math>z</math> є ''множиною'', цю формулу потрібно розуміти як те, що <math>\{x \colon  P(x)\}</math> є класом всіх ''множин'' (а не класів) <math>z</math>, таких що <math>P(z)</math>. Парадокс Расселла в цій теорії розв'язується тим, що не будь-який клас є множиною.

Можна піти далі і розглядати сукупності класів&nbsp;— {{Не перекладено|Конгломерат (теорія множин)|конгломерати|en|Conglomerate (set theory)}}, сукупність конгломератів, і так далі.

== Вплив на математику ==

=== Аксіоматизація математики ===
Парадокс Расселла разом з іншими математичними антиноміями<ref name=autogenerated1 />, відкритими на початку XX століття, стимулював перегляд засад математики, наслідком якого стала побудова аксіоматичних теорій для обґрунтування математики, деякі з яких розглянуто вище.

У всіх побудованих нових аксіоматичних теоріях парадокси, відомі до середини XX століття (зокрема парадокс Расселла), було усунено. Однак довести, що не буде виявлено нових подібних парадоксів у майбутньому (у цьому полягає проблема суперечності побудованих аксіоматичних теорій), виявилось, у сучасному розумінні цієї задачі, неможливо. (див. [[Теореми Геделя про неповноту]]).

=== Інтуїціонізм ===
Паралельно виник новий рух у математиці, що називається [[Інтуїціонізм|інтуїціонізмом]], засновником якого був [[Лейтзен Егберт Ян Брауер]]. Інтуїціонізм виник незалежно від парадоксу Расселла й інших антиномій. Однак, відкриття антиномій у теорії множин посилило недовіру інтуїціоністів до логічних принципів і пришвидшило формування інтуїціонізму. Основний тезис інтуїціонізму твердить, що для доведення існування певного об'єкту необхідно надати спосіб його побудови. Інтуїціоністи відкидають такі абстрактні поняття, як множину всіх множин. Інтуїціонізм заперечує [[закон виключеного третього]], втім, необхідно зауважити, що закон виключеного третього не потрібний для виведення суперечності з антиномії Расселла чи будь-якої іншої (в будь-якій антиномії доводиться, що <math>A</math> спричиняє заперечення <math>A</math> і заперечення <math>A</math> спричиняє <math>A,</math> однак із <math>(A\Rightarrow \neg A) \& (\neg A\Rightarrow A)</math> навіть в [[Інтуїціоністська логіка|інтуїціоністичній логіці]] виникає суперечність). Варто також зауважити, що в пізніших аксіоматизаціях математики було виявлено парадокси, аналогічні расселловому, як-от, наприклад, {{Не перекладено|Парадокс Жирара|парадокс Жирара|en|Girard's paradox}} в первісному формулюванні [[Інтуїціоністська теорія типів|інтуїціоністичної теорії типів]] {{Не перекладено|Пер Мартін-Льоф|Мартіна-Льофа|en|Per Martin-Löf}}.

=== Діагональний аргумент (самозастосовуваність) ===
Попри те, що міркування Расселла призводить до парадоксу, основна ідея цього міркування часто застосовується в доведенні математичних теорем. Як було згадано вище, Расселл одержав свій парадокс, аналізуючи [[Парадокс Кантора|доказ Кантора]] щодо неіснування найбільшого [[Кардинальне число|кардинального числа.]] Цей факт суперечить існування множини всіх множин, позаяк її [[Потужність множини|потужність]] має бути максимальною. Тим не менш, за [[Теорема Кантора|теоремою Кантора]], множина всіх підмножин певної множини має більшу потужність, ніж сама множина. Доказ цього факту обґрунтовується [[Діагональний метод Кантора|діагональним аргументом]]:
: Нехай існує [[Бієкція|взаємно однозначна відповідність]], яка кожному елементу <math>x</math> множини <math>X</math> ставить у відповідність підмножину <math>s_x</math> множини <math>X.</math> Нехай <math>d</math> буде множиною, що складається з елементів <math>x,</math> таких, що <math>x\in s_x</math> (''діагональна множина''). Тоді доповнення цієї множини <math>s=\overline d</math> не може бути ні одним з <math>s_x.</math> А, значить, відповідність не була взаємно однозначною.
Кантор застосовував діагональний аргумент, доводячи незлічимість дійсних чисел 1891 року. (Це не перший його доказ незлічимості дійсних чисел, однак найпростіший із них).

[[Парадокс Кантора]] виникає, якщо застосувати цей аргумент до множини всіх множин. Фактично, расселлова множина є діагональною множиною Кантора <math>s</math>. Діагональний аргумент використовували ще до Рассела та Кантора (його в своїй роботі з [[Математичний аналіз|математичного аналізу]] 1875 року використовував {{Не перекладено|Поль Дубуа-Реймон|Дюбуа-Реймон||Paul du Bois-Reymond}}). Однак, у парадоксі Расселла діагональний аргумент викристалізувано найчіткіше.

Діагональний аргумент використовувався в багатьох галузях математики. Так, наприклад, він є центральним аргументом у [[Теореми Геделя про неповноту|теоремі Геделя про неповноту]], в доведенні існування {{Не перекладено|Рекурсивно перераховна множина|перераховної множини|en|Recursively enumerable set}} та, зокрема, в доведенні [[Проблема зупинки та її алгоритмічна нерозв'язність|нерозв'язності проблеми зупинки]].

== Пов'язані парадокси ==
Авторефлексія застосовується в багатьох парадоксах, окрім розглянутих раніше:
* [[Парадокс всемогутності]]&nbsp;— середньовічне запитання: «Чи може всемогутній бог створити камінь, який він сам не зможе підняти?»
* [[Парадокс Буралі-Форті]] (1897)&nbsp;— аналог [[Парадокс Кантора|парадоксу Кантора]] для [[Порядкове число|порядкових чисел]].
* {{Не перекладено|Парадокс Міріманова||ru|Парадокс Мириманова}} (1917)&nbsp;— узагальнення парадоксу Буралі-Форті для класу всіх [[Фундована множина|фундованих]] [[Клас (теорія множин)|класів]].
* {{Не перекладено|Парадокс Рішара|||Richard's paradox}} (1905)&nbsp;— семантичний парадокс, що висвітлює важливість розділення мови математики та метаматематики.
* [[Парадокс Беррі]] (1906)&nbsp;— опублікований Расселом спрощений варіант парадоксу Рішара.
* {{Не перекладено|Парадокс Кліні—Россера||en|Kleene–Rosser paradox}}&nbsp;— формулювання парадоксу Рішара термінами [[Лямбда-числення|λ-числення]].
* [[Парадокс Каррі]] (1941)&nbsp;— спрощення парадоксу Кліні&nbsp;— Россера.
* {{Не перекладено|Парадокс Жирара||en|System U}}&nbsp;(1972)&nbsp;— формулювання парадоксу Буралі-Форті термінами [[Інтуїціоністська теорія типів|інтуїціоністичної теорії типів]].
* [[Парадокс цікавих чисел]]&nbsp;— [[Математичний жарт|напівжартівливий]] парадокс, що нагадує парадокс Беррі.

== Див. також ==
* [[Непредикативність (математика)]]

== Примітки ==
{{примітки|2}}

== Джерела ==
{{Портал|Математика}}
* {{Хаусдорф.Теория множеств}}
* {{Куратовский.Мостовский.Теория множеств}}
* {{Курант.Роббінс.Що таке математика?}}
* ''Goldrei D.C.'' Classic Set Theory: A Guided Independent Study.&nbsp;— Chapman & Hall Mathematics, 1996. {{ref-en}}
* ''Foreman M., Kanamori A.'' Handbook of Set Theory.&nbsp;— Springer, 2010. {{ref-en}}

{{Парадокс}}
{{Теорія множин}}
{{Математична логіка}}

[[Категорія:Парадокси наївної теорії множин|Р]]
[[Категорія:Бертран Расселл]]