Перегляд вихідного коду сторінки П'ятикутник

{{unibox}}[[Файл:П'ятикутник.png|міні|326x326пкс|AD - діагональ п'ятикутника ABCDE]]
'''П'ятику́тник''' — планіметрична фігура, [[многокутник]], що має п'ять сторін, п'ять вершин та п'ять кутів.

Також можливе альтернативне визначення:

'''П'ятику́тник''' — це частина площини, обмежена ''простою замкненою'' ламаною, яка містить п'ять ланок. Вона складається з п'яти [[Точка|точок]] ('''[[Вершина (геометрія)|вершин]]''' п'ятикутника), послідовно з'єднаних п'ятьма [[Відрізок|відрізками]] ('''сторони''' або '''[[Ребро (геометрія)|ребра]]''' п'ятикутника). При цьому жодні три з даних точок не повинні лежати на одній прямій.

П'ятикутник позначають, записуючи його вершини. Наприклад, так: ABCDE. У позначенні п'ятикутника вершини, що стоять поряд, повинні бути сусідніми.

Вершини п'ятикутника називаються '''сусідніми''', якщо вони є кінцями однієї з його сторін. Відрізки, що сполучають несусідні вершини п'ятикутника, називаються [[Діагональ|діагоналями]]. 

Сторони п'ятикутника, що виходять з однієї вершини, називаються сусідніми сторонами. 

П'ятикутник може бути [[Простий многокутник|простим]] (без самоперетинів; може бути опуклим та вгнутим) або {{нп|Список схрещених багатокутників|схрещеним|en|list of self-intersecting polygons}}(з самоперетином).

Сума довжин усіх сторін п'ятикутника називається [[Периметр|периметром]].

Сума внутрішніх кутів [[Простий багатокутник|простого п'ятикутника]] дорівнює 540°.
: <math> \sum {\alpha =}(n - 2) \cdot 180^\circ = 3 \cdot 180^\circ = 540^\circ</math>

== Площа п'ятикутника без самоперетинів ==
Площа довільного п'ятикутника без самоперетинів, що заданий координатами своїх вершин, визначається за [[Формула площі Гаусса|формулою площі Гаусса]], загальною для багатокутників .

== Опуклий п'ятикутник ==
[[Файл:Опуклий п'ятикутник.png|ліворуч|міні]]
'''Опуклим п'ятикутником''' називається такий п'ятикутник, всі точки якого лежать по один бік від будь-якої прямої, що проходить через  дві його сусідні вершини. 

Можливі також альтернативні визначення.

'''Опуклим п'ятикутником''' називається 

— п'ятикутник, який обмежує [[Опукла множина|опуклу множину]]. Тобто для будь-яких двох точок п'ятикутника відрізок, що їх з'єднує, повністю належить п'ятикутнику.

— п'ятикутник такий, що всі його [[Діагональ|діагоналі]] повністю лежать всередині нього.

Внутрішній кут <math>\alpha</math> опуклого п'ятикутника — кут між двома його сусідніми сторонами. Будь-який внутрішній кут опуклого п'ятикутника менше 180°. 

Сума [[Внутрішній та зовнішній кути|внутрішніх кутів]] опуклого п'ятикутника дорівнює <math> \sum {\alpha =} (5 - 2) \cdot 180^\circ = 3 \cdot 180^\circ = 540^\circ = 3\pi </math> [[радіан]]. 

Зовнішній кут <math> \beta</math> — кут, що суміжний внутрішньому.

Як і у всіх полігонів, сума зовнішніх кутів (по одному при кожній стороні) становить <math> 360^\circ = 2\pi</math>  [[радіан]].

Кількість діагоналей опуклого п'ятикутника <math> k = \frac{5\cdot (5-3)}{2} = 5</math> (З кожної вершини можна провести 2 діагоналі). Діагоналі, що виходять з однієї вершини, розбивають п'ятикутник на 3 трикутники.

В усіх опуклих п'ятикутників, сума квадратів діагоналей є в три рази меншою за суму квадратів його сторін.<ref name="Crux">''Inequalities proposed in [[Crux Mathematicorum|«Crux Mathematicorum»]]'', [http://www.imomath.com/othercomp/Journ/ineq.pdf].</ref>{{rp|p.75,#1854}}

Сума діагоналей S опуклого п'ятикутника більша за периметр, але менша за подвійний периметр: <math> P < S < 2P</math>

Будь-які 9 точок у [[Загальне положення|загальному положенні]] містять вершини опуклого п'ятикутника і існує [[множина]] з 8 точок у загальному положенні, в якій немає опуклого п'ятикутника.<ref>{{Cite book
|title=A combinatorial problem on convex regions, vol. 1
|last=Kalbfleisch, J.D.; Kalbfleisch, J.G. & Stanton, R.G.
|year=1970
|publisher=Proc. Louisiana Conf. Combinatorics, Graph Theory and Computing
|location=Louisiana State Univ.
|pages=pp. 180-188
|language=англ.
}}</ref>  Доведено також, що будь-які 10 точок на площині в загальному положенні містять [[Задача зі щасливим кінцем|порожній опуклий п'ятикутник]] (Тобто п'ятикутник, який не містить внутрішніх точок).([[Задача зі щасливим кінцем#CITEREFHarborth1978|Harborth, 1978]]).  І існує множина з 9 точок у загальному положенні, в якій немає порожнього опуклого п'ятикутника.

== П'ятикутник вписаний в коло ==
[[Файл:Вписаний п'ятикутник.png|ліворуч|міні|286x286пкс]]
П'ятикутник називається '''вписаним''' в деяке коло, якщо всі його вершини лежать на цьому колі. При цьому коло називається описаним навколо п'ятикутника.

Центр описаного навколо п'ятикутника кола лежить на перетині  [[Серединний перпендикуляр|серединних перпендикулярів]] (або медіатрисах) до його сторін.

Сума будь-яких двох несуміжних кутів вписаного п'ятикутника більше 180°.

Аналог [[Теорема синусів|теореми сінусів]] для п'ятикутника: навколо п'ятикутника можна описати коло радіусом R, якщо виконуються наступні рівності:[[Файл:Cyclic pentagon isosceles partition.svg|міні|207x207пкс]]
<big><math> \frac{AB}{\sin(\angle C +\angle E)} = ... =\frac{AE}{\sin(\angle B +\angle D)} = -2R</math></big>

R - [[радіус]] описаного кола.

Внутрішній кут вписаного п'ятикутника: 

<math> \angle A = \arcsin\left ( \frac{BC}{2R} \right ) + \arcsin\left ( \frac{CD}{2R} \right )
+\arcsin\left ( \frac{DE}{2R} \right )</math> 

Кут між двома діагоналями, що виходять з однієї вершини можна знайти за формулою: 

<math> \angle CAD = \angle B + \angle E - 180^\circ</math>

Вписаний п'ятикутник (як і будь-який вписаний багатокутник) можна розбити на [[Рівнобедрений трикутник|рівнобедрені трикутники]], вершини яких лежать в центрі описаного кола, а бокові сторони є радіусами кола, що проходять через його вершини.

Для довільного п'ятикутника ABCDE, у якого суми будь-яких несуміжних кутів більше 180°, існує п'ятикутник A'B'C'D'E' з такими ж кутами, навколо якого можна описати коло.

Для довільного п'ятикутника ABCDE, існує п'ятикутник A'B'C'D'E' з такими ж сторонами, навколо якого можна описати коло.

Площу будь-якого вписаного п'ятикутника можна знайти як {{sfrac|1|4}}  квадратного кореня з одного з коренів {{Не перекладено|Алгебраїчне рівняння 7-го степеня|рівняння 7-го степеня|en|Septic equation}} , коефіцієнти якого є функціями сторін п'ятикутника.<ref>Weisstein, Eric W. "Cyclic Pentagon." From MathWorld--A Wolfram Web Resource. [http://mathworld.wolfram.com/CyclicPentagon.html]</ref><ref>{{cite journal|last=Robbins|first=D. P.|date=1994|title=Areas of Polygons Inscribed in a Circle|journal=[[Discrete and Computational Geometry]]|volume=12|issue=2|pages=223–236|doi=10.1007/bf02574377|doi-access=free}}</ref><ref>{{cite journal|last=Robbins|first=D. P.|date=1995|title=Areas of Polygons Inscribed in a Circle|journal=The American Mathematical Monthly|volume=102|issue=6|pages=523–530|doi=10.2307/2974766|jstor=2974766}}</ref>

Існують вписані п'ятикутники з раціональними сторонами і раціональною площею; їх називають {{Не перекладено|П'ятикутник Роббінса|п'ятикутниками Роббінса|en|Robbins pentagon}}. У всіх відомих випадках його діагоналі також мають раціональні довжини. Було доведено, що всі діагоналі п'ятикутника Роббінса повинні бути або раціональними, або всі ірраціональними, і є припущення, що всі діагоналі - раціональні. <ref>{{Cite book
|title=Cyclic polygons with rational sides and area
|last=Buchholz, Ralph H.; MacDougall, James A.
|year=2008
|publisher=Journal of Number Theory
|pages=128: 17–48
|language=англ
|doi=10.1016/j.jnt.2007.05.005
|mr=2382768
}}</ref>

==== Точка на описаному колі ====
Нехай точка М лежить на дузі описаного кола одиничного радіуса між вершинами А і В. Тоді виконується нерівність <ref>{{cite web|title=Inequalities proposed in ''Crux Mathematicorum''|work=The IMO Compendium|url=http://www.imomath.com/othercomp/Journ/ineq.pdf|at=p. 190, #332.10}}</ref>: <math>MA +MB +MD < \frac{5}{\sqrt{2}}</math>  
== П'ятикутник описаний навколо кола ==
[[Файл:Описаний п'ятикутник.png|ліворуч|міні|285x285пкс]]
П'ятикутник називається '''описаним''' навколо деякого кола, якщо це коло дотикається до всіх сторін п'ятикутника. При цьому коло називається вписаним в п'ятикутник.

Центр вписаного в п'ятикутник кола лежить на перетині бісектрис його внутрішніх кутів. І навпаки, якщо всі бісектриси внутрішніх кутів деякого п'ятикутника перетинаються в одній точці, то в цей п'ятикутник можна вписати коло з центром в цій точці.

Сума будь-яких двох несусідних сторін описаного п'ятикутника менша від суми трьох інших сторін.

В п'ятикутник можна вписати коло радіусом ''<big>r</big>'', якщо виконуються наступні рівності:

<big><math> \frac{a+c+d-b-e}{\mathop{\mathrm{ctg}}\left ( \frac{A}{2} \right )} = ... =\frac{b+c+e-a-d}{\mathop{\mathrm{ctg}}\left ( \frac{E}{2} \right )} 
= 2r</math></big>

Коло вписано в п'ятикутник зі сторонами a, b, c, d і e. Відрізки, на які точка дотику ділить сторону а:

<big><math> \frac{a-b+c-d+e}{2}</math> та <math> \frac{a+b-c+d-e}{2}</math></big>

Радіус вписаного кола<ref>Alsina, Claudi and Nelsen, Roger, ''[[Icons of Mathematics|Icons of Mathematics. An exploration of twenty key images]]'', Mathematical Association of America, 2011, p. 125.</ref>: <math>r = \frac{S}{p} =\frac{2S}{a+b+c+d+e}</math> 

де S - [[площа]] п'ятикутника, p - [[півпериметр]]. 

Для довільного п'ятикутника ABCDE, для якого сума будь-яких двох несусідних сторін менше суми трьох інших сторін, існує п'ятикутник A'B'C'D'E' з такими ж сторонами, в який можна вписати коло.

Для довільного опуклого п'ятикутника існує п'ятикутник з такими ж кутами, в який можна вписати коло.

Описаний п'ятикутник має найбільшу площу серед п'ятикутників з тим же периметром і такими ж внутрішніми кутами взятими в тій самій послідовності.<ref name="AM">{{cite journal|last1=Tom M. Apostol and Mamikon A. Mnatsakanian|title=Figures Circumscribing Circles|journal=American Mathematical Monthly|date=December 2004|pages=853–863|doi=10.2307/4145094|url=http://www.maa.org/sites/default/files/images/upload_library/22/Ford/Apostol853-863.pdf|accessdate= 6 квітня 2016|volume=111|issue=10|jstor=4145094}}</ref>{{rp|p. 862}}<ref>{{cite journal|last1=Apostol|first1=Tom|title=erratum|url=https://archive.org/details/sim_american-mathematical-monthly_2005-12_112_10/page/946|journal=American Mathematical Monthly|date=December 2005|volume=112|issue=10|page=946|doi=10.1080/00029890.2005.11920274|s2cid=218547110}}</ref>

Описаний п'ятикутник має всі рівні сторони лише у випадку, коли всі його внутрішні кути також рівні; тобто це правильний п'ятикутник.

== Рівносторонні п'ятикутники ==
[[Файл:Equilateral pentagon.SVG|thumb|right|250px|Рівносторонній п'ятикутник, побудований за допомогою чотирьох однакових кіл, що розташовані в ланцюзі одне за одним.]]

{{Не перекладено|Рівносторонній п'ятикутник|Рівносторонній п'ятикутник|en|Equilateral pentagon}} це п'ятикутник зі сторонами однакової довжини. Однак, його внутрішні кути можуть приймати різні значення, таким чином це ціла родина п'ятикутників. 

Чотири рівних кола, що перетинаються, розташованих у замкнутий ланцюг, однозначно визначають деякий опуклий рівносторонній п'ятикутник. Центр кожного кола є однією з чотирьох вершин п'ятикутника і лежить на сусідньому колі. П'ята вершина визначається однією з точок перетину першого і останнього кола ланцюга. Деякі приклади рівносторонніх п'ятикутників:
<gallery widths="140" heights="140">
Файл:5-gon equilateral 01.svg|Опуклий п'ятикутник
Файл:5-gon equilateral 03.svg|Неопуклий (вгнутий) п'ятикутник
Файл:5-gon equilateral 06.svg|Схрещений п'ятикутник (з самоперетинами)
Файл:5-gon equilateral 05.svg|Вироджений п'ятикутник (вершина лежить на ребрі)
</gallery>
== Правильний п'ятикутник ==
{{main|Правильний п'ятикутник}} 
[[Файл:Regular polygon 5 annotated.svg|міні]]
'''Правильний п'ятикутник (пентагон)''' — це [[Правильний многокутник|правильний багатокутник]] з п'ятьма сторонами.

'''Правильний п'ятикутник'''  — опуклий [[п'ятикутник]], у якого всі сторони і кути рівні.

Внутрішній кут правильного п'ятикутника дорівнює 108. Центральний кут дорівнює 72.

Правильний п'ятикутник є унікальним ([[Точність до|в межах]] подібності), оскільки він рівносторонній, і всі його п'ять кутів рівні між собою. Він є вписаним і описаним одночасно.

''Правильний п'ятикутник'' має п'ять ліній [[Відбиття (геометрія)|дзеркальної симетрії]], і [[Обертова симетрія|обертову симетрію]] 5-го порядку (у 72°, 144°, 216° і 288°). Центру симетрії не має.

''Правильний багатокутник'' сторони якого перетинаються (або ''[[Зірка (геометрія)|зірковий]] п'ятикутник'') називається [[Пентаграма|пентаграмою]].

== Паркети з п'ятикутників ==
[[Файл:2-d pentagon packing dual.svg|міні|267x267пкс]]
Правильний п'ятикутник не може з'являтися в жодій мозаїці, складеній з правильних багатокутників. 

По-перше, п’ятикутник не може утворювати регулярну мозаїку (у якій усі грані конгруентні, тому всі багатокутники повинні бути правильними п’ятикутниками). Зауважимо, що {{nowrap|360° / 108° {{=}} 3{{frac|1|3}}}}  (де 108° — внутрішній кут) , яке не є цілим числом; отже, не існує цілого числа правильних п'ятикутників, які мають одну вершину і не залишають проміжків між ними. 

Найкраще відоме [[Теселяція|замощення площини]] правильними п'ятикутниками має {{Не перекладено|Щільність пакування|щільність пакування|en|Packing density}} <math>(5-\sqrt 5)/3\approx 0.921</math> і утворює подвійну [[Кристалічна ґратка|ґратку]] 

У [[Препринт|препринті]], опублікованому в 2016 році, американські математики {{Не перекладено|Томас Калістер Хейлз|Томас Хейлз|en|Thomas Callister Hales}} і Воден Куснер оголосили про доказ того, що ця подвійна гратчаста упаковка правильного п’ятикутника має оптимальну щільність серед усіх упаковок правильних п'ятикутників на площині.<ref>{{citation | last1 = Hales | first1 = Thomas | author1-link = Thomas Callister Hales | last2 = Kusner | first2 = Wöden | arxiv = 1602.07220 | date = September 2016 | title = Packings of regular pentagons in the plane}}</ref>.

Станом на 2022 рік їх підтвердження ще не було опубліковано в рецензованому журналі.

Складніше довести, що п’ятикутник не може бути в будь-якій мозаїці від краю до краю, утвореній правильними багатокутниками:

Також не існує комбінацій  із 4 або більше правильних багатокутників, що зустрічаються у вершині, яка містить п’ятикутник. Для комбінацій із 3: якщо 3 багатокутники зустрічаються у вершині і один має непарну кількість сторін, інші 2 мають бути конгруентними. Причина цього в тому, що багатокутники, які торкаються сторін п'ятикутника, повинні чергуватися навколо п'ятикутника, що неможливо через непарну кількість його сторін. Для п’ятикутника це дає багатокутник, усі кути якого дорівнюють (360 − 108) / 2 = 126°. Кількість сторін цього многокутника дорівнює {{nowrap|360 / (180 − 126) {{=}} 6{{frac|2|3}}}}, що не є цілим числом. Тому п'ятикутник не може з'явитися в будь-якій мозаїці, складеній з правильних багатокутників.

Існує 15 класів неправильних опуклих п'ятикутників<ref>{{Cite book
|title="Tilings by polygons"
|url=https://archive.org/details/isbn_0716711931
|last=Grünbaum, Branko; Shephard, Geoffrey C.
|year=1987
|publisher=W. H. Freeman and Company
|location=New York
|language=англ.
|isbn=978-0-7167-1193-3
|mr=0857454
}}</ref> , які утворюють {{Не перекладено|П'ятикутний паркет|п'ятикутний паркет|en|Pentagonal tiling}}, тобто можуть замостити площину своїми копіями без проміжків та накладень. Жоден з п'ятикутників не має симетрії в цілому, хоча деякі мають окремі випадки з дзеркальної симетрії. Останній з них було знайдено в 2015 році.<ref>{{Cite book
|title="Convex pentagons that admit i-block transitive tilings"
|last=Mann, Casey; McLoud-Mann, Jennifer; Von Derau, David
|year=2018
|publisher=Geometriae Dedicata
|pages=194 (1): 141–167
|language=англ.
|arxiv=1510.01186
|doi=10.1007/s10711-017-0270-9
}}</ref>
{| class=wikitable
|+ 15 одноплиточних п'ятикутних паркетів
!1||2||3||4||5
|- align=center
|[[File:Prototile p5-type1.png|120px]]
|[[File:Prototile p5-type2.png|120px]]
||[[File:Prototile p5-type3.png|120px]]
||[[File:Prototile p5-type4.png|120px]]
||[[File:Prototile p5-type5.png|120px]]
|- align=center
!6||7||8||9||10
|- align=center
|[[File:Prototile p5-type6.png|120px]]
||[[File:Prototile p5-type7.png|120px]]
||[[File:Prototile p5-type8.png|120px]]
|[[File:Prototile p5-type9.png|120px]]
||[[File:Prototile p5-type10.png|120px]]
|- align=center
!11||12||13||14||15
|- align=center
|[[File:Prototile p5-type11.png|120px]]
||[[File:Prototile p5-type12.png|120px]]
||[[File:Prototile p5-type13.png|120px]]
|[[File:Prototile p5-type14.png|120px]]
|[[File:Prototile p5-type15.png|120px]]
|}
== Графи ==
K<sub>5</sub> [[повний граф]] часто малюють як ''правильний п'ятикутник'' що має всі 10 з'єднаних ребер. Цей граф також представляє [[Ортографічна проєкція|ортографічну проєкцію]] 5-ти вершин і 10-ти ребер [[П'ятикомірник|5-комірника]]. [[Повністю зрізаний 5-стільник|Зрізаний 5-комірник]], із вершинами на внутрішніх ребрах 5-комірника проектується в середині п'ятикутника.

{| class=wikitable
|- align=center
|[[Файл:4-simplex t0.svg|150px]]<br/>[[П'ятикомірник|5-комірник]] (4 виміри)
|[[Файл:4-simplex t1.svg|150px]]<br/>[[Повністю зрізаний 5-стільник|Зрізаний 5-комірник]] (4 виміри)
|}

== П'ятикутники в природі ==

=== Рослини ===
<gallery>
Image:BhindiCutUp.jpg|П'ятикутний переріз [[Бамія|окри]].
Image:Morning_Glory_Flower.jpg|Квітка [[Кручені паничі|кручених паничів]], як і багато інших квітів, має п'ятикутну форму.
Image:Sterappel dwarsdrsn.jpg|[[Маточка]]  [[яблуко|яблука]] містить п'ять плодолистків, що утворюють [[п'ятипроменева зірка|п'ятипроменеву зірку]]
Image:Carambola Starfruit.jpg|[[Карамболя]] ще один приклад п'ятірчастої симетрії.
</gallery>

=== Тварини ===
<gallery>
Image:Cervena_morska_hviezdica.jpg| [[Морські зірки|Морська зірка]]. Багато [[Голкошкірі|голкошкірих]] мають п'ятірчасту радіальну симетрію.
Image:Haeckel_Ophiodea.jpg|Ілюстрація [[Офіури|змієхвістки]], також голкошкірого організму з п'ятикутною формою.
</gallery>

=== Рукотворні ===
<gallery>
Image:The Pentagon January 2008.jpg|[[Пентагон]], штаб-квартира [[Міністерство оборони США|Міністерства оборони США]].
Image:Home base of baseball field in Třebíč, Třebíč District.jpg|Плита для позначення бази на бейзбольному полі.
</gallery>

== П'ятикутник в основі багатогранників ==

{| class=wikitable width=840
!{{нп|Ікосаедральна симетрія|I<sub>h</sub>|en|Icosahedral symmetry}}
!{{нп|Піритоедральна симетрія|T<sub>h</sub>|en|Pyritohedral symmetry}}<!-- Проблема вікіфікації: Сторінка [[:en:Pyritohedral symmetry]] (→ [[:en:Tetrahedral symmetry#Pyritohedral symmetry]]) перекладена як [[Тетраедрична симетрія]], хоча хотіли [[Піритоедральна симетрія]] (SashkoR0B0T)-->
![[Тетраедальна симетрія|T<sub>d</sub>]]
!{{нп|Октаедральна симетрія|O|en|Octahedral symmetry}}
!{{нп|Ікосаедральна симетрія|I|en|Icosahedral symmetry}}
!{{нп|Диедральна симетрія в трьох вимірах|D<sub>5d</sub>|en|Dihedral symmetry in three dimensions}}
|-
|[[Файл:Dodecahedron.svg|120px]]
|[[Файл:Pyritohedron.png|120px]]
|[[Файл:Tetartoid.png|120px]]
|[[Файл:Pentagonalicositetrahedronccw.jpg|120px]]
|[[Файл:Pentagonalhexecontahedronccw.jpg|120px]]
|[[Файл:Pentagonal truncated trapezohedron.png|120px]]
|- align=center
|[[Додекаедр]]
|{{нп|Піритоедр||en|Pyritohedron}}<!-- Проблема вікіфікації: Сторінка [[:en:Pyritohedron]] (→ [[:en:Dodecahedron#Pyritohedron]]) перекладена як [[Дванадцятигранник]], хоча хотіли [[Піритоедр]] (SashkoR0B0T)-->
|{{нп|Пентагональний додекаедр|Тетатроід|en|Tetartoid}}<!-- Проблема вікіфікації: Сторінка [[:en:Tetartoid]] (→ [[:en:Dodecahedron#Tetartoid]]) перекладена як [[Дванадцятигранник]], хоча хотіли [[Пентагональний додекаедр]] (SashkoR0B0T)-->
|{{нп|Пентагональний ікосітетраедр||en|Pentagonal icositetrahedron}}
|{{нп|Пентагональний гексеконтаедр||en|Pentagonal hexecontahedron}}
|{{нп|Зрізаний трапецоедр||en|Truncated trapezohedron}}
|}

== Див. також ==
* [[Правильний п'ятикутник]]
* [[Пентагон]]
* [[Пентаграма]]
* [[Японська теорема про вписані в коло многокутники]]

== Примітки ==
{{reflist}}

== Джерела ==

* Harborth, Heiko (1978). Konvexe Fünfecke in ebenen Punktmengen. ''Elem. Math.'' '''33''' (5): 116–118..

== Посилання ==
* [https://www.mathros.net.ua/pentagon-definition.html П'ятикутник&nbsp;— визначення, властивості, приклади]


{{Многокутники|Таблиця многокутників|p5}}
{{Основні опуклі правильні й однорідні політопи в розмірностях 2-10}}

[[Категорія:Многокутники]]