Перегляд вихідного коду сторінки Основна теорема алгебри

{{Distinguish|Основна теорема арифметики}}
'''Основна теорема алгебри''' стверджує, що всякий відмінний від [[константа|константи]] [[многочлен]] з однією змінною над [[Поле (алгебра)|полем]] [[комплексні числа|комплексних чисел]] має щонайменше один комплексний [[Корінь многочлена|корінь]].<ref>{{cite book|назва=Алгебра|автор=Б. Л. ван дер Варден|рік=1976|видавництво=М. Наука|сторінки=283|isbn=}}</ref> Це також стосується і многочленів із дійсними коефіцієнтами, оскільки будь-яке дійсне число є комплексним числом із уявною частиною, яка дорівнює нулю.

Звідси випливає, що многочлен степеня <math>n</math> має <math>n</math> комплексних коренів, враховуючи їхні кратності.

Еквівалентно (за визначенням), теорема стверджує, що [[Поле (алгебра)|поле]] [[Комплексне число|комплексних чисел]] є [[Алгебрично замкнуте поле|алгебраїчно замкненим]].

== Доведення ==
Найпростіше [[доведення]] цієї [[теорема|теореми]] дається методами комплексного аналізу. Використовується той факт, що [[аналітична функція|функція, яка аналітична]] на всій комплексній площині й не має [[особливість|особливостей]] на нескінченності, є [[константа]]. Тому, функція, зворотна многочлену, повинна мати хоч один полюс на комплексній площині, а, відповідно, многочлен має хоч один [[Корінь многочлена|корінь]].

== Історія ==
Як припущення ця теорема вперше зустрічається у німецького математика Пітера Роуте (пом. 1617). Перші доведення основної теореми алгебри належать [[Альберт Жирар|Жирару]], 1629&nbsp;р., і [[Декарт]]у, 1637&nbsp;р., у формулюванні, відмінному від сучасного. [[Колін Маклорен|Маклорен]] і [[Ейлер]] уточнили формулювання надавши їй форму, еквівалентну сучасній:
{{цитата|Всякий многочлен з дійсними коефіцієнтами можна [[Факторизація многочленів|розкласти в добуток]] лінійних і квадратичних множників з дійсними коефіцієнтами.}}

[[Даламбер]] першим в 1746&nbsp;р. опублікував доведення цієї теореми. Його доказ ґрунтувався на лемі, що якщо для якоїсь '''x f(x)&#8800;0''', де '''f(x)'''&nbsp;— многочлен ступеня &#8805;1, то знайдеться точка '''x<sub>1</sub>''' така, що '''|f(x<sub>1</sub>)|<|f(x)|'''. Доказ цей був би абсолютно строгим, якби Д'аламбер міг довести, що десь на комплексній площині значення модуля многочлена досягає найменшого значення. У 2-й половині XVIII століття з'являються докази Ейлера, [[Лаплас]]а, [[Жозеф-Луї Лагранж|Лагранжа]] й інших. У всіх цих доказах передбачається заздалегідь, що якийсь «ідеальний» корінь многочлена існує, а потім доводиться, що, принаймні, один з них є комплексним числом. [[Ґаусс]] першим дав доказ без цього припущення (єдиним недоведеним Ґауссом припущенням було те, що многочлен з дійсними коефіцієнтами приймає як позитивне, так і негативне значення також має і корінь, що досить геометрично очевидно). Його доказ, по суті, містить побудову поля розкладання многочлена.

З часів доведення теореми в алгебрі було відкрито дуже багато нового, тому сьогодні «основною» цю теорему назвати вже не можна: ця назва тепер є історичною. Крім того, існуючі доведення теореми не цілком «алгебраїчні», вони застосовують твердження про [[Топологія|топологію]] комплексної площини, або хоч би дійсної прямої.

Проте 2015&nbsp;року P.&nbsp;Blaszczyk, використавши гіпердійсну модель дійсної числової прямої, опублікував чисто алгебраїчне доведення цієї теореми<ref>{{Cite news|url=http://arxiv.org/abs/1504.05609|title=A Purely Algebraic Proof of the Fundamental Theorem of Algebra|last=Błaszczyk|first=Piotr|date=2015-04-21|language=|work=arXiv:1504.05609 [math]}}</ref>.

== Див. також ==
* [[Алгебраїчні числа|Алгебраїчні]] та [[комплексні числа]].
* [[Рівняння]].

== Примітки ==
{{reflist}}

== Посилання ==
* {{стаття |автор=В. М. Тихомиров, В. В. Успенский |заголовок=Десять доказательств основной теоремы алгебры |видання=Математическое просвещение |видавництво=МЦНМО |серія=3-я серия |номер=1 |рік=1997 |сторінки=50—70 |посилання=http://www.mccme.ru/free-books/matpros/i2050070.pdf.zip}} {{ref-ru}}
* {{cite web
 |url = http://www-history.mcs.st-andrews.ac.uk/history/HistTopics/Fund_theorem_of_algebra.html
 |title = The fundamental theorem of algebra
 |work = MacTutor History of Mathematics archive
 |author = J. J. O'Connor, E. F. Robertson
 |publisher = School of Mathematics and Statistics, University of St Andrews, Scotland
 |date = 1996-05
}} {{ref-en}}

{{Numtheory-stub}}

[[Категорія:Алгебра]]
[[Категорія:Комплексний аналіз]]
[[Категорія:Теорія чисел]]
[[Категорія:Теореми в алгебрі]]
[[Категорія:1746 у науці]]
[[Категорія:Теорія полів]]