Перегляд вихідного коду сторінки Нуль у нульовому степені

[[Файл:X^y.png|праворуч|міні|350x350пкс| Графік функції ''z'' = ''x''<sup>''y''</sup> поблизу ''x'' = 0, ''y'' = 0 ]]
Вираз <math>0^0</math> '''(нуль в нульовому степені)''' багато підручників вважають невизначеним і позбавленим сенсу{{Sfn|БСЭ|1969—1978}}. Пов'язано це з тим, що функція двох змінних <math>f(x, y) = x^y</math> в точці <math>(0, 0)</math> має неусувний [[Неперервна функція|розрив]]. Справді, уздовж додатного напрямку осі <math>X,</math> де <math>y = 0,</math> вона дорівнює одиниці, а вздовж додатного напрямку осі <math>Y,</math> де <math>x = 0,</math> вона дорівнює нулю. Тому ніяка домовленість про значення <math>0^0</math> не може дати неперервну в нулі функцію.

Деякі автори пропонують домовитись про те, що цей вираз дорівнює 1. На користь такого варіанту наводяться кілька доводів. Наприклад, розклад у ряд експоненти:

: <math>e^x = 1 + \sum_{n = 1}^\infty \frac{x^n}{n!}</math>

можна записати коротше, якщо прийняти <math>0^0 = 1</math> :

: <math>e^x = \sum_{n = 0}^\infty \frac{x^n}{n!}</math>

(наша домовленість використовується при <math>x = 0,\ n = 0</math>).

Якщо 0 відносити до [[Натуральні числа|натуральних чисел]], то піднесення до натурального степеня можна визначити так:

: <math>a^n = 1 \cdot \underbrace{a \cdot a \cdot \ldots \cdot a}_n,</math>

і тоді піднесення будь-якого числа (зокрема й нуля) до нульового степеня даватиме 1.

Інше обґрунтування домовленості <math>0^0 = 1</math> спирається на «Теорію множин» [[Ніколя Бурбакі|Бурбакі]]<ref>''N. Bourbaki''. Theory of Sets // Elements of Mathematics, Springer-Verlag, 2004, III, §&nbsp;3.5.</ref>: число різних відображень ''n'' -елементної множини в ''m''-елементну дорівнює <math>m^n,</math> при <math>m = n = 0</math> отримуємо відображення [[Порожня множина|порожньої множини]] в порожню, а воно єдине. Зрозуміло, це не можна вважати доведенням (домовленості не потребують доведень), тим більше що в самій теорії множин домовленість <math>0^0 = 1</math> не використовується.

В будь-якому випадку домовленість <math>0^0 = 1</math> чисто символічна, і вона не може використовуватися ні в алгебраїчних, ні в аналітичних перетвореннях через розривність функції в цій точці. Приклад для аналітичних обчислень: вираз <math>(a^{-1/t})^t,</math> де <math>a</math>&nbsp;— довільне додатне [[дійсне число]]. При <math>t \to 0</math> ми отримуємо [[Розкриття невизначеностей|невизначеність]] типу <math>0^0,</math> і, якщо не відрізняти граничну форму <math>0^0</math> (де кожен з нулів позначає прямування до нуля) і значення <math>0^0</math> (де кожен з нулів і є нуль), можна помилково порахувати, що границя дорівнює 1. Насправді цей вираз тотожно дорівнює <math>a^{-1}.</math> Це означає, що нескінченно мала в нескінченно малому степені може в границі дати будь-яке значення, не обов'язково одиницю. Подібних помилок можна припуститися, якщо використовувати домовленість в алгебричних перетвореннях.

== Історія різних точок зору ==
Дискусія з приводу визначення <math>0^0</math> триває, принаймні, з початку XIX століття. Багато математиків тоді приймали цю угоду, але в 1821 році [[Оґюстен-Луї Коші|Коші]]<ref>''Augustin-Louis Cauchy''. Cours d'Analyse de l'École Royale Polytechnique (1821). In his ''Oeuvres Complètes'', series 2, volume 3.</ref> відніс <math>0^0</math> до невизначеностей, таких, як <math>\frac{0}{0}.</math> У 1830-х роках {{Нп|Гульєльмо Лібрі|Лібрі|en|Guglielmo Libri Carucci dalla Sommaja}}<ref>''Guillaume Libri''. Note sur les valeurs de la fonction 0<sup>0<sup>x</sup></sup>, ''[[Journal für die reine und angewandte Mathematik]]'' '''6''' (1830), 67-72.</ref><ref>''Guillaume Libri''. Mémoire sur les fonctions discontinues, ''Journal für die reine und angewandte Mathematik'' '''10''' (1833), 303—316.</ref> опублікував непереконливий аргумент на користь <math>0^0 = 1</math> (див. {{Section link|Функція Гевісайда|Історія}}), і [[Август Фердинанд Мебіус|Мебіус]]<ref name="Möbius1834">{{Стаття|видання=[[Journal für die reine und angewandte Mathematik]]|сторінки=134—136|мова=de|тип=magazin|автор=A. F. Möbius|рік=1834}}</ref> став на його сторону, помилково заявивши, що <math>\lim_{t \to 0^+} f(t)^{g(t)} = 1</math> щоразу, коли <math>\lim_{t \to 0^+} f(t) = \lim_{t \to 0^+} g(t) = 0</math>. Оглядач, який підписався просто як «S», надав контрприклад <math>(e^{-1/t})^t</math>, і це трохи заспокоїло дебати. Більше історичних деталей можна знайти в книзі [[Дональд Кнут|Кнута]] (1992)<ref name="Knuth1992">Donald E. Knuth, Two notes on notation, ''[[American Mathematical Monthly|Amer. Math. Monthly]]'' '''99''' no. 5 (May 1992), 403—422 (arXiv: [[arxiv:math/9205211|math/9205211]] [math.HO]).</ref> .

Пізніші автори інтерпретують описану вище ситуацію по-різному. Деякі стверджують, що оптимальне значення для <math>0^0</math> залежить від контексту, і тому визначити його раз і назавжди проблематично<ref>Например: Edwards and Penny (1994). ''Calculus'', 4th ed, Prentice-Hall, p.&nbsp;466; Keedy, Bittinger, and Smith (1982). ''Algebra Two''. Addison-Wesley, p. 32.</ref>. Згідно з Бенсоном (1999), «вибір, чи слід визначати <math>0^0,</math> ґрунтується на зручності, а не на правильності. Якщо ми утримаємося від визначення <math>0^0</math>, то деякі твердження стають надмірно незручними. <…> Консенсус полягає у використанні визначення <math>0^0 = 1</math>, хоча є підручники, які утримуються від визначення <math>0^0</math>»<ref>Donald C. Benson, ''The Moment of Proof: Mathematical Epiphanies''. New York Oxford University Press (UK), 1999. {{ISBN|978-0-19-511721-9}}.</ref>.

Частина математиків вважає, що <math>0^0</math> має бути визначено як 1. Наприклад, [[Дональд Кнут|Кнут]] (1992) впевнено стверджує, що <math>0^0</math> ''«має'' бути 1», розрізняючи ''значення'' <math>0^0</math>, яке має дорівнювати 1, як це було запропоновано Лібрі, і ''граничну форму'' <math>0^0</math> (абревіатура для границі <math>f(x)^{g(x)}</math> де <math>f(x), g(x) \to 0</math>), яка обов'язково є невизначеністю, як зазначено Коші: «І Коші, й Лібрі мали рацію, але Лібрі та його захисники не розуміли, чому істина на їхньому боці»<ref name="Knuth1992"/>.

Авторитетний сайт ''[[MathWorld]]'', навівши думку Кнута, все ж констатує, що зазвичай значення <math>0^0</math> вважається невизначеним, незважаючи на те, що домовленість <math>0^0 = 1</math> дозволяє в деяких випадках спростити запис формул<ref>{{Cite web|last={{iw|Ерік Вайсштайн|Weisstein, Eric W.|en|Eric W. Weisstein}}|title=Power|url=http://mathworld.wolfram.com/Power.html|website=Wolfram MathWorld|accessdate=2018-10-05}}</ref>. [[Велика радянська енциклопедія]] та деякі інші джерела характеризують <math>0^0</math> як вираз, що не має сенсу (невизначеність).

== Розкриття невизначеності 0<sup>0</sup> ==
{{Див. також|Розкриття невизначеностей}}
Якщо дано дві функції <math>f(x)</math> і <math>g(x)</math>, які прямують до нуля, то границя <math>f(x)^{g(x)}</math> в загальному випадку може бути будь-якою, таким чином, з цієї точки зору <math>0^0</math> є невизначеністю. Для знаходження границі <math>f(x)^{g(x)}</math> в цьому випадку користуються методами [[Розкриття невизначеностей|розкриття невизначеності]], як правило спочатку взявши [[логарифм]] від цього виразу: <math>\ln\left(f(x)^{g(x)}\right) = \ln\big(f(x)\big) g(x)</math>, а потім скориставшись [[Правило Лопіталя|правилом Лопіталя]].

Однак, за певних умов ця границя буде завжди дорівнювати одиниці. А саме: якщо функції <math>f</math> і <math>g</math> є [[Аналітична функція|аналітичними]] в точці <math>0</math> (тобто в деякому околі точки <math>0</math> збігаються зі своїм [[Ряд Тейлора|рядом Тейлора]]), і <math>f(0) = g(0) = 0</math>, а <math>f(x) > 0</math> в околі <math>(0, \delta)</math>, то границя <math>f(x)^{g(x)}</math> при <math>x</math> [[Однобічна границя|яке прямує до нуля справа]] дорівнює 1<ref>{{Стаття|title=The indeterminate form 0<sup>0</sup>|видання=[[Mathematics Magazine]]|номер=1|сторінки=41—42|мова=en|автор=Louis M. Rotando; Henry Korn|місяць=1|рік=1977|тип=magazine}}</ref><ref>{{Cite web|url=http://www.faqs.org/faqs/sci-math-faq/specialnumbers/0to0/|title=sci.math FAQ: What is 0^0?|publisher=www.faqs.org|accessdate=2019-08-30}}</ref><ref>{{Стаття|автор=Leonard J. Lipkin|рік=2003|issn=0746-8342|випуск=1|сторінки=55—56|видання=The College Mathematics Journal|title=On the Indeterminate Form 0<sup>0</sup>|url=https://www.jstor.org/stable/3595845}}</ref>.

Наприклад, таким чином можна відразу переконатися, що

: <math>\lim_{x \to 0^+} x^x = 1,</math>
: <math>\lim_{x \to 0^+} (\sin x)^{\operatorname{tg} x} = 1,</math>
: <math>\lim_{x \to 0^+} \left(e^{x+1} - x\right)^x = 1.</math>

При цьому треба не забувати, що якщо хоча б одна з функцій не розкладається в ряд Тейлора в точці 0, то границя може бути будь-якою, або її може не існувати. Наприклад,

: <math>\lim_{x \to 0^+} x^{a/\ln x} = e^a,</math>
: <math>\lim_{x \to 0^+} \left(e^{-1/x}\right)^x = e^{-1}.</math>

== У комп'ютерах ==
Стандарт [[IEEE 754-2008|IEEE 754-2008]], що описує формат подання [[Число з рухомою комою|чисел з рухомою комою]], визначає три функції піднесення до степеня<ref>{{Стаття|видавництво=IEEE|isbn=978-0-7381-5753-5|мова=en|тип=journal|автор=IEEE Computer Society|число=29|місяць=8|рік=2008}}
</ref>:

* Функція для піднесення до цілого степеня: <math>\operatorname{pown}(x, y)</math> . Відповідно до стандарту, <math>\operatorname{pown}(x, 0) = 1</math> для будь-якого <math>x</math>, зокрема, коли <math>x</math> дорівнює нулю, <code>NaN</code> або нескінченності.
* Функція для піднесення до довільного степеня: <math>\operatorname{powr}(x, y)</math>&nbsp;— по суті рівна <math>\exp\big(y\log(x)\big)</math>. Відповідно до стандарту, <math>\operatorname{powr}(\pm 0, \pm 0)</math> повертає значення ''«не число»'' <code>[[NaN]]</code>.
* Функція для піднесення до довільного степеня, яка особливо визначена для цілих чисел: <math>\operatorname{pow}(x, y)</math>. Відповідно до стандарту, <math>\operatorname{pow}(x, \pm 0) = 1</math> для всіх <math>x</math> (так само як і <math>\operatorname{pown}(x, 0)</math>).

У багатьох мовах програмування нуль в нульовому степені дорівнює 1. Наприклад, в [[C++]]: <code>pow(0, 0) == 1</code>, у мові [[Haskell]] це правильно для всіх трьох стандартних операцій піднесення до степеня: <code>0^0 == 1</code>, <code>0^^0 == 1</code>, <code>0**0 == 1</code>.

== Література ==

* {{БСЭ|85229|Степенная функция}}

== Примітки ==
{{примітки|2}}
[[Категорія:Комп'ютерна арифметика]]
[[Категорія:Нуль]]
[[Категорія:Елементарна алгебра]]
[[Категорія:Комп'ютерні помилки]]