Перегляд вихідного коду сторінки Однорідний многочлен

У [[Математика|математиці]] '''однорідний поліном''' (який іноді називають “quantic“ у старих текстах) — це [[Многочлен|поліном]], в якого усі ненульові члени мають однаковий [[Степінь многочлена|степінь]].<ref>{{cite book |first=David A. |last=Cox |first2=John |last2=Little |first3=Donal |last3=O'Shea |title=Using Algebraic Geometry |url=https://books.google.com/books?id=QFFpepgQgT0C&pg=PP1 |edition=2nd |date=2005 |publisher=Springer |isbn=978-0-387-20733-9 |page=2 |volume=185 |series=Graduate Texts in Mathematics }}</ref>
Наприклад, <math>x^{5}+2x^{3}y^{2}+9xy^{4}</math> — однорідний поліном <math>5</math>-го степеня з двома змінними; сума показників у кожному доданку завжди дорівнює <math>5</math>.
Поліном <math>x^{3}+3x^{2}y+z^{7}</math> не є однорідним, оскільки сума показників не збігається від члена до члена.
Функція, визначена однорідним поліномом, завжди є [[Однорідна функція|однорідною функцією]].

'''Алгебраїчна форма''' або просто '''форма''' — це [[Функція (математика)|функція]],  визначена однорідним поліномом.<ref>Однак деякі автори не роблять чіткої різниці між поліномом і пов'язаною з ним функцією, терміни ''' однорідний поліном''' та '''форма''' іноді вважаються синонімами.</ref>
'''Бінарна форма''' — це форма з двома змінними.
'''Форма''' — це також функція, визначена у [[Векторний простір|векторному просторі]], яку можна представити як однорідну функцію координат для довільного [[Базис (математика)|базису]].

Поліном степеня <math>0</math> завжди однорідний; це просто елемент [[Поле (алгебра)|поля]] або [[Кільце (алгебра)|кільця]] коефіцієнтів, зазвичай його називають константою або скаляром.
Форма степеня <math>1</math> є лінійною формою.<ref>'''Лінійні форми''' визначаються лише для скінченновимірного векторного простору, тому їх слід відрізняти від [[Лінійна форма|лінійних функціоналів]], які визначені для будь-якого векторного простору. “Лінійний функціонал“ рідко використовується для скінченновимірних векторних просторів.</ref>
Форма степеня <math>2</math> є [[Квадратична форма|квадратичною формою]].
У [[Геометрія|геометрії]] [[Евклідова відстань|евклідова відстань]] — це [[Квадратний корінь|квадратний корінь]] з квадратичної форми.

Однорідні поліноми є широко поширеними в математиці та фізиці.<ref>Однорідні поліноми у фізиці часто виникають як наслідок [[Метод аналізу розмірностей|методу аналізу розмірностей]], де вимірні величини повинні збігатися у реальних задачах.</ref>
Вони відіграють фундаментальну роль в [[Алгебрична геометрія|алгебричній геометрії]], оскільки {{нп|Проективний різновид|проєктивний алгебраїчний многовид||Projective variety}} визначається як [[множина]] спільних нулів множини однорідних поліномів.

== Властивості ==
Однорідний поліном визначає [[Однорідна функція|однорідну функцію]].Це означає, що якщо [[Многочлен|багатовимірний поліном]] <math>P</math> є однорідним степеня <math>d</math>, то
: <math>\begin{align}
P(\lambda x_{1},\dots ,\lambda x_{n})=\lambda ^{d}\,P(x_{1},\dots ,x_{n}),
\end{align}</math>
виконується для будь-якого <math>\lambda</math> і для будь-якого [[Поле (алгебра)|поля]], що містить [[Коефіцієнт|коефіцієнти]] полінома <math>P</math>.
І навпаки, якщо вищезгадане співвідношення справедливе для нескінченної кількості <math>\lambda</math>, то поліном є однорідним степеня <math>d</math>.
Зокрема, якщо поліном <math>P</math> однорідний, то
: <math>\begin{align}
 P(x_{1},\dots ,x_{n})=0\quad \Rightarrow \quad P(\lambda x_{1},\dots ,\lambda x_{n})=0
\end{align}</math>

для будь-якого <math>\lambda</math>.
Ця властивість є фундаментальною при визначенні {{нп|Проективний різновид|проєктивного многовиду||Projective variety}}.

Будь-який ненульовий поліном можна єдиним чином розкласти як суму однорідних поліномів з різними степенями, які називаються '''однорідними компонентами''' полінома.

Для заданого [[Кільце многочленів|кільця поліномів]] <math>R=K[x_{1},\dots,x_{n}]</math> над [[Поле (алгебра)|полем]] (або, у загальному випадку, [[Кільце (алгебра)|кільцем]]) <math>K</math> однорідні поліноми степеня <math>d</math> утворюють [[Векторний простір|векторний простір]] (або [[Модуль над кільцем|модуль]]), який зазвичай позначається як <math>R_{d}</math>.
Наведене вище однозначне розкладання означає, що <math>R</math> є [[Пряма сума|прямою сумою]] модулів <math>R_{d}</math> (сума за всіма [[Натуральні числа|невід'ємними цілими числами]]).

Розмірність векторного простору (або [[Вільний модуль|вільного модуля]]) <math>R_{d}</math> — це кількість різних одночленів степеня <math>d</math> з <math>n</math> змінними (тобто максимальна кількість ненульових членів в однорідному поліномі степеня <math>d</math> від <math>n</math> змінних).
Вона дорівнює [[Біноміальний коефіцієнт|біноміальному коефіцієнту]]
: <math>\begin{align}
\binom {d+n-1}{n-1}=\binom {d+n-1}{d}=\frac {(d+n-1)!}{d !(n-1)!}.
\end{align}</math>
Однорідний поліном задовольняє [[Однорідна функція|тотожність Ейлера для однорідних функцій]].
Тобто, якщо <math>P</math> є однорідним поліномом степеня <math>d</math> від невідомих  <math>x_{1},\dots,x_{n}</math>, то маємо (залежно від того, що є [[Комутативне кільце|комутативним кільцем]] коефіцієнтів)
: <math>\begin{align}
{\rm d}P=\sum _{i=1}^{n}x_{i}{\frac {\partial P}{\partial x_{i}}},
\end{align}</math>
де <math>{\frac {\partial P} {\partial x_{i}}}</math> означає [[Формальне диференціювання|формальну частинну похідну]] від <math>P</math> відносно <math>x_{i}</math>.

== Гомогенізація ==
Неоднорідний поліном <math>P(x_1,\dots,x_n)</math> можна гомогенізувати, ввівши додаткову змінну <math>x_0</math> і визначивши однорідний поліном, який іноді позначають як <math>^{h}\!P</math>:<ref>{{harvnb|Cox|Little|O'Shea|2005|p=35}}</ref>
: <math>\begin{align}
{^{h}\!P}(x_{0},x_{1},\dots ,x_{n})=x_{0}^{d}P\left({\frac  {x_{1}}{x_{0}}},\dots ,{\frac  {x_{n}}{x_{0}}}\right),
\end{align}</math>
де <math>d</math> [[Степінь многочлена|степінь]] полінома <math>P</math>.
Наприклад, якщо
: <math>
P=x_{3}^{3}+x_{1}x_{2}+7,
</math>
то
: <math>
^{h}\!P=x_{3}^{3}+x_{0}x_{1}x_{2}+7x_{0}^{3}.
</math>
Гомогенізований поліном можна дегомогенізувати, ввівши додаткову змінну <math>x_{0} = 1</math>.
Тобто
:<math>
P(x_{1},\dots,x_{n})={^{h}\!P}(1,x_{1},\dots,x_{n}).
</math>

== Див. також ==
*{{нп|Мультиоднорідна теорема Безу|Мультиоднорідний поліном||Multi-homogeneous Bézout theorem}}
*{{нп|Квазіоднорідний поліном|Квазіоднорідний поліном||Quasi-homogeneous polynomial}}
*{{нп|Діагональна форма|Діагональна форма||Diagonal form}}
*[[Градуйована алгебра]]
*[[Многочлен Гільберта]]
*{{нп|Полілінійна форма|Полілінійна форма||Multilinear form}}
*[[Мультилінійна функція]]
*{{нп|Поляризація алгебричної форми|Поляризація алгебричної форми||Polarization of an algebraic form}}
*[[Поліном Шура]]
*{{нп|Символ диференціального оператора|Символ диференціального оператора||Symbol of a differential operator}}<!-- Проблема вікіфікації: Сторінка [[:en:Symbol of a differential operator]] (→ [[:en:Differential operator#Definition]]) перекладена як [[Диференціальний оператор]], хоча хотіли [[Символ диференціального оператора]] (SashkoR0B0T)-->

== Примітки ==
{{reflist}}

== Література ==
* {{Фіхтенгольц.укр}}

== Зовнішні посилання ==
* {{MathWorld|urlname=HomogeneousPolynomial}}

{{Алгебраїчні рівняння (список)}}

[[Категорія:Багатолінійна алгебра]]
[[Категорія:Алгебрична геометрія]]