Перегляд вихідного коду сторінки Оператор Гільберта — Шмідта

'''Оператор Гільберта&nbsp;— Шмідта'''&nbsp;— це обмежений [[Оператор (математика)|оператор]] <math>A</math> на [[Гільбертів простір|гільбертовому просторі]] <math>H</math> зі скінченною '''нормою Гільберта&nbsp;— Шмідта''', тобто для якого існує такий [[Ортогональний базис|ортонормований базис]] <math>\{e_i\colon i \in I\}</math> в <math>H</math>, що

: <math>\sum_{i\in I} \|Ae_i\|^2 < \infty.</math><ref name="MathWorld">{{cite web|last=Moslehian|first=M. S.|title=Hilbert–Schmidt Operator (From MathWorld)|url=http://mathworld.wolfram.com/Hilbert-SchmidtOperator.html}}</ref><ref name="EOM">{{Springer|first=M. I.|last=Voitsekhovskii|title=Hilbert-Schmidt operator}}</ref>

Якщо це виконується в якомусь ортономованому базисі, то це виконується в будь-якому ортонормованому базисі.

== Скалярний добуток Гільберта&nbsp;— Шмідта ==
Нехай <math>A</math> і <math>B</math>&nbsp;— два оператори Гільберта&nbsp;— Шмідта. '''Скалярний добуток Гільберта&nbsp;— Шмідта''' визначається як

: <math>\langle A,B \rangle_\mathrm{HS} = \operatorname{tr}\,A^T\!B
= \sum_{i \in I} \langle Ae_i, Be_i \rangle.</math>

де <math>\operatorname{tr}</math> позначає [[Слід матриці|слід]] оператора. Індукована таким скалярним добутком норма називається '''нормою Гільберта&nbsp;— Шмідта''':

: <math>\lVert A \rVert_\mathrm{HS}^2 = 
\sum_{i \in I} \lVert Ae_i \rVert^2.</math>

Це визначення не залежить від вибору ортонормованого базису і аналогічне [[Норма (математика)|нормі Фробеніуса]] для операторів у [[Скінченновимірний простір|скінченновимірному]] [[Векторний простір|векторному просторі]].

== Властивості ==
Оператори Гільберта&nbsp;— Шмідта утворюють двосторонній [[Ідеал (алгебра)|*-ідеал]] у [[Банахова алгебра|банаховій алгебрі]] обмежених операторів на <math>H</math>. Оператори Гільберта&nbsp;— Шмідта утворюють замкнуту в топології, індукованій [[Норма (математика)|нормою]] на <math>H</math>, множину [[Тоді й лише тоді|тоді і тільки тоді]], коли <math>H</math> скінченновимірний. Вони також утворюють гільбертів простір. Можна показати, що він природно [[Ізоморфізм|ізоморфний]] [[Тензорний добуток|тензорному добутку]] гільбертових просторів

: <math>H^* \otimes H,</math>

де <math>H^*</math>&nbsp;— простір, [[Спряжений простір|спряжений]] до <math>H</math>.<ref>{{cite book
|title=A course in functional analysis
|last=Conway
|first=John
|year=1990
|publisher=Springer-Verlag
|isbn=978-0-387-97245-9
|oclc=21195908
|publication-place=New York
}}</ref>

== Примітки ==
{{Примітки|2}}

== Джерела ==
* {{Ахієзер.Глазман.ТЛОвГП.т1}}

{{Алгебра-доробити}}
{{Функційний аналіз}}

[[Категорія:Теорія операторів]]
[[Категорія:Функціональний аналіз]]