Перегляд вихідного коду сторінки Обчислювальна математика

[[Файл:Ybc7289-bw.jpg|thumb|250px|right|[[Вавилон]]ська [[глиняна табличка]] приблизно 1800—1600 років до нашої ери з сучасними анотаціями. Надписи на табличці дають наближене значення [[Квадратний корінь з двох|квадратного кореня з 2]] як суми чотирьох [[Шістдесяткова система числення|шістдесяткових чисел]]: <math> \sqrt{2} = 1 + 24/60 +</math> <br/> <math>\ 51/60^2  + 10/60^3 = </math> <br/> <math> 1.41421296\ldots </math><ref>{{Cite web |url=http://it.stlawu.edu/%7Edmelvill/mesomath/tablets/YBC7289.html |title=Photograph, illustration, and description of the ''root(2)'' tablet from the Yale Babylonian Collection |accessdate=28 лютого 2011 |archive-date=13 серпня 2012 |archive-url=https://web.archive.org/web/20120813054036/http://it.stlawu.edu/%7Edmelvill/mesomath/tablets/YBC7289.html }}</ref>]]

'''Обчи́слювальна матема́тика'''&nbsp;— розділ [[математика|математики]], до якого входить коло питань, зв'язаних з виконанням наближених обчислень. У вужчому розумінні, обчислювальна математика&nbsp;— теорія [[чисельні методи|числових методів]] розв'язування типових [[математична задача|математичних задач]]. Сучасна обчислювальна математика уводить до кола своїх проблем вивчення особливостей обчислень із використанням [[комп'ютер]]ів.

Обчислювальна математика має широке коло прикладних використань для проведення наукових та інженерних розрахунків. На її основі в останні десятиліття розвинулися нові області обчислювальних наук, наприклад, [[обчислювальна хімія]], [[обчислювальна біологія]] тощо.

== Історія ==

Обчислювальна математика виникла дуже давно, ще в стародавньому [[Межиріччя|Межиріччі]] були розроблені методи добування [[квадратний корінь|квадратного кореня]]. В епоху [[наукова революція|першої наукової революції]] [[16 ст.|16]]-[[17 ст.]] обчислювальна математика швидко розвивалася, виходячи з практичних потреб, паралельно з [[математичний аналіз|математичним аналізом]]. Зокрема, наближені обчислення широко використовували у [[небесна механіка|небесній механіці]] для передбачення руху [[небесне тіло|небесних тіл]], що привело до встановлення [[геліоцентрична система|геліоцентричної системи]], [[закони Кеплера|законів Кеплера]], [[закони Ньютона|законів Ньютона]]. [[17 століття|XVII]] та [[18 століття|XVIII століттях]] стали свідками розроблення значної кількості чисельних методів та [[алгоритм]]ів.

Виконання великої кількості інженерних обчислень у [[19 століття|XIX]] та [[20 століття|XX століттях]] вимагало створення відповідних засобів. Одним із таких засобів стала [[логарифмічна лінійка]], іншим&nbsp;— таблиці функцій. Таблиці [[Трансцендентна функція|трансцендентних функцій]] друкувалися з великою точністю&nbsp;— до 16 знаків після коми, й значно допомагали проводити розрахунки. Існували механічні пристрої для виконання математичних операцій&nbsp;— [[арифмометр]]и. У першій половині 20 століття для розв'язку [[диференціальні рівняння|диференціальних рівнянь]] використовували [[Аналогова ЕОМ|аналогові електричні схеми]].

Винахід [[комп'ютер]]а в середині 20 століття означав створення універсального інструмента для математичних розрахунків. Поряд із [[мейнфрейм]]ами до широкого розповсюдження [[персональний комп'ютер|персональних комп'ютерів]] у розпорядженні інженерів та науковців для виконання ручних операцій були [[калькулятор]]и.

[[Проблема чотирьох фарб]] стала першою чисто математичною [[теорема|теоремою]] доведеною, за допомогою [[комп'ютер]]а в [[1976]] році. Це доведення зводиться до вичерпного перебору кількох тисяч варіантів, чого людина зробити не може. Відтоді чисельні обчислення за допомогою комп'ютера увійшли в арсенал засобів математика.

== Задачі обчислювальної математики ==

До задач обчислювальної математики належать:

* розв'язування [[система лінійних рівнянь|систем лінійних рівнянь]]
* [[Алгоритм обчислення власних значень|пошук власних значень]] і [[власний вектор матриці|векторів]] матриці
* пошук [[сингулярний розклад матриці|сингулярних значень і векторів матриці]]
* розв'язування [[нелінійні алгебраїчні рівняння|нелінійних (в тому числі алгебраїчних та трансцендентних) рівнянь]]
* розв'язування систем нелінійних алгебраїчних рівнянь
* розв'язування [[диференціальні рівняння|диференціальних рівнянь]] (як [[Звичайні диференціальні рівняння|звичайних диференціальних рівнянь]], так і рівнянь з частинними похідними)
* розв'язування систем диференціальних рівнянь
* розв'язування [[інтегральне рівняння|інтегральних рівнянь]]
* задачі [[апроксимація|апроксимації]]
* задачі [[Інтерполяція|інтерполяції]]
* задачі [[екстраполяція|екстраполяції]]
* [[задача оптимізації|задачі оптимізації]]
* задачі [[регресія (статистика)|регресії]]
* обернені задачі.

Окремим класом задач обчислювальної математики є задачі з використанням послідовностей випадкових чисел, різноманітні [[метод Монте-Карло|методи Монте-Карло]], що широко застосувуються в багатьох галузях як власне математики, так і суміжних наук. Для розв'язання цього класу задач необхідна розробка й вдосконалення методів генерації [[Псевдовипадкова послідовність|псевдовипадкових чисел]] із різноманітними розподілами.

== Обмеження представлення чисел у комп'ютері ==

Основна відмінність обчислювальної математики з використанням комп'ютерів полягає в тому, що при розв'язуванні обчислювальних задач комп'ютер оперує [[машинне число|машинними числами]], що є дискретною проєкцією [[дійсне число|дійсних чисел]] на конкретну [[архітектура комп'ютера|архітектуру комп'ютера]]. Так, наприклад, якщо взяти машинне число завдовжки 8 [[байт]]ів, у ньому можна запам'ятати тільки 2<sup>64</sup> різних чисел, тому важливу роль в обчислювальній математиці відіграють оцінки точності [[алгоритм]]ів та їхня [[стійкість]] до представлень машинних чисел у [[комп'ютер]]і. Саме тому, наприклад, для розв'язування [[СЛАР|лінійної системи алгебричних рівнянь]] дуже рідко використовують обчислення [[обернена матриця|оберненої матриці]], тому що цей метод може привести до помилкового розв'язку у випадку з [[сингулярна матриця|сингулярною матрицею]], а дуже розповсюджений у [[лінійна алгебра|лінійній алгебрі]] метод оснований на обчисленні [[визначник матриці|визначника матриці]] і її доповнення вимагає набагато більше арифметичних операцій, ніж будь-який стійкий метод розв'язування лінійної системи рівнянь.

Це обмеження не є принциповим. Комп'ютер може виконувати [[Довга арифметика|обчислення з довільною точністю]], використовуючи звичайне символічне представлення чисел так, як це робила б людина, але, відповідно, це призводить до збільшення часу розрахунків. Зокрема, можливість обчислень з довільною точністю дають популярні програмні продукти: [[Mathematica]], [[Sage]], [[Maple]], [[MATLAB]].

== Чисельні методи ==
{{main|Чисельні методи}}

Основним об'єктом вивчення обчислювальної математики є чисельні методи розв'язування різноманітних математичних задач та алгоритмізація цих методів. Серед найважливіших характеристик чисельних методів&nbsp;— [[Границя|збіжність]], [[стійкість]], [[ефективність]].

Збіжність методу визначається його спроможністю знайти наближений розв'язок задачі з достатнью [[точність|точністю]] за скінченне число кроків. Особливої уваги вимагають [[ітерація|ітераційні методи]]. Збіжність ітераційних методів часто залежить від тих значень, з яких починається ітераційний процес. Чисельний метод повинен будуватися так, щоб бажаний розв'язок був [[атрактор]]ом ітераційної процедури. Дуже часто побудова або вибір методу залежать від уміння математика, не як ремесла, а як мистецтва.

Стійкість чисельного методу з одного боку зумовлена математичною проблемою. Ітераційний процес, наприклад, у залежності від початкових значень, може збігатися до різних атракторів математичної задачі. Результат застосування стійких методів не повинен залежати від зміни почакових значень принаймні в межах деякої області.

Крім математичної стійкості, що визначається початковими умовами, існує також проблема чисельної нестійкості. Кожне обчислення виконується з певною [[похибка|похибкою]], зумовленою представленням чисел, [[округлення]]ми тощо. Накопичення похибок може призвести до виходу стану системи з [[басейн притягання|басейну притягання]] атрактора, і результат не буде знайдено.

Ефективність методу визначається числом операцій, необхідних для знаходження розв'язку, а також об'ємом пам'яті, потрібної для збереження проміжних результатів. Як число операцій, так і небхідна [[комп'ютерна пам'ять]] часто зростають дуже швидко із ростом розмірів системи. Так, наприклад, розв'язок [[Диференціальне рівняння з частинними похідними|диференціального рівняння з частинними похідними]] часто зводиться до розв'язку [[система лінійних алгебраїчних рівнянь|системи лінійних алгебраїчних рівнянь]] розміності <math>N^2</math>, де ''N''&nbsp;— число точок, для яких треба знайти розв'язок. Це число точок пропорційне <math> L^d </math>, де ''L''&nbsp;— число точок в одному вимірі, ''d''&nbsp;— розмірність системи. Для тривимірної системи, розмірність матриці повинна бути порядку <math>L^6 </math>. Наприклад, для 100 точок в кожному вимірі потрібно зберігати принаймні 10<sup>12</sup> чисел, а для 1000 точок 10<sup>18</sup> чисел. Відповідно збільшується час розрахунків.

== Програмне забезпечення ==

Алгоритми розв'язування багатьох стандартних задач обчислювальної математики реалізовані на багатьох [[мова програмування|мовах програмування]]. Найчастіше для цих цілей використовують мови [[ФОРТРАН]] і [[C (мова програмування)|C]]. Ці алгоритми скомпоновані в бібліотеки, які можна знайти, наприклад, в [[Репозиторій|репозиторії]] [[Netlib]]. Популярні комерційні бібліотеки&nbsp;— [[IMSL]], [[NAG]], [[Intel MKL]], чи вільна альтернатива [[GNU Scientific Library]].

[[MATLAB]], [[Mathematica]], [[Maple]], [[S-PLUS]], [[LabVIEW]] та {{Нп|IDL (мова програмування)|IDL||IDL (programming language)}}, а також їх вільні альтернативи [[Sage]], [[FreeMat]], [[Scilab]], [[GNU Octave]] (схожа на Matlab), [[IT++]] (бібліотека [[C++]]), [[R (мова програмування)|R]] (подібна до [[S-PLUS]]), [[Python]] (з [[NumPy]] та [[SciPy]]) мають у своєму розпорядженні різноманітні чисельні методи, а також засоби для візуалізації та відображення результатів.

== Джерела ==
* К.&nbsp;И.&nbsp;Бабенко. Основы численного анализа. Москва. Наука. 1986.
* Канторович Л. В., Крылов В.&nbsp;И.&nbsp;Приближенные методы высшего анализа. Москва&nbsp;— Ленинград. ГИИТЛ. 1949.
* Hildebrand, F. B. (1974). Introduction to Numerical Analysis (2nd edition ed.). McGraw-Hill. ISBN 0-07-028761-9.
* Leader, Jeffery J. (2004). Numerical Analysis and Scientific Computation. Addison Wesley. ISBN 0-201-73499-0.
* Trefethen, Lloyd N. (2006). «Numerical analysis», 20 pages. In: Timothy Gowers and June Barrow-Green (editors), Princeton Companion of Mathematics, Princeton University Press.
* Higham, Nicholas J. (1966). Accuracy and Stability of Numerical Algorithms (Society for Industrial and Applied Mathematics, ISBN 0-89871-355-2).

== Виноски ==
{{reflist}}

{{Розділи математики}}
{{Кібернетика}}
{{Інформатика}}

[[Категорія:Чисельні методи]]