Перегляд вихідного коду сторінки П'ятикутна антипризма

{| border="2"  bgcolor="#ffffff" cellpadding="5" align="right" width="400" style="margin-left:10px"
!bgcolor=#e7dcc3 colspan=2|<span style="color: MediumBlue"><big><big>П'ятикутна антипризма</big></big> </span>
|-
|align=center colspan=2|[[Файл:Pentagonal antiprism.png|210x210пкс]]
|-
|bgcolor=#e7dcc3|'''Тип'''||[[Призматичний однорідний многогранник|Призматичний однорідний багатогранник]]
|-
|bgcolor=#e7dcc3|'''Властивості'''||Напівправильний [[Опуклий політоп|опуклий]], рівносторонній, [[Правильний многокутник|правильногранний]], [[Ізогональність|вершинно-транзитивний]], [[Конгруентність (геометрія)|конгруентні]] та [[Коаксіальний|коаксікальні]] основи
|-
| colspan="2" bgcolor="#E6E6FB" align="center"|<big>'''Комбінаторика'''</big>
|-
| bgcolor="#e7dcc3" |'''Елементи'''|| 12 граней (10{3}+2{5});<br/>20 [[Ребро (геометрія)|ребер]];<br/>10 [[Вершина (геометрія)|вершин]] (4-го [[Степінь вершини (теорія графів)|степеня]]).
|-
| bgcolor="#e7dcc3" |'''[[Грань (геометрія)|Грані]]'''||
10 [[Правильний трикутник|Правильних трикутників]],<br/>2 [[Правильний п'ятикутник|Правильних п'ятикутників]]
|-
|bgcolor=#e7dcc3|'''[[Характеристика Ейлера]]'''||
<math>\chi=\Gamma-\hbox{P}+\hbox{B} = 2</math>

|-
|bgcolor=#e7dcc3|'''[[Конфігурація вершини]]'''|| 3.3.3.5 = 3<sup>3</sup>.5 <br/> В кожній вершині сходяться 3 трикутника та 1 п'ятикутник.
|-
|bgcolor=#e7dcc3|'''[[Вершинна фігура]]'''|| [[Рівнобічна трапеція|Рівнобедрена трапеція]] <br/> [[Файл:Pentagonal antiprism vertfig.png|left|100x100пкс]] з довжинами сторін 1, 1, 1 та <math>\frac{1 +\sqrt{5}}{2} </math>
|-
| colspan="2" bgcolor="#E6E6FA" align="center"|<big>'''Класифікація'''</big>
|-
|bgcolor=#e7dcc3|'''Позначення'''|| • A<sub>5</sub> (в {{Не перекладено|Нотація Конвея для багатогранників|3=en|4=Conway polyhedron notation|нотації Конвея}} або в нотації Залгаллера)<br/> • [[Однорідний многогранник|U]]<sub>77b</sub> (як однорідний багатогранник) <br/> • C<sub>34b</sub> (в нотації [[Гарольд Коксетер|Г. Коксетера]])
|-
|bgcolor="#e7dcc3" |'''[[Символ Шлефлі]]'''||
<math> s \left \{ \begin{matrix} 2  \\ 5  \end{matrix}\right \}=h\left \{\right \}s\left \{ 5 \right \}</math> <br/>
s{2,10} <br/> sr{2,5}
|-
|bgcolor=#e7dcc3| {{Не перекладено|Символ Вітгоффа|Символ Вітгоффа|en|Wythoff symbol}}'''<sup> </sup>'''||{{math| {{!}} 2 2 5}}
|-
|bgcolor=#e7dcc3| '''[[Діаграми Коксетера — Динкіна|Діаграма Коксетера-Динкіна]]''' ||
{{ДКД|node_h|2x|node_h|10|node}} або (s2s10o)&nbsp;— {{Не перекладено|Альтернація (геометрія)|альтернована|en|Alternation (geometry)}} {{Не перекладено|Десятикутна призма|10-кутна призма|en|Decagonal prism}}<!-- Проблема вікіфікації: Сторінка [[:en:Decagonal prism]] (→ [[:en:Prism (geometry)]]) перекладена як [[Призма (математика)]], хоча хотіли [[Десятикутна призма]] (SashkoR0B0T)-->.<br/>{{ДКД|node_h|2x|node_h|5|node_h}} або (s2s5s)&nbsp;— альтернована [https://polytope.miraheze.org/wiki/Dipentagonal_prism діпентагональна призма]
|-
|bgcolor=#e7dcc3| '''[[Діаграма Шлегеля]]''' || [[Файл:Pentagonal antiprismatic graph.png|100px|]]<br/>A5
|-
|bgcolor=#e7dcc3|'''[[Список груп сферичної симетрії|Група симетрії]]'''||{{Не перекладено|Діедрична симетрія в тривимірному просторі|D<sub>5d</sub>|en|Dihedral symmetry in three dimensions}}, [2<sup>+</sup>,10], (2*5), порядок 20
(Діедрична симетрія 5-Антипризми)
|-
|bgcolor=#e7dcc3|'''[[Ортогональна група|Група обертань]]'''|| D<sub>5</sub>, [5,2]<sup>+</sup>, (522), порядок 10

|-
|bgcolor=#e7dcc3|'''[[Дуальний многогранник|Двоїстий багатогранник]]'''||
[[П'ятикутний трапецоедр]]<br/>[[Файл:Pentagonal trapezohedron.svg|80px|]]
|-
|bgcolor=#e7dcc3|'''[[Розгортка многогранника|Розгортка]]'''|| [[Файл:Net_of_pentagonal_antiprism.png|200px|]]
|}

'''П'ятикутна антипри́зма'''&nbsp;— [[призматоїд]], у якого дві паралельні грані (основи)&nbsp;— рівні між собою [[Правильний п'ятикутник|правильні п'ятикутники]], а решта 10 граней (бокові грані)&nbsp;— [[Правильний трикутник|правильні трикутники]].

Також, '''п'ятикутна антипри́зма'''&nbsp;— пряма п'ятикутна рівностороння [[антипризма]].

Має [[Конгруентність (геометрія)|конгруентні]] та [[Коаксіальний|коаксікальні]] (співвісні) грані основ ([[П'ятикутник|правильні п'ятикутники]]) повернені одна відносно іншої на кут <math>\frac{180^\circ}{5} = 36^\circ</math>. Пряма, що сполучає центри основ (вісь антипризми), перпендикулярна до площин основ.

Цей багатогранник є [[Напівправильний многогранник|напівправильним багатогранником]] та [[Однорідний многогранник|однорідним багатогранником]].

А отже, володіє такими властивостями:

# Всі грані є правильними багатокутниками (двох типів: правильні трикутники та правильні п'ятикутники);
# Для будь-якої пари вершин існує симетрія багатогранника (тобто рух, що переводить багатогранник сам в себе), яка переводить одну вершину в іншу.

П'ятикутна антипризма має 6 [[Вісь симетрії|осей]] [[Ортогональна група|обертової симетрії]]:
* 1 вісь 5-го порядку&nbsp;— проходить через центри п'ятикутних граней; (поворот на 72°, 144°, 216° і 288° або {{Ндріб|2π|5}}, {{Ндріб|4π|5}}, {{Ндріб|6π|5}}, {{Ндріб|8π|5}} [[радіан]]);
* 5 осей 2-го порядку&nbsp;— проходять через середини протилежних паралельних ребер основ антипризми (поворот на 180° або {{Mvar|π}} [[радіан]]).

П'ятикутна антипризма має 5 площин [[Відбиття (геометрія)|дзеркальної симетрії]], що проходять через вершину та середину протилежного ребра для кожної грані.

Має [[Центральна симетрія|центр симетрії]] (в ньому перетинаються всі осі та площини симетрії).

А також є третім багатогранником у нескінченному ряді однорідних [[Антипризма|антипризм]], утворених парним набором трикутних граней та закритих з обох сторін двома багатокутниками.<ref>{{Cite book
|url=http://dx.doi.org/10.1007/978-0-387-92714-5_3
|title=Regular and Semiregular Polyhedra
|last=Coxeter
|first=H. S. M.
|date=2012-11-27
|series=Shaping Space
|publisher=Springer New York
|location=New York, NY
|pages=41–52
|isbn=978-0-387-92713-8
}}</ref>

== Геометрія ==
Багатогранник є неправильним [[Дванадцятигранник|додекаедром]].
[[Файл:Правильний_ікосаедр_як_двічі_нарощена_п'ятикутна_антипризма.png|ліворуч|міні|293x293пкс|'''Правильний ікосаедр як двічі нарощена п'ятикутна антипризма''']]
П'ятикутну антипризму можна також назвати '''двічі протилежно відсіченим''' '''ікосаедром''' ‒ тілом, утвореним відсіканням двох {{Не перекладено|П'ятикутна піраміда|п'ятикутних пірамід|en|Pentagonal pyramid}} з протилежних вершин [[Правильний ікосаедр|правильного ікосаедра]], залишаючи дві несуміжні п'ятикутні грані.

Пов'язаний багатогранник, {{Не перекладено|Двічі косо відсічений ікосаедр|двічі косо відсічений ікосаедр|en|Metabidiminished icosahedron}}&nbsp;— J<sub>62</sub> (один з [[Правильногранний многогранник|правильногранних багатогранників]] Джонсона), аналогічно формується з [[Правильний ікосаедр|ікосаедра]] видаленням двох пірамід; але в цьому багатограннику п'ятикутні грані стикаються ребром.

Дві п'ятикутні грані обох тіл (5-антипризми та J<sub>62</sub>) можна наростити пірамідами з утворенням [[Правильний ікосаедр|ікосаедра]].

П'ятикутна антипризма належить до підкласу [[призматоїд]]ів, та є (виродженим) типом {{Не перекладено|Кирпатий багатогранник|кирпатих багатогранників|en|Snub polyhedron}}.

[[Переріз (креслення)|Перерізом]] п'ятикутної антипризми площиною, що проходить [[Перпендикулярність|перпендикулярно]] до осі симетрії п'ятого порядку через її центр, є [[правильний десятикутник]].
<!--{{Clear}}-->

== Формули ==
У всіх формулах нижче:

<math>\varphi = 2 \cdot \cos \left( \frac{\pi}{5} \right) = \frac{1+\sqrt{5}}{2} \approx 1.618033988749 </math>&nbsp;— відношення пропорції [[Золотий перетин|«золотого перетину»]].

({{OEIS|A001622}}).

=== Діагоналі ===
Кількість [[Діагональ|діагоналей]] [[Опуклий політоп|опуклого багатогранника]]: <math>\binom{B}{2} - P</math>,

де В&nbsp;— кількість вершин, Р&nbsp;— кількість ребер багатогранника.

Для п'ятикутної антипризми:

<math>\binom{10}{2} - 20 = \frac{10}{2} \cdot \frac{9}{1} -20 = 25</math> діагоналей (10 граневих та 15 просторових).
{| border="2"
|----
! colspan="4" style="background:#C0C0FF" | <big>Діагоналі п'ятикутної антипризми з довжиною ребра <math>a</math></big>
|-
| rowspan="3" class="hintergrundfarbe5" | [[Файл:Діагоналі п'ятикутної антипризми.png|безрамки|203x203пкс]]
| Гранева діагональ
|<math>AB= \frac{1+\sqrt{5}}{2} \cdot a = \varphi \cdot a</math>
|'''≈ 1.6180339887 <math>\cdot a</math>'''
|-
| rowspan="2" | Просторові діагоналі
|<math>AC= \frac{1+\sqrt{5}}{2} \cdot a = \varphi \cdot a </math>
|'''≈ 1.6180339887 <math>\cdot a</math>'''
|-
|<math> AD= \sqrt{\frac{5+\sqrt{5}}{2}} \cdot a
= \sqrt{\varphi+2} \cdot a </math>
|'''≈ 1.9021130326 <math>\cdot a</math>'''
|}

Кут між діагоналями АВ та АС дорівнює 60°.

=== Метричні характеристики ===
{| border="2"
|----
! colspan="5" bgcolor="#c0c0ff" | <big>Для п'ятикутної антипризми з довжиною ребра <math>a</math>:</big>

|----
| colspan="2" bgcolor="#ececec" | '''Радіус [[Описана сфера|описаної сфери]]''' <br/> (проходить через всі вершини)
|<math>R = {\frac{1}{4}} \cdot \sqrt{4+\csc^2 \left({\frac{\pi}{10}} \right )} \cdot a </math>
| <math>R=\sqrt{\frac{5+\sqrt{5}}{8}} \cdot a = \frac{\sqrt{\varphi+2}}{2} \cdot a </math>
|<math>\approx 0.95105651 \cdot a </math>
|----
| colspan="2" bgcolor="#ececec" | '''Радіус [[Напіввписана сфера|напіввписаної сфери]]''' <br/> (дотикається до всіх ребер)
|<math>\rho = {\frac{1}{4}} \cdot \csc \left ( \frac{\pi}{10} \right )\cdot a </math>
| <math>\rho = \frac{1+\sqrt{5}}{4} \cdot a = \frac{\varphi}{2}  \cdot a </math>
|<math>\approx 0.80901699 \cdot a </math>
|----
| rowspan="2" bgcolor="#ececec" |'''Радіус сфери <big>''r''<sub>3</sub></big> та <big>''r''<sub>5</sub></big>'''<br/> (дотична до всіх трикутних граней <br/> та відповідно, п'ятикутних граней в їх центрах)
| rowspan="2" bgcolor="#DC DC DC" width="150" |'''[[Вписана сфера|Вписаної сфери]] п'ятикутна антипризма не має'''
|
|<math>r_3= \frac{\sqrt{42+18\sqrt{5}}}{12} \cdot a </math><math>= \frac{\sqrt{3}\cdot \left ( 3+\sqrt{5} \right )}{12} \cdot a = \frac{\varphi^2}{2\sqrt{3}} \cdot a </math>
|<math>\approx 0.7557613 \cdot a </math>
|----
|
|<math>r_5= \frac{1}{2} \sqrt{\frac{5+\sqrt{5}}{10}} \cdot a </math>
|<math>\approx 0.4253254 \cdot a </math>
|----
| colspan="2" bgcolor="#ececec" |'''Висота <big>H</big>''' <br/> (Відстань між протилежними п'ятикутними гранями)
|<math>H =   \sqrt{1-\frac{1}{4} \cdot \sec^2 \left({\frac{\pi}{10}} \right )} \cdot a </math>
|<math>H=\sqrt{\frac{5+\sqrt{5}}{10}} \cdot a  </math>
|<math>\approx  0.8506508 \cdot a </math>
|----
| colspan="2" bgcolor="#ececec" | '''[[Площа поверхні]]'''
|<math>S = \frac{1}{2} \cdot 5\left(\mathrm{ctg}\left ( \frac{\pi}{5} \right ) + \sqrt{3}\right) a^2</math>
| <math>S = \frac{1}{2} \cdot \left(5 \sqrt{3} +\sqrt{25+10\sqrt{5}}\right) a^2 </math>
|<math>\approx 7.7710818 \cdot a^2 </math>
|----
| colspan="2" bgcolor="#ececec" | '''[[Об'єм]]'''
|<math>V = \frac{5\cdot \sin \left ( \frac{3\pi}{10} \right ) \cdot 
\sqrt{4\cos^2 \left (\frac{\pi}{10}\right )-1} }{12\sin^2 \left ( \frac{\pi}{5} \right )} \cdot a^3 </math>
| <math>V = \frac{5+2\sqrt{5}}{6} \cdot a^3</math>
|<math>\approx 1.5786893 \cdot a^3 </math>
|}
[[Центр інерції|Центр мас]] лежить на осі антипризми і рівновіддалений від її основ.

=== Кути ===
Плоскі кути граней при вершині: 60°, 108°.

Сума плоских кутів при кожній вершині дорівнює 288°.

{| border="2"
|----
! colspan="3" style="background:#c0c0ff" | <big>Кути багатогранника</big>
|-----
| class="hintergrundfarbe5" style="background:#ececec" |'''[[Двогранний кут]] між гранями {3} та {3}'''
|<math> \alpha= \arccos \left ( -\frac{\sqrt{5}}{3} \right )=2\cdot \arctan\left ( \varphi ^2 \right ) 
= \pi -2 \arctan \left ( \frac{3-\sqrt{5}}{2} \right ) </math>
|'''≈ 2.4118649973628 [[Радіан|рад]]''' <br/> '''≈ 138° 11′ 22.866375197′′'''
|----
| class="hintergrundfarbe5" style="background:#ececec" |'''Двогранний кут між гранями {3} та {5}'''
|<math> \beta= \arccos \left ( -\sqrt{\frac{5-2\sqrt{5}}{15}} \right ) </math> <math>  =\pi- \arcsec \left (\sqrt{15+6\sqrt{5}} \right ) </math>
|'''≈ 1.7595068575784 [[Радіан|рад]]''' <br/> '''≈ 100° 48′ 44.341068858′′'''
|----
| class="hintergrundfarbe5" style="background:#ececec" |'''[[Тілесний кут]] при вершині'''
|<math>  \Omega = 8 \arctan \left( \sqrt{6}-\sqrt{5} \right)+4 \arctan \left (\sqrt{3\cdot\left ( 5+2\sqrt{5} \right )}-\sqrt{5} -3\right) </math>
|<math> \Omega \thickapprox 2.0595584027 </math> '''[[Стерадіан|ср]]'''
|----
| class="hintergrundfarbe5" style="background:#ececec" |'''[[Тілесний кут]], під яким<br/> п'ятикутну грань видно з центру протилежної п'ятикутної грані'''
|<math> \Omega_1 = 2 \pi - 10\cdot \arcsin \left(\sqrt{\frac{15 -4\sqrt{5}}{29}}\right)</math> <math>  = 2 \pi - 10\cdot \arctan \left(\sqrt{\frac{5 -2\sqrt{5}}{2}}\right)</math>
|<math> \Omega_1 \thickapprox 1.5373694805 </math> '''[[Стерадіан|ср]]'''
|----
| class="hintergrundfarbe5" style="background:#ececec" | '''[[Сферичність]]'''
|<math> \Psi = \frac{2\cdot \sqrt [3] {5 \pi \left(9 + 4 \sqrt{5}\right)}} {5\sqrt{3} + \sqrt{25+10\sqrt{5}} } </math>
|<math> \Psi\thickapprox 0.843724042 </math>
|}

== Декартові координати вершин ==
[[Декартова система координат|Декартові координати]] 10-ти вершин п'ятикутної антипризми з довжиною ребра <math>a=1 </math> можна взяти з координат вершин [[Правильний ікосаедр|правильного ікосаедра]], видаливши з них дві протилежні вершини:

* <math>\left (-\sqrt{\frac{5+\sqrt{5}}{10}}, 0 , - \frac{1}{2} \sqrt{\frac{5+\sqrt{5}}{10}} \right ) , 
</math> <math>\left (\frac{1}{2} \sqrt{\frac{5+2\sqrt{5}}{5}}, \pm  \frac{1}{2}, -\frac{1}{2} \sqrt{\frac{5+\sqrt{5}}{10}} \right ), 
</math> <math>\left (-\frac{1}{2}\sqrt{\frac{5-\sqrt{5}}{10}}, \pm  \frac{\sqrt{5}+1}{4}, -\frac{1}{2} \sqrt{\frac{5+\sqrt{5}}{10}} \right ); 
</math>
* <math>\left (\sqrt{\frac{5+\sqrt{5}}{10}}, 0 , \frac{1}{2} \cdot \sqrt{\frac{5+\sqrt{5}}{10}} \right ) , 
</math> <math>\left (-\frac{1}{2} \cdot  \sqrt{\frac{5+2\sqrt{5}}{5}}, \pm  \frac{1}{2}, \frac{1}{2} \cdot \sqrt{\frac{5+\sqrt{5}}{10}} \right ), 
</math> <math>\left (\frac{1}{2} \cdot  \sqrt{\frac{5-\sqrt{5}}{10}}, \pm  \frac{\sqrt{5}+1}{4}, \frac{1}{2} \cdot \sqrt{\frac{5+\sqrt{5}}{10}} \right ). 
</math>

При цьому вершини лежать в двох [[Паралельність|паралельних]] площинах (паралельних до площини Oxy), в кожній з яких розташовані як вершини [[Правильний п'ятикутник|правильного п'ятикутника]].

Початок координат збігається з центром багатогранника, що є його центром [[Напіввписана сфера|напіввписаної]] та [[Описана сфера|описаної сфер]].

Вісь Oz збігається з віссю симетрії 5-го порядку.

Площина Oxz є однією з [[Операція симетрії|площин симетрії]] багатогранника.

== Граф п'ятикутної антипризми ==
{{Граф|name=Граф п'ятикутної антипризми|vertices=10|edges=20|radius=3|diameter=3|chromatic_number=4|properties=[[Регулярний граф| Регулярний]], [[Планарний граф | планарний]] ,[[Гамільтонів граф | Гамільтонів]], [[Ейлерів ланцюг|Ейлерів]], квадратичний, [[Циклічний граф|циклічний]] , вершинно-транзитивний|image=[[File:Pentagonal antiprismatic graph.png|240px]]|girth=3|image_caption=5-fold symmetry}}В [[Теорія графів|теорії графів]] граф п'ятикутної антипрзми&nbsp;— це граф з 10 вершинами та 20 ребрами, що має [[N-кістяк|кістяк]] [[П'ятикутна антипризма|п'ятикутної антипризми]].<ref>{{Cite book
|title=An Atlas of Graphs
|last=Read, R. C.; Wilson, R. J.
|year=1998
|publisher=Oxford University Press
|pages=
|language=англ.
}}</ref>

Всі 10 вершин графа мають [[Степінь вершини (теорія графів)|степінь]] 4, а отже, граф є квадратичним (англ. quartic).

[[Спектральна теорія графів|Спектр]] графа : <math>Spec(G)=(-\sqrt{5})^2 \left ( -1 \right )^4 0^1 \sqrt{5} ^2 4^1</math>

Гамільтонів цикл&nbsp;— замкнений шлях, що проходить через кожну вершину графа рівно один раз.

Деякі гамільтонові цикли графа:
{|
|[[Гамільтонів граф|Гамільтонів цикл]] графа 5-антипризми<br/>[[Файл:Гамільтонів_цикл_графа_5-антипризми.png|безрамки]]

|{1&nbsp;— 2&nbsp;— 3&nbsp;— 4&nbsp;— 5&nbsp;— 6&nbsp;— 7&nbsp;— 8 ‒ 9 ‒ 10&nbsp;— 1}<br/>{1&nbsp;— 10&nbsp;— 2&nbsp;— 9&nbsp;— 3&nbsp;— 8&nbsp;— 4&nbsp;— 7 ‒ 5 ‒ 6&nbsp;— 1}<br/>{1&nbsp;— 10&nbsp;— 2&nbsp;— 3&nbsp;— 9&nbsp;— 8&nbsp;— 4&nbsp;— 7 ‒ 5 ‒ 6&nbsp;— 1}<br/>{1&nbsp;— 10&nbsp;— 2&nbsp;— 9&nbsp;— 3&nbsp;— 4&nbsp;— 8&nbsp;— 7 ‒ 5 ‒ 6&nbsp;— 1}<br/>{1&nbsp;— 2&nbsp;— 3&nbsp;— 9&nbsp;— 8&nbsp;— 7&nbsp;— 4&nbsp;— 5 ‒ 6 ‒ 10&nbsp;— 1}
|}


{{Clear}}

== Двоїстий багатогранник ==
П'ятикутна антипризма має канонічно-[[Дуальний многогранник|двоїстий багатогранник]]. [[Напіввписана сфера|Середньовписані сфери]] канонічно двоїстої пари багатогранників збігаються. Для такого способу побудови&nbsp;— двоїстий багатогранник до двоїстого збігається з початковим. Грань двоїстого будується [[Двоїстий однорідний многогранник#Побудова Дормана Люка|методом Дормана Люка]] (метод діє лише для однорідних багатогранників).
[[Файл:Грань п'ятикутного трапецоедра.png|міні|246x246пкс|Грань п'ятикутного трапецоедра]]
[[Файл:DormanLuke.svg]]

Канонічно двоїстим багатогранником до 5-антипризми є [[п'ятикутний трапецоедр]].

Має 10 граней: [[дельтоїд]]и з гострим кутом <math>\alpha =  \frac{\pi}{5}  rad = 36^\circ</math> та трьома тупими кутами <math>\beta =  \frac{3\pi}{5}  rad = 108^\circ</math>;

20 ребер, 12 вершин.

Якщо ребро 5-антипризми дорівнює <big><math>a</math></big>, то ребра двоїстого 5-трапецоедра дорівнюють: Коротке ребро: <math>l = \frac{\sqrt{5}-1}{2} \cdot a =   (\varphi -1) \cdot a \approx 0.6180339\cdot a</math> <br/>Довге ребро: <math>L = \frac{\sqrt{5}+1}{2} \cdot a = \varphi \cdot a \approx 1.6180339\cdot a</math>
<gallery widths="150" heights="200">
Файл:5-трапецоедр..png|П'ятикутний трапецоедр
Файл:Розгортка 5-трапецоедра.png|Розгортка п'ятикутного трапецоедра
Файл:Поєднання 5-антипризми та 5-трапецоедра.png|Поєднання 5-антипризми та 5-трапецоедра
</gallery>

== Узагальнення ==
[[Файл:П'ятикутна антипризма.png|ліворуч|міні|175x175пкс|П'ятикутна антипризма]]

'''П'ятикутна антипризма''' &nbsp;— [[призматоїд]], у якого дві паралельні грані (основи)&nbsp;— рівні між собою 5-кутники, а решта 10 граней (бокові грані)&nbsp;— [[Трикутник|різносторонні трикутники]].
{{Clear}}
[[Файл:Пряма п'ятикутна антипризма.png|ліворуч|міні|241x241пкс|'''Пряма п'ятикутна антипризма''']]
[[Файл:Snub-polyhedron-pentagonal-antiprism.png|міні|Пряма п'ятикутна антипризма як результат геометричної операції «Альтернування»]]

'''Пряма п'ятикутна антипризма'''&nbsp;— п'ятикутна антипризма, основами якої є рівні між собою (конгруентні) [[П'ятикутник|правильні п'ятикутники]], а бокові грані&nbsp;— [[Рівнобедрений трикутник|рівнобедрені трикутники]].

'''Правильна''' '''п'ятикутна антипризма'''&nbsp;— пряма п'ятикутна рівностороння антипризма. В цьому багатограннику бокові грані&nbsp;— [[Правильний трикутник|правильні трикутники]] і він, власне, і є однорідною [[П'ятикутна антипризма|п'ятикутною антипризмою]].

Нехай ребра основи мають довжину <big><math>a</math></big>, а ребра бічних граней мають довжину <big><math>l</math></big>.

Тоді, висота антипризми: <math>H = \sqrt{l^2- \frac{5-\sqrt{5}}{10} \cdot a^2}</math>

П'ятикутні грані основ повернені одна відносно іншої навколо осі на кут <math>\frac{180^\circ}{5} = 36^\circ</math> (якщо цей кут має інше значення, багатогранник правильніше називати п'ятикутною скрученою призмою).

Пряма, що сполучає центри основ (вісь антипризми), перпендикулярна до площин основ.

== Топологічно еквівалентні багатогранники ==
[[Файл:Скручена п'ятикутна призма1.png|ліворуч|міні|272x272пкс|Скручена п'ятикутна призма]]
[[Файл:Скручена п'ятикутна призма2.png|міні|287x287пкс|Скручена п'ятикутна призма]]
'''<big>Скручена п'ятикутна призма</big>'''<ref>[https://polytope.miraheze.org/wiki/Pentagonal_gyroprism pentagonal gyroprism]</ref> (за годинниковою стрілкою або проти годинникової стрілки) може мати те саме розташування вершин, що і пряма п'ятикутна антипризма.

Багатогранник можна отримати з прямої п'ятикутної [[Призма (математика)|призми]] шляхом повороту однієї з її основ навколо осі призми на деякий кут <math>\varphi\neq\frac{\pi}{5}</math>. В цьому випадку бокові грані&nbsp;— рівні між собою різносторонні [[трикутник]]и.

Якщо кут повороту лежить в інтервалі <math>0<\varphi <\frac{2\pi}{5}=72^\circ</math>, багатогранник буде опуклим. При <math>\frac{2\pi}{5} <\varphi < \pi=180^\circ</math>, багатогранник буде неопуклим без перетину бокових граней.

Пряма, що сполучає центри основ (вісь антипризми), перпендикулярна до площин основ.<ref>{{Cite web|url=http://www.korthalsaltes.com/cuadros.php?type=twisted-prisms|title=Рисунки скрученных призм и антипризм|accessdate=2017-01-31|archivedate=2016-12-12|archiveurl=https://web.archive.org/web/20161212124148/http://www.korthalsaltes.com/cuadros.php?type=twisted-prisms|deadurl=no}}</ref>.

[[Файл:Crossed pentagonal antiprism.png|ліворуч|міні]]
'''<big>Схрещена п'ятикутна антипризма</big>'''&nbsp;— багатогранник, топологічно ідентичний п'ятикутній антипризмі, але його неможливо зробити [[Однорідний многогранник|однорідним]]; бічні сторони&nbsp;— [[Рівнобедрений трикутник|рівнобедрені трикутники]], а {{Не перекладено|Розташування вершин|розташування вершин|en|Vertex arrangement}} таке ж, як у [[П'ятикутна призма|п'ятикутної призми]].

Багатогранник отримується з прямої призми шляхом повороту однієї з 5-кутної граней навколо осі призми відносно іншої на кут <math>\varphi  = \frac{6\pi}{5}=216^\circ</math>. В цьому випадку бокові грані перетинають одна одну.

Його [[Конфігурація вершини|вершинна конфігурація]] 3.3/2.3.5 , з одним ретроградним трикутником. Він має d<sub>5d</sub> симетрію, порядку 10.

{{Clear}}

== Пов'язані та споріднені багатогранники ==
П'ятикутна антипризма належить до родини [[Однорідний многогранник|однорідних багатогранників]]&nbsp;— антипризм і є третім багатогранником в цій родині. До цієї родини також належать [[Правильний тетраедр|тетраедр]] (вироджена двокутна антипризма), [[октаедр]] (трикутна антипризма) та [[квадратна антипризма]].
{{Однорідні антипризми}}

=== Похідні багатогранники ===
П'ятикутну антипризму можна наростити [[П'ятикутна піраміда|п'ятикутною пірамідою]], в результаті утвориться [[Правильногранний многогранник|багатогранник Джонсона]] '''J<sub>11</sub>'''&nbsp;— {{Не перекладено|Скручена подовжена п’ятикутна піраміда|скручена подовжена п’ятикутна піраміда|en|gyroelongated pentagonal pyramid}}.
[[Файл:Правильний_ікосаедр_як_двічі_нарощена_п'ятикутна_антипризма.png|ліворуч|міні|293x293пкс|'''Правильний ікосаедр як двічі нарощена п'ятикутна антипризма''']]
Якщо п'ятикутну антипризму з довжиною ребра <big>''{{Mvar|a}}''</big> наростити двома рівносторонніми [[П'ятикутна піраміда|п'ятикутними пірамідами]] (що є [[Правильногранний многогранник|багатогранниками Джонсона]] J<sub>2</sub>),&nbsp;— утвориться [[правильний ікосаедр]] з довжиною ребра <big>''{{Mvar|a}}''</big>.

При цьому висота нарощених пірамід дорівнює <math>OH = \sqrt{\frac{5-\sqrt{5}}{10}} \cdot a = \frac{1}{\sqrt{\varphi + 2}} \cdot a \approx 0.525731 \cdot a</math>

Таким чином [[правильний ікосаедр]] можна назвати '''''скрученою подовженою п'ятикутною біпірамідою'''''.<ref name="bendwavy.org">{{Cite web|url=https://bendwavy.org/klitzing/incmats/ike.htm|title=ike|last=Klitzing|first=Richard|website=bendwavy.org|language=англ.}}</ref>
[[Файл:Pentagonal_gyroelongated_bipyramid.png|праворуч|безрамки|154x154пкс]]
В цьому випадку він має діедричну симетрію [[П'ятикутна антипризма|5-Антипризми]] ([[Діедрична симетрія в тривимірному просторі|D<sub>5d</sub>]]<sup>[en]</sup>, [2<sup>+</sup>,10], (2*5), порядок 20).
{{Clear}}
Два [[Однорідний многогранник|однорідних]] з'єднання багатогранників складаються з п'ятикутних антипризм:
{| class="wikitable"
|+
![https://polytope.miraheze.org/wiki/Great_snub_dodecahedron Великий кирпатий додекаедр]
(з'єднання 6-ти 5-антипризм)
![https://polytope.miraheze.org/wiki/Great_disnub_dodecahedron Великий двічі-кирпатий додекаедр]
(з'єднання 12-ти 5-антипризм)
|-
|[[Файл:UC27-6 pentagonal antiprisms.png|250x250пкс]]
|[[Файл:UC26-12 pentagonal antiprisms.png|250x250пкс]]
|}

До п'ятикутної антипризми можуть бути застосовані геометричні операції «[[Зрізання (геометрія)|зрізання]]» та «часткове видалення» або «{{Не перекладено|Альтернація (геометрія)|альтернування|en|Alternation (geometry)}}» до однієї з форм {{Не перекладено|Кирпата квадратна антипризма|кирпатих антипризм|en|Snub square antiprism}}:
{| class="wikitable mw-collapsible"
|+Кирпаті антипризми
!Антипризма <br/> [https://levskaya.github.io/polyhedronisme/?recipe=C100A5 A5]
![[Зрізання (геометрія)|Зрізання]] <br/>[https://levskaya.github.io/polyhedronisme/?recipe=C100tA5 tA5]
!{{Не перекладено|Альтернування (геометрія)|Альтернування|en|Alternation (geometry)}} <br/>[https://levskaya.github.io/polyhedronisme/?recipe=C100sY5 sY5] = htA5
|- align="center"
|[[Файл:Pentagonal antiprism.png|120x120пкс]] <br/>s{2,10}
{{ДКД|node_h|2x|node_h|10|node}}
|[[Файл:Truncated pentagonal antiprism.png|120x120пкс]] <br/>ts {2,10}
|[[Файл:Snub pentagonal antiprism.png|120x120пкс]]<br/>ss {2,10}
|-
|5-антипризма
|Зрізана 5-антипризма
|Кирпата 5-антипризма
|-
|(В:10; Р:20; Г:12)
|(В:40; Р:60; Г:22)
|(В:20; Р:50; Г:32)
|}
[[Файл:Rectified pentagonal antiprism.png|ліворуч|міні|Багатогранник, утворений шляхом застосування до 5-антипризми геометричної операції «{{Не перекладено|Повне зрізання (геометрія)|Повне зрізання|en|Rectification (geometry)}}»]]
[[Файл:Rectified pentagonal antiprism net.png|міні|Його розгортка]]
{{Clear}}

== Див. також ==

* [[Призматичний однорідний многогранник]]

== Примітки ==
<references></references>

== Література ==
{{Refbegin|colwidth=30em}}
* {{Книга
|відповідальний = A.F. Holleman, Nils Wiberg, Egon Wiberg
|рік = 2001
|заголовок = Inorganic Chemistry
|видавництво = Academic Press
|ref = Holleman-Wiberg
|ISBN = 0-12-352651-5
}}
* {{Стаття|title=Antiprismatic Coordination about Xenon: the Structure of Nitrosonium Octafluoroxenate(VI)|том=173|видання=Science|issue=4003|issn=0036-8075|doi=10.1126/science.173.4003.1238|pmid=17775218|author=W. Peterson, A. Holloway, H. Coyle, M. Williams|ref=Peterson, Holloway, Coyle, Williams|date=1971|bibcode=1971Sci...173.1238P}}
* {{Книга
|заголовок = The Facts on File Geometry Handbook
|автор = Catherine A. Gorini
|рік = 2003
|ISBN = 0-8160-4875-4
|видавництво = Facts On File, Inc
|місце = New York
|ref = Gorini
}}
* {{Книга
|автор = Norman N. Greenwood, Alan Earnshaw
|рік = 1997
|заголовок = Chemistry of the Elements (2nd ed.)
|видавництво = Butterworth-Heinemann
|ISBN = 0-08-037941-9
|ref = Norman & Earnshaw
}}
* {{книга
|заголовок = Энциклопедия элементарной математики. Книга четвёртая. Геометрия
|видавництво = Государственное издательство физико-математической литературы
|місце = М.
|рік = 1963
|відповідальний = Под ред. [[Александров Павло Сергійович|П. С. Александрова]], А. И. Маркушевича, Хинчин, А. Я. Хинчина
|частина = Многоугольники и многогранники
|сторінки = 382-447
|ref = Энциклопедия элементарной математики
}}
{{Refend}}

== Посилання ==
* {{MathWorld|urlname=Antiprism|title=Antiprism}}
* {{Polytope Wiki|urlname=Pentagonal_antiprism|title=Pentagonal antiprism}}
* {{Dmccooey|urlname=PentagonalAntiprism|title=Pentagonal Antiprism}}
* Klitzing, Richard. [https://bendwavy.org/klitzing/incmats/pap.htm «pap»].
* Quickfur. [https://www.qfbox.info/4d/antiprism5 «The Pentagonal Antiprism»]
* ''George W.'' Hart [http://www.georgehart.com/virtual-polyhedra/prisms-info.html Prism and Antiprism] {{Webarchive|url=https://web.archive.org/web/20170528173302/http://www.georgehart.com/virtual-polyhedra/prisms-info.html|date=28 травня 2017}} {{ref-en}}
* [https://archive.today/20151105050933/http://polyhedramath.com/prisms-and-antiprisms/ PolyhedraMath. A guide to the world of polyhedrons.Prisms and Antiprisms]
* [https://web.archive.org/web/20080615140727/http://polyhedra.org/poly/show/28/pentagonal_antiprism Pentagonal Antiprism: Interactive Polyhedron Model]
* [http://www.korthalsaltes.com/ Paper Models of Polyhedra] {{Webarchive|url=https://web.archive.org/web/20130226042323/http://www.korthalsaltes.com/|date=26 лютого 2013}}
** [https://www.polyhedra.net/en/model.php?name-en=pentagonal-antiprism Paper Pentagonal Antiprism]
* [http://www.georgehart.com/virtual-polyhedra/vp.html Virtual Reality Polyhedra]: The Encyclopedia of Polyhedra

{{Багатогранники}}
{{Бібліоінформація}}

[[Категорія:Многогранники]]
[[Категорія:Призматоїди]]