Перегляд вихідного коду сторінки Парабола

{{Інші значення}}
[[Файл:Parabola.svg|thumb]]
'''Пара́бола''' (від {{lang-el|παραβολή}})&nbsp;— [[геометричне місце точок]], що рівновіддалені від [[Точка|точки]] і [[Пряма|прямої]]. Одна з [[Крива другого порядку|кривих другого порядку]].

Точка зветься [[Фокус (математика)|фокусом]], а пряма&nbsp;— [[Конічні_перетини#Ексцентриситет,_фокус_та_директриса|директрисою]].

Парабола, [[Гіпербола (математика)|гіпербола]] та [[еліпс]] є [[Конічний переріз|конічними перерізами]]. Парабола є конічним перерізом з одиничним [[ексцентриситет]]ом. Якщо [[точкове джерело світла]] розміщене у [[Фокус (математика)|фокусі]] [[параболоїд]]ного [[Дзеркало|дзеркала]], то відбиті від поверхні промені розповсюджуватимуться [[Паралельність|паралельно]].

[[Графік функції]], котрий будують за допомогою [[поліном]]а другого степеня від однієї змінної є '''параболою'''.

== Історія ==
[[Файл:Leonardo parabolic compass.JPG|thumb|180px|Параболічний циркуль, винайдений [[Леонардо да Вінчі]]]]
Першим та відомим дослідженням конічних перетинів є праця [[Менехм]]а у четвертому столітті до н.&nbsp;е. Він знайшов спосіб вирішити задачу [[подвоєння куба]] за допомогою використання парабол, проте це рішення не відповідало вимогам [[Побудова за допомогою циркуля та лінійки|побудови за допомогою циркуля і лінійки]]. Площа, обмежена параболою і лінійним відрізком, так званий «параболічний сегмент», була розрахована [[Архімед]]ом за допомогою [[Метод вичерпування|метода вичерпування]] в третьому столітті до н.&nbsp;е., і описана ним у роботі ''«{{li|Квадратура параболи||Q3111341}}»''. Назва «парабола» виникла завдяки [[Аполлоній Перзький|Аполлонію]], який дослідив багато властивостей конічних перетинів. Термін «парабола» означає «прикладання», що посилається на концепцію «прикладання або зіставлення площ», що має відношення і до цієї кривої, як довів Аполлоній.<ref>{{cite web|url=http://www.maa.org/press/periodicals/convergence/can-you-really-derive-conic-formulae-from-a-cone-deriving-the-symptom-of-the-parabola|title=Can You Really Derive Conic Formulae from a Cone? - Deriving the Symptom of the Parabola - Mathematical Association of America|publisher=|accessdate=30 вересня 2016}}</ref> Властивість фокуса і директриси параболи та інших конічних перетинів знайшов [[Папп Александрійський]].

[[Галілео Галілей|Галілео]] показав, що снаряд падає по параболічній траєкторії, що є наслідком постійного прискорення через дію сили тяжіння.

Ідея, що за допомогою [[Параболічна антена|параболічного рефлектора]] можна утворити зображення, була відома задовго до винайдення першого [[Рефлектор (телескоп)|рефлекторного телескопа]].<ref>{{cite book
|title=Reflecting Telescope Optics: Basic design theory and its historical development
|edition=2
|first1=Ray N.
|last1=Wilson
|publisher=Springer
|year=2004
|isbn=3-540-40106-7
|page=3
|url=https://books.google.com/books?id=PuN7l2A2uzQC}} [https://books.google.com/books?id=PuN7l2A2uzQC&pg=PA3 Extract of page 3]
</ref> Відомі математики, такі як [[Рене Декарт]], [[Марен Мерсенн]],<ref>''Stargazer'', [https://books.google.com/books?id=2LZZginzib4C&pg=PA115&dq=mersenne+zucchi+parallel#PPA115,M1 p.&nbsp;115].</ref> і [[Джеймс Грегорі]],<ref>''Stargazer'', [https://books.google.com/books?id=2LZZginzib4C&pg=PA132&dq=Gregory++telescope+French+convex pp.&nbsp;123 and&nbsp;132]</ref> запропонували дизайн ще на початку і в середині сімнадцятого століття. Коли [[Ісаак Ньютон]] в [[1668]] побудував [[Телескоп Ньютона|перший рефлекторний телескоп]], він не став використовувати параболічне дзеркало через складність його виготовлення та обрав оптимальним [[сферичне дзеркало]]. Параболічні дзеркала використовуються у більшості сучасних рефлекторних телескопах, а також у [[Супутникова тарілка|супутникових тарілках]] і [[Радіолокатор|радіолокаторах]].<ref>{{cite web
|url         = http://farside.ph.utexas.edu/teaching/316/lectures/node136.html
|title       = Spherical Mirrors
|first       = Richard
|last        = Fitzpatrick
|date        = 14 липня 2007
|work        = Electromagnetism and Optics, lectures
|publisher   = [[University of Texas at Austin]]
|at          = Paraxial Optics
|accessdate  = 5 жовтня 2011}}</ref>
{{clear}}

== Визначення параболи як геометричного місця точок ==
{{Розділ без джерел|дата=19 жовтня 2023}}
Параболу можна визначити геометрично як множину точок ([[геометричне місце точок]]) в Евклідовому просторі:

* Парабола це [[множина]] точок, таких, що для будь-якої точкиt <math>P</math> в множині відстань <math>|PF|</math> до фіксованої точки <math>F</math>, ''фокусу'', дорівнює відстані <math>|Pl|</math> до фіксованої прямої <math>l</math>, ''директриси'':

: <math>\{P : |PF| = |Pl|\}</math>

Середня точка <math>V</math> утворена перпендикуляром із фокусу <math>F</math> до директриси <math>l</math> називається ''вершиною'', а пряма <math>FV</math> ''віссю симетрії'' параболи.

== Рівняння ==
{{Розділ без джерел|дата=19 жовтня 2023}}
Канонічне рівняння параболи в [[Прямокутна система координат|прямокутній системі координат]]:
: <math>\textstyle y^2=2px</math> (або <math>\textstyle x^2=2py</math>, якщо поміняти місцями осі).

{| class="standard collapsible collapsed" id="mwKg"
! style="text-align: left; background:#efefef;" id="mwLQ" | Висновок
|- id="mwLg"
| id="mwLw" |[[Файл:Parabola4.svg|right|thumb|188x188px]]
Рівняння [[Директриса|директриси]] <math> PQ</math>: <math> \textstyle x+\frac{p}{2}=0</math>, фокус&nbsp;— <math> \textstyle F\left (\frac{p}{2};0\right )</math>, таким чином початок координат <math> O</math>&nbsp;— середина відрізу <math> CF</math>. За означенням параболи для будь-якої точки <math> M</math>, що лежить на ній виконується рівність <math> KM=FM</math>. <math> \textstyle KM=KD+DM=\frac{p}{2}+x</math> і <math> \textstyle FM=\sqrt{\left (x-\frac{p}{2}\right )^2+y^2}</math>, тоді рівність приймає вигляд:
: <math> \sqrt{\left (x-\frac{p}{2}\right )^2+y^2}=\frac{p}{2}+x</math>.
Після підняття в квадрат і деяких перетворень виходить рівносильне рівняння <math> y^2=2px</math>.
|}

[[Квадратне рівняння]] <math> y=ax^2+bx+c</math> при <math> a\neq 0</math> також являє собою параболу і графічно теж її зображують тією ж параболою, що і <math> y=ax^2</math>, але на відміну від останньої має вершину не в [[Початок координат|початку координат]], а в деякій точці <math>A</math>, координати якої обчислюють за формулами:
: <math>x_B=-\frac{b}{2a},\;
y_B=:-\frac{D}{4a} ?  \; 
y_B =F(x_B)</math>
Рівняння <math>y=ax^2+bx+c</math> може бути представлено у вигляді <math>y=a(x-x_A)^2+y_A</math>, а у випадку переносу початку координат в точку <math>A</math> канонічним рівнянням. Таким чином для кожного квадратного рівняння можна знайти систему координат таку, що в цій системі воно представиться канонічним.

=== Розрахунок коефіцієнтів квадратного рівняння ===
Якщо для рівняння <math> y = ax^2 + bx + c</math> відомі координати 3-х різних точок його графіка <math> (x_{1}; y_{1})</math>, <math> (x_{2}; y_{2})</math>, <math> (x_{3}; y_{3})</math>, то його коефіцієнти можуть бути знайдені так:

<math> a=\frac{y_{3}-\frac{x_{3}(y_{2}-y_{1})+x_{2}y_{1}-x_{1}y_{2}}{x_{2}-x_{1}}}{x_{3}(x_{3}-x_{1}-x_{2})+x_{1}x_{2}}, b=\frac{y_{2}-y_{1}}{x_{2}-x_{1}}-a(x_{1}+x_{2}), c=\frac{x_{2}y_{1}-x_{1}y_{2}}{x_{2}-x_{1}}+ax_{1}x_{2}</math>

== Властивості ==
{{Розділ без джерел|дата=19 жовтня 2023}}
* Парабола&nbsp;— [[крива другого порядку]].
* Вона має вісь [[Симетрія|симетрії]], що називається ''віссю параболи''. Вісь проходить через фокус і перпендикулярна директрисі.
* '''Оптична властивість.''' Пучок променів, паралельних осі параболи, відбиваючись у параболі, збирається в її фокусі. І навпаки, світло від джерела, що розміщене у фокусі, відображається параболою в пучок паралельних її осі променів.
* Для параболи <math>y^2 = x</math> фокус розміщений у точці (0,25; 0).
* Якщо фокус параболи [[Дзеркальна симетрія|дзеркально відобразити]] щодо дотичної, то його [[Образ (математика)|образ]] буде лежати на директрисі.
* Парабола є [[Антиподера|антиподерою]] [[Пряма|прямій]].
* Всі параболи [[Подібність|подібні]]. Відстань між фокусом і директрисою визначає масштаб.
* При обертанні параболи навколо осі симетрії виходить [[еліптичний параболоїд]].
* [[Еволюта|Еволютою]] параболи є [[напівкубічна парабола]].

== Побудова ==
Параболу y=ax<sup id="mweA">2</sup>+bx+с будують за алгоритмом (через п'ять основних точок):

* Визначити напрям рогів параболи за знаком першого коефіцієнта: a>0&nbsp;— роги направлені вверх. Якщо a<0, то роги параболи направлені вниз.

* Обчислити координати вершини параболи x<sub id="mwfA">0</sub>= -b/2a і y<sub id="mwfQ">0</sub>=y(x<sub id="mwfg">0</sub>)

* Відмітити вершину параболи на координатній площині і через неї провести ось симетрії параболи x=x<sub id="mwgA">0</sub>

* Знайти точку перетину параболи з віссю OY (0;с) і відмітити їй симетричну

* Розв'язати квадратне рівняння ax<sup id="mwgw">2</sup>+bx+с=0 і відмітити точки на осі OX (x<sub id="mwhA">1</sub>;0) (x<sub id="mwhQ">2</sub>;0)

* Через відмічені п'ять точок провести параболу.

Параболу можна побудувати «по точках», не знаючи рівняння і маючи в наявності тільки фокус і директрису. Вершина є серединою відрізка між фокусом і директрисою. На директрисі задається довільна [[система відліку]] з потрібним [[Одиничний відрізок|одиничним відрізком]]. Кожна наступна точка є перетином [[Серединний перпендикуляр|серединного перпендикуляра]] відрізка між фокусом і точкою директриси, що знаходиться на кратному одиничному відрізку відстані від початку відліку, і прямої, що проходить через цю точку і паралельна осі параболи.

=== Властивості дотичних ===
[[Файл:Parabel-orthop.svg|thumb|right|Перпендикулярні дотичні перетинаються на директрисі]]

==== Дві властивості пов'язані з фокальним параметром ====
Нехай лінія симетрії перетинає параболу в точці Q, точку фокуса позначимо як F а відстань від неї до точки Q позначимо як {{mvar|f}}. Нехай перпендикуляр до лінії симетрії, що проходить крізь фокус, перетинає параболу в точці T. Тоді (1) відстань від F до T дорівнює {{math|2''f''}}, а (2) дотична до параболи в точці T перетинає лінію симетрії під кутом 45°.<ref>{{cite book|last=Downs |first=J. W. |title=Practical Conic Sections |publisher=Dover Publishing |date=2003}}{{ISBN missing}}</ref>{{rp|p.26}}

==== Ортоптична властивість ====
Якщо дві дотичні параболи перпендикулярні одна одній, тоді вони перетинаються в точці на директрисі. І навпаки, дві дотичні, що перетинаються на директрисі&nbsp;— перпендикулярні.

==== Теорема Ламберта ====
Нехай три дотичні до параболи утворюють трикутник. Тоді '''теорема [[Йоганн Генріх Ламберт|Ламберта]]''' стверджує, що фокус параболи знаходиться на колі, що описує трикутник.<ref>{{cite journal|last=Sondow |first=Jonathan |arxiv=1210.2279 |title=The parbelos, a parabolic analog of the arbelos |url=https://archive.org/details/sim_american-mathematical-monthly_2013-12_120_10/page/929 |journal=[[American Mathematical Monthly]] |volume=120 |date=2013 |pages=929–935 |doi=10.4169/amer.math.monthly.120.10.929}}</ref>{{rp|Corollary 20}}

== Парабола у декартовій системі координат ==

=== Вісь симетрії параболи паралельна осі y ===
[[Файл:Parabel-def-p-v.svg|thumb|Парабола: Визначення, p: ''половини фокусного параметра'']]
[[Файл:Parabel-py.svg|thumb|Парабола: вісь паралельна осі y]]
[[Файл:Parabel-abc.svg|thumb|Парабола: загальний випадок]]
Якщо обрати декартові координати таким чином, що <math>F=(0,f)\ ,f> 0,</math> і деректриса матиме рівняння <math>y=-f</math> отримаємо точку <math>P=(x,y)</math> із <math>|PF|^2 = |Pl|^2</math> що задає рівняння <math>x^2+(y-f)^2=(y+f)^2 </math>. Розв'язавши його для <math>y</math> отримаємо
: <math>y=\frac{1}{4f}x^2</math>.

Парабола має U-подібну форму (''відкриту до гори'').

Довжина горизонтальної хорди, що проходить через точку фокусу (див. малюнок) називається ''фокусним параметром'', половина якого є ''половиною фокусного параметра'' що позначається як <math>p</math>. Із зображення отримаємо
: <math>p=2f</math>.

Фокусний параметр визначається аналогічним чином для еліпса і гіперболи. Для параболи <math>p</math> це відстань від фокусу до директриси. Використовуючи параметр <math>p</math>, рівняння параболи можна записати наступним чином

: <math> x^2=2py</math>.

У більш загальному випадку, якщо вершина дорівнює <math>V=(v_1,v_2)</math>, фокус <math>F=(v_1,v_2+f)</math> і директриса має рівняння <math>y=v_2-f </math> отримаємо рівняння
: <math>y=\frac{1}{4f}(x-v_1)^2+v_2=\frac{1}{4f}x^2-\frac{v_1}{2f}x+\frac{v_1^2}{4f}+v_2</math>.

''Зауваження:''
# У випадку коли <math>f<0</math> парабола відкрита вниз.
# Припущення, що ''вісь симетрії паралельна осі y'' дозволяє розглядати параболу у вигляді графіку [[Многочлен|полінома]] із степенем 2 і навпаки: Графіком довільного полінома із степенем 2 є парабола.
# Якщо замінити місцями <math>x</math> і <math>y</math>, отримаємо рівняння <math> y^2=2px</math> парабол, в яких відкрита частина направлена ліворуч (якщо <math>p<0</math>) або праворуч (якщо <math>p>0</math>).

=== Загальний випадок ===
Якщо фокус дорівнює <math>F=(f_1,f_2)</math> а директриса <math>ax+by+c=0 </math> отримаємо наступне рівняння
: <math>\frac{\left(ax+by+c\right)^2}{a^2+b^2}=\left(x-f_1\right)^2+\left(y-f_2\right)^2 </math>

(В лівій частині рівняння для розрахунку відстані <math>|Pl|</math> використана {{нп|Нормальна форма Гессе||en|Hesse normal form}} для прямої.)

[[Неявна функція|неявне рівняння]] параболи визначено [[Незвідний многочлен|незвідним багаточленом]] із степенем два
: <math>ax^2+bxy+cy^2 +dx+ey+f= 0,</math>

== Парабола як графік функції ==
[[Файл:Parabeln-var-s.svg|thumb|Графіки парабол <math>y=ax^2</math>]]
Будь-яку параболу із вершиною у початку координат і віссю <math>y</math>, що є віссю симетрії параболи можна розглянути у вигляді графіку функції
: <math>f(x) = a x^2 \text{ with } a \ne 0</math>.

Для <math>a>0</math> направлено відкритою частиною в гору, а при <math>a<0</math> відкрита вниз. Із попередніх розділів отримуємо:

* ''Фокус '' це <math>\left(0, \frac{1}{4a}\right)</math>,
* ''фокусна відстань''&nbsp;— <math>\frac{1}{4a}</math>, ''фокальний параметр'' дорівнює <math>p=\frac{1}{2a}</math>,
* ''вершина'' це <math>\left(0, 0\right)</math>,
* ''директриса'' має рівняння <math>y=-\frac{1}{4a}</math>,
* ''[[дотична]]'' в точці <math>\left(x_0, ax^2_0\right)</math> має рівняння <math>y=2ax_0x-ax^2_0</math>,

Для <math>a=1</math> парабола є '''одиничною параболою''' і задається рівнянням <math>y=x^2</math>.
Її фокусом є <math>\left(0, \tfrac{1}{4}\right)</math>, фокальним параметр дорівнює <math>p=\tfrac{1}{2}</math> і директриса має рівняння <math>y=-\tfrac{1}{4}</math>.

Загальний вигляд рівняння функції із степенем 2 буде наступним
: <math>f(x)= ax^2 + bx + c \text{ with } a,b,c \in \R, a \ne 0</math>.
[[Виділення квадрату|Доповнюючи до повного квадрата]], отримаємо
: <math>f(x)= a\left(x+\frac{b}{2a}\right)^2 + \frac{4ac-b^2}{4a}</math>,
що є рівнянням параболі із

* віссю <math>x=-\frac{b}{2a} </math> (паралельною осі y),
* ''фокусною відстанню'' <math>\frac{1}{4a}</math>, і ''фокальним параметром'' <math>p=\frac{1}{2a}</math>,
* ''вершиною'' <math>V=\left(-\frac{b}{2a}, \frac{4ac - b^2}{4a}\right)</math>,
* ''фокусом'' <math>F = \left(-\frac{b}{2a}, \frac{4ac-b^2+1}{4a}\right)</math>,
* ''директрисою'' <math>y=\frac{4ac-b^2-1}{4a}</math>,
* точкою, в якій парабола перетинає вісь y матиме координати <math>\left(0,c\right)</math>,
* ''дотична'' в точці на осі y матиме рівняння <math>y=bx+c</math>.

== Парабола як особливий випадок конічного перетину ==
{{Розділ без джерел|дата=19 жовтня 2023}}[[Файл:Kegelschnitt-schar-ev.svg|thumb|Конічні перетини із спільною вершиною]]
Родину [[Конічні перетини|конічних перетинів]] в яких вісь x є віссю симетрії, одна вершина знаходиться в початку координат (0,0) і які мають однакове значення половини фокусного параметра <math>p</math> можна задати наступним рівнянням
: <math> y^2= 2px +(e^2 -1) x^2 \qquad, \ e\ge 0</math>,
де <math>e</math> задає [[Ексцентриситет]].
* При <math>e=0</math> конічним перетином є ''коло'',
* При <math> 0<e <1</math>&nbsp;— ''еліпс,''
* При <math>e=1</math>&nbsp;— '''парабола''' із рівнянням <math> y^2= 2px </math> і
* При <math>e>1</math> буде отримана ''гіпербола'' (див. малюнок).

== Парабола в полярних координатах ==
[[Файл:Kegelschnittschar-polar-e.svg|thumb|Родина конічних кривих із спільним фокусом]]
Якщо {{math|''p'' > 0}}, парабола із рівнянням <math>y^2=2px</math> (із відритою частиною направленою праворуч) матиме [[Полярна система координат|полярні координати]] наступного вигляду:

: <math>r = 2p \frac{\cos\varphi}{\sin^2\varphi} \text{ with } \varphi \in \left[ -\tfrac{\pi}{2} , \tfrac{\pi}{2} \right] \setminus\{0\}.</math>
: (<math>r^2=x^2+y^2,\ x=r\cos\varphi</math>.)

Її вершина матиме координати <math>V=(0,0)</math> а фокус буде заданий як <math>F=\left(\tfrac{p}{2},0\right)</math>.

Якщо в початок координат розмістити фокус, тобто, <math>F=(0,0)</math>, отримаємо рівняння

: <math>r = \frac{p}{1-\cos\varphi}\text{ with }\varphi \ne 2\pi k.</math>
''Зауваження 1:'' Шляхом інвертування цієї полярної форми можна показати: що парабола це обернена до [[Кардіоїда|кардіоїди]].

''Зауваження 2:'' Друга форма полярних координат є особливим випадком із родини конічних перетинів із фокусом <math>F=(0,0)</math> (див. зображення):
: <math> r=\frac{p}{1-e\cos\varphi}</math>, (<math>e</math>: ексцентриситет).

== Властивість відбивання променів ==
{{Розділ без джерел|дата=19 жовтня 2023}}[[Файл:Parabel 2.svg|thumb|right|Рефлективна властивість параболи]]
Рефлективна властивість параболи означає що, якщо парабола може відбивати промені світла, тоді те світло, що потрапляє на неї і проходить паралельно осі симетрії відбивається в її точку фокуса. Цей висновок можна отримати із хвильової природи світла. Він правильний, але таке обґрунтування може бути недостатнім, аби бути математичним доказом. В наведеному далі доказі, факт, що кожна точка параболи є рівновіддаленою від фокусу і директриси приймається як [[аксіома]].

Розглянемо параболу {{math|''y'' {{=}} ''x''<sup>2</sup>}}. Оскільки всі параболи подібні, цей простий випадок відповідатиме усім іншим. Діаграма праворуч показує частину такої параболи.

=== Побудова і визначення ===

Точка E є довільною точку на параболі, із координатами {{math|(''x'', ''x''<sup>2</sup>)}}. Фокус позначено як F, а вершину параболи як A (знаходиться у початку координат), а пряма {{overline|FA}} (вісь {{mvar|y}}) є віссю симетрії. Пряма {{overline|EC}} паралельна осі симетрії, і перетинає вісь {{mvar|x}} в точці D. Точка C розміщена на директрисі (яка не показана, аби спростити діаграму). Точка B є серединою лінійного відрізку {{overline|FC}}.

=== Дедукція ===

Якщо вимірювати здовж осі симетрії, вершина A є рівновіддаленою від фокусу F і від директриси. Відповідно до [[Теорема Фалеса про пропорційні відрізки|теореми Фалеса про пропорційні відрізки]], оскільки C знаходиться на директрисі, {{mvar|y}}-координати точки F і C є рівними за абсолютним значенням але мають протилежний знак. B є середньою точкою відрізку FC, тому її {{mvar|y}}-координата дорівнює нулю, тому вона знаходиться на осі {{mvar|x}}. Її {{mvar|x}}-координата є половиною від значення координати точок E, D, і C, тобто, {{math|{{sfrac|''x''|2}}}}. [[Кутовий коефіцієнт]] прямого відрізку {{overline|BE}} задається довжинами відрізків {{overline|ED}} і {{overline|BD}}, і становить {{math|{{sfrac|''x''<sup>2</sup>|''x''/2}}}}, що зводиться до значення {{math|2''x''}}. Але {{math|2''x''}} є також кутових коефіцієнтом (першою похідною) параболи в точці E. Тому, пряма {{overline|BE}} є дотичною до параболи в точці E.

Відстані {{overline|EF}} і {{overline|EC}} є рівними, оскільки E є точкою параболи, F є точкою фокусу а C&nbsp;— директриси. Тому, оскільки B є середньою точкою відрізку {{overline|FC}}, трикутники △FEB і △CEB є конгруентними (по трьом сторонам), наслідком чого є те, що кути відмічені літерою {{mvar|α}} є також конгруентними. (кут над E є вертикально протилежним кутом ∠BEC.) Це означає, що промінь світла, який потрапляє на параболу і проходить до точки E паралельно осі симетрії, буде відбиватися від прямої {{overline|BE}} і в результаті буде слідувати по прямій {{overline|EF}}, що показано червоним на малюнку (припускаючи що світло може відбиватися від прямих). Оскільки {{overline|BE}} є дотичною до параболи в точці E, так само світло відбиватиметься від нескінченно малої ділянки дуги параболи в точці E. Таким чином, світло, яке потрапляє до параболи і проходить до точки E паралельно осі симетрії параболи відбивається параболою в точку фокусу.

Точка E не має особливих властивостей. Цей висновок щодо відбитого світла є вірним для усіх точок параболи, як показано в лівій частині зображення. Це є властивістю параболи.

== Параболічні форми у природі, техніці та архітектурі ==
{{Розділ без джерел|дата=19 жовтня 2023}}
[[Траєкторія|Траєкторії]] деяких космічних тіл ([[Комета|комет]], [[астероїд]]ів та інших), що проходять поблизу [[Зоря|зорі]] або іншого [[Маса|масивного]] об'єкта на досить великій [[Швидкість|швидкості]] мають форму параболи (або [[Гіпербола (математика)|гіперболи]]). Ці тіла внаслідок своєї великої швидкості і малої маси не захоплюються [[Гравітація|гравітаційним]] полем зорі і продовжують вільний політ. Це явище використовується для [[Гравітаційний маневр|гравітаційних маневрів]] космічних кораблів (зокрема апаратів [[Вояджер]]).

При відсутності опору повітря траєкторія польоту тіла в однорідному гравітаційному полі є параболою.

При обертанні посудини з [[Рідина|рідиною]] навколо вертикальної осі поверхня рідини в посудині і вертикальна площина перетинаються по параболі.

Властивість параболи фокусувати пучок променів, паралельних осі параболи, використовується в конструкціях прожекторів, ліхтарів, фар, а також [[Рефлектор (телескоп)|телескопів-рефлекторів]] (оптичних, інфрачервоних, радіо тощо), в конструкції вузькоспрямованих ([[Супутникова антена|супутникових]] та інших) антен, необхідних для передавання даних на великі відстані, [[Сонячна електростанція|сонячних електростанцій]] і в інших галузях.

Форма параболи іноді використовується в [[Архітектура|архітектурі]] під час будівництва дахів і куполів.

<gallery>
Файл:Parabolic orbit.gif|Параболічна орбіта супутника
Файл:Bouncing ball strobe edit.jpg|Падіння баскетбольного м'яча
Файл:Parabolic trough solar thermal electric power plant 1.jpg|Параболічна сонячна електростанція в [[Каліфорнія|Каліфорнії]], [[США]]
Файл:Tromsø library - 2005-09-13.jpg|Бібліотека з дахом у формі параболи, норвезьке місто [[Тромсьо]]
Файл:Parabola shape in rotating layers of fluid.jpg|Параболічна форма поверхні рідини під час обертання. Дві рідини різної [[Густина речовини|густини]] повністю заповнюють вузький простір між двома листами прозорого пластику. Проміжок між листами закрито знизу, з боків і зверху. Вся конструкція обертається навколо вертикальної осі, що проходить через центр.
</gallery>

== Див. також ==
* [[Кубічна парабола]]
* [[Конічні перетини]]:
** [[Еліпс]]
** [[Гіпербола (математика)|Гіпербола]]
** [[Коло]]
* [[Ланцюгова лінія]]
* [[Квадратне рівняння]]
* [[Синусоїдальна спіраль]]
* [[Трисектриса Маклорена]]&nbsp;— [[подера]] параболи

== Джерела ==
<!--{{Wiktionary| Парабола}}-->
{{commonscat|Parabolas}}
{{Wikisource1911Enc|Parabola}}
* {{Клепко_ВМ|частина=Парабола|сторінки=112-114}}
* {{ТС_Буд|частина=Парабола|сторінки =145}}
* {{Фіхтенгольц.укр}}
* {{springer|title=Parabola|id=p/p071150}}
* {{MathWorld|title=Parabola|urlname=Parabola}}
* [http://www.mathwarehouse.com/quadratic/parabola/interactive-parabola.php Interactive parabola-drag focus, see axis of symmetry, directrix, standard and vertex forms]
* [http://www.cut-the-knot.org/Curriculum/Geometry/ArchimedesTriangle.shtml Archimedes Triangle and Squaring of Parabola] at [[cut-the-knot]]
* [http://www.cut-the-knot.org/Curriculum/Geometry/ParabolaLambert.shtml Two Tangents to Parabola] at [[cut-the-knot]]
* [http://www.cut-the-knot.org/Curriculum/Geometry/ParabolaEnvelope.shtml Parabola As Envelope of Straight Lines] at [[cut-the-knot]]
* [http://www.cut-the-knot.org/Curriculum/Geometry/ParabolaMirror.shtml Parabolic Mirror] at [[cut-the-knot]]
* [http://www.cut-the-knot.org/Curriculum/Geometry/ThreeParabolaTangents.shtml Three Parabola Tangents] at [[cut-the-knot]]
* [http://www.cut-the-knot.org/Curriculum/Geometry/ParabolaFocal.shtml Focal Properties of Parabola] at [[cut-the-knot]]
* [http://www.cut-the-knot.org/Curriculum/Geometry/ParabolaMesh.shtml Parabola As Envelope II] at [[cut-the-knot]]
* [http://dynamicmathematicslearning.com/similarparabola.html The similarity of parabola] at [http://dynamicmathematicslearning.com/JavaGSPLinks.htm Dynamic Geometry Sketches], interactive dynamic geometry sketch.
* [http://objects.library.uu.nl/reader/index.php?obj=1874-20606&lan=en#page//11/65/13/116513161330830239976915216825059484204.jpg/mode/2up Frans van Schooten: ''Mathematische Oeffeningen'', 1659]
* [https://web.archive.org/web/20160304092955/http://www.kvantmultfilm.ru/de_mal.php?en=14 Учебный фильм о параболе]{{ref-ru}}

== Примітки ==
{{примітки|2}}

{{Криві}}
{{Бібліоінформація}}

{{Стиль|дата=19 жовтня 2023}}

[[Категорія:Конічні перетини]]
[[Категорія:Алгебричні криві]]
[[Категорія:Планіметрія]]