Перегляд вихідного коду сторінки Октаедр

{| style="margin-left: 10px;" cellpadding="5" bgcolor="#ffffff" align="right" border="1"
! colspan="2" bgcolor="#e7dcc3" |Октаедр
|-
| colspan="2" align="center" |[[Файл:Octahedron.gif|200x200пкс|Октаедр]]
|-
| bgcolor="#e7dcc3" |Тип
|[[Правильний многогранник]]
|-
| bgcolor="#e7dcc3" |Грань
|[[трикутник]]
|-
| bgcolor="#e7dcc3" |Граней
|<math>8</math>
|-
| bgcolor="#e7dcc3" |Ребер
|<math>12</math>
|-
| bgcolor="#e7dcc3" |Вершин
|<math>6</math>
|-
| bgcolor="#e7dcc3" |Граней при вершині
|<math>4</math>
|-
| bgcolor="#e7dcc3" |Тілесний кут<br/>
при вершині
|<math>2\arccos\frac{7}{9}</math><BR/><math> \approx 1.3593476</math> [[Стерадіан|ср]]
|-
| bgcolor="#e7dcc3" |[[Точкова група|Точкова група<br/>
симетрії]]
|Октаедрична (''O''<sub>''h''</sub>)
|-
| bgcolor="#e7dcc3" |Двоїстий многогранник
|[[Куб]]
|}
[[Файл:Octahedron_flat.svg|міні|200x200пкс|Розгортка]]
[[Файл:Вписанный_правильный_октаэдр.gif|праворуч|міні|Описана сфера октаедра]]
[[Файл:Octahedron.stl|thumb|Тривимірна модель правильного октаедра]]

'''Октаедр''' ({{Lang-el|οκτάεδρον}}, від {{Lang-el|οκτώ}}, «вісім» і {{Lang-el|έδρα}}&nbsp;— «основа»)&nbsp;— [[многогранник]] з вісьма гранями. [[Правильний октаедр]] є одним з п'яти опуклих [[Правильний многогранник|правильних многогранників]]<ref>{{ВТ-ЕСБЕ|Тело геометрическое|[[Селиванов, Дмитрий Фёдорович|Селиванов Д. Ф.]],}}(рос.)</ref>, так званих [[платон]]ових тіл; грані правильного октаедра&nbsp;— вісім [[Правильний трикутник|правильних трикутників]].

Правильний октаедр є [[Двоїстий многогранник|двоїстим]] до [[куб]]а. Він є [[Повне зрізання (геометрія)|повним зрізанням]] [[Чотиригранник|тетраедра]]. Правильний октаедр є квадратною [[Біпіраміда|біпірамідою]] в кожному з трьох [[Ортогональність|ортогональних]] напрямків. Він також є трикутною [[Антипризма|антипризмою]] в кожному з чотирьох напрямків.

Октаедр&nbsp;— тривимірний варіант більш загального поняття [[гіпероктаедр]].

Правильний октаедр є тривимірною [[Куля|кулею]] в [[Манхеттенська метрика|манхеттенській метриці]].

== Правильний октаедр ==
{{main|Правильний октаедр}}
Правильний октаедр має 8 трикутних граней, 12 ребер, 6 вершин, в кожній його вершині сходяться 4 ребра.

=== Розміри ===
Якщо довжина ребра октаедра дорівнює ''а'', то радіус [[Описана сфера|сфери, описаної]] навколо октаедра (яка торкається всіх кутів), дорівнює:

{{center|<math>r_u = \frac{a}{2} \sqrt{2} \approx 0.7071067 \cdot a </math>,}}

радіус [[Вписана сфера|вписаної]] в октаедр сфери (яка торкається всіх граней) можна обчислити за формулою:

{{center|<math>r_i = \frac{a}{6} \sqrt{6}\approx 0.4082482\cdot a .  </math>}}
[[двогранний кут]]: <math>\alpha = 2\phi \approx 109,47^\circ</math>, де <math>\phi = arccos(\frac{\sqrt3}{3})</math>.

Радіус [[Напіввписана сфера|напіввписаної сфери]] (яка торкається всіх ребер) дорівнює
: <math>r_m = \frac{a}{2} = 0.5\cdot a</math>

=== Ортогональні проєкції ===
''Октаедр'' має чотири спеціальні [[Ортогональна проєкція|ортогональні проєкції]], центровані ребром, вершиною, гранню і нормаллю до грані. Другий і третій випадок відповідають [[Число Коксетера|площинам Коксетера]] B<sub>2</sub> і A<sub>2</sub>.
{| class="wikitable" style="margin-bottom: 10px;" width="480"
|+ Ортогональні проєкції
!Центровані
!Ребром
!Нормаллю<br/>
до грані
!Вершиною
!Гранню
|-
!Образ
|[[Файл:Cube_t2_e.png|114x114пкс]]
|[[Файл:Cube_t2_fb.png|100x100пкс]]
|[[Файл:3-cube_t2_B2.svg|100x100пкс]]
|[[Файл:3-cube_t2.svg|100x100пкс]]
|- align="center"
!Проєктивна<br/>
симетрія
|[2]
|[2]
|[4]
|[6]
|}

=== Сферична мозаїка ===
{{Докладніше|Сферичний многогранник}}
Октаедр можна представити, як [[Сферичний многогранник|сферичну мозаїку]] і спроєктувати на площину за допомогою [[Стереографічна проєкція|стереографічної проєкції]]. Ця проєкція [[Конформне відображення|конформна]], зберігає кути, але не довжини і площу. Відрізки на сфері віддзеркалюються в дуги кіл на площині.
{| class="wikitable"
|[[Файл:Uniform_tiling_432-t2.png|160x160пкс]]
|[[Файл:Octahedron_stereographic_projection.png|161x161пкс]]<br/>
[[Трикутник|трикутно]]-центрована
|-
![[Ортогональна проєкція]]
! colspan="1" |[[Стереографічна проєкція]]
|}

=== Декартові координати ===
Октаедр з довжиною ребра <math>\sqrt{2}</math> можна помістити в початок координат, так що його вершини лежатимуть на осях координат. [[Декартова система координат|Декартові координати]] вершин тоді будуть: (±1, 0, 0);
: (0, ±1, 0);
: (0, 0, ±1).

У ''x''-''y''-''z'' [[Декартова система координат|прямокутній системі координат]] октаедр з центром з точці (''a'', ''b'', ''c'') і радіусом ''r''&nbsp;— це множина всіх точок (''x'', ''y'', ''z''), таких, що
: <math>\left|x - a\right| + \left|y - b\right| + \left|z - c\right| = r.</math>

=== Площа і об'єм ===
Площа повної поверхні правильного октаедра з довжиною ребра ''a'' дорівнює

: <math>S=2a^2\sqrt{3} \approx 3.46410162a^2</math>

Об'єм октаедра (''V'') обчислюється за формулою:

: <math>V=\begin{matrix}{1\over3}\end{matrix}\sqrt{2}a^3 \approx 0.471404521a^3</math>

Таким чином, об'єм октаедра в чотири рази більший за об'єм [[Чотиригранник|тетраедра]] з тією ж довжиною ребра, тоді як площа поверхні вдвічі більша (оскільки поверхня складається з 8 трикутників, а у тетраедра&nbsp;— з чотирьох).

Якщо октаедр розтягнути, щоб виконувалася рівність: <math>\left|\frac{x}{x_m}\right|+\left|\frac{y}{y_m}\right|+\left|\frac{z}{z_m}\right| = 1,</math>

то формули для поверхні та об'єму перетворюються на:
: <math>A=4 \, x_m \, y_m \, z_m \times \sqrt{\frac{1}{x_m^2}+\frac{1}{y_m^2}+\frac{1}{z_m^2}}</math>
: <math>V=\frac{4}{3}\,x_m\,y_m\,z_m</math>

Крім того, [[тензор]] моментів інерції розтягнутого октаедра дорівнюватиме:
: <math>
I =
\begin{bmatrix}
  \frac{1}{10} m (y_m^2+z_m^2) & 0 & 0 \\
  0 & \frac{1}{10} m (x_m^2+z_m^2) & 0 \\ 
  0 & 0 & \frac{1}{10} m (x_m^2+y_m^2)
\end{bmatrix}
</math>

Він зводиться до формули для правильного октаедра, коли:<math>x_m=y_m=z_m=a\,\frac{\sqrt{2}}{2}</math>

=== Геометричні зв'язки ===
[[Файл:Compound_of_two_tetrahedra.png|ліворуч|міні|Октаедр являє собою перетин двох тетраедрів]]
Внутрішня (спільна) частина конфігурації з двох [[Чотиригранник|тетраедрів]] є октаедром, а сама ця конфігурація називається [[Зірчастий октаедр|зірчастим октаедром]] ({{lang-la|stella octangula}}). Конфігурація є єдиною [[Зірчастий многогранник|зірчастою формою]] октаедра. Відповідно, правильний октаедр є результатом відсікання від правильного тетраедра чотирьох правильних тетраедрів з половиною довжини ребра (тобто [[Повне зрізання (геометрія)|повного зрізання]] тетраедра). Вершини октаедра лежать на серединах ребер тетраедра і октаедр пов'язаний з тетраедром так само, як [[кубооктаедр]] та [[ікосододекаедр]] пов'язані з іншими платоновими тілами. Можна розділити ребра октаедра у відношенні [[Золотий перетин|золотого перетину]] для визначення вершин [[ікосаедр]]а. Для цього слід розташувати вектори на ребрах, так, щоб всі грані були оточені циклами. Потім ділимо кожне ребро в золотому відношенні вздовж векторів. Отримані точки є вершинами ікосаедра.

{{Не перекладено|Тетраедрично-октаедричний стільник|Октаедри і тетраедри||Tetrahedral-octahedral honeycomb}} можна чергувати, щоб побудувати однорідні відносно вершин, ребер і граней [[Стільник (геометрія)|стільники]], які [[Річард Бакмінстер Фуллер|Фуллер]] назвав {{Не перекладено|Октетна зв'язка|октетною зв'язкою||octet truss}}. Це єдина така мозаїка за винятком утвореної [[куб]]ами, і вона є одним з 28 видів {{Не перекладено|Опуклі однорідні стільники|опуклих однорідних стільників||convex uniform honeycomb}}.

Октаедр унікальний серед платонових тіл у тому, що тільки він має парне число граней при кожній вершині. Таким чином, це єдиний член групи, який має площини симетрії, що не перетинають жодну грань.

Якщо використовувати стандартну термінологію [[многогранник Джонсона|многогранників Джонсона]], то октаедр можна назвати ''квадратною біпірамідою''. Зрізання двох протилежних вершин призводить до {{Не перекладено|Зрізана біпіраміда|зрізаної біпіраміди||square bifrustum}}.

Октаедр є [[K-вершинно-зв'язний граф|4-зв'язним]]. Це означає, що потрібно вилучити чотири вершини, щоб роз'єднати ті, що залишилися. Це один з чотирьох 4-зв'язних [[Симпліційний многогранник|симпліційних]] [[Добре покритий граф|добре покритих]] многогранників, що означає, що всі [[Найбільша незалежна множина|найбільші незалежні множини]] вершин мають один і той самий розмір. Інші три многогранники з цією властивістю&nbsp;— [[п'ятикутна біпіраміда]], [[кирпатий двоклиноїд]] і нерегулярний многогранник з 12 вершинами і 20 трикутними гранями{{Sfn|Finbow, Hartnell, Nowakowski, Plummer|2010|с=894–912}}.
* Октаедр можна вписати в тетраедр, при тому чотири з восьми граней октаедра будуть суміщені з чотирма гранями тетраедра, всі шість вершин октаедра будуть суміщені з центрами шести ребер тетраедра.
* Октаедр можна вписати в куб, при тому всі шість вершин октаедра будуть суміщені з центрами шести граней куба.
* В октаедр можна вписати куб, при тому всі вісім вершин куба будуть розташовані в центрах восьми граней октаедра.

=== Однорідне розфарбування і симетрія ===
{{Докладніше|Однорідне розфарбування}}
Існує 3 [[Однорідне розфарбовування|однорідні розфарбовування]] октаедра, названі за їхніми кольорами граней: 1212, 1112, 1111.

[[Групи симетрії|Групою симетрії]] октаедра є O<sub>h</sub> з порядком 48, тривимірна {{Не перекладено|гіпероктаедрична група|||hyperoctahedral group}}. У [[Підгрупа|підгрупи]] цієї групи входять D<sub>3d</sub> (порядку 12), група симетрії трикутної [[Антипризма|антипризми]], '''D<sub>4h</sub>''' (порядку 16), група симетрії квадратної [[Біпіраміда|біпіраміди]], і T<sub>d</sub> (порядку 24), група симетрії [[#Тетратетраедр|повністю зрізаного тетраедра]]. Ці симетрії можна підкреслити шляхом різного розфарбовування граней.
{| class="wikitable"
!Назва
!Октаедр
![[Повне зрізання (геометрія)|Повністю<br/>
зрізаний]]<br/>
[[Чотиригранник|тетраедр]]<br/>
(Тетратетраедр)
!Трикутна [[антипризма]]
!Квадратна біпіраміда
!Ромбічна біпіраміда
|- align="center"
!Рисунок<br/>
(розфарбування граней)
|[[Файл:Uniform_polyhedron-43-t2.png|126x126пкс]]<br/>
(1111)
|[[Файл:Uniform_polyhedron-33-t1.svg|100x100пкс]]<br/>
(1212)
|[[Файл:Trigonal_antiprism.png|107x107пкс]]<br/>
(1112)
|[[Файл:Square_bipyramid.png|138x138пкс]]<br/>
(1111)
|[[Файл:Rhombic_bipyramid.png|100x100пкс]]<br/>
(1111)
|- align="center"
![[Діаграми Коксетера — Динкіна|Діаграма Коксетера]]
|{{ДКД|node_1|3|node|4|node}}
|{{ДКД|node_1|3|node|4|node_h0}} = {{ДКД|node_1|split1|nodes}}
|{{ДКД|node_h|2x|node_h|6|node}}<br/>{{ДКД|node_h|2x|node_h|3|node_h}}
|{{ДКД|node_f1|2x|node_f1|4|node}}
|{{ДКД|node_f1|2x|node_f1|2x|node_f1}}
|- align="center"
![[Символ Шлефлі]]
|{3,4}
|r{3,3}
|s{2,6}<br/>
sr{2,3}
|ft{2,4}<br/>
{ } + {4}
|ftr{2,2}<br/>
{ } + { } + { }
|- align="center"
!{{Не перекладено|Символ Візоффа|||Wythoff symbol}}
| 4 | 3 2
| 2 | 4 3
| 2 | 6 2 <br/>
| 2 3 2
|- align="center"
![[Список груп сферичної симетрії|Симетрія]]
|O<sub>h</sub>, [4,3], (*432)
|T<sub>d</sub>, [3,3], (*332)
|D<sub>3d</sub>, [2<sup>+</sup>,6], (2*3)<br/>
D<sub>3</sub>, [2,3]<sup>+</sup>, (322)
|D<sub>4h</sub>, [2,4], (*422)
|D<sub>2h</sub>, [2,2], (*222)
|- align="center"
![[Порядок (теорія груп)|Порядок]]
|48
|24
|12<br/>
6
|16
|8
|}

=== Розгортки ===
Існує одинадцять варіантів [[Розгортка многогранника|розгортки]] октаедра<ref name="mw">{{mathworld |urlname=Octahedron |title=Октаедр}}</ref>.

=== Двоїстість ===
Октаедр є [[Двоїстий многогранник|двоїстим]] до [[куб]]а.
: [[Файл:Dual_Cube-Octahedron.svg|242x242пкс]]

=== Огранювання ===
[[Однорідний многогранник|Однорідний]] [[тетрагемігексаедр]] є [[Огранювання (геометрія)|огранюванням]] з [[Тетраедрична симетрія|тетраедричною симетрією]] правильного октаедра, який зберігає розташування ребер і вершин многогранника. Огранювання має чотири трикутні грані і 3 центральні квадрати.
{| class="wikitable" style="vertical-align: top; text-align: center;"
| [[Файл:Uniform_polyhedron-33-t1.svg|100x100пкс]]<br/>
Октаедр
| [[Файл:Tetrahemihexahedron.png|100x100пкс]]<br/>
[[тетрагемігексаедр]]
|}

== Неправильні октаедри ==
Такі многогранники комбінаторно еквівалентні правильному октаедру. Вони всі мають шість вершин, вісім трикутних граней і дванадцять ребер, що відповідає один до одного параметрам правильного октаедра.
* ''Трикутні [[Антипризма|антипризми]]''&nbsp;— дві грані являють собою рівносторонні трикутники, що лежать у паралельних площинах і мають загальну вісь симетрії. Решта шість трикутників рівнобедрені.
* Чотирикутні [[Біпіраміда|біпіраміди]], в яких щонайменше один екваторіальний [[чотирикутник]] лежить у площині. Правильний октаедр є спеціальним випадком, коли всі три чотирикутники є плоскими квадратами.
* [[Многогранник Шенгардта]], неопуклий многогранник, який можна розбити на тетраедри без введення нових вершин.

=== Інші опуклі восьмигранники ===
[[Файл:Hexagonal_prism.png|міні|100x100пкс|Шестикутна<br/>
призма]]
[[Файл:Uniform_polyhedron-33-t01.png|міні|106x106пкс|Зрізаний<br/>
тетраедр]]
[[Файл:Tetragonal_trapezohedron.png|міні|128x128пкс| Чотирикутний<br/>
трапецоедр]]
У загальному випадку, октаедром можна назвати будь-який многогранник з вісьмома гранями. Правильний октаедр має 6 вершин і 12 ребер, мінімальна кількість для октаедра. Неправильні восьмигранники можуть мати до 12 вершин і 18 ребер<ref>{{Cite web|url=http://www.uwgb.edu/dutchs/symmetry/polynum0.htm|title=Enumeration of Polyhedra|last=Steven Dutch|accessdate=27 жовтня 2017|archiveurl=https://web.archive.org/web/20111010185122/http://www.uwgb.edu/dutchs/symmetry/polynum0.htm|archivedate=10 жовтня 2011|deadurl=yes}}</ref>.
Існує 257 топологічно різних ''опуклих'' восьмигранників, виключаючи дзеркальні копії. Зокрема, є 2, 11, 42, 74, 76, 38, 14 восьмигранників з числом вершин від 6 до 12 відповідно<ref>{{Cite web |url=http://www.numericana.com/data/polycount.htm |title=Counting polyhedra |accessdate=27 жовтня 2017 |archive-date=6 травня 2016 |archive-url=https://web.archive.org/web/20160506052210/http://www.numericana.com/data/polycount.htm }}</ref><ref>{{Cite web |url=http://www.uwgb.edu/dutchs/symmetry/poly8f0.htm |title=Архівована копія |accessdate=27 жовтня 2017 |archiveurl=https://web.archive.org/web/20141117072140/http://www.uwgb.edu/dutchs/symmetry/poly8f0.htm |archivedate=17 листопада 2014 |deadurl=yes }}</ref>. (Два многогранники «топологічно різні», якщо вони мають внутрішньо різне розташування граней і вершин, так що немає можливості перетворити одне тіло в інше просто зміною довжини ребер або кутів між ребрами або гранями.)

Деякі відомі неправильні восьмигранники:
* [[Шестикутна призма]]: Дві грані є паралельними правильними шестикутниками, шість квадратів з'єднують відповідні пари сторін шестикутників.
* Семикутна [[Піраміда (геометрія)|піраміда]]: Одна грань є семикутником (зазвичай правильним), а решта сім граней трикутниками (зазвичай рівнобедреними). Неможливо домогтися, щоб всі трикутні грані були рівносторонніми.
* [[Зрізаний тетраедр]]: Чотири грані тетраедра скорочуються до правильних шестикутників і утворюються три додаткові рівносторонні трикутні грані на місці відтятих вершин.
* {{Не перекладено|Чотирикутний трапецоедр|||Tetragonal trapezohedron}}: Вісім граней [[Конгруентність (геометрія)|конгруентні]] [[дельтоїд]]ам.

== Октаедри у фізичному світі ==

=== Октаедри в природі ===
[[Файл:Fluorite_octahedron.jpg|міні|Октаедр [[флюорит]]у]]
* Багато природних [[Кубічна сингонія|кубічних]] [[кристал]]ів мають форму октаедра. Це [[алмаз]], [[сульфат алюмінію-калію]], [[хлорид натрію]], [[перовськіт]], [[олівін]], [[флюорит]], [[шпінель]].
* Форму октаедра мають міжатомні порожнини (пори) в щільноупакованих структурах чистих металів ([[Нікель|нікелі]], [[Мідь|міді]], [[Магній|магнії]], [[Титан (хімічний елемент)|титані]], [[лантан]]і та багатьох інших), а також іонних сполук (хлорид натрію, [[сфалерит]], [[вюртцит]] та ін).

* Пластини [[Сплави|сплаву]] [[камасит]]у в [[октаедрит]]них [[метеорит]]ах розташовані паралельно до восьми граней октаедра.

=== Октаедри в мистецтві і культурі ===
[[Файл:Rubiks_snake_octahedron.jpg|міні|Дві однаково складені [[Змійка Рубіка|змійки Рубіка]] можуть апроксимувати октаедр.]]
* В іграх [[Гральні кісточки|гральна кісточка]] у вигляді октаедра відома як «d8».
* Якщо кожне ребро октаедра замінити [[Ом|одноомним]] [[резистор]]ом, то загальний опір між протилежними вершинами буде становити 1/2 ома, а між суміжними вершинами&nbsp;— 5/12 ома{{Sfn|Klein|2002|с=633–649}}.
* Шість музичних нот можна розташувати на вершинах октаедра так, що кожне ребро є співзвучне секунді, а кожна грань&nbsp;— співзвучна терції.

=== Тетраедрична зв'язка ===
Каркас з повторюваних тетраедрів і октаедрів винайдений [[Річард Бакмінстер Фуллер|Фуллером]] в 1950-х роках і він відомий як {{Не перекладено|просторова рама|||space frame}} і вважається найміцнішою структурою, що чинить опір напругам [[Консольна балка|консольної балки]].

== Пов'язані многогранники ==
Правильний октаедр можна збільшити до [[Чотиригранник|тетраедра]] додаванням чотирьох тетраедрів на грані, які чергуються. Додавання тетраедрів до всіх восьми граней утворює [[зірчастий октаедр]].
{| class="wikitable"
|[[Файл:Triangulated_tetrahedron.png|136x136пкс]]
|[[Файл:Compound_of_two_tetrahedra.png|120x120пкс]]
|-
![[Чотиригранник|тетраедр]]
![[зірчастий октаедр]]
|}
Октаедр належить до родини [[Однорідний многогранник|однорідних многогранників]], пов'язаних з кубом.

Він також є одним з найпростіших прикладів {{Не перекладено|Гіперсимплекс|гіперсимплекса||hypersimplex}}, многогранника, утвореного певним перетином [[гіперкуб]]а з [[гіперплощина|гіперплощиною]].

Октаедр входить в послідовність многогранників з [[Символ Шлефлі|символом Шлефлі]] {3,''n''}, яка продовжується на [[гіперболічна геометрія|гіперболічну площину]].

=== Тетратетраедр ===
Правильний октаедр можна розглядати як ''[[Повне зрізання (геометрія)|повністю зрізаний]] тетраедр'' і можна назвати ''тетратетраедром''. Це можна показати за допомогою розмальованої двома кольорами моделі. При цьому розфарбовуванні октаедр має [[Тетраедрична симетрія|тетраедричну симетрію]].

Порівняння послідовності зрізання тетраедра і його двоїстої фігури:
{| class="wikitable" style="margin-bottom: 35px;"
|+ [[Однорідний многогранник|Родина однорідних тетраедричних многогранників]]
! colspan="7" |[[Список груп сферичної симетрії|Симетрія]]: [[Тетраедрична симетрія|[3,3]]], (*332)
![3,3]<sup>+</sup>, (332)
|- style="text-align: center;"
|[[Файл:Uniform_polyhedron-33-t0.png|54x54пкс]]
|[[Файл:Uniform_polyhedron-33-t01.png|53x53пкс]]
|[[Файл:Uniform_polyhedron-33-t1.svg|50x50пкс]]
|[[Файл:Uniform_polyhedron-33-t12.png|50x50пкс]]
|[[Файл:Uniform_polyhedron-33-t2.png|50x50пкс]]
|[[Файл:Uniform_polyhedron-33-t02.svg|50x50пкс]]
|[[Файл:Uniform_polyhedron-33-t012.png|50x50пкс]]
|[[Файл:Uniform_polyhedron-33-s012.png|50x50пкс]]
|- style="text-align: center;"
!{{ДКД|node_1|3|node|3|node}}
!{{ДКД|node_1|3|node_1|3|node}}
!{{ДКД|node|3|node_1|3|node}}
!{{ДКД|node|3|node_1|3|node_1}}
!{{ДКД|node|3|node|3|node_1}}
!{{ДКД|node_1|3|node|3|node_1}}
!{{ДКД|node_1|3|node_1|3|node_1}}
!{{ДКД|node_h|3|node_h|3|node_h}}
|- style="text-align: center;"
|[[Чотиригранник|{3,3}]]
|[[Зрізаний тетраедр|t{3,3}]]
|r{3,3}
|[[Зрізаний тетраедр|t{3,3}]]
|[[Чотиригранник|{3,3}]]
|[[Кубооктаедр|rr{3,3}]]
|[[Зрізаний октаедр|tr{3,3}]]
|[[Ікосаедр|sr{3,3}]]
|-
! colspan="8" |Двоїсті многогранники
|- style="text-align: center;"
|[[Файл:Tetrahedron.svg|50x50пкс]]
|[[Файл:Triakistetrahedron.jpg|56x56пкс]]
|[[Файл:Hexahedron.svg|56x56пкс]]
|[[Файл:Triakistetrahedron.jpg|56x56пкс]]
|[[Файл:Tetrahedron.svg|50x50пкс]]
|[[Файл:Rhombicdodecahedron.jpg|50x50пкс]]
|[[Файл:Tetrakishexahedron.jpg|52x52пкс]]
|[[Файл:POV-Ray-Dodecahedron.svg|50x50пкс]]
|- style="text-align: center;"
|[[Чотиригранник|V3.3.3]]
|[[Триакістетраедр|V3.6.6]]
|[[Куб|V3.3.3.3]]
|[[Триакістетраедр|V3.6.6]]
|[[Чотиригранник|V3.3.3]]
|[[Ромбододекаэдр|V3.4.3.4]]
|V4.6.6
|V3.3.3.3.3
|}
Вищенаведені тіла можна розуміти як зрізи, ортогональні до довгої діагоналі [[тесеракт]]а. Якщо розташувати цю [[діагональ]] вертикально з висотою 1, то перші п'ять перерізів зверху на висотах ''r'', 3/8, 1/2, 5/8 і ''s'', де ''r''&nbsp;— будь-яке число в інтервалі (0,1/4], а ''s''&nbsp;— будь-яке число в інтервалі [3/4,1).

Октаедр як ''тетратетраедр'' існує в послідовності симетрій квазіправильних многогранників і мозаїк з [[Конфігурація вершини|конфігурацією вершин]] (3.''n'')<sup>2</sup>, проходячи від [[Сферичний многогранник|мозаїк на сфері]] до евклідової площини, а потім гіперболічної площини. В {{Не перекладено|Орбіфолдна нотація|орбіфолдній нотації||orbifold notation}} симетрії *''n''32 всі ці мозаїки є [[Побудова Вітгоффа|побудовами Вітгоффа]] всередині [[Фундаментальна область|фундаментальної області]] симетрії з генерувальними точками на прямому куті області{{Sfn|Williams|1979}}<ref>[[google:Two-Dimensional+Symmetry+Mutation|''Two Dimensional symmetry Mutations'' by Daniel Huson]]</ref>.

{{Квазірегулярні-3 мала таблиця}}

=== Трикутна антипризма ===
Як [[Антипризма|трикутної антипризми]] октаедр пов'язаний з сімейством шестикутної діедричної симетрії.
{{Шестикутні діедричні усічення}}

{{Однорідні антипризми}}

=== Інші ===
{{Таблиця кирпатих фігур}}

== Див. також ==
* {{Не перекладено|Центроване октаедричне число|||Centered octahedral number}}
* [[Зірчастий октаедр]]
* [[Триакісоктаедр]]
* [[Гекзакісоктаедр]]
* [[Зрізаний октаедр]]
* [[Комплексні сполуки|Координаційна теорія]]
* {{Не перекладено|Октаедрична симетрія|||Octahedral symmetry}}
* [[Граф Турана|Граф октаедра]]

== Примітки ==
{{примітки|2}}

== Література ==
{{refbegin}}
* [[Велика радянська енциклопедія]]
* {{стаття
|автор=Arthur S. Finbow, Bert L. Hartnell, Richard J. Nowakowski, Michael D. Plummer 
|doi=10.1016/j.dam.2009.08.002
|випуск=8
|видання=Discrete Applied Mathematics
|mr=2602814
|ref=Finbow, Hartnell, Nowakowski, Plummer
|заголовок=On well-covered triangulations. III
|том=158
|рік=2010
}}
* {{стаття
|автор=Douglas J. Klein 
|рік=2002 
|заголовок=Resistance-Distance Sum Rules 
|видання=Croatica Chemica Acta 
|том=75 
|випуск=2 
|url=http://jagor.srce.hr/ccacaa/CCA-PDF/cca2002/v75-n2/CCA_75_2002_633_649_KLEIN.pdf 
|accessdate=2006-09-30
|ref=Klein
}}
* {{книга
|автор=R. Williams
|ref=Williams
|заголовок=The Geometrical Foundation of Natural Structure: A Source Book of Design
|місце=New York
|видавництво=[[Dover Publications]]
|рік=1979
|частина=Chapter 5 The Kaleidoscope, Section: 5.7 Wythoff's
}}
{{refend}}

== Посилання ==
* {{mathworld |urlname=Octahedron |title=Октаедр}}
* [http://www.bendwavy.org/klitzing/dimensions/polyhedra.htm Klitzing Polytopes, 3D convex uniform polyhedra] {{Webarchive|url=https://web.archive.org/web/20170707205058/https://bendwavy.org/klitzing/dimensions/polyhedra.htm |date=7 липня 2017 }}
* [http://www.dr-mikes-math-games-for-kids.com/polyhedral-nets.html?net=1S2GJRuqXD7blH9ixbn1mPoTSPo6vkjWddm7xoNxFj&name=Octahedron#applet Editable printable net of an octahedron with interactive 3D view] {{Webarchive|url=https://web.archive.org/web/20171028045248/http://www.dr-mikes-math-games-for-kids.com/polyhedral-nets.html?net=1S2GJRuqXD7blH9ixbn1mPoTSPo6vkjWddm7xoNxFj&name=Octahedron#applet |date=28 жовтня 2017 }}
* [http://www.software3d.com/Octahedron.php Paper model of the octahedron] {{Webarchive|url=https://web.archive.org/web/20171204005726/http://www.software3d.com/Octahedron.php |date=4 грудня 2017 }}
* [http://www.kjmaclean.com/Geometry/GeometryHome.html K.J.M. MacLean, A Geometric Analysis of the Five Platonic Solids and Other Semi-Regular Polyhedra] {{Webarchive|url=https://web.archive.org/web/20210314182542/http://www.kjmaclean.com/Geometry/GeometryHome.html |date=14 березня 2021 }}
* [http://www.mathconsult.ch/showroom/unipoly/ The Uniform Polyhedra] {{Webarchive|url=https://web.archive.org/web/20080211233246/http://www.mathconsult.ch/showroom/unipoly/ |date=11 лютого 2008 }}
* [http://www.georgehart.com/virtual-polyhedra/vp.html Virtual Reality Polyhedra] {{Webarchive|url=https://web.archive.org/web/20080223132026/http://www.georgehart.com/virtual-polyhedra/vp.html |date=23 лютого 2008 }} The Encyclopedia of Polyhedra
** [http://www.georgehart.com/virtual-polyhedra/conway_notation.html Conway Notation for Polyhedra] {{Webarchive|url=https://web.archive.org/web/20141129085342/http://www.georgehart.com/virtual-polyhedra/conway_notation.html |date=29 листопада 2014 }} Try: dP4
{{Правильні многогранники}}
{{Багатогранники}}
{{Основні опуклі правильні й однорідні політопи в розмірностях 2-10}}
[[Категорія:Графи, що мають власну назву]]
[[Категорія:Правильні многогранники]]
[[Категорія:Призматоїди]]