Перегляд вихідного коду сторінки Ніде не щільна множина

В [[топологія|топології]] множина <math>A</math> [[топологічний простір|топологічного простору]] <math>(X, \tau)</math> називається '''ніде не [[Щільність множини|щільною]]''' тоді і тільки тоді, коли множина [[внутрішня точка|внутрішніх точок]] її [[замикання]] є [[порожня множина|порожньою]]:

:<math>\operatorname{int}\;\operatorname{cl}\;A = \emptyset</math>.

Інакше кажучи множина не є [[щільна множина|щільною]] в жодному [[окіл|околі]] простору <math>X</math>.

== Лема ==
Множина <math>A\subseteq X</math> є ніде не щільною в <math>X</math> тоді і тільки тоді, коли в кожній непустій [[відкрита множина|відкритій множині]] <math>U</math> можна знайти непусту відкриту множину <math>V</math>, що не [[перетин множин|перетинається]] з <math>A</math> (тобто <math>V\subseteq U\setminus A</math>).

== Властивості ==
* Сім'я <math>{\rm NWD}(X)</math> всіх ніде не щільних множин простору <math>X</math> утворюють [[ідеал (порядок)|ідеал]] підмножин <math>X</math>, тобто 
::якщо <math>A,B\in {\rm NWD}(X)</math>, то <math>A\cup B\in {\rm NWD}(X)</math>, 
::якщо <math>A\in {\rm NWD}(X)</math> і <math>B\subseteq A</math>, то <math>B\in {\rm NWD}(X)</math>,
::<math>X\notin  {\rm NWD}(X)</math>.
* Якщо <math>A\subseteq Y\subseteq X</math> і <math>A</math> є ніде не щільною в <math>Y</math> ( <math>A\in {\rm NWD}(Y)</math>, де топологія в <math>Y</math> успадкована від  <math>X</math>), тоді <math>A\in {\rm NWD}(X)</math>.
* Нехай <math>A\subseteq Y\subseteq X</math> і <math>Y</math> щільною підмножиною в <math>X</math>. Тоді <math>A\in {\rm NWD}(X)</math> тоді і тільки тоді, коли <math>A\in {\rm NWD}(Y)</math>.
* Множина <math>A</math> є ніде не замкнутою тоді і тільки тоді, коли її [[замикання (топологія)|замикання]] є ніде не щільною множиною. Таким чином кожна ніде не щільна множина міститься в деякій [[замкнута множина|замкнутій]] ніде не щільній множині.
* Замкнута ніде не щільна множина є [[границя (топологія)|границею]] відкритої множини.

== Див. також ==
*[[Множина першої категорії]]
*[[Щільна множина]]
*[[Щільність множини]]

== Література ==
*Келли Дж. Л. ''Общая топология'' — М.: Наука, 1968

[[Категорія:Топологія]]