Перегляд вихідного коду сторінки Ортографічна проєкція

{{Проєкції}}
'''Ортографічна проєкція''' (іноді її називають '''ортогональною проєкцією''', раніше її називали '''аналемою'''{{efn|Сьогодні слово "аналемма" частіше вживається [[Аналема|в більш конкретному значенні]] діаграми, що показує положення Сонця від Землі.<ref>Sawyer, F., [http://citeseerx.ist.psu.edu/viewdoc/download?doi=10.1.1.142.3875&rep=rep1&type=pdf Of Analemmas, Mean Time and the Analemmatic Sundial]</ref>}}) — засіб представлення [[Тривимірний простір|тривимірних об’єктів]] у [[Двовимірний простір|двовимірному просторі]]. Це форма [[Паралельна проєкція|паралельної проєкції]], в якій усі проєкційні лінії [[Ортогональність|ортогональні]] до {{не перекладено|Площина проєкції|площини проєкції|en|projection plane}},<ref name="maynard">{{Cite book | last = Maynard | first = Patric | title = Drawing distinctions: the varieties of graphic expression | publisher = Cornell University Press | year = 2005 | pages = 22 | url = https://books.google.com/books?id=4Y_YqOlXoxMC&q=axonometric%20orthographic&pg=PA22 | isbn = 0-8014-7280-6}}</ref> в результаті чого кожна площина сцени з’являється [[Афінне перетворення|афінним перетворенням]] на поверхні перегляду. Лицьовою стороною орфографічної проєкції є [[Диметрична проєкція|похила проєкція]], яка є паралельною проєкцією, у якій проєкційні лінії не ортогональні до площини проєкції.

Термін ''орфографічний'' іноді зарезервований спеціально для зображень об’єктів, де головні осі або площини об’єкта також паралельні площині проєкції.<ref name="maynard"/> Однак вони більш відомі як первинні види в [[Ортогональна проєкція|багатовидової проєкції]]. Крім того, коли головні площини або осі об’єкта в орфографічній проєкції ''не'' паралельні площині проєкції, зображення іноді називають ''аксонометричними''. Однак вони більш відомі як ''допоміжні види''. (''Аксонометрична проєкція'' може бути більш точно описана як синонім ''паралельної проєкції''.) Підтипи ''первинних виглядів'' включають плани, висоту і розрізи. Підтипи ''допоміжних видів'' можуть включати ''ізометричні'', ''диметричні'' та ''триметричні проєкції''.

Об’єктив, що забезпечує орфографічну проєкцію, відомий як [[телецентрична лінза]].

== Геометрія ==
[[File:Graphical projection comparison.png|thumb|right|Порівняння кількох видів [[3D-проєкція|3D-проєкції]]]]
[[File:Various projections of cube above plane.svg|thumb|Різні проєкції та спосіб їх виготовлення]]
[[Image:Axonometric projections.png|thumb|Три погляди. Відсотки показують обсяг ракурсу.]]
Просту орфографічну [[Проєкційна матриця|проєкцію]] на [[Площина|площину]] ''z'' = 0 можна визначити наступною матрицею:
:<math>
P = 
\begin{bmatrix}
1 & 0 & 0  \\
0 & 1 & 0  \\
0 & 0 & 0  \\
\end{bmatrix}
</math>

Для кожної точки ''v'' = (''v''<sub>''x''</sub>, ''v''<sub>y</sub>, ''v''<sub>''z''</sub>) перетворена точка ''Pv'' буде
:<math>
Pv = 
\begin{bmatrix}
1 & 0 & 0  \\
0 & 1 & 0  \\
0 & 0 & 0  \\
\end{bmatrix}
\begin{bmatrix}
v_x \\ v_y \\ v_z
\end{bmatrix}
=
\begin{bmatrix}
v_x \\ v_y \\ 0
\end{bmatrix}
</math>

Часто краще використовувати [[однорідні координати]]. Наведене вище перетворення можна представити для однорідних координат як
:<math>
P = 
\begin{bmatrix}
1 & 0 & 0 & 0 \\
0 & 1 & 0 & 0 \\
0 & 0 & 0 & 0 \\
0 & 0 & 0 & 1
\end{bmatrix}
</math>

Для кожного однорідного вектора ''v'' = (''v''<sub>''x''</sub>, ''v''<sub>y</sub>, ''v''<sub>''z''</sub>, 1) перетворений вектор ''Pv'' буде
:<math>
Pv = 
\begin{bmatrix}
1 & 0 & 0 & 0 \\
0 & 1 & 0 & 0 \\
0 & 0 & 0 & 0 \\
0 & 0 & 0 & 1
\end{bmatrix}
\begin{bmatrix}
v_x \\ v_y \\ v_z \\ 1
\end{bmatrix}
=
\begin{bmatrix}
v_x \\ v_y \\ 0 \\ 1
\end{bmatrix}
</math>

У [[Машинна графіка|комп’ютерній графіці]] одна з найпоширеніших матриць, що використовуються для ортографічної [[Проєкційна матриця|проєкції]], може бути визначена [[Кортеж (інформатика)|6-кортежом]] (''вліво'', ''вправо'', ''вниз'', ''вгору'', ''ближче'', ''далі''), який визначає площини [[Відсікання (комп'ютерна графіка)|відсікання]]. Ці площини утворюють коробку з мінімальним кутом на (''ліво'', ''низ'', -''ближче'') і максимальним кутом на (''право'', ''верх'', -''далі'').<ref>{{Cite web |last=Thormählen |first=Thorsten |date=26 листопада 2021 |title=Graphics Programming – Cameras: Parallel Projection – Part 6, Chapter 2 |url=https://www.mathematik.uni-marburg.de/~thormae/lectures/graphics1/graphics_6_2_eng_web.html#10 |url-status=live |access-date=2022-04-22 |website=Mathematik Uni Marburg |pages=8 ff.}}</ref>

Коробка перекладається так, щоб його центр знаходився в початку координат, потім він масштабується до одиничного куба, який визначається мінімальним кутом у (−1,−1,−1) і максимальним кутом у (1,1, 1).

Ортографічне перетворення можна задати наступною матрицею:
:<math>
P = 
\begin{bmatrix}
\frac{2}{\text{вправо}-\text{вліво}} & 0 & 0 & -\frac{\text{вправо}+\text{вліво}}{\text{вправо}-\text{вліво}} \\
0 & \frac{2}{\text{вгору}-\text{вниз}} & 0 & -\frac{\text{вгору}+\text{вниз}}{\text{вгору}-\text{вниз}} \\
0 & 0 & \frac{-2}{\text{далі}-\text{ближче}} & -\frac{\text{far}+\text{ближче}}{\text{далі}-\text{ближче}} \\
0 & 0 & 0 & 1
\end{bmatrix}
</math>
яку можна задати як {{не перекладено|Масштабування(геометрія)|масштабування|en|Scaling (geometry)}} ''S'' і слідом [[паралельне перенесення]] ''T'' у формі
:<math>
P = ST = 
\begin{bmatrix}
\frac{2}{\text{вправо}-\text{вліво}} & 0 & 0 & 0 \\
0 & \frac{2}{\text{вгору}-\text{вниз}} & 0 & 0 \\
0 & 0 & \frac{2}{\text{далі}-\text{ближче}} & 0 \\
0 & 0 & 0 & 1
\end{bmatrix}
\begin{bmatrix}
1 & 0 & 0 & -\frac{\text{вліво}+\text{вправо}}{2} \\
0 & 1 & 0 & -\frac{\text{вгору}+\text{вниз}}{2} \\
0 & 0 & -1 & -\frac{\text{далі}+\text{ближче}}{2} \\
0 & 0 & 0 & 1
\end{bmatrix}
</math>

Визначено інверсію проєкційної матриці ''P<sup>−1</sup>'', яку можна використовувати як непроєкційну матрицю:

<math>
P^{-1} = 
\begin{bmatrix}
\frac{\text{вправо}-\text{вліво}}{2} & 0 & 0 & \frac{\text{вліво}+\text{вправо}}{2} \\
0 & \frac{\text{вгору}-\text{вниз}}{2} & 0 & \frac{\text{вгору}+\text{вниз}}{2} \\
0 & 0 & \frac{\text{далі}-\text{ближче}}{-2} &  -\frac{\text{далі}+\text{ближче}}{2} \\
0 & 0 & 0 & 1
\end{bmatrix}
</math>

== Типи ==
[[File:comparison of graphical projections.svg|thumb|right|Класифікація ортографічної проєкції та деяких тривимірних проєкцій]]

Трьома типами ортографічної проєкції є ''[[ізометрична проєкція]]'', ''диметрична проєкція'' та ''триметрична проєкція'', залежно від точного кута, під яким вигляд відхиляється від ортогонального.<ref name="maynard"/><ref name="mcreynolds">{{Cite book | last = McReynolds | first = Tom |author2= David Blythe | title = Advanced graphics programming using openGL | publisher = Elsevier | year = 2005 | pages = 502 | url = https://books.google.com/books?id=bmv2HRpG1bUC&q=axonometric | isbn = 1-55860-659-9}}</ref> Зазвичай в аксонометричному малюнку, як і в інших типах ілюстрацій, одна вісь простору зображена вертикальною.

В '''''ізометричній проєкції''''', найчастіше використовуваній формі аксонометричної проєкції в інженерному кресленні,<ref name="godse">{{Cite book | title = Computer graphics | publisher = Technical Publications | year = 1984 | pages = 29 | url = https://books.google.com/books?id=YkVp-2ZrmyMC&q=axonometric+orthographic&pg=PT224 | isbn = 81-8431-558-9 | last = Godse | first = A. P. | url-status = dead }}</ref> напрямок перегляду такий, що три осі простору виглядають однаково, {{не перекладено|Перспектива(графічна)#ракурс|скороченими|en|Perspective (graphical)#Foreshortening}}<!-- Проблема вікіфікації: Сторінка [[:en:Perspective (graphical)#Foreshortening]] перекладена як [[Перспектива]], хоча хотіли [[Перспектива(графічна)#ракурс]] (SashkoR0B0T)-->, а між ними є загальний кут 120°. Оскільки спотворення, викликане ракурсом, є рівномірним, пропорційність між довжинами зберігається, а осі мають загальний масштаб; це полегшує можливість проводити вимірювання безпосередньо з креслення. Ще одна перевага полягає в тому, що кути 120° легко побудувати за допомогою лише [[Побудова за допомогою циркуля та лінійки|циркуля та лінійки]].

У '''''диметричній проєкції''''' напрямок огляду такий, що дві з трьох осей простору виглядають однаково скороченими, з яких відповідний масштаб і кути представлення визначаються відповідно до кута огляду; масштаб третього напряму визначається окремо. Наближення розмірів є поширеними в диметричних кресленнях.{{clarify|date=April 2017}}

У '''''триметричній проєкції''''' напрямок огляду такий, що всі три осі простору виглядають неоднаково скороченими. Масштаб по кожній із трьох осей і кути між ними визначаються окремо відповідно до кута огляду. Наближення розмірів у триметричних кресленнях є звичайними,{{Clarify|date=November 2009}} а триметрична перспектива рідко використовується в технічних кресленнях.<ref name="mcreynolds"/>

== Багаторакурсна  проєкція ==
[[Image:Convention placement vues dessin technique.svg|thumb|right|Символи, що використовуються для визначення того, чи є ''багаторакурсна проєкція'' проєкцією під третім кутом (праворуч) або першим кутом (ліворуч).]]
{{main|Ортогональна проєкція}}

У ''багаторакурсній проєкції'' створюється до шести зображень об’єкта, які називаються ''первинними видами'', при цьому кожна площина проєкції паралельна одній з осей координат об’єкта. Види розташовуються відносно один одного за однією з двох схем: проєкція під ''першим'' або ''третім кутом''. У кожній з них можна вважати, що види зображень ''спроектовані'' на площини, які утворюють шестисторонню коробку навколо об’єкта. Хоча можна намалювати шість різних сторін, зазвичай три види креслення дають достатньо інформації, щоб створити тривимірний об’єкт. Ці види відомі як ''вид спереду'', ''вид зверху'' та ''вид з кінця''. Інші назви цих видів включають ''план'', ''висоту'' та ''розріз''. Якщо площина або вісь зображуваного об’єкта ''не'' паралельна площині проєкції, і де на одному зображенні видно кілька сторін об’єкта, це називається ''допоміжним видом''. Таким чином, ''ізометрична проєкція,'' ''диметрична проєкція'' та ''триметрична проєкція'' будуть вважатися ''допоміжними видами'' в багатокутній проєкції. Типовою характеристикою багатовидової проєкції є те, що одна вісь простору зазвичай відображається як вертикальна.

== Картографія ==
{{main| {{не перекладено|Ортографічна проєкція у картографії|Ортографічна проєкція у картографії|en|Orthographic projection in cartography}}}}
[[File:Orthographic projection SW.jpg|thumb|right|Ортографічна проєкція (екваторіальний аспект) східної півкулі 30°W - 150°E]]
Ортографічна проєкційна карта — [[картографічна проєкція]] [[Картографія|картографії]]. Подібно до [[Стереографічна проєкція|стереографічної]] та [[Гномонічна проєкція|гномонічної проєкції]], ортографічна проєкція — це [[Перспектива|перспективна (або азимутальна) проєкція]], в якій [[сфера]] проектується на [[Дотична площина|дотичну]] або [[Січна площина|січну площину]]. Точка перспективи для ортографічної проєкції знаходиться на [[Нескінченність|нескінченній]] відстані. На ньому зображена [[Сфера|півкуля]] [[Глобус|земної кулі]], якою вона здається з [[Космічний простір|космосу]], де [[горизонт]] являє собою [[велике коло]]. Форми та області {{не перекладено|Спотворення|спотворюються|en|Distortion#Map projections}}<!-- Проблема вікіфікації: Сторінка [[:en:Distortion#Map projections]] перекладена як [[Спотворення сигналу]], хоча хотіли [[Спотворення]] (SashkoR0B0T)-->, особливо біля країв.<ref name="SnyderWorkingManual">{{Cite book | author=Snyder, J. P.| title=Map Projections—A Working Manual (US Geologic Survey Professional Paper 1395) | publisher=US Government Printing Office | location=Washington, D.C.| year=1987 | pages=145–153}}</ref><ref name="Snyder16">Snyder, John P. (1993). ''Flattening the Earth: Two Thousand Years of Map Projections'' pp. 16–18. Chicago and London: The University of Chicago Press. {{ISBN|0-226-76746-9}}.</ref>

Ортографічна проєкція відома з давніх часів, її картографічне використання добре задокументовано. [[Гіппарх]] використовував проєкцію у 2 столітті до нашої ери для визначення місць сходу та заходу зірок. Приблизно в 14 р. до н.е. римський інженер [[Вітрувій|Марк Вітрувій Полліон]] використовував проєкцію для побудови сонячних годин і для обчислення положення сонця.<ref name="Snyder16"/>

Здається, Вітрувій також винайшов термін ортографічний (від грецького orthos (= «прямий») і graphē (= «креслення»)) для проєкції. Однак назва [[аналема]], яка також означала сонячний годинник, що показує широту та довготу, була загальна назва до тих пір, поки {{не перекладено|Франсуа д'Агілон|Франсуа д'Агілон|en|François d'Aguilon}} з Антверпена не запропонував її нинішню назву в 1613 році.<ref name="Snyder16"/>

Найдавніші збережені карти на проєкції з'являються, як гравюри, на дереві земних глобусів 1509 (анонімно), 1533 і 1551 (Йоганнес Шенер), 1524 і 1551 (Апіан).<ref name="Snyder16"/>

== Примітки ==
{{notelist}}

== Посилання ==
{{Reflist}}

== Зовнішні посилання ==
{{Commons category|Orthographic projections}}
*[http://www.3doro.de/axon.htm Normale (orthogonale) Axonometrie] 
*[https://web.archive.org/web/20160402021438/http://www.globmaritime.com/martech/marine-navigation/general-concepts/6573-orthographic-projection Orthographic Projection Video and mathematics]

[[Категорія:Евклідова геометрія]]
[[Категорія:Графічні проєкції]]
[[Категорія:Лінійна алгебра]]