Перегляд вихідного коду сторінки Описана сфера

[[Файл:П'ятикутна призма, описана сфера.png|міні|286x286пкс|Сфера, описана навколо правильної п'ятикутної призми]]
'''Описана сфера''' навколо багатогранника — сфера, яка містить усередині себе багатогранник, і всі його вершини лежать на сфері.<ref>{{Citation|title=The Mathematics Dictionary|first=R. C.|last=James|publisher=Springer|year=1992|isbn=9780412990410|page=62|url=https://books.google.com/books?id=UyIfgBIwLMQC&pg=PA62}}.</ref> <ref>{{Citation|title=Divided Spheres: Geodesics and the Orderly Subdivision of the Sphere|first=Edward S.|last=Popko|publisher=CRC Press|year=2012|isbn=9781466504295|page=144|url=https://books.google.com/books?id=WLAFlr1_2S4C&pg=PA144}}.</ref> У двовимірному випадку описана сфера являє собою [[описане коло]].<ref>{{Citation|title=Methods of Geometry|first=James T.|last=Smith|publisher=John Wiley & Sons|year=2011|isbn=9781118031032|page=419|url=https://books.google.com/books?id=B0khWEZmOlwC&pg=PA419}}.</ref>

Багатогранник називають ''вписаним у сферу'', якщо всі його вершини лежать на цій сфері. <ref name="Істер O.С.">{{Citation
|first1=O.С.|last1=Істер
|first2=O.|last2=Єргіна
|title=Геометрія (профіл. рівень), підруч.для 11-го класу
|url=https://pidruchnyk.com.ua/1248-geometriya-11-klas-ister.html
|publisher=Генеза
|year=2019
|isbn=978-966-11-0974-1
|page=288
|publication-place=Київ}}.</ref>  {{rp|стор.134}} <ref name="Мерзляк А.Г.">{{Citation
|first1=А.Г.|last1=Мерзляк
|first2=Д.А.|last2=Номіровський
|title=Геометрія (профіл. рівень), підруч.для 11-го класу
|url= https://pidruchnyk.com.ua/1247-geometriya-11-klas-merzlyak.html
|publisher=Гімназія
|year=2019
|isbn=978-966-474-325-6
|page=204
|publication-place=Харків}}.</ref>  {{rp|стор.91}}

Центр вписаного в сферу багатогранника рівновіддалений від всіх його вершин.

Якщо навколо багатогранника описано сферу, то центр сфери є точкою перетину всіх площин, які проходять [[Перпендикулярність|перпендикулярно]] до ребер багатогранника через їхні середини. <ref name="Істер O.С." />  {{rp|стор.134}}

Справедливе також і обернене твердження: 

<center>
{| class="wikitable"
|-
| Сферу можна описати навколо багатогранника, у якого всі площини, що [[Перпендикулярність|перпендикулярні]] до його ребер і проходять через іх середини, перетинаються в одній точці.
|}</center>

Навколо багатогранника можна описати сферу, якщо навколо кожної його грані можна описати коло. <ref name="Мерзляк А.Г." />  {{rp|стор.92}} . Тобто кожна грань вписаного в сферу багатогранника, є багатокутником, вписаним у коло.

Сферу можна описати навколо всіх [[Правильний многогранник|правильних багатогранників Платона]], всіх [[Архімедове тіло|напівправильних багатогранників Архімеда,]] [[Тіло Кеплера — Пуансо|правильних зірчастих багатогранників Кеплера-Пуансо]], та [[Однорідний многогранник|однорідних багатогранників]] (зокрема і всіх правильних [[Призма (математика)|призм]] та [[Антипризма|антипризм]]). Існує 25 [[Правильногранний многогранник|правильногранних багатогранників Джонсона]], навколо яких можна описати сферу ({{math|''J''{{sub|1}}}}- {{math|''J''{{sub|6}}}}, {{math|''J''{{sub|11}}}}, {{math|''J''{{sub|19}}}}, {{math|''J''{{sub|27}}}}, {{math|''J''{{sub|34}}}}, {{math|''J''{{sub|37}}}} , {{math|''J''{{sub|62}}}}, {{math|''J''{{sub|63}}}}, {{math|''J''{{sub|72}}}} -  {{math|''J''{{sub|83}}}})

== Існування ==

Якщо існує така сфера, вона не обов'язково є [[Задача про найменше коло|найменшою]] сферою, яка містить багатогранник. Наприклад, [[Чотиригранник|тетраедр]], утворений вершиною куба і трьома її сусідами, має таку ж описану сферу, що й куб, але даний тетраедр можна помістити в меншу сферу, в якій три сусідні вершини будуть лежати на екваторі. Найменша сфера, що містить даний багатогранник, є описаною сферою для [[Опукла оболонка|опуклої оболонки]] підмножини вершин багатогранника.<ref name="fgk">{{Citation|last1=Fischer|first1=Kaspar|last2=Gärtner|first2=Bernd|last3=Kutz|first3=Martin|contribution=Fast smallest-enclosing-ball computation in high dimensions|doi=10.1007/978-3-540-39658-1_57|pages=630–641|publisher=Springer|series=[[Lecture Notes in Computer Science]]|title=Algorithms - ESA 2003: 11th Annual European Symposium, Budapest, Hungary, September 16-19, 2003, Proceedings|volume=2832|year=2003}}.</ref>

== Тіла, що вписуються у сферу ==

=== Призма ===
[[Файл:П'ятикутна призма, описана сфера.png|міні|244x244пкс|Призма, вписана в сферу]]
Пряму [[Призма (математика)|призму]] можна вписати у сферу, якщо основою призми є [[Многокутник|багатокутник]], навколо якого можна описати коло. <ref name="Істер O.С." />  {{rp|стор.135}}

Центр сфери лежить на середині висоти призми, що сполучає центри кіл, описаних навколо основ призми.

Основи призми є багатокутниками, вписаними в рівні між собою паралельні перерізи сфери.

Сферу можна описати навколо будь-якої трикутної прямої призми, [[Паралелепіпед|паралелепіпеда]] (зокрема і [[Куб|куба]]),   будь-якої правильної [[Призма (математика)|призми]], а також правильної [[Антипризма|антипризми]] (зокрема і правильногранних, [[Однорідний многогранник|однорідних]]).

Центр кулі, описаної навколо прямокутного паралелепіпеда, лежить в точці перетину діагоналей паралелепіпеда, а кожна [[діагональ]] паралелепіпеда є діаметром описаної кулі. <ref name="Роева Т.Г."> {{Citation
|first1=Т.Г.|last1=Роева
|first2=Н.Ф.|last2=Хроленко
|title=Геометрия в таблицах. 10-11 классы: Учебное пособие
|url= https://edu-lib.com/matematika-2/dlya-shkolnikov/roeva-t-g-hrolenko-n-f-geometriya-v-tabl
|publisher=Країна мрій
|publication-place=Харків
|year=2002 |page=152
|isbn=966-8220-12-9
|мова= <sub>r</sub> u
}}.</ref>  {{rp|стор.115}}

[[Радіус]] описаної навколо прямої призми сфери <ref name="Роева Т.Г." />  {{rp|стор.115}} :  <math>R= \sqrt{\left ( \frac{H }{2} \right )^2 + r^2 }</math>

де Н — висота призми;

r — радіус кола, описаного навколо основи.

Навколо будь-якої похилої призми сферу описати неможливо.{{clear}}

=== Піраміда ===
[[Піраміда (геометрія)|Піраміду]] можна вписати у сферу, якщо основою піраміди є багатокутник, навколо якого можна описати коло. <ref name="Істер O.С." />  {{rp|стор.136}}   <ref name="Мерзляк А.Г." />  {{rp|стор.93, задача 2}}

Сферу можна описати навколо будь-якого [[Чотиригранник|тетраедра]], а також будь-якої [[Піраміда (геометрія)|піраміди]], в основі якої — [[Правильний многокутник|правильний багатокутник]].

Центр [[Сфера|сфери]], описаної навколо довільної піраміди, лежить на перпендикулярі до площини основи, який проходить через центр кола, описаного навколо основи, в точці перетину цієї прямої з площиною, яка перпендикулярна до бічного ребра і проходить через його середину. <ref name="Нелін Є.П."> {{Citation
|first1=Є.П.|last1=Нелін
|title=Геометрія в таблицях: навчальний посібник для учнів старших класів
|url= https://sagevg.files.wordpress.com/2011/08/d0bdd0b5d0bbd196d0bd-d0b3d0b5d0bed0bcd0b5d182d180d196d18f-d0b2-d182d0b0d0b1d0bbd0b8d186d18fd185.pdf
|publisher=Світ дитинства
|year=1997
|isbn=966-544-005-5
|page=64
|publication-place=Харків}}.</ref>  {{rp|стор.57, таблиця 58}}

Центр сфери, описаної навколо піраміди, у якої основою висоти є центр описаного навколо основи кола (зокрема і прямої правильної піраміди;  в її основі — [[Правильний многокутник|правильний багатокутник]], вершина проектується в центр основи), лежить на прямій, що містить висоту піраміди, в точці перетину цієї прямої з серединним перпендикуляром до бічного ребра. При цьому центр сфери може лежати або всередині піраміди, або за її межами. <ref name="Нелін Є.П." /> {{rp|стор.57, таблиця 58}}

Центр сфери, описаної навколо прямої правильної піраміди, збігається із центром кола, [[Описане коло|описаного]] навколо [[Рівнобедрений трикутник|рівнобедреного трикутника]], бічною стороною якого є бічне ребро піраміди, а висотою — [[висота]] піраміди. Радіус сфери дорівнює радіусу цього кола.

Радіус сфери, описаної навколо прямої правильної піраміди:  <ref name="Істер O.С." />  {{rp|стор.136, задача 6.}} 

<math>R=\frac{r^2+H^2}{2H}</math> 

де Н — висота піраміди

r — радіус кола, описаного навколо основи.

Радіус сфери, описаної навколо прямої правильної n-кутної піраміди: <math>R= \frac{H}{2}+\frac{a^2}{8H\cdot \sin ^2 \left ( \frac{\pi}{n} \right )}</math>

де Н — висота піраміди

a — довжина сторони багатокутника основи.

=== Циліндр ===
[[Файл:Прямий круговий циліндр, описана сфера.png|ліворуч|міні|270x270пкс|Прямий круговий циліндр, вписаний у сферу.]]
Сферу називають ''описаною навколо прямого кругового циліндра'', якщо кола основ циліндра лежать на сфері.  <ref name="Мерзляк А.Г." />  {{rp|стор.105}}

При цьому [[циліндр]] називають вписаним у сферу.  <ref name="Істер O.С." />  {{rp|стор.140}} 

Навколо будь-якого прямого кругового циліндра можна описати сферу. Її центр лежить в середині відрізка, що сполучає центри основ циліндра.

Радіус описаної сфери дорівнює радіусу кола, описаного навколо осьового перерізу циліндра.

Радіус описаної навколо прямого кругового циліндра сфери <ref name="Роева Т.Г." />  {{rp|стор.120}} :  <math>R= \sqrt{\left ( \frac{H }{2} \right )^2 + r^2 }</math>

де Н — висота циліндра;

r — радіус кола основи.

Похилий циліндр неможливо вписати у сферу.
{{clear}}

=== Конус ===
{{multiple image|align=right|total_width=500|image1=Сфера, описана навколо прямого кругового конуса.png|image2=Сфера, описана навколо похилого кругового конуса.png|caption1=Сфера, описана навколо прямого кругового конуса|caption2=Сфера, описана навколо похилого кругового конуса}}
Сферу називають ''описаною навколо кругового конуса'', якщо коло основи конуса а також вершина конуса лежать на цій сфері.   <ref name="Мерзляк А.Г." />  {{rp|стор.105}}

При цьому [[конус]] називають ''вписаним у сферу''.  <ref name="Істер O.С." />  {{rp|стор.141}} 

Навколо будь-якого кругового конуса (прямого та похилого) можна описати сферу.

Центр [[Сфера|сфери]], описаної навколо кругового конуса, лежить на перпендикулярі до площини основи, який проходить через центр кола основи.

Центр сфери, описаної навколо прямого кругового конуса (в основі конуса — [[круг]], а вершина конуса проектується в центр основи), лежить на прямій, що містить висоту конуса. 

Центр сфери, описаної навколо прямого кругового конуса збігається з центром кола, описаного навколо осьового перерізу конуса, а радіус сфери дорівнює радіусу цього кола. 

Радіус сфери, описаної навколо прямого кругового конуса <ref name="Роева Т.Г." />  {{rp|стор.120}} :

<math>R=\frac{r^2+H^2}{2H}</math> 

де Н — висота конуса;

r — радіус кола основи.

Центр описаної навколо конуса сфери може лежати всередині конуса, або за його межами.

=== Зрізаний конус ===
Прямий круговий зрізаний конус називають вписаним у сферу , якщо кола основ належать сфері. При цьому сферу називають ''описаною навколо зрізаного конуса''.

Навколо будь-якого прямого кругового зрізаного конуса можна описати сферу. Її центр належить осі зрізаного конуса, а радіус дорівнює радіусу кола, описаного навколо осьового перерізу зрізаного конуса.

== Пов'язані поняття ==
Описана сфера є тривимірним аналогом описаного кола. 
[[Файл:Еліпсоїд обертання та його обмежувальна сфера.png|міні|265x265пкс|[[Сфероїди|Еліпсоїд обертання]] та його найменша обмежувальна сфера.]]
Описана сфера (за її наявності) є прикладом [[Обмежувальна сфера|обмежувальної сфери]]. Для будь-якого багатогранника (зокрема і для тих, в яких не всі вершини належать одній сфері) можна визначити найменшу обмежувальну сферу.<ref name="fgk" />

Тобто найменша '''обмежуваньна сфера''' для будь-якого замкнутого тіла — це сфера найменшого [[Діаметр|діаметра]], в яку можна повністю помістити дане тіло.

Діаметр найменшої обмежувальної сфери дорівнює [[Діаметр|діаметру]] даного тіла — найбільшій відстані між двома точками цього тіла.

Обмежувальна сфера узагалюнює поняття описаної сфери. 

Наприклад, [[Сфероїди|видовжений еліпсоїд обертання]] має зі сфоєю обмежувальною сферою дві спільні точки, і її діаметр дорівнює великій осі еліпса, що утворює поверхню обертання. Сплюснутий еліпсоїд обертання має зі своєю обмежувальною сферою спільне коло.

Серед інших сфер, що визначаються для деяких багатогранників, можна відзначити {{Нпні|Серединна сфера|серединну сферу|ru|Срединная сфера}}, що дотикається до всіх ребер багатогранника, і [[Вписана сфера|вписану сферу]], що дотикається до всіх граней багатогранника. Для правильних багатогранників всі три сфери існують і є концентричними.<ref>{{Citation|last=Coxeter|first=H. S. M.|author-link=Гарольд Коксетер|title=[[Regular Polytopes (book)|Regular Polytopes]]|edition=3rd|year=1973|publisher=Dover|isbn=0-486-61480-8|pages=16–17|contribution=2.1 Regular polyhedra; 2.2 Reciprocation|contribution-url=https://books.google.com/books?id=iWvXsVInpgMC&lpg=PP1&pg=PA16}}.</ref>

== Див. також ==

* [[Вписана сфера]]
* [[Напіввписана сфера]]

== Примітки ==
{{Reflist}}

== Посилання ==
* {{MathWorld|urlname=Circumsphere|title=Circumsphere}}

[[Категорія:Елементарна геометрія]]
[[Категорія:Сфери]]