Перегляд вихідного коду сторінки Обмежені неповні частки

У [[Математика|математиці]] про [[дійсне число]] кажуть, що воно має '''обмежені неповні частки''', якщо при його розкладанні в [[ланцюговий дріб]] неповні частки не набувають як завгодно великих значень.{{Рамка}}
'''Визначення'''

Ланцюговий дріб

: <math>x = [a_0;a_1,a_2,\dots] = a_0 + \cfrac{1}{a_1 + \cfrac{1}{a_2 + \dots}}</math>

має обмежені неповні частки, якщо існує число <math>c</math> таке, що <math>a_i \le c</math> для будь-якого <math>i \ge 0</math>.
{{/рамка}}

== Властивості ==

* будь-який [[періодичний ланцюговий дріб]] має обмежені неповні частки;

* якщо <math>x</math> має обмежені неповні частки, то у [[Двійкова система числення|двійковому поданні]] значення [[Функція Мінковського|функції Мінковського]] в точці <math>x</math> відстань між сусідніми одиницями обмежена (в цьому контексті множину таких чисел можна розуміти як широке узагальнення ідеї побудови [[Множина Кантора|множини Кантора]]).

== Гіпотеза Заремби ==
{{Докладніше|Гіпотеза Заремби}}
Розклад [[Раціональне число|раціонального числа]] в ланцюговий дріб завжди скінченний, тому всі його неповні частки обмежені найбільшою з них. Особливо цікавим є питання, чи можна накласти єдині обмеження на неповні частки більшості раціональних чисел. Його 1972 року поставив [[Станіслав Заремба]].{{Рамка}}
'''Гіпотеза Заремби'''

Існує абсолютна стала <math>c</math> така, що для будь-якого знаменника <math>q \in {\mathbb N}</math> існує чисельник <math>a<q</math> такий, що <math>(a, q) = 1</math> та неповні частки нескоротного дробу

: <math>\frac{a}{q} = [a_1,\dots,a_s]</math>

обмежені нерівністю <math>a_i \le c,\ i=1,\dots,s</math>
{{/рамка}}[[Жан Бурген|Бурген]] і Конторович довели гіпотезу для багатьох чисел <math>q</math> [[Асимптотична щільність|щільності]] 1{{Sfn|Bourgain, Kontorovich|2014}}. Для малих значень сталої <math>c</math> та окремих множин допустимих значень <math>a_i</math> вивчають слабші нижні оцінки на розподіл таких <math>q</math><ref>Див. {{Sfn0|Кан|2016}} та інші праці з тієї ж серії.</ref>.

== Примітки ==
{{Примітки}}

== Література ==
* {{Стаття|author=[[Жан Бурген|J. Bourgain]], A. Kontorovich|title=On Zaremba’s conjecture|url=https://annals.math.princeton.edu/2014/180-1/p03|language=en|видання=Annals of Mathematics|date=2014|том=180|pages=137–196|ref=Bourgain, Kontorovich}}
* {{Стаття|author=И. Д. Кан|title=Усиление теоремы Бургейна–Конторовича. IV|url=http://www.mathnet.ru/php/archive.phtml?wshow=paper&jrnid=im&paperid=8360&option_lang=rus|language=ru|видання=Известия РАН|date=2016|том=80|issue=6|pages=103–126|ref=Кан}}

[[Категорія:Теорія чисел]]
[[Категорія:Неперервні дроби]]