Перегляд вихідного коду сторінки Основи математики

{{Математика бічна панель |expanded=Зв'язок з науками}}
{{For|книгу [[Давид Гільберт|Давида Гільберта]] і Пауля Бернайса (або Бернеса[https://uk.forvo.com/word/paul_bernays/#gsw])|Grundlagen der Mathematik}}
'''Основи математики'''&nbsp;— це дослідження [[Філософія математики|філософських]] і логічних<ref>[https://www.britannica.com/EBchecked/topic/369221/foundations-of-mathematics Joachim Lambek (2007), «Foundations of mathematics», ''Encyc. Britannica'']</ref> і/або [[алгоритм]]ічних основ [[Математика|математики]] або, в ширшому сенсі, математичне дослідження того, що лежить в основі філософських теорій щодо природи математики.<ref>[http://plato.stanford.edu/entries/philosophy-mathematics/#MatLogFouMat Leon Horsten (2007, rev. 2012), «Philosophy of Mathematics» ''SEP'']</ref> У цьому останньому сенсі різниця між основами математики та [[Філософія математики|філософією математики]] виявляється розпливчастою. Основи математики можна розуміти як вивчення основних математичних понять (множина, функція, геометрична фігура, число тощо) і того, як вони утворюють ієрархії більш складних структур і понять, особливо фундаментально важливих структур, які утворюють [[Мова математики|мову математики]] (формули, теорії та їхні [[Теорія моделей|моделі]], що надають значення формулам, визначенням, доведенням, алгоритмам тощо), які також називаються [[Метаматематика|метаматематичними концепціями]], з огляду на філософські аспекти та єдність математики. Пошук основ математики є центральним питанням філософії математики; абстрактна природа математичних об'єктів створює особливі філософські проблеми.

Основи математики в цілому не мають на меті вмістити основи кожної математичної тематики. Загалом, ''основи'' певної галузі знань стосуються більш-менш систематичного аналізу її найосновніших або фундаментальних концепцій, її концептуальної єдності та її природного порядку або ієрархії концепцій, що може допомогти пов'язати її з рештою людських знань. Розвиток, [[емерджентність]] та уточнення основ можуть з'являтися пізніше в історії галузі та можуть не сприйматися всіма як найцікавіша її частина.

Математика відіграє особливу роль у науковій думці, слугуючи з давніх часів моделлю істини та строгості для раціонального дослідження, а також даючи інструменти чи навіть основу для інших наук (особливо фізики). Численні розробки математики в напрямку вищих абстракцій у 19 столітті принесли нові виклики та парадокси, спонукаючи до глибшого та більш систематичного дослідження природи та критеріїв [[Істина|математичної істини]], а також до об'єднання різноманітних галузей математики в єдине ціле.

Систематичні дослідження основ математики розпочалися наприкінці 19 століття і сформували нову математичну дисципліну під назвою [[математична логіка]], яка пізніше мала тісні зв'язки з [[Теоретична інформатика|теоретичною інформатикою]]. Дослідження пройшли через низку криз із парадоксальними результатами, поки відкриття не стабілізувалися протягом 20-го століття як великий і узгоджений масив математичних знань з кількома аспектами або компонентами ([[теорія множин]], [[теорія моделей]], [[теорія доведення]] тощо), чиї детальні властивості і можливі варіанти все ще є активним полем досліджень. Високий рівень технічної складності цих досліджень надихнув багатьох філософів на припущення, що він може слугувати моделлю чи зразком для досліджень основ інших наук.
<blockquote>Ключовим питанням усієї проблеми обґрунтування математики є питання надійності математичного доведення. Якщо припустити, що всі доведення певною мірою ненадійні, то проблема обґрунтування математики, принаймні як проблема внутрішньоматематична, втрачає сенс, бо обґрунтуванняматематичної теорії має бути результатом безумовно надійного доведення.<ref>{{книга 
|автор=Перминов В. Я.
|назва=Философия и основания математики
|isbn=5-89826-098-6
|видавництво=Прогресс-Традиция
|місце=М.
|рік=2001
|сторінок=320
|ref=Перминов В. Я.
}}{{ref-ru}}</ref>
</blockquote>

== Історичний контекст ==
{{main|Історія математики}}

=== Давньогрецька математика ===
{{main|Давньогрецька математика}}
Хоча практика математики раніше розвивалася в інших цивілізаціях, особливий інтерес до її теоретичних та фундаментальних аспектів був чітко очевидним у роботах стародавніх греків.

Ранні грецькі філософи сперечалися щодо того, що є більш базовим&nbsp;— арифметика чи геометрія. [[Зенон Елейський]] (490 р{{Spaced ndash}}в. 430&nbsp;до н.&nbsp;е.) сформулював чотири парадокси, які, здається, демонструють неможливість змін. [[Піфагореїзм|Математична школа Піфагора]] спочатку наполягала на тому, що існують лише натуральні та [[Раціональне число|раціональні числа]]. Відкриття [[Ірраціональні числа|ірраціональності]] {{Radical|2}}, відношення діагоналі квадрата до його сторони (приблизно у V&nbsp;ст.&nbsp;до н.&nbsp;е.), було для них шоком, який вони прийняли неохоче. Розбіжність між раціональними та реальними числами була остаточно усунена [[Евдокс Кнідський|Евдоксом Кнідським]] (408—355&nbsp;рр.).&nbsp;до н.&nbsp;е.), учнем [[Платон]]а, який звів порівняння двох ірраціональних співвідношень до порівнянь кратних величин. Його метод передбачив [[переріз Дедекінда]] в сучасному визначенні дійсних чисел [[Ріхард Дедекінд|Річардом Дедекіндом]] (1831—1916).<ref>{{Cite book
|url=https://archive.org/details/thirteenbookseu00heibgoog/page/n136/mode/2up
|title=The thirteen books of Euclid's Elements, edited by Sir Thomas Heath
|year=1956
|publisher=Dover Publications
|volume=2 (Book V)
|location=New York
|pages=124–126
|isbn=0-486-60089-0
}}</ref>

У ''[[Задня аналітика|Постеріорній аналітиці]]'' [[Арістотель|Аристотель]] (384—322&nbsp;до н.&nbsp;е.) заклав [[Аксіоматика|аксіоматичний метод]] логічної організації галузі знання за допомогою примітивних понять, аксіом, постулатів, визначень і теорем. Аристотель взяв для цього більшість своїх прикладів з арифметики та геометрії. Цей метод досяг свого найвищого рівня в [[Начала Евкліда|''Началах'']] [[Евклід]]а (300 р&nbsp;до н.&nbsp;е.), трактаті з математики, структурованому з дуже високими стандартами строгості: Евклід обґрунтовує кожне положення демонстрацією у формі ланцюжків [[силогізм]]ів (хоча вони не завжди строго відповідають аристотелівським шаблонам). Силогістична логіка Аристотеля разом з аксіоматичним методом, прикладом якого є ''Елементи'' Евкліда, визнані науковими досягненнями Стародавньої Греції.

=== Платонізм як філософія математики ===
Починаючи з кінця 19 століття серед математиків-практиків поширюється платонічний погляд на математику.{{джерело}}

Поняття або, як сказали б платоніки, об'єкти математики абстрактні й далекі від повсякденного досвіду сприйняття: геометричні фігури сприймаються як ідеальні речі, які слід відрізняти від ефективних малюнків і форм об'єктів, а числа не плутають із підрахунком конкретних об'єктів. Їх існування та природа представляють особливі філософські виклики: чим математичні об'єкти відрізняються від їх конкретного представлення? Чи знаходяться вони в їхньому представленні, чи в нашій свідомості, чи десь ще? Як ми можемо їх знати?

Давньогрецькі філософи дуже серйозно ставилися до таких питань. Дійсно, багато з їхніх загальних філософських дискусій проводилися з широким посиланням на геометрію та арифметику. [[Платон]] (424/423 до н.&nbsp;е.{{Spaced ndash}}348/347&nbsp;до н.&nbsp;е.) наполягав на тому, що математичні об'єкти, як і інші платонічні ''ідеї'' (форми чи сутності), повинні бути ідеально абстрактними та мати окремий, нематеріальний вид існування у світі математичних об'єктів, незалежних від людей. Він вважав, що істини про ці об'єкти також існують незалежно від людського розуму, але ''відкриваються'' людьми. У ''[[Менон (Платон)|Меноні]]'' вчитель Платона Сократ стверджує, що можна пізнати цю істину за допомогою процесу, подібного до відновлення пам'яті.

Над воротами в академію Платона був відомий напис: «Нехай сюди не входить той, хто не знає геометрії». Таким чином Платон відзначив свою високу думку про геометрію. Він вважав геометрію «першим необхідним у навчанні філософів» завдяки її абстрактному характеру.

Цю філософію ''[[Філософія математики#Платонізм|платоністського математичного реалізму]]'' поділяють багато математиків.&nbsp; Деякі автори стверджують, що платонізм якимось чином виникає як необхідне припущення, яке лежить в основі будь-якої математичної роботи.<ref name="Podnieks">Karlis Podnieks, [http://www.ltn.lv/~podnieks/gt1.html#BM1_1 Platonism, intuition and the nature of mathematics: 1. Platonism&nbsp;— the Philosophy of Working Mathematicians]</ref>

З цієї точки зору закони природи та закони математики мають подібний статус, і {{не перекладено|Невиправдана ефективність математики в природничих науках|«ефективність»||The Unreasonable Effectiveness of Mathematics in the Natural Sciences}} перестає бути необґрунтованою. Основу становлять не наші аксіоми, а цілком реальний світ математичних об'єктів.

Арістотель розкрив і відкинув цю точку зору у своїй [[Метафізика (Арістотель)|«Метафізиці»]]. Ці питання є джерелом для філософського аналізу та дебатів.

=== Арістотелівський реалізм ===

== Середньовіччя і Відродження ==
Понад 2000 років «Елементи» Евкліда були абсолютно міцною основою для математики, оскільки їх методологія раціонального дослідження керувала математиками, філософами та вченими навіть у 19 столітті.

У [[Середньовіччя|середні віки]] точилася суперечка про онтологічний статус універсалій (платонічних ідей): [[Реалізм (філософія)|реалізм]] стверджував їх існування незалежно від сприйняття; [[концептуалізм]] стверджував їх існування лише в розумі; [[номіналізм]] заперечував те й інше, розглядаючи універсалії лише як назви сукупностей окремих об'єктів (слідуючи за давнішими припущеннями, що вони є словами, «''logoi''»).

[[Рене Декарт]] опублікував ''[[Геометрія (Декарт)|Геометрію]]'' (1637), спрямовану на зведення геометрії до алгебри за допомогою систем координат, надаючи алгебрі більш основоположну роль (у той час як греки використовували довжини для визначення чисел, які зараз називають [[Дійсне число|дійсними числами]]). Книга Декарта стала відомою після 1649 року і приготувала шлях до числення нескінченно малих.

[[Ісаак Ньютон]] (1642—1727) в Англії та [[Готфрід Вільгельм Лейбніц|Лейбніц]] (1646—1716) у Німеччині незалежно один від одного розробили [[Диференціальне та інтегральне числення|числення нескінченно малих]] на підгрунті, яке потребувала нових основ. Зокрема, Лейбніц описав нескінченно малі числа як числа, нескінченно близькі до нуля, концепція, яка не вписується в попередні фундаментальні рамки математики, і не була формалізована до 20 століття. Сильний вплив обчислення нескінченно малих величин на основи математики проілюстровано в памфлеті протестантського філософа [[Джордж Барклі|Джорджа Берклі]] (1685—1753), який писав: «[Нескінченно малі величини] не є ані скінченними величинами, ані нескінченно малими величинами, ані навіть нічим. Чи можемо ми не називати їх привидами померлих кількостей?».<ref name="berkeley">''[[The Analyst]], A Discourse Addressed to an Infidel Mathematician''</ref> Лейбніц також працював над логікою, але більшість його праць залишалися неопублікованими до 1903 року.

Тоді математика дуже швидко й успішно розвивалася у фізичних задачах.

== 19 століття ==
У [[Історія математики#16-19 століття|19 столітті]] математика ставала все більш абстрактною. Занепокоєння логічними прогалинами та невідповідностями в різних сферах призвело до розробки аксіоматичних систем.

=== Аналіз функцій дійсної змінної ===
[[Оґюстен-Луї Коші|Коші]] (1789—1857) розпочав проект формулювання та доведення теорем [[Диференціальне та інтегральне числення|обчислення нескінченно малих]] строгим чином, відкидаючи евристичний принцип [[Загальність алгебри|загальності алгебри,]] який використовувався попередніми авторами. У своїй праці ''[[Cours d'Analyse]]'' 1821 року він визначає [[Нескінченно мала величина|нескінченно малі величини]] в термінах спадних послідовностей, які сходяться до 0, які він потім використав для визначення неперервності. Але він не формалізував своє поняття конвергенції.

Сучасне [[Границя функції в точці|(ε, δ)-визначення границі]] і [[Неперервна функція|неперервності функцій]] було вперше розроблено [[Бернард Больцано|Больцано]] в 1817 році, але залишалося відносно невідомим. Це дає точну основу числення нескінченно малих, засноване на множині дійсних чисел, можливо, розв'язуючи парадокси Зенона та аргументи Берклі.

Математики, зокрема [[Карл Веєрштрасс|Карл Вейерштрасс]] (1815—1897), відкрили такі патологічні функції, як [[Функція Веєрштрасса|безперервні, ніде не диференційовані функції]]. Попередні концепції функції як правила для обчислень або гладкого графіка вже не були адекватними. Вейєрштрасс почав виступати за [[Арифметизація аналізу|арифметизацію аналізу]], за аксіоматизацію аналізу з використанням властивостей натуральних чисел.

У 1858 році [[Ріхард Дедекінд|Дедекінд]] запропонував визначення дійсних чисел як [[Переріз Дедекінда|розрізів]] раціональних чисел. Ця редукція дійсних чисел і неперервних функцій у термінах раціональних чисел, а отже, і натуральних чисел, була пізніше інтегрована [[Георг Кантор|Кантором]] у його теорію множин і аксіоматизована в термінах {{не перекладено|Арифметика другого порядку|арифметики другого порядку||Second-order arithmetic}} Гільбертом і Бернайсом.

=== Теорія груп ===
У 19 столітті вперше були досліджені обмеження математики. [[Нільс Генрік Абель]] (1802—1829), [[Норвежці|норвежець]], і [[Еварист Галуа]] (1811—1832), француз, досліджували розв'язки різноманітних поліноміальних рівнянь і довели, що не існує загального алгебраїчного розв'язку рівнянь ступеня, більшого за чотири ([[Теорема Абеля — Руффіні|теорема Абеля– Руффіні]]). За допомогою цих концепцій [[П'єр Лоран Ванцель|П'єр Ванцель]] (1837) довів, що лише лінійкою та циркулем неможливо [[Трисекція кута|розділити на три частини довільний кут]] або [[Подвоєння куба|подвоїти куб]]. У 1882 році [[Фердинанд фон Ліндеман|Ліндеманн]], спираючись на роботу [[Шарль Ерміт|Ерміта]], показав, що [[Квадратура круга|квадратура кола]] за допомогою лінійки та циркуля (побудова квадрата, рівного за площею заданому колу) також неможлива, довівши, що [[Число пі|{{Pi}}]] є [[Трансцендентне число|трансцендентним числом]]. З часів стародавніх греків математики марно намагалися вирішити всі ці проблеми.

Праці Абеля та Галуа відкрили шлях для розвитку [[Теорія груп|теорії груп]] (яка пізніше буде використана для вивчення [[Симетрія|симетрії]] у фізиці та інших галузях науки) і [[Абстрактна алгебра|абстрактної алгебри]]. Поняття [[Векторний простір|векторних просторів]] виникли з концепції [[Барицентричні координати|барицентричних координат]] [[Август Фердинанд Мебіус|Мебіуса]] в 1827 році і розвинулись до сучасного визначення векторних просторів і лінійних карт Пеано в 1888 році. Геометрія більше не обмежувалася трьома вимірами. Ці поняття не узагальнювали поняття числа, а поєднували поняття функцій і множин, які ще не були формалізовані, відриваючись від звичних математичних об'єктів.

=== Неевклідові геометрії ===
Після багатьох невдалих спроб вивести [[Аксіома паралельності Евкліда|постулат про паралельність]] з інших аксіом, дослідження досі гіпотетичної [[гіперболічна геометрія|гіперболічної геометрії]] [[Йоганн Генріх Ламберт|Йоганном Генріхом Ламбертом]] (1728—1777) привело його до введення [[Гіперболічні функції|гіперболічних функцій]] і обчислення площі [[Гіперболічний трикутник|гіперболічного трикутника]] (де сума кутів менша 180°). Потім російський математик [[Лобачевський Микола Іванович|Микола Лобачевський]] (1792—1856) встановив у 1826 році (і опублікував у 1829 році) когерентність цієї геометрії (отже, незалежність [[Аксіома паралельності Евкліда|паралельного постулату]]), паралельно з угорським математиком [[Янош Бояї|Яношем Бояї]] (1802—1860) у 1832 році і з [[Карл Фрідріх Гаусс|Гаусом]]. Пізніше в 19 столітті німецький математик [[Бернгард Ріман|Бернхард Ріман]] розробив [[Еліптична геометрія|еліптичну геометрію]], ще одну [[Неевклідова геометрія|неевклідову геометрію]], де неможливо знайти паралельні лінії, а сума кутів у трикутнику перевищує 180°. Було доведено узгодженість визначення точки як пари протилежних точок на нерухомій сфері та визначення лінії як [[Велике коло|великого кола]] на сфері. У той час основним методом доведення несуперечливості набору аксіом було створення для нього [[Структура (математична логіка)|моделі]].

=== Проективна геометрія ===
Однією з пасток [[Формальна система#Визначення та різновиди|дедуктивної системи]] є [[хибне коло]], проблема, яка, здавалося, спіткала [[Проєктивна геометрія|проективну геометрію]], поки її не розв'язав [[Карл фон Штаудт]]. Як пояснюють російські історики математики:<ref>Б.&nbsp;Л.&nbsp;Лаптев, Б.&nbsp;А.&nbsp;Розенфельд и др. (1981) ''Математика XIX века. Геометрия. Теория аналитических функций'', с. 45, М., Издательство «Наука»</ref>
<blockquote>В середині XIX ст. відбувалися запеклі суперечки між прихильниками синтетичного і аналітичного методів в прективній геометрії, які звинувачували один одного в плутанні проективних і метричних понять. Дійсно, основне поняття, яке застосовувалося при синтетичному викладі проективної геометрії,&nbsp;— [[Гармонійна четвірка|подвійне відношення чотирьох точок прямої]]&nbsp;— вводилося за допомогою розгляду довжин відрізків.</blockquote>

Чисто геометричний підхід фон Штаудта базувався на [[Повний чотирикутник|повному чотирикутнику]] для вираження відношення [[Гармонійна четвірка|проективних гармонійних спряжень]]. Потім він створив засіб для вираження відомих числових властивостей за допомогою своєї [[Карл фон Штаудт#Алгебра кидків|Алгебри кидків]]. Англомовні версії цього процесу виведення властивостей [[Поле (алгебра)|поля]] можна знайти або в книзі [[Освальд Веблен|Освальда Веблена]] та Джона Янга ''«Проективна геометрія»'' (1938), або нещодавно в ''«Чотирьох стовпах геометрії»'' {{не перекладено|Джон Стіллвелл|Джона Стіллвелла||John Stillwell}} (2005). Стіллвелл пише на сторінці 120:
<blockquote>…проективна геометрія в певному сенсі простіша за алгебру, тому що ми використовуємо лише п'ять геометричних аксіом для виведення дев'яти аксіом поля.</blockquote>''Алгебра кидків'' зазвичай розглядається як функція перехресних співвідношень, оскільки студенти зазвичай покладаються на [[Число|числа]], не турбуючись про їх основу. Однак розрахунки перехресного співвідношення використовують [[Метричний простір|метричні]] особливості геометрії, особливості, які не допускаються пуристами. Наприклад, у 1961 році [[Гарольд Коксетер|Коксетер]] написав ''«Вступ до геометрії»'' без згадки про перехресне співвідношення.

=== Булева алгебра і логіка ===
Спроби формального розгляду математики розпочалися з Лейбніца та [[Йоганн Генріх Ламберт|Ламберта]] (1728—1777) і продовжилися роботами алгебраїстів, таких як [[Джордж Пікок]] (1791—1858). Систематичні математичні трактування логіки пов'язані з британським математиком [[Джордж Буль|Джорджем Булем]] (1847), який розробив алгебру, яка незабаром перетворилася на те, що зараз називається [[Алгебра логіки|булевою алгеброю]], в якій єдиними числами були 0 і 1 і логічні комбінації (кон'юнкція, диз'юнкція, імплікація та заперечення).)&nbsp;— операції, подібні до додавання та множення цілих чисел. Крім того, [[Аугустус де Морган|Де Морган]] опублікував свої [[Правила де Моргана|закони]] в 1847 році. Таким чином логіка стала розділом математики. Булева алгебра є відправною точкою математичної логіки та має важливі застосування в [[Інформатика|інформатиці]] .

[[Чарлз Сандерс Пірс|Чарльз Сандерс Пірс]] ґрунтувався на роботі Буля, щоб розробити логічну систему [[Відношення|відношень]] і [[квантор]]ів, яку він опублікував у кількох статтях з 1870 по 1885 рік.

Німецький математик [[Готлоб Фреге|Готтлоб Фреге]] (1848—1925) представив незалежний розвиток логіки з кванторами у своїй {{не перекладено|Begriffsschrift|||Begriffsschrift}} (''Мова формул''), опублікованій у 1879 році, роботі, яка загалом вважається поворотною точкою в історії логіки. Він викрив недоліки в ''«Логіці»'' Арістотеля та вказав на три очікувані властивості математичної теорії:{{джерело}}

# [[Несуперечність]]: неможливість довести суперечливі твердження.
# [[Повнота (логіка)|Повнота]]: будь-яке твердження є або доказовим, або спростованим (тобто його заперечення є доказовим).
# [[Алгоритмічна розв'язність|Розв'язність]]: існує процедура прийняття рішення для перевірки будь-якого твердження в теорії.
Потім Фреге показав у ''Grundgesetze der Arithmetik (Основні закони арифметики),'' як арифметику можна формалізувати в його новій логіці.

Роботи Фреге були популяризовані [[Бертран Рассел|Бертраном Расселом]] на рубежі століть. Але двовимірне позначення Фреге не мало успіху. Популярними позначеннями були для універсальних <math>\left(x\right)</math> і <math>\left(\exists{x}\right)</math> для екзистенційних кванторів, що походять від [[Джузеппе Пеано]] та {{не перекладено|Вільям Ернест Джонсон|Вільяма Ернеста Джонсона||William Ernest Johnson}}, поки символ <math>\forall</math> не був введений [[Ґергард Ґенцен|Герхардом Генценом]] у 1935 році та став канонічним у 1960-х роках і універсальне <math>\left(x\right)</math> стало позначатися як <math>\forall{x}</math> .

З 1890 по 1905 рік [[Ернст Шредер]] опублікував ''Vorlesungen über die Algebra der Logik'' у трьох томах. Ця робота узагальнювала та розширювала роботи Буля, Де Моргана та Пірса та була вичерпним довідником з [[Математична логіка|символічної логіки]], як її розуміли наприкінці 19 століття.

=== Арифметика Пеано ===
Формалізація [[Арифметика|арифметики]] (теорії [[Натуральне число|натуральних чисел]]) як аксіоматичної теорії почалася Пірсом у 1881 році та продовжилася [[Ріхард Дедекінд|Річардом Дедекіндом]] і [[Джузеппе Пеано]] у 1888 році. Це все ще була аксіоматизація [[Логіка другого порядку|другого порядку]] (вираження індукції в термінах довільних підмножин, таким чином з неявним використанням [[Теорія множин|теорії множин]]), оскільки проблеми з вираженням теорій у [[Логіка першого порядку|логіці першого порядку]] ще не були зрозумілі. У роботі Дедекінда цей підхід виглядає як повна характеристика натуральних чисел і надання рекурсивних визначень додавання та множення через {{не перекладено|Функція наступності|функцію наступності||Successor function}} та [[Математична індукція|математичну індукцію]].

== Криза основ математики ==
{{main|Криза основ математики}}
'''Криза основ математики''' ({{lang-de|Grundlagenkrise der Mathematik}}) стала на початку 20-го століття назвою для пошуку відповідних основ для математики.

Кілька шкіл [[Філософія математики|філософії математики]] одна за одною зіткнулися з труднощами в 20 столітті, оскільки припущення про те, що математика має певну основу, яка може бути [[Несуперечність|несуперечно]] викладена в самій математиці, було серйозно поставлено під сумнів відкриттям різноманітних [[парадокс]]ів (таких як [[Парадокс Расселла|парадокс Рассела]]).

Назву ''парадокс'' не слід плутати з ''протиріччям''. [[Суперечність|Протиріччя]] у формальній теорії&nbsp;— це формальний доказ абсурдності всередині теорії (наприклад {{Math|1=2 + 2 = 5}}), який показує, що ця теорія є [[Суперечність|суперечливою]] та має бути відкинута. Але парадокс може бути або несподіваним, але істинним результатом у даній формальній теорії, або неформальним аргументом, що веде до протиріччя, так що теорія-кандидат, якщо її потрібно формалізувати, повинна заборонити принаймні один із своїх кроків; у цьому випадку проблема полягає в тому, щоб знайти задовольняючу теорію без протиріч. Обидва значення можуть застосовуватися, якщо формалізована версія аргументу формує доказ несподіваної істини. Наприклад, парадокс Рассела можна виразити так: «не існує множини всіх множин» (за винятком деяких граничних аксіоматичних теорій множин).

Різні школи думки протистояли одна одній. Провідною школою була школа [[Формалізм (математика)|формалістів]], головним прихильником якої був [[Давид Гільберт]], що досягло кульмінації у так званій [[Програма Гільберта|програмі Гільберта]], яка мала намір обґрунтувати математику на невеликій основі логічної системи, яка була підтверджена [[Метаматематика|метаматематичними]] [[Фінітизм|фінітістичними]] засобами. Головним противником формалістичної школи була [[Інтуїціонізм|інтуїтивістська]] школа на чолі з [[Лейтзен Егберт Ян Брауер|Л. Е.&nbsp;Я.&nbsp;Брауером]], яка рішуче відкидала формалізм як безглузду гру з символами.<ref>van Dalen D. (2008), «Brouwer, Luitzen Egbertus Jan (1881—1966)», in Biografisch Woordenboek van Nederland. URL:http://www.inghist.nl/Onderzoek/Projecten/BWN/lemmata/bwn2/brouwerle [2008-03-13]</ref> Боротьба була гострою. У 1920 році Гільберт домігся, щоб Брауера, якого він вважав загрозою математиці, вилучили з редакційної колегії ''[[Mathematische Annalen]]'', провідного математичного журналу того часу.

=== Філософські погляди ===
{{main|Філософія математики}}
На початку 20 століття протистояли три школи філософії математики: формалізм, інтуїтивізм і логіцизм. На {{не перекладено|Друга конференція з епістемології точних наук|Другій конференції з епістемології точних наук||Second Conference on the Epistemology of the Exact Sciences}}, що відбулася в [[Кенігсберг|Кенігсберзі]] в 1930 році, виступили представники цих трьох шкіл.

==== Формалізм ====
Вважається, що формалісти, такі як [[Давид Гільберт]] (1862—1943), вважають, що математика&nbsp;— це лише мова та серія ігор. Дійсно, він використав слова «гра з формулами» у своїй відповіді 1927 року на критику [[Лейтзен Егберт Ян Брауер|Л. Брауера]]:
{{Початок цитати}}І який успіх ігор з формулами став можливим? Ця гра з формулами дозволяє виразити весь зміст думки математичної науки єдиним чином і розвинути його так, що зв'язки між окремими положеннями та фактами стають зрозумілими…

&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;Гра з формулами, яку Брауер оцінює так зневажливо, крім математичної цінності, також має важливе загальнофілософське значення. Ця гра з формулами відбувається саме за певними специфічними правилами, в яких виражається техніка нашого мислення. Ці правила утворюють закриту систему, яку можна виявитити і остаточно визначити.<ref>{{Webarchive|url=https://ia902307.us.archive.org/15/items/hilbert-1928-die-grundlagen-der-mathematik/Hilbert%20-%201928%20-%20Die%20Grundlagen%20der%20Mathematik.pdf|date=21.08.2021}} DAVID HILBERT Die Grundlagen der Mathematik с. 15</ref>
{{oq|de|Und welches ist der Erfolg des hierdurch ermöglichten Formelspieles? Dieses Formelspiel gestattet, den gesamten Gedankeninhalt der mathematischen Wissenschaft einheitlich auszudrücken und derart zu entwickeln, daß zugleich die Zusammenhänge der einzelnen Sätze und Tatsachen deutlich werden…<br/>
&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;Das Formelspiel, über das BROUWER so wegwerfend urteilt, hat außer dem mathematischen Wert noch eine wichtige allgemeine philosophische Bedeutung. Dieses Formelspiel vollzieht sich nämlich nach gewissen bestimmten Regeln, in denen die Technik unseres Denken s zum Ausdruck kommt. Diese Regeln bilden ein abgeschlossenes System, das sich auffinden und endgültig angeben läßt.}}
{{Кінець цитати}}

Таким чином Гільберт наполягає на тому, що математика не є довільною грою з довільними правилами; скоріше вона повинна узгоджуватися з тим, як відбувається наше мислення, а потім і наша мова й письмо.
<blockquote>Ми не говоримо тут про свавілля в жодному розумінні. Математика не схожа на гру, завдання якої визначаються довільно обумовленими правилами. Скоріше, це концептуальна система, яка має внутрішню необхідність, яка може бути лише такою, а не інакшою.<ref>p. 14 in Hilbert, D. (1919–20), Natur und Mathematisches Erkennen: Vorlesungen, gehalten 1919—1920 in Göttingen. Nach der Ausarbeitung von Paul Bernays (Edited and with an English introduction by David E. Rowe), Basel, Birkhauser (1992)</ref></blockquote>Основоположна філософія формалізму, представником якої є [[Давид Гільберт|Девід Гільберт]], є відповіддю на парадокси [[Теорія множин|теорії множин]] і базується на [[Логіка|формальній логіці]] . Практично всі математичні [[Теорема|теореми]] сьогодні можна сформулювати як теореми теорії множин. Істинність математичного твердження, з цієї точки зору, представлена тим фактом, що твердження може бути виведено з [[Теорія множин Цермело — Френкеля|аксіом теорії множин]] за допомогою правил формальної логіки.

Просте використання формалізму не пояснює кількох питань: чому ми повинні використовувати ті аксіоми, які ми використовуємо, а не деякі інші, чому ми повинні використовувати логічні правила, які ми використовуємо, а не деякі інші, чому «істинні» математичні твердження (наприклад, [[Аксіоми Пеано|закони арифметики]]) видаються істинними тощо. [[Герман Вейль]] поставив би Гільберту саме такі запитання:

<blockquote>Яку «правду» чи об'єктивність можна приписати цій теоретичній конструкції світу, що виходить далеко за межі даного, є глибокою філософською проблемою. Це тісно пов'язане з наступним питанням: що спонукає нас взяти за основу саме ту систему аксіом, розроблену Гільбертом? Несуперечність дійсно є необхідною, але не достатньою умовою. Поки що ми, мабуть, не можемо відповісти на це питання…<ref>[https://360digitmg.com/india/data-science-certification-course-training-institute Data Science], Learn the preliminaries of the Mathematical / Statistical concepts in 360DigiTMG</ref></blockquote>

У деяких випадках на ці запитання можна отримати достатню відповідь шляхом вивчення формальних теорій у таких дисциплінах, як {{не перекладено|зворотна математика|||Reverse mathematics}} та [[Теорія складності обчислень|теорія обчислювальної складності]]. Як зазначив Вейль, [[Формальна система|формальні логічні системи]] також мають ризик [[Суперечність|суперечності]] ; в [[Аксіоми Пеано|арифметиці Пеано]] це, ймовірно, вже було вирішено кількома доказами [[Несуперечність|несуперечності]], але ведуться дискусії щодо того, чи є вони достатньо [[Фінітизм|фінітними]], щоб мати сенс. [[Теореми Геделя про неповноту|Друга теорема Геделя про неповноту]] встановлює, що логічні системи арифметики ніколи не можуть містити дійсний доказ своєї власної [[Несуперечність|несуперечності]]. Те, що Гільберт хотів зробити, то це довести, що логічна система ''S'' є несуперечливою, заснованою на принципах ''P'', які становлять лише невелику частину ''S.'' Але Ґодель довів, що принципи ''P'' не можуть довести навіть послідовність ''P'', не кажучи вже про ''S''.

==== Інтуїціонізм ====
{{main|Інтуїціонізм|Конструктивізм (математика)}}
Інтуїтивісти, такі як [[Лейтзен Егберт Ян Брауер|Л. Е.&nbsp;Я.&nbsp;Брауер]] (1882—1966), вважають, що математика є витвором людського розуму. Числа, як і герої казок,&nbsp;— це просто ментальні сутності, яких не було б, якби ніколи не було людського розуму, який думав би про них.

Фундаментальна філософія ''[[інтуїціонізм]]у'' або ''[[Конструктивізм (математика)|конструктивізму]]'', крайні приклади якої продемонстрували [[Лейтзен Егберт Ян Брауер|Брауер]] і [[Стівен Коул Кліні|Стівен Кліні]], вимагає, щоб доведення були «конструктивними» за своєю природою&nbsp;— існування об'єкта має бути продемонстровано, а не виведено з демонстрації неможливості його неіснування. Наприклад, як наслідок цього форма доведення, відома як [[Доведення до абсурду|reductio ad absurdum,]] є підозрілою.

Деякі сучасні [[Теорія|теорії]] філософії математики заперечують існування основ у первісному розумінні. Деякі теорії, як правило, зосереджуються на [[Математична практика|математичній практиці]] та мають на меті описати й проаналізувати фактичну роботу математиків як [[Соціальна група|соціальної групи]]. Інші намагаються створити когнітивну науку про математику, зосереджуючись на людському пізнанні як джерелі надійності математики у застосуванні до реального світу. Ці теорії пропонували знайти основи лише в людській думці, а не в будь-якій об'єктивній зовнішній конструкції. Питання залишається спірним.

==== Логіцизм ====
{{main|Логіцизм}}
[[Логіцизм]]&nbsp;— це наукова школа та дослідницька програма у філософії математики, яка базується на тезі про те, що математика є розширенням логіки або що деякі або всі математики можуть бути виведені у відповідній формальній системі, аксіоми та правила виведення якої є «логічними» за природою. [[Бертран Рассел]] і [[Альфред Норт Вайтгед|Альфред Норт Уайтхед]] відстоювали цю теорію, започатковану [[Готлоб Фреге|Готлобом Фреге]] та впливом [[Ріхард Дедекінд|Річарда Дедекінда]].

==== Теоретико-множинний платонізм ====
{{main|Філософія математики#Платонізм}}
Багато дослідників [[Теорія множин|аксіоматичної теорії множин]] підтримуть теоретико-множинний [[Філософія математики#Платонізм|платонізм]], представником якого є [[Курт Гедель]].

Декілька теоретиків дотримувалися цього підходу й активно шукали аксіоми, які можна було б вважати істинними з евристичних причин і які б вирішували [[Континуум-гіпотеза|гіпотезу континууму]]. Було вивчено багато [[Великі кардинальні числа|великих кардинальних]] аксіом, але гіпотеза завжди залишалася [[Незалежність системи аксіом|незалежною]] від них, і зараз вважається малоймовірним, що гіпотезу континууму можна розв'язати за допомогою нової великої кардинальної аксіоми. Були розглянуті й інші типи аксіом, але жодна з них ще не досягла консенсусу щодо гіпотези континууму. Нещодавня робота {{не перекладено|Джоел Девід Гемкінс|Джоела Девіда Гемкінса||Joel David Hamkins}} пропонує більш гнучку альтернативу: теоретико-множинний [[мультивсесвіт]], що дозволяє вільний перехід між теоретико-множинними всесвітами, які задовольняють гіпотезі континууму, та іншими всесвітами, які не відповідають їй.

==== Незамінність аргументу реалізму ====
Цей {{не перекладено|Аргумент незамінності Квайна–Патнема|аргумент незамінності||Quine–Putnam indispensability argument}} [[Віллард Ван Орман Квайн|Уілларда Куайна]] та [[Гіларі Патнем]]а висловлює думку (коротко за словами Патнема):

<blockquote>… квантифікація над математичними сутностями є необхідною для науки … тому ми повинні прийняти таку квантифікацію; але це зобов'язує нас визнати існування розглянутих математичних сутностей.</blockquote>

Однак Патнем не був платоніком.

==== Приблизний реалізм ====
Небагато математиків, як правило, щодня працюючи, стурбовані логіцизмом, формалізмом чи будь-якою іншою філософською позицією. Натомість їхня головна турбота полягає в тому, щоб математична винахідливість в цілому завжди залишалося продуктивною'. Як правило, вони бачать, що це забезпечується, якщо залишатися неупередженими, практичними та зайнятими; під потенційною загрозою того, що вони стануть надмірно ідеологічними, фанатично редукціоністськими або ледачими.

Таку точку зору висловлювали також деякі відомі фізики.

Наприклад, лауреат Нобелівської премії з фізики [[Річард Філіпс Фейнман|Річард Фейнман]] сказав:<blockquote>Люди кажуть мені: «Ти шукаєш остаточні закони фізики?» Ні… Якщо виявиться, що існує простий остаточний закон, який все пояснює, нехай буде так&nbsp;— було б дуже приємно відкрити це. Якщо виявиться, що це як цибуля з мільйонами шарів … значить, так воно і є. Але в будь-якому випадку є природа, і вона вийде такою, якою вона є. Отже, коли ми йдемо досліджувати, ми не повинні заздалегідь вирішувати, що саме ми шукаємо, лише щоб дізнатися більше.<ref name="fey1">Richard Feynman, ''The Pleasure of Finding Things Out'' p. 23</ref></blockquote>

І [[Стівен Вайнберг]]:<ref name="weinberg">Steven Weinberg, chapter ''[http://libcom.org/library/unexpected-uselessness-philosophy Against Philosophy]'' wrote, in ''Dreams of a final theory''</ref><blockquote>Відкриття філософів іноді приносили користь фізикам, але загалом у негативний спосіб&nbsp;— захищаючи їх від упереджених уявлень інших філософів. … без певного керівництва нашими упередженнями можна було б взагалі нічого не зробити. Справа в тому, що філософські принципи зазвичай не дали нам правильних упереджень.</blockquote>

Вайнберг вважав, що будь-яку нерозв'язність у математиці, таку як гіпотеза континууму, можна потенційно розв'язати, незважаючи на теорему про неповноту, шляхом пошуку відповідних додаткових аксіом для додавання до теорії множин.

==== Філософські наслідки теореми про повноту Геделя ====
{{main|Теорема Ґеделя про повноту}}
Теорема про повноту Геделя встановлює еквівалентність у логіці першого порядку між формальною доказовістю формули та її істинністю в усіх можливих моделях. Точніше, для будь-якої послідовної теорії першого порядку це дає «явну конструкцію» моделі, описаної теорією; ця модель буде зліченною, якщо мова теорії зліченна. Однак ця «явна конструкція» не є алгоритмічною. Вона заснована на ітераційному процесі завершення теорії, де кожен крок ітерації полягає в додаванні формули до аксіом, якщо це підтримує несуперечність теорії; але це питання несуперечності є лише напіврозв'язним (доступний алгоритм для пошуку будь-якої суперечності, але якщо останньої немає, цей факт несуперечності може залишатися недоведеним).

Це можна розглядати як своєрідне обґрунтування погляду платоністів на те, що об'єкти наших математичних теорій реальні. Точніше, це показує, що простого припущення про існування набору натуральних чисел як сукупності (актуальної нескінченності) достатньо, щоб означати існування моделі (світу об'єктів) будь-якої несуперечливої теорії. Однак залишається кілька труднощів:

* Для будь-якої несуперечливої теорії це зазвичай не дає лише один світ об'єктів, а нескінченність можливих світів, які теорія може однаково описати, з можливою різноманітністю істин між ними.
* У випадку теорії множин жодна з моделей, отриманих цією конструкцією, не схожа на передбачувану модель, оскільки вони зліченні, тоді як теорія множин має намір описати незліченні нескінченності. Подібні зауваження можна зробити в багатьох інших випадках. Наприклад, з теоріями, які включають арифметику, такі конструкції зазвичай дають моделі, які включають нестандартні числа, якщо тільки метод побудови не був спеціально розроблений, щоб уникнути їх.
* Оскільки він дає моделі для всіх несуперчливих теорій без розрізнення, він не дає підстав приймати чи відкидати будь-яку аксіому, доки теорія залишається несуперечливою, але розглядає всі несуперечливі аксіоматичні теорії як такі, що відносяться до однаково існуючих світів. Він не дає вказівок на те, якій аксіоматичній системі слід віддати перевагу як основі математики.
* Оскільки твердження про несуперечливість зазвичай неможливо довести, вони залишаються питанням переконань або нестрогих типів обґрунтувань. Отже, існування моделей, як це дано теоремою повноти, фактично потребує двох філософських припущень: актуальної нескінченності натуральних чисел і несуперечливості теорії.
Іншим наслідком теореми про повноту є те, що вона виправдовує концепцію нескінченно малих величин як фактичних нескінченно малих ненульових величин, заснованих на існуванні нестандартних моделей таких же легітимних, як і стандартні. Ця ідея була формалізована {{не перекладено|Абрахам Робінсон|Абрахамом Робінсоном||Abraham Robinson}} у теорію [[Нестандартний аналіз|нестандартного аналізу]].

=== Більше парадоксів ===
Нижче наведено деякі помітні результати в метаматематиці. [[Теорія множин Цермело — Френкеля|Теорія множин Цермело–Френкеля]] є найбільш вивченою аксіоматизацією теорії множин. Він скорочено називається '''ZFC''', якщо він включає [[Аксіома вибору|аксіому вибору]], і '''ZF''', коли аксіому вибору виключено.

* 1920: [[Туралф Скулем]] виправив доведення [[Леопольд Льовенгейм|Леопольда Льовенгейма]] того, що зараз називається [[Теорема Льовенгейма — Сколема|низхідною теоремою Льовенгейма–Сколема]], що призвело до {{не перекладено|Парадокс Скулема|парадоксу Скулема||Skolem's paradox}}, який обговорювався в 1922 році, а саме існування зліченних моделей ZF, роблячи нескінченні потужності відносною властивістю.
* 1922: [[Абрахам Френкель|Авраамом Френкелем]] доведено, що аксіома вибору не може бути доведена на основі аксіом [[Теорія множин Цермело|теорії множин Цермело]] з {{не перекладено|Урелемент|урелементами||Urelement}}.
* 1931: Публікація [[Теореми Геделя про неповноту|теорем Геделя про неповноту]], які показують, що істотні аспекти програми Гільберта не можуть бути досягнуті. Він показав, як побудувати будь-яку достатньо потужну та послідовну рекурсивно аксіоматизовану систему{{Spaced ndash}}таку, яка необхідна для аксіоматизації елементарної теорії [[Арифметика|арифметики]] на (нескінченній) множині натуральних чисел{{Spaced ndash}}твердження, яке формально виражає його власну недоказовість, яку він потім довів еквівалентно твердженню про несуперечливість теорії; так що (припускаючи несуперечливість як істину), система недостатньо потужна для підтвердження власної несуперечливості, не кажучи вже про те, що простіша система могла б виконати цю роботу. Таким чином стало ясно, що поняття математичної істини не може бути повністю визначено і зведено до чисто [[Формальна система|формальної системи]], як це передбачено програмою Гільберта. Це завдало остаточного удару по суті програми Гільберта, надії на те, що узгодженість може бути встановлена фінітіними засобами (ніколи не було ясно, які саме аксіоми були «фінітними», але про яку б аксіоматичну систему не йшлося, це була «слабша» система, ніж система, несуперечливість якої вона мала довести).
* 1936: [[Альфред Тарський|Альфред Тарскі]] довів свою {{не перекладено|Теорема невизначеності Тарського|теорему невизначеності істинності||Tarski's undefinability theorem}}.
* 1936: [[Алан Тюрінг]] довів, що загального алгоритму вирішення [[Проблема зупинки|проблеми зупинки]] для всіх можливих пар програма-вхід не може існувати.
* 1938: Гедель довів {{не перекладено|Конструктивний всесвіт|несуперечливість аксіоми вибору та узагальненої гіпотези континууму||Constructible universe}}.
* 1936—1937: [[Алонзо Черч]] і [[Алан Тюрінг]] опублікували незалежні статті, які показують, що загальне вирішення [[Задача розв'язності|проблеми розв'язності]] (''Entscheidungsproblem'') неможливе: універсальна істинність тверджень у логіці першого порядку не є розв'язною (вона лише [[Алгоритмічно нерозв'язна задача|напіврозв'язана,]] як це задано [[Теорема Ґеделя про повноту|теоремою повноти]]).
* 1955: {{не перекладено|Новіков Петро Сергійович|Петро Новіков|ru|Новиков, Пётр Сергеевич}} показав, що існує скінченно представлена група G, така що проблема визначення слова для G є нерозв'язною.
* 1963: [[Пол Джозеф Коен|Пол Коен]] показав, що гіпотезу континууму неможливо довести з [[Теорія множин Цермело — Френкеля|ZFC]]. Доведення Коена розробило метод {{не перекладено|Форсування (математика)|примусу||Forcing (mathematics)}}, який зараз є важливим інструментом для встановлення [[Незалежність системи аксіом|незалежності]] результатів в теорії множин.
* 1964: Натхненний фундаментальною випадковістю у фізиці, [[Грегорі Хайтін|Грегорі Чейтін]] починає публікувати результати з [[Алгоритмічна теорія інформації|теорії алгоритмічної інформації]] (вимірювання неповноти та випадковості в математиці).<ref>{{Citation|first=Gregory|last=Chaitin|author-link=|url=https://www.cs.auckland.ac.nz/~chaitin/sciamer3.pdf|title=The Limits Of Reason|journal=Scientific American|volume=294|number=3|pages=74–81|year=2006|access-date=2016-02-22|archiveurl=https://web.archive.org/web/20160304192140/https://www.cs.auckland.ac.nz/~chaitin/sciamer3.pdf|archivedate=2016-03-04|url-status=dead|pmid=16502614|doi=10.1038/scientificamerican0306-74|bibcode=2006SciAm.294c..74C}}</ref>
* 1966: Пол Коен показав, що аксіому вибору неможливо довести в '''ZF''' навіть без урелементів.
* 1970: [[Десята проблема Гільберта]] виявилася нерозв'язною: немає рекурсивного рішення, щоб визначити, чи має [[Діофантові рівняння|діофантове рівняння]] (рівняння багатозмінного полінома) розв'язок у цілих числах.
* 1971: доведено, що {{не перекладено|проблема Сусліна|||Suslin's problem}} не залежить від '''ZFC'''.

== На шляху до вирішення кризи основ математики ==
Починаючи з 1935 року, група французьких математиків [[Ніколя Бурбакі|Бурбакі]] почала видавати серію книг, щоб формалізувати багато областей математики на новій основі теорії множин.

Інтуїтивістська школа не привернула багатьох прихильників, і лише після роботи {{не перекладено|Ерретт Бішоп|Еретта Бішопа||Errett Bishop}} в 1967 році [[Конструктивізм (математика)|конструктивна математика]] була поставлена на міцнішу основу.<ref>{{Citation|title=Five stages of accepting constructive mathematics|last=Andrej Bauer|journal=Bull. Amer. Math. Soc.|volume=54|number=3|year=2017|doi=10.1090/bull/1556|page=485}}</ref>

Можна вважати, що [[Програма Гільберта|програму Гільберта було частково завершено]], так що криза, по суті, вирішена, задовольняючи себе нижчими вимогами, ніж початкові амбіції Гільберта. Його амбіції були виражені в той час, коли нічого не було зрозуміло: не було зрозуміло, чи може математика взагалі мати строгу основу.

Існує багато можливих варіантів теорії множин, які відрізняються міцністю несуперечливості, де сильніші версії (постулюючі вищі типи нескінченності) містять формальні докази несуперечливості слабших версій, але жодна не містить формального доказу власної несуперечливості. Таким чином, єдине, чого ми не маємо, це формальний доказ несуперечливості будь-якої версії теорії множин, якій ми віддаємо перевагу, наприклад '''ZF'''.

На практиці більшість математиків або не працюють з аксіоматичними системами, або якщо працюють, то не сумніваються в несуперечливості [[Теорія множин Цермело — Френкеля|ZFC]], як правило аксіоматичної системи, якій вони віддають перевагу. У більшості математики, як вона практикується, неповнота і парадокси формальних теорій, що лежать в основі, ніколи не грали ролі, а в тих галузях, в яких вони грали роль або спроби формалізації яких ризикували б сформувати суперечливі теорії (наприклад, логіка і теорія категорій), з такими теоріями слід поводитися обережно.

Розвиток [[Теорія категорій|теорії категорій]] у середині 20-го століття показав корисність теорій множин, які гарантують існування більших класів, ніж ZFC, таких як [[Теорія множин фон Неймана — Бернайса — Геделя|теорія множин фон Неймана–Бернейса–Гьоделя]] або {{не перекладено|теорія множин Тарського–Ґротендіка|||Tarski–Grothendieck set theory}}, хоча в дуже багатьох випадках використання великих кардинальних аксіом або всесвітів Гротендіка формально виключається.

Одна з цілей програми [[Зворотна математика|зворотної математики]] полягає в тому, щоб визначити, чи існують розділи «базової математики», в яких фундаментальні питання можуть знову спровокувати кризу.

== Див. також ==

* [[Математична логіка]]
* [[Теза Черча — Тюрінга|Теза Черча–Тюрінга]]
* [[Епістемологія]]
* ''[[Начала Евкліда]]''
* [[Проблеми Гільберта]]
* [[Парадокс брехуна]]
* [[Філософія математики]]
* ''[[Principia Mathematica]]''
* [[Чарлз Сандерс Пірс#Математика|Математична думка Чарльза Пірса]]

== Примітки ==
{{reflist|2}}

== Джерела ==
* {{книга 
|автор=Перминов В. Я.
|назва=Философия и основания математики
|isbn=5-89826-098-6
|видавництво=Прогресс-Традиция
|місце=М.
|рік=2001
|сторінок=320
|ref=Перминов В. Я.
}}{{ref-ru}}
* {{книга 
|автор=Готлоб Фреге
|назва=ОСНОВОПОЛОЖЕНИЯ АРИФМЕТИКИ
|isbn=5-7137-0158-1
|видавництво=Водолей
|місце=Томск
|рік=2000
|сторінок=128
|ref=
}}{{ref-ru}}

{{Металогіка|}}
{{Розділи математики|state=collapsed}}
{{Математична логіка|}}

[[Категорія:Математика]]
[[Категорія:Філософія науки]]
[[Категорія:Основи математики]]
[[Категорія:Філософія математики]]
[[Категорія:Математична логіка]]
[[Категорія:Історія математики]]