Перегляд вихідного коду сторінки Ортогоналізація

У [[Лінійна алгебра|лінійній алгебрі]] '''ортогоналізація'''&nbsp;— процес знаходження [[Множина|множини]] [[Передгільбертів простір|ортогональних векторів]], які [[Лінійна оболонка|охоплюють]] певний [[Лінійний підпростір|підпростір]]. Формально, починаючи з [[Лінійно незалежні вектори|лінійно незалежної]] множини векторів <math>\{v_1, \dots, v_k\}</math> у [[Передгільбертів простір|просторі внутрішнього добутку]] (найчастіше, [[Евклідів простір|евклідовому просторі]] '''R'''<sup>''n''</sup>), результатом ортогоналізації є множина [[Ортогональність|ортогональних]] векторів <math>\{u_1, \dots, u_k\}</math>, які [[Генератор (математика)|генерують]] той самий підпростір, що й вектори <math>v_1, \dots, v_k</math>. Кожен вектор у новій множині ортогональний кожному іншому вектору в новій множині; і нова множина, і стара множина мають однакову [[Лінійна оболонка|лінійну оболонку]].

Крім того, якщо потрібно, щоб результуючі вектори були [[Одиничний вектор|одиничними]], то кожен вектор [[Одиничний вектор|нормалізують]], а процес називають '''ортонормалізацією'''.

Ортогоналізація також можлива відносно будь-якої [[Білінійна_форма#Симетрична_білінійна_форма|симетричної білінійної форми]] (не обов'язково внутрішнього добутку, не обов'язково [[Дійсне число|дійсних чисел]]), але за цих загальніших умов стандартні алгоритми можуть зіткнутися з [[Ділення на нуль|діленням на нуль]].

== Алгоритми ортогоналізації ==
Методи виконання ортогоналізації:

* [[Процес Грама — Шмідта]], який використовує [[Проєкційна матриця|проєкцію]]
* [[Перетворення Хаусхолдера]], яке використовує [[Відбиття (геометрія)|відбиття]]
* [[Поворот Ґівенса]]
* Симетрична ортогоналізація, яка використовує [[Сингулярний розклад матриці|сингулярний розклад]]

Під час виконання ортогоналізації на комп'ютері, зазвичай надають перевагу перетворенню Хаусхолдера над процесом Грама&nbsp;— Шмідта, оскільки він [[Числова стійкість|чисельно стійкіший]], тобто помилки округлення, як правило, мають менш серйозні наслідки.

З іншого боку, процес Грама&nbsp;— Шмідта створює <math>j</math>-й ортогоналізований вектор після <math>j</math>-ї ітерації, тоді як ортогоналізація з використанням відбиття Хаусхолдера створює всі вектори лише в кінці. Це робить тільки процес Грама&nbsp;— Шмідта застосовним для [[Ітерація|ітераційних методів]], таких як {{Нп|ітерація Арнольді|3=en|4=Arnoldi iteration}}.

Поворот Ґівенса легше [[Паралельні обчислення|паралелізувати]], ніж перетворення Хаусхолдера.

Симетричну ортогоналізацію увів {{Нп|Пер-Олов Льовдін|3=en|4=Per-Olov Löwdin}}<ref>{{Cite book
|title=Advances in quantum chemistry
|last=Löwdin
|first=Per-Olov
|date=1970
|publisher=Elsevier
|volume=5
|pages=185–199
|chapter=On the nonorthogonality problem
}}</ref>

== Локальна ортогоналізація ==
Щоб компенсувати втрату корисного сигналу в традиційних підходах до ослаблення шуму через неправильний вибір параметра або неадекватність припущень про [[зниження шуму]], можна застосувати до початково знешумленої ділянки оператор зважування, щоб отримати корисний сигнал із основної зашумленої ділянки. Новий процес усунення шумів називають локальною ортогоналізацією сигналу та шуму<ref name="ortho">{{Cite journal|last=Chen|first=Yangkang|last2=Fomel|first2=Sergey|date=2015|title=Random noise attenuation using local signal-and-noise orthogonalization|journal=Geophysics|volume=80|issue=6|page=WD1–WD9|doi=10.1190/GEO2014-0227.1}}</ref>. Він має широкий спектр застосувань у багатьох галузях [[Обробка сигналів|обробки сигналів]] і [[Метод відбитих хвиль|сейсморозвідки]].

== Див. також ==
* [[Ортогональність]]
* [[Ортогональний базис]]

== Примітки ==
{{примітки}}

== Джерела ==
* {{Гельфанд.Линейная алгебра}}
* {{Гантмахер.Теорія матриць}}
* {{Ахієзер.Глазман.ТЛОвГП.т1}}

[[Категорія:Лінійна алгебра]]