Перегляд вихідного коду сторінки Ознака Веєрштраса

У [[математичний аналіз|математичному аналізі]], '''ознака [[Карл_Веєрштрасс|Веєрштраса]]''' є ознакою [[Абсолютна збіжність|абсолютної]] і [[Рівномірна збіжність|рівномірної збіжності]] [[Функціональний ряд|функціональних рядів]] [[Дійсні числа|дійсної]] чи [[Комплексне число|комплексної]] змінної.

== Твердження ==

Нехай <math>\{f_n\}</math> [[послідовність]] функцій дійсної чи комплексної змінної визначених на множині <math>A</math> і існують такі невід'ємні дійсні числа <math>M_n</math> що
:<math>|f_n(x)|\leq M_n</math> 
для всіх <math>n</math>&ge;<math>1</math> і всіх <math>x \in A</math>. Якщо ряд
:<math>\sum_{n=1}^{\infty} M_n</math>
є збіжним, то [[функціональний ряд]] 
:<math>\sum_{n=1}^{\infty} f_n (x)</math>
є абсолютно і рівномірно збіжним на <math>A</math>.

== Доведення ==

Позначимо <math>S_{n}(x)=\sum_{k=1}^{n}f_{k}(x)</math> 

Оскільки ряд <math>\sum_{n=1}^{\infty}M_{n}</math> є збіжним i {{math|''M<sub>n</sub>'' &ge; 0}} для всіх ''n'', згідно [[Ознака збіжності Коші|ознаки Коші]]
:<math>\forall \varepsilon>0 : \exists N : \forall n>m>N : \sum_{k=m+1}^{n}M_{k}<\varepsilon.</math> 
Для вибраного ''N'',
: <math>\forall x \in A : \forall n> m> N</math>
: <math>\left|S_{n}(x)-S_{m}(x)\right|=\left|\sum_{k=m+1}^{n}f_{k}(x)\right|\overset{(1)}{\leq} \sum_{k=m+1}^{n}|f_{k}(x)|\leq \sum_{k=m+1}^{n}M_{k}<\varepsilon . </math> 

Тобто часткова сума ряду є рівномірно збіжною. За визначенням ряд <math>\sum_{k=1}^{\infty}f_{k}(x)</math> теж є рівномірно збіжним.

== Джерела ==
* {{Фіхтенгольц.укр}}
* {{Ляшко.Ємельянов.Боярчук.Математичний аналіз.ч1}}
* {{Дороговцев.Математичний аналіз.ч1}}
* {{Rudin.Real and complex analysis}}
* {{книга
|автор         = Заболоцький М.В., Сторож О.Г., Тарасюк С.І.
|заголовок     = Математичний аналіз: Підручник
|місто         = Львів
|видавництво  = Видавничий центр ЛНУ ім. Івана Франка
|рік           = 2007
|сторінок       = 416
}}
* E. T. Whittaker, G. N. Watson (1927). ''A Course in Modern Analysis'', fourth edition. Cambridge University Press, ст. 49.

{{Ознаки збіжності рядів}}
{{Математичний аналіз}}

[[Категорія:Ознаки збіжності]]
[[Категорія:Функціональний аналіз]]