Перегляд вихідного коду сторінки П'ятикомірник

{| class="wikitable" style="float:right; margin-left:10px" width="250"
! colspan="2" style="background-color:#e7dcc3" |П'ятикомірник
|-
| align="center" colspan="2" |[[Файл:Schlegel_wireframe_5-cell.png|250x250пкс]]<br/>
[[Діаграма Шлегеля]]: проєкція ([[перспектива]]) п'ятикомірника в [[тривимірний простір]]
|-
| style="background-color:#e7dcc3" |Тип
|[[Правильні багатовимірні багатогранники|Правильний чотиривимірний політоп]]
|-
| style="background-color:#e7dcc3" |Символ Шлефлі
|{3,3,3}
|-
| style="background-color:#e7dcc3" |Комірок
|5
|-
| style="background-color:#e7dcc3" |Граней
|10
|-
| style="background-color:#e7dcc3" |Ребер
|10
|-
| style="background-color:#e7dcc3" |Вершин
|5
|-
| style="background-color:#e7dcc3" |Вершинна фігура
|[[Правильний тетраедр]]
|-
| style="background-color:#e7dcc3" |Двоїстий політоп
|Він же (самодвоїстий)
|}
[[Файл:5-cell.gif|міні|250x250пкс|Проєкція п'ятикомірника в тривимірний простір]]
[[Файл:Stereographic_polytope_5cell.png|міні|250x250пкс|[[Стереографічна проєкція]] п'ятикомірника]]
'''П'ятикомірник'''<ref>{{Cite web|url=http://enpuir.npu.edu.ua/bitstream/123456789/25291/1/3.pdf|title=Висвітлення проблеми квантової гравітації в курсі фізики педагогічних університетів|last=Благодаренко Л. Ю.|first=|date=|website=|publisher=НПУ імені М. П. Драгоманова|language=укр.|accessdate=29 січня 2021|last2=Ротозей А. О.|page=6}}</ref>, або '''пентахор'''<ref>{{Cite web|url=http://repositary.knuba.edu.ua/bitstream/handle/987654321/2865/andrashko.pdf?sequence=1&isAllowed=y|title=Інформаційна технологія оцінювання результатів наукової діяльності на основі проєктно-векторних моделей|last=Андрашко|first=Юрій|date=|website=|publisher=Київський національний університет будівництва і архітектури|language=укр.|accessdate=29 січня 2021|page=8}}</ref> (від {{Lang-grc|πέντε}}&nbsp;— «п'ять» і {{Lang-grc2|χώρος}}&nbsp;— «місце, простір»),&nbsp;— один з [[Правильні багатовимірні многогранники|правильних багатокомірників]] у [[Чотиривимірний простір|чотиривимірному просторі]]: правильний чотиривимірний [[симплекс]].

Відкритий [[Людвіг Шлефлі|Людвігом Шлефлі]] в середині 1850-х років<ref>{{Cite web |url=http://members.aol.com/Polycell/glossary.html |title=George Olshevsky. |accessdate=7 лютого 2007 |archiveurl=https://web.archive.org/web/20070207021813/http://members.aol.com/Polycell/glossary.html |archivedate=7 лютого 2007 |deadurl=no }}</ref>. [[Символ Шлефлі]] п'ятикомірника&nbsp;— {3,3,3}.

Є [[Дуальний многогранник|двоїстим]] сам собі. На відміну від п'яти інших правильних [[4-політоп|багатокомірників]], не має [[Центральна симетрія|центральної симетрії]].

Використовується у фізико-хімічному аналізі для вивчення властивостей багатокомпонентних систем<ref name="NKJ201805">{{статья |автор=Александр Семёнов|заглавие=Многогранный пентатоп|издание=[[Наука и жизнь]]|год=2018|номер=5|страницы=66—74|ссылка=https://www.nkj.ru/archive/articles/33706/|язык=ru}}</ref>.

== Опис ==
Обмежений 5 тривимірними комірками&nbsp;— однаковими [[Правильний тетраедр|правильними тетраедрами]]. Будь-які дві комірки&nbsp;— суміжні; кут між ними дорівнює <math>\arccos \, \frac{1}{4} \approx 75{,}52^\circ.</math>

Його 10 двовимірних граней&nbsp;— однакові [[Правильний трикутник|правильні трикутники]]. Кожна грань розділяє 2 прилеглі до неї комірки.

Має 10 ребер рівної довжини. На кожному ребрі сходяться по 3 грані й по 3 комірки.

Має 5 вершин. У кожній вершині сходяться по 4 ребра, по 6 граней і по 4 комірки. Будь-які 2 вершини з'єднані ребром; будь-які 3 вершини належать одній грані; будь-які 4 вершини належать одній комірці.

П'ятикомірник можна розглядати як правильну чотиривимірну піраміду з [[Чотиригранник|тетраедричною]] основою.

== У координатах ==

=== Перший спосіб розташування ===
П'ятикомірник можна розмістити в [[Декартова система координат|декартовій системі координат]] так, щоб його вершини мали координати <math>(1;1;1;0),</math> <math>(1;-1;-1;0),</math> <math>(-1;1;-1;0),</math> <math>(-1;-1;1;0),</math> <math>(0;0;0;\sqrt5).</math>

При цьому точка <math>\left(0;0;0;\frac{\sqrt5}{5}\right)</math> буде центром вписаної, описаної і піввписаної [[3-сфера|тривимірних гіперсфер]].

=== Другий спосіб розташування ===
У п'ятивимірному просторі можливо розмістити п'ятикомірник так, щоб усі його вершини мали цілі координати: <math>(1;0;0;0;0),</math> <math>(0;1;0;0;0),</math> <math>(0;0;1;0;0),</math> <math>(0;0;0;1;0),</math> <math>(0;0;0;0;1).</math>

Центром вписаної, описаної і [[Напіввписана сфера|напіввписаної]] гіперсфер при цьому буде точка <math>\left(\frac{1}{5};\frac{1}{5};\frac{1}{5};\frac{1}{5};\frac{1}{5}\right).</math>.

== Ортогональні проєкції на площину ==
<div class="tleft" style="clear:none">[[Файл:4-simplex t0.svg|170px]]</div>
<div class="tleft" style="clear:none">[[Файл:4-simplex t0 A3.svg|170px]]</div>
<div class="tleft" style="clear:none">[[Файл:4-simplex t0 A2.svg|170px]]</div>
{{-}}

== Метричні характеристики ==
Якщо п'ятикомірник має ребро довжини <math>a,</math> то його чотиривимірний гіпероб'єм і тривимірна гіперплоща поверхні виражаються відповідно як
: <math>V_4 = \frac{\sqrt5}{96}\;a^4\ \approx 0{,}0232924a^4,</math>
: <math>S_3 = \frac{5\sqrt2}{12}\;a^3 \approx 0{,}5892557a^3.</math>

Радіус описаної [[3-сфера|тривимірної гіперсфери]] (що проходить через усі вершини багатокомірника) при цьому буде дорівнює
: <math>R = \frac{\sqrt{10}}{5}\;a \approx 0{,}6324555a,</math>

радіус зовнішньої напіввписаної гіперсфери (дотикається до всіх ребер у їхніх серединах)&nbsp;—
: <math>\rho_1 = \frac{\sqrt{15}}{10}\;a \approx 0{,}3872983a,</math>

радіус внутрішньої напіввписаної гіперсфери (дотикається до всіх граней у їхніх центрах)&nbsp;—
: <math>\rho_2 = \frac{\sqrt{15}}{15}\;a \approx 0{,}2581989a,</math>

радіус вписаної гіперсфери (дотикається до всіх комірок у їхніх центрах)&nbsp;—
: <math>r = \frac{\sqrt{10}}{20}\;a \approx 0{,}1581139a.</math>

== Неправильні п'ятикомірники ==
Іноді словом «п'ятикомірник» може позначатися не тільки правильний, але й довільний чотиривимірний [[симплекс]].

== Примітки ==
{{Reflist}}

== Посилання ==
* {{MathWorld|urlname=5-Cell|title=П'ятикомірник}}

{{Геометрія-доробити}}
{{Багатогранники}}
{{Основні опуклі правильні й однорідні політопи в розмірностях 2-10}}
[[Категорія:Многогранники]]