Перегляд вихідного коду сторінки Нотація диференціювання

{{Числення|expanded=Диференціальне}}
У [[Диференціальне числення|диференціальному численні]] немає єдиного '''позначення для диференціювання'''. Натомість різні математики в свій час запропонували різні позначення для [[Похідна|похідної]] [[Функція (математика)|функції]]. Використання якоїсь із нотацій залежить від контексту, і, іноді, вигідно використовувати більше однієї нотації. Найпоширеніші позначення для диференціювання (і його протилежної операції, «антидиференціювання», тобто [[Первісна|невизначеного інтегрування]]) перераховані нижче.

== Позначення Лейбніца ==
{{image frame|width=250|innerstyle=font-size:400%; line-height: 100%; font-family:Times New Roman, serif;display:flex;justify-content:space-evenly;align-items:center;|
caption = Перша та друга похідна від <var>y</var> за <var>x</var> записана у нотації Лейбніца |
content = 
<div style="display:inline-block"><div style="border-bottom:2px solid black;padding-bottom:6px">''dy''</div><div>''dx''</div></div><div style="display:inline-block"><div style="border-bottom:2px solid black;padding-bottom:6px">''d''<sup>2</sup>''y''</div><div>''dx''<sup>2</sup></div></div>
}}
Оригінальна нотація, яка була запропонована [[Готфрід Вільгельм Лейбніц|Готфрідом Лейбніцем]], є однією з найпоширеніших у математиці. Вона використовується, коли при диференціюванні функції <math>y=f(x)</math> необхідно підкреслити зв'язок між [[Залежна і незалежна змінні|залежною та незалежною змінними]] <math>y</math> та <math>x</math>. Згідно нотації Лейбніца запис похідної як

: <math>\frac{dy}{dx}</math>

робить цю залежність явною.

Також похідна від <math>y</math> за <math>x</math> може записуватись так:

: <math>\frac{df}{dx}(x)\quad\text{ або }\quad\frac{d f(x)}{dx}\quad\text{ або }\quad\frac{d}{dx} f(x).</math>

Похідні вищих порядків записуються за допомогою формул

: <math>\frac{d^2y}{dx^2}, \frac{d^3y}{dx^3}, \frac{d^4y}{dx^4}, \ldots, \frac{d^ny}{dx^n}.</math>

Цей запис «слідує» від формальних маніпуляцій із символами, тобто,

: <math>\frac{d\left(\frac{dy}{dx}\right)}{dx} = \left(\frac{d}{dx}\right)^2y = \frac{d^2y}{dx^2}.</math>

Значення похідної <math>y</math> у конкретній точці <math>x=a</math> за допомогою позначень Лейбніца можна записати двома способами, а саме:

: <math>\left.\frac{dy}{dx}\right|_{x=a} \quad\text{ або } \quad\frac{dy}{dx}(a)</math>.

Нотація Лейбніца дозволяє явно вказати змінну, за якою здійснюється диференціювання (у знаменнику виразу). Це особливо корисно при розгляді [[Часткова похідна|часткових похідних]] для функцій багатьох змінних. Це також значно полегшує запам'ятовування та розпізнавання [[Диференціювання складної функції|ланцюгового правила]] диференціювання складеної функції:

: <math>\frac{dy}{dx} = \frac{dy}{du} \cdot \frac{du}{dx}.</math>

У нотації Лейбніца для диференціювання символи <math>dx</math> та <math>dy</math> не потребують надання їм якогось визначеного змісту як вирази самі по собі. Сам Лейбніц трактував ці символи як [[Нескінченно мала величина|нескінченно малі]]. Пізніші автори надали їм інші значення, наприклад, вони розглядаються як нескінченно малі величини в [[Нестандартний аналіз|нестандартному аналізі]] або як [[Зовнішня похідна|зовнішні похідні]].

Деякі автори та журнали встановлюють стиль написання диференціального символу <math>d</math> римським стилем (roman type) замість [[курсив]]у: {{Math|d''x''}}.

=== Позначення Лейбніца для інтегрування ===
{{Imageframe|content=<math>\int y\,dx</math><br><math>\iint y\,dx^2</math>|width=200|innerstyle=font-size:200%; line-height: 120%; font-family:Times New Roman, serif; text-align:center;|caption=Невизначений інтеграл та подвійний невизначений інтеграл від <var>y</var> за <var>x</var> у записі Лейбніца.}} Лейбніц ввів символ інтегралу <math>\int</math> в ''працях «Analyseos tetragonisticae pars secunda»'' та ''«Methodi tangentium inversae exempla»'' (обидві з 1675 року). Зараз це стандартний символ [[Інтеграл|інтегрування]] у математиці.

: <math>\begin{align}
                          \int y'\,dx &= \int f'(x)\,dx = f(x) + C_0 = y + C_0 \\
                          \int y\,dx &= \int f(x)\,dx = F(x) + C_1 \\
                       \iint y\,dx^2 &= \int \left ( \int y\,dx \right ) dx = \int_{X\times X} f(x)\,dx = \int F(x)\,dx = g(x) + C_2 \\
 \underbrace{\int \dots \int}_{\!\! n} y\,\underbrace{dx \dots dx}_n &= \int_{\underbrace{X\times\cdots\times X}_n} f(x)\,dx = \int s(x)\,dx = S(x) + C_n
\end{align}</math>

== Позначення Лагранжа ==
{{Imageframe|content=''f'' '' ' ''(''x'')|width=200|innerstyle=font-size:400%; line-height: 120%; font-family:Times New Roman, serif; text-align:center;|caption=Функція <var>f</var> змінної <var>x</var>, продиференційована один раз та записана у нотації Лагранжа}}
Ще одне з найпоширеніших сучасних позначень диференціювання названо на честь [[Жозеф-Луї Лагранж|Жозефа Луї Лагранжа]], хоча насправді воно було запроваджено [[Леонард Ейлер|Ейлером]] і лише популяризовано першим. У нотації Лагранжа [[Штрих (знак)|штрих]] позначає похідну. Якщо <math>f</math> є функцією від <math>x</math>, то її похідна за <math>x</math> записується як

: <math>f'(x).</math>

Вперше у друкованій праці таке позначення з'явилося у 1749 році<ref>{{Cite journal|last=Grosse|first=Johann|last2=Breitkopf|first2=Bernhard Christoph|last3=Martin|first3=Johann Christian|last4=Gleditsch|first4=Johann Friedrich|title=Nova acta eruditorum: Anno ... Publicata|url=https://babel.hathitrust.org/cgi/pt?id=ucm.532509502x&view=1up&seq=520}}</ref>.

Вищі похідні позначаються за допомогою додаткових штрихів, як у <math>f''(x)</math> для [[Друга похідна|другої похідної]] і <math>f'''(x)</math> для [[Третя похідна|третьої похідної]] відповідно. Оскільки використання повторюваних штрихів для похідних високих порядків стає дуже громіздким, то деякі автори продовжують використовувати [[Римська система числення|римські цифри]], зазвичай у нижньому регістрі,<ref>{{Cite book
|title=Fundamentals of calculus
|url=https://archive.org/details/fundamentalsofca0000morr
|last=Morris, Carla C.
|date=2015-07-28
|location=Hoboken, New Jersey
|isbn=9781119015314
|oclc=893974565
}}</ref><ref>{{Cite book
|url=https://archive.org/details/differentialand00osbogoog
|title=Differential and Integral Calculus
|last=Osborne
|first=George A.
|year=1908
|publisher=D. C. Heath and co.
|location=Boston
|pages=[https://archive.org/details/differentialand00osbogoog/page/n78 63]-65
}}</ref> як у записі

: <math>f^{\mathrm{iv}}(x), f^{\mathrm{v}}(x), f^{\mathrm{vi}}(x), \ldots,</math>

для позначення похідних четвертого, п'ятого, шостого та вищих порядків. Інші автори використовують арабські цифри в дужках, як в

: <math>f^{(4)}(x), f^{(5)}(x), f^{(6)}(x), \ldots.</math>

Цей запис також дає змогу описати <math>n</math>-ту похідну, де <math>n</math>&nbsp;— деяке довільне натуральне число, як

: <math>f^{(n)}(x).</math>

Символи Unicode для нотації Лагранжа включають
* {{Unichar|2032|PRIME|cwith=◌|note=derivative}}
* {{Unichar|2033|DOUBLE PRIME|cwith=◌|note=double derivative}}
* {{Unichar|2034|TRIPLE PRIME|cwith=◌|note=third derivative}}
* {{Unichar|2057|QUADRUPLE PRIME|cwith=◌|note=fourth derivative}}

Якщо є дві незалежні змінні для функції <math>f(x,y)</math>, то можна дотримуватися такої конвенції (застосовується рідко):<ref name="DeMorgan">''The Differential and Integral Calculus'' ([[Аугустус де Морган|Augustus De Morgan]], 1842). pp. 267—268</ref>

: <math>\begin{align}
     f^\prime &= \frac{df}{dx} = f_x \\
     f_\prime &= \frac{df}{dy} = f_y \\
 f^{\prime\prime} &= \frac{d^2 f}{dx^2} = f_{xx} \\
  f_\prime^\prime &= \frac{\partial ^2 f}{\partial x \partial y}\ = f_{xy} \\
 f_{\prime\prime} &= \frac{d^2 f}{dy^2} = f_{yy}
\end{align}</math>

=== Позначення Лагранжа для інтегрування ===
{{Imageframe|content=''f''<sup style{{=}}«padding-left:0.3em;»> (&minus;1)</sup>(''x'')<br/>''f''<sup style{{=}}"padding-left:0.3em;">(&minus;2)</sup>(''x'')|width=200|innerstyle=font-size:300%; line-height: 120&nbsp;%; font-family: Times New Roman, serif; text-align: center;|caption=Невизначений інтеграл та подвійний невизначений інтеграл від <var>f</var> за <var>x</var> у записі Лагранжа}} Беручи первісну (антидиференціювання першого порядку), Лагранж дотримувався позначення Лейбніца:<ref name="Lagrange">[Жозеф Луї Лагранж|Lagrange]], ''Nouvelle méthode pour résoudre les équations littérales par le moyen des séries'' (1770), p. 25-26. http://gdz.sub.uni-goettingen.de/dms/load/img/?PID=PPN308900308%7CLOG_0017&physid=PHYS_0031</ref>

: <math>f(x) = \int f'(x)\,dx = \int y\,dx.</math>

Однак, оскільки інтегрування є оберненою до диференціювання операцією, то позначення Лагранжа для похідних вищого порядку поширюють і на інтеграли також. Повторювані інтеграли від <math>f(x)</math> тоді записують як

: <math>f^{(-1)}(x)</math> для першого інтеграла (однак це позначення легко сплутати з [[Обернена функція|оберненою функцією]] <math>f^{-1}(x)</math>),
: <math>f^{(-2)}(x)</math> для другого інтеграла, тобто <math>f^{(-2)}(x)=\int\left(\int f(x)dx\right)dx,</math>
: <math>f^{(-3)}(x)</math> для третього інтеграла, та
: <math>f^{(-n)}(x)</math> для ''n'' -го інтеграла.

== Позначення Ейлера ==
{{Imageframe|content=''D{{sub|x}} y''<br/>''D''{{i sup|2}}''f''|width=200|innerstyle=font-size:400%; line-height: 120&nbsp;%; font-family: Times New Roman, serif; text-align: center;|caption=Похідна за <var>x</var> від <var>y</var> та друга похідна від <var>f</var>, нотація Ейлера.}} Нотація [[Леонард Ейлер|Леонарда Ейлера]] (1707-1783) використовує для позначення похідної [[диференціальний оператор]], запропонований у 1789 році Луї Франсуа Антуаном Арбогастом (1759-1803), який позначається символом <math>D</math> ('''оператор D''')<ref>{{Cite web|url=http://www.codecogs.com/library/maths/calculus/differential/the-d-operator.php|title=The D operator - Differential - Calculus - Maths Reference with Worked Examples|website=www.codecogs.com|url-status=live|archiveurl=https://web.archive.org/web/20160119050319/http://www.codecogs.com/library/maths/calculus/differential/the-d-operator.php|archivedate=2016-01-19}}</ref> або <math>\tilde{D}</math> ('''оператор Ньютона–Лейбніца''')<ref name="EulerMathWorld">Weisstein, Eric W. «Differential Operator.» From ''MathWorld''--A Wolfram Web Resource. {{Cite web|url=http://mathworld.wolfram.com/DifferentialOperator.html|title=Differential Operator|accessdate=2016-02-07|url-status=live|archiveurl=https://web.archive.org/web/20160121215815/http://mathworld.wolfram.com/DifferentialOperator.html|archivedate=2016-01-21}}</ref>. У застосуванні до функції <math>f(x)</math> похідна позначається як

: <math>(Df)(x) = \frac{df(x)}{dx}.</math>

Вищі похідні позначаються як «степені» оператора <math>D</math> (де верхні індекси позначають ітеровану [[Композиція функцій|композицію]] <math>D</math>), як у<ref name="DeMorgan"/>

: <math>D^2f</math> для другої похідної,
: <math>D^3f</math> для третьої похідної, і
: <math>D^nf</math> для <math>n</math>-ї похідної.

Нотація Ейлера залишає неявною змінну, за якою виконується диференціювання. Однак цю змінну також можна позначити явно, зазвичай нижнім індексом, як у таких прикладах:<ref name="DeMorgan"/>

: <math>D_x f</math> для першої похідної за змінною <math>x</math>,
: <math>D^2_x f</math> для другої похідної,
: <math>D^3_x f</math> для третьої похідної, і
: <math>D^n_x f</math> для <math>n</math>-ї похідної, де <math>f=f(x)</math>.

Коли <math>f</math> є функцією кількох змінних, прийнято використовувати символ «[[Символ частинної похідної|∂]]», стилізовану малу літеру d курсивом, а не " <math>D</math> ". Як і вище, нижні індекси позначають змінні, за якими беруться похідні, а їх кількість визначає порядок цих похідних. Наприклад, другі частинні похідні функції<math>f=f(x,y)</math> записуються як:<ref name="DeMorgan"/>

: <math>\partial_{xx} f = \frac{\partial^2 f}{\partial x^2},</math>
: <math>\partial_{xy} f = \frac{\partial^2 f}{\partial y\partial x},</math>
: <math>\partial_{yx} f = \frac{\partial^2 f}{\partial x\partial y},</math>
: <math>\partial_{yy} f = \frac{\partial^2 f}{\partial y^2}.</math>

Див. {{Section link||Часткові похідні}}.
{{Imageframe|content=''D''{{su|p=&minus;1|b=''x''}}''y''<br/>''D''{{i sup|&minus;2}}''f''|width=200|innerstyle=font-size:400%; line-height: 130&nbsp;%; font-family: Times New Roman, serif; text-align: center;|caption=Невизначений інтеграл за <var>x</var> від <var>y</var> та подвійний невизначений інтеграл від <var>f</var>, позначення Ейлера.}}
Нотація Ейлера корисна при формулюванні та розв'язуванні [[Лінійне диференціальне рівняння|лінійних диференціальних рівнянь]], оскільки вона спрощує представлення диференціального рівняння, що може полегшити виявлення суттєвих елементів задачі.

=== Позначення Ейлера для інтегрування ===
Нотація Ейлера використовується для позначення інтегрування в той же спосіб, як і позначення Лагранжа,<ref>Weisstein, Eric W. «Repeated Integral.» From ''MathWorld''--A Wolfram Web Resource. {{Cite web|url=http://mathworld.wolfram.com/RepeatedIntegral.html|title=Repeated Integral|accessdate=2016-02-07|url-status=live|archiveurl=https://web.archive.org/web/20160201051403/http://mathworld.wolfram.com/RepeatedIntegral.html|archivedate=2016-02-01}}</ref> тобто<ref name="EulerMathWorld"/>

: <math>D^{-1}f(x)</math> для першого інтеграла,
: <math>D^{-2}f(x)</math> для другого інтеграла (інтеграла від інтеграла), і
: <math>D^{-n}f(x)</math> для ''n''-ого інтеграла.

== Позначення Ньютона ==
{{Imageframe|content=<span>''ẋ''</span><span>''ẍ''</span>|width=200|innerstyle=font-size:400%; line-height: 120%; font-family:Times New Roman, serif; display:flex;justify-content:space-evenly;align-items:center;|caption=Перша та друга похідна за <var>x</var>, позначення Ньютона.}}Нотація [[Ісаак Ньютон|Ісаака Ньютона]] для диференціювання (яку ще також називають '''крапковою нотацією''') для позначення похідної використовує крапку над залежною змінною. Тобто, якщо <math>y</math> є функцією від <math>t</math>, то похідна від <math>y</math> за <math>t</math> записується так:

: <math>\dot y</math>

Вищі похідні позначаються відповідною кількістю крапок, тобто

: <math>\ddot y, \overset{...}{y}</math>

Сам Ісаак Ньютон розширив цю ідею для похідних досить високих порядків так:<ref>Позначення Ньютона взято з:
* 1-5 похідні: ''Quadratura curvarum'' ([[Ісаак Ньютон|Newton]], 1704), p. 7 (p. 5r in original MS: {{cite web|title=Newton Papers : On the Quadrature of Curves|url=http://cudl.lib.cam.ac.uk/view/MS-ADD-03962/9|url-status=live|archive-url=https://web.archive.org/web/20160228002251/http://cudl.lib.cam.ac.uk/view/MS-ADD-03962/9|archive-date=2016-02-28|access-date=2016-02-05}}).
* 1-7, ''n''-на і (''n''+1)-ша похідні: ''Method of Fluxions'' ([[Ісаак Ньютон|Newton]], 1736), pp. 313—318 and p. 265 (p. 163 in original MS: {{cite web|title=Newton Papers : Fluxions|url=http://cudl.lib.cam.ac.uk/view/MS-ADD-03960/257|url-status=live|archive-url=https://web.archive.org/web/20170406183849/http://cudl.lib.cam.ac.uk/view/MS-ADD-03960/257|archive-date=2017-04-06|access-date=2016-02-05}})
* 1-5 похідні: ''A Treatise of Fluxions'' (Colin MacLaurin, 1742), p. 613
* 1-4 і ''n''-на похідні: Articles «Differential» and «Fluxion», ''Dictionary of Pure and Mixed Mathematics'' (Peter Barlow, 1814)
* 1st to 4th, 10th and ''n''th derivatives: Articles 622, 580 and 579 in ''[[A History of Mathematical Notations]]'' (F .Cajori, 1929)
* 1-6 і ''n''-на похідні: ''The Mathematical Papers of Isaac Newton'' Vol. 7 1691—1695 (D. T. Whiteside, 1976), pp.88 and 17
* 1-3 і ''n''-на похідні: ''A History of Analysis'' (Hans Niels Jahnke, 2000), pp. 84-85
Крапка для ''n''-ї похідної може бути опущена (<math>\overset{\,n}{y}</math>)
</ref>

: <math>\begin{align}
         \ddot{y} &\equiv \frac{d^2y}{dt^2} = \frac{d}{dt}\left(\frac{dy}{dt}\right) = \frac{d}{dt}\Bigl(\dot{y}\Bigr) = \frac{d}{dt}\Bigl(f'(t)\Bigr) = D_t^2 y = f''(t) = y''_t \\
     \overset{...}{y} &= \dot{\ddot{y}} \equiv \frac{d^3y}{dt^3} = D_t^3 y = f'''(t) = y'''_t \\
  \overset{\,4}{\dot{y}} &= \overset{....}{y} = \ddot{\ddot{y}} \equiv \frac{d^4y}{dt^4} = D_t^4 y = f^{\rm IV}(t) = y^{(4)}_t \\
  \overset{\,5}{\dot{y}} &= \ddot{\overset{...}{y}} = \dot{\ddot{\ddot{y}}} = \ddot{\dot{\ddot{y}}} \equiv \frac{d^5y}{dt^5} = D_t^5 y = f^{\rm V}(t) = y^{(5)}_t \\
  \overset{\,6}{\dot{y}} &= \overset{...}{\overset{...}{y}} \equiv \frac{d^6y}{dt^6} = D_t^6 y = f^{\rm VI}(t) = y^{(6)}_t \\
  \overset{\,7}{\dot{y}} &= \dot{\overset{...}{\overset{...}{y}}} \equiv \frac{d^7y}{dt^7} = D_t^7 y = f^{\rm VII}(t) = y^{(7)}_t \\
 \overset{\,10}{\dot{y}} &= \ddot{\ddot{\ddot{\ddot{\ddot{y}}}}} \equiv \frac{d^{10}y}{dt^{10}} = D_t^{10} y = f^{\rm X}(t) = y^{(10)}_t \\
  \overset{\,n}{\dot{y}} &\equiv \frac{d^ny}{dt^n} = D_t^n y = f^{(n)}(t) = y^{(n)}_t
\end{align}</math>

Позначення Ньютона зазвичай використовується, коли незалежна змінна позначає [[час]]. Якщо <math>y</math> позначає положення у просторі і є функцією від <math>t</math>, тоді <math>\dot y</math> позначає [[швидкість]]<ref>Weisstein, Eric W. «Overdot.» From ''MathWorld''--A Wolfram Web Resource. {{Cite web|url=http://mathworld.wolfram.com/Overdot.html|title=Overdot|accessdate=2016-02-05|url-status=live|archiveurl=https://web.archive.org/web/20150905171914/http://mathworld.wolfram.com/Overdot.html|archivedate=2015-09-05}}</ref> та <math>\ddot y</math> позначає [[прискорення]].<ref>Weisstein, Eric W. «Double Dot.» From ''MathWorld''--A Wolfram Web Resource. {{Cite web|url=http://mathworld.wolfram.com/DoubleDot.html|title=Double Dot|accessdate=2016-02-05|url-status=live|archiveurl=https://web.archive.org/web/20160303174226/http://mathworld.wolfram.com/DoubleDot.html|archivedate=2016-03-03}}</ref> Це позначення популярне у [[Фізика|фізиці]] та [[Математична фізика|математичній фізиці]]. Він також часом використовуться в областях математики, пов'язаних з фізикою, зокрема у деяких розділах теорії [[диференціальні рівняння|диференціальних рівнянь]].

При взятті похідної залежної змінної <math>y=y(x)</math> існує також альтернативне позначення:<ref>Стаття 580 в Florian Cajori, ''A History of Mathematical Notations'' (1929), Dover Publications, Inc. New York. {{ISBN|0-486-67766-4}}</ref>

: <math>\frac{\dot{y}}{\dot{x}} = \dot{y}:\dot{x} \equiv \frac{dy}{dt}:\frac{dx}{dt} = \frac{\frac{dy}{dt}}{\frac{dx}{dt}} = \frac{dy}{dx} = \frac{d}{dx}\Bigl(f(x)\Bigr) = D y = f'(x) = y'.</math>

Ньютон також розробив позначення для часткових похідних функцій багатьох змінних, використовуючи бічні точки при вигнутому X (ⵋ). Приклади деяких з цих позначень наведено нижче:<ref>«Patterns of Mathematical Thought in the Later Seventeenth Century», ''Archive for History of Exact Sciences'' Vol. 1, No. 3 (D. T. Whiteside, 1961), pp. 361—362,378</ref><ref>S.B. Engelsman has given more strict definitions in ''Families of Curves and the Origins of Partial Differentiation'' (2000), pp. 223—226</ref>

: <math>\begin{align}
    \mathcal{X}                              \ &=\ f(x,y) \,, \\
    \cdot\mathcal{X}                            \ &=\ x\frac{\partial f}{\partial x} = xf_x\,, \\
    \mathcal{X}\!\cdot                           \ &=\ y\frac{\partial f}{\partial y} = yf_y\,, \\
    \colon\!\mathcal{X}\,\text{ або }\,\cdot\!\left(\cdot\mathcal{X}\right) \ &=\ x^2\frac{\partial^2 f}{\partial x^2} = x^2 f_{xx}\,, \\
    \mathcal{X}\colon\,\text{ або }\,\left(\mathcal{X}\cdot\right)\!\cdot  \ &=\ y^2\frac{\partial^2 f}{\partial y^2} = y^2 f_{yy}\,, \\
    \cdot\mathcal{X}\!\cdot\                        \ &=\ xy\frac{\partial^2 f}{\partial x\partial y} = xy f_{xy}\,,
\end{align}</math>

=== Позначення Ньютона для інтегрування ===
{{Imageframe|content=<span>''x̍''</span><span>''x̎''</span>|width=200|innerstyle=font-size:400%; line-height: 120%; font-family:Times New Roman, serif; display:flex;justify-content:space-evenly;align-items:center;|caption=Одинарний та подвійний (повторний) інтеграл від  <var>x</var>, в позначеннях Ньютона}}Ньютон розробив багато різних позначень для [[Інтеграл|інтегрування]] у своїй роботі «''Quadratura curvarum''» (1704) і [[Метод флюксій|пізніших роботах]]: він використовував маленьку вертикальну риску або штрих над залежною змінною ({{Math|''y̍''}}), прямокутник із префіксом ({{Math|▭''y''}}) або включення відповідного елемента в прямокутник (<span style="border-style: solid; border-width: 1.5px 1.5px 1.5px 1.5px; padding-left: 4px; padding-right: 4px;">{{Math|''y''}}</span>) для позначення ''[[Метод флюксій|флюента]]'' (інтегралу за часом).

: <math>\begin{align}
           y &= \Box \dot{y} \equiv \int \dot{y} \,dt = \int f'(t) \,dt = D_t^{-1} (D_t y) = f(t) + C_0 = y_t + C_0 \\
 \overset{\,\prime}{y} &= \Box y \equiv \int y \,dt = \int f(t) \,dt = D_t^{-1} y = F(t) + C_1
\end{align}</math>

Для позначення кількох інтегралів Ньютон використовував дві маленькі вертикальні риски або штрихи ({{Math|''y̎''}}), або комбінацію попередніх символів {{Math|▭''y̍''}} <span style="border-style: solid; border-width: 1.5px 1.5px 1.5px 1.5px; padding-left: 4px; padding-right: 4px;">{{Math|''y̍''}}</span>, щоб позначити другий інтеграл за часовою змінною.

: <math>\overset{\,\prime\prime}{y} = \Box \overset{\,\prime}{y} \equiv \int \overset{\,\prime}{y} \,dt = \int F(t) \,dt = D_t^{-2} y = g(t) + C_2</math>

Інтеграли вищого порядку за часом позначали так:<ref>Позначення Ньютона для інтегрування взяті з:
* 1st to 3rd integrals: ''Quadratura curvarum'' ([[Ісаак Ньютон|Newton]], 1704), p. 7 (p. 5r in original MS: {{cite web |url=http://cudl.lib.cam.ac.uk/view/MS-ADD-03962/9 |title=Newton Papers : On the Quadrature of Curves |access-date=2016-02-05 |url-status=live |archive-url=https://web.archive.org/web/20160228002251/http://cudl.lib.cam.ac.uk/view/MS-ADD-03962/9 |archive-date=2016-02-28 }})
* 1st to 3rd integrals: ''Method of Fluxions'' ([[Ісаак Ньютон|Newton]], 1736), pp. 265—266 (p. 163 in original MS: {{cite web |url=http://cudl.lib.cam.ac.uk/view/MS-ADD-03960/257 |title=Newton Papers : Fluxions |access-date=2016-02-05 |url-status=live |archive-url=https://web.archive.org/web/20170406183849/http://cudl.lib.cam.ac.uk/view/MS-ADD-03960/257 |archive-date=2017-04-06 }})
* 4th integrals: ''The Doctrine of Fluxions'' (James Hodgson, 1736), pp. 54 and 72
* 1st to 2nd integrals: Articles 622 and 365 in ''A History of Mathematical Notations'' (F .Cajori, 1929)
The ''n''th integral notation is deducted from the ''n''th derivative. It could be used in ''Methodus Incrementorum Directa & Inversa'' (Brook Taylor, 1715)
</ref>

: <math>\begin{align}
    \overset{\,\prime\prime\prime}{y} &= \Box \overset{\,\prime\prime}{y} \equiv \int \overset{\,\prime\prime}{y} \,dt = \int g(t) \,dt = D_t^{-3} y = G(t) + C_3 \\
 \overset{\,\prime\prime\prime\prime}{y} &= \Box \overset{\,\prime\prime\prime}{y} \equiv \int \overset{\,\prime\prime\prime}{y} \,dt = \int G(t) \,dt = D_t^{-4} y = h(t) + C_4 \\
    \overset{\;n}\overset{\,\prime}{y} &= \Box \overset{\;n-1}\overset{\,\prime}y \equiv \int \overset{\;n-1}\overset{\,\prime}y \,dt = \int s(t) \,dt = D_t^{-n} y = S(t) + C_n
\end{align}</math>

Ця [[математична нотація]] не набула широкого поширення через труднощі з друком і [[Спір Ньютона та Ляйбніца про пріоритет|суперечку між Лейбніцом та Ньютоном]].

== Часткові похідні ==
{{Imageframe|content=<span>''f{{sub|x}}''</span><span>''f{{sub|xy}}''</span>|width=200|innerstyle=font-size:400%; line-height: 120&nbsp;%; font-family: Times New Roman, serif; display: flex;justify-content: space-evenly;align-items: center;|caption=Функція <var>f</var> продиференційована за <var>x</var>, а також за <var>x</var> і потім за <var>y</var>.}}Коли потрібно позначити більш конкретний тип диференціювання, наприклад, у [[Числення багатьох змінних|багатовимірному]] аналізі або [[Тензорне поле|тензорному аналізі]], поширеними є позначення, які описано нижче.

Для функції <math>f</math> незалежної змінної <math>x</math> похідну записують за допомогою незалежної змінної у нижньому індексі:

: <math>\begin{align}
   f_x &= \frac{df}{dx} \\
 f_{x x} &= \frac{d^2f}{dx^2}.
\end{align}</math>

Наступний тип позначення особливо корисний для позначення [[Часткова похідна|частинних похідних]] функції кількох змінних.{{Imageframe|content={{sfrac|''∂f''|''∂x''}}|width=200|innerstyle=font-size:400%; line-height: 120&nbsp;%; font-family: Times New Roman, serif; text-align: center;|caption=Частинна похідна функції <var>f</var> за <var>x</var>.}}Часткові похідні зазвичай відрізняються від звичайних похідних заміною диференціального оператора <math>d</math> на символ «[[Символ частинної похідної|∂]]». Наприклад, ми можемо записати частинну похідну <math>f(x,y,z)</math> за <math>x</math>, але не за <math>y</math> або <math>z</math> кількома способами:

: <math>\frac{\partial f}{\partial x} = f_x = \partial_x f.</math>

Що робить таке розрізнення важливим, так це те, що '''не часткова похідна''', записана як <math>\textstyle \frac{df}{dx}</math> ''може'' в такому випадку, залежно від контексту, інтерпретуватися як швидкість зміни <math>f</math> щодо <math>x</math> коли всі змінні можуть змінюватися одночасно, тоді як із частковою похідною, як-от <math>\textstyle \frac{\partial f}{\partial x}</math> випливає, що тільки одна змінна повинна змінюватися (всі змінні окрім <math>x</math> при обчисленні такої похідної вважаються фіксованими параметрами).

Інші нотації можна знайти в різних підгалузях математики, фізики та техніки; дивіться, наприклад, співвідношення [[Термодинаміка|термодинаміки]] [[Термодинамічні рівняння Максвелла|Максвелла]]. Символ <math>\left(\frac{\partial T}{\partial V}\right)_{\!S} </math> є похідною від температури <math>T</math> за об'ємом <math>V</math> при збереженні постійної ентропії (нижнього індексу) <math>S</math>, тоді як <math>\left(\frac{\partial T}{\partial V}\right)_{\!P} </math> є похідною від температури за об'ємом при збереженні постійного тиску <math>P</math>. Це необхідно у ситуаціях, коли кількість змінних перевищує ступінь свободи, тому потрібно вибирати, які інші змінні залишати фіксованими.

Часткові похідні вищого порядку за однією змінною записуються як

: <math>\frac{\partial^2f}{\partial x^2} = f_{xx},</math>
: <math>\frac{\partial^3f}{\partial x^3} = f_{xxx},</math>

і так далі. Змішані часткові похідні можна записати як

: <math>\frac{\partial^2 f}{\partial y \partial x} = f_{xy}.</math>

В цьому останньому випадку змінні записуються в зворотному порядку між двома позначеннями, що пояснюється таким чином:

: <math>(f_{x})_{y} = f_{xy},</math>
: <math>\frac{\partial}{\partial y}\!\left(\frac{\partial f}{\partial x}\right) = \frac{\partial^2f}{\partial y \partial x}.</math>

Так звана [[Мультиіндекс|багатоіндексна нотація]] використовується в ситуаціях, коли наведена вище нотація стає громіздкою або недостатньо виразною. При розгляді функцій на <math>\R^n</math>, мультиіндекс визначається як упорядкований список <math>n</math> цілих невід'ємних чисел: <math>\alpha = (\alpha_1,..,\alpha_n), \ \alpha_i \in \Z_{\geq 0}</math>. Потім для <math>f:\R^n \to X</math>, запроваджується позначення

<math>\partial^\alpha f = \frac{\partial^{\alpha_1}}{\partial x_1^{\alpha_1}} \cdots \frac{\partial^{\alpha_n}}{\partial x_n^{\alpha_n}} f</math>

Таким чином деякі результати (такі як правило Лейбніца), які громіздко писати іншими способами, можна виразити коротко&nbsp;— деякі приклади можна знайти в [[Мультиіндекс|статті про мультиіндекси]].<ref>{{Cite book
|url=https://www.worldcat.org/oclc/682907530
|title=An introduction to manifolds
|last=Tu
|first=Loring W.
|date=2011
|publisher=Springer
|edition=2
|location=New York
|isbn=978-1-4419-7400-6
|oclc=682907530
}}</ref>

== Позначення у векторному аналізі ==
[[Векторне числення]] стосується [[Похідна|диференціювання]] та [[Інтеграл|інтегрування]] [[Векторне поле|векторних]] або [[Скалярне поле|скалярних полів]]. Кілька позначень, специфічних для випадку тривимірного [[Евклідів простір|евклідового простору]], є загально прийнятими і будуть описані нижче.

Нехай <math>x, y, z</math>&nbsp;— задана [[декартова система координат]], '''A'''&nbsp;— [[векторне поле]] з компонентами <math>\mathbf{A} = (\mathbf{A}_x, \mathbf{A}_y, \mathbf{A}_z)</math>, а <math>\varphi = \varphi(x,y,z)</math>&nbsp;— задане [[скалярне поле]].

Диференціальний оператор, введений [[Вільям Ровен Гамільтон|Вільямом Ровеном Гамільтоном]], і позначений як [[Набла|∇]] та називаний оператором Гамільтона, оператором градієнта чи оператором набла, символічно визначається у формі вектора,

: <math>\nabla = \left( \frac{\partial}{\partial x}, \frac{\partial}{\partial y}, \frac{\partial}{\partial z} \right)\!,</math>

де слово ''символічно'' означає, що сам оператор ∇ також буде розглядатися як звичайний вектор.{{Imageframe|content=∇''φ''|width=200|innerstyle=font-size:400%; line-height: 120%; font-family:Times New Roman, serif; text-align:center;|caption=Градієнт скалярного поля <math>\varphi</math>.}}

* '''[[Градієнт]]''': градієнт <math>\mathrm{grad\,} \varphi</math> скалярного поля <math>\varphi</math> є вектором, який символічно виражається [[Множення на скаляр|множенням]] ∇ і скалярного поля ''<math>\varphi</math>'' (по суті тут ми маємо множення вектора на число),

:: <math>\begin{align}
 \operatorname{grad} \varphi
  &= \left( \frac{\partial \varphi}{\partial x}, \frac{\partial \varphi}{\partial y}, \frac{\partial \varphi}{\partial z} \right) \\
  &= \left( \frac{\partial}{\partial x}, \frac{\partial}{\partial y}, \frac{\partial}{\partial z} \right) \varphi \\
  &= \nabla \varphi
\end{align}</math>
{{Imageframe|content=∇∙'''A'''|width=200|innerstyle=font-size:400%; line-height: 120%; font-family:Times New Roman, serif; text-align:center;|caption=Дивергенція векторного поля  '''A'''.}}

* '''[[Дивергенція (математика)|Дивергенція]]''': Дивергенція (розбіжність) <math>\mathrm{div}\,\mathbf{A}</math> векторного поля '''A''' є скаляром, який символічно виражається скалярним [[Скалярний добуток|добутком]] ∇ на вектор '''A''',

:: <math>\begin{align}
 \operatorname{div} \mathbf{A}
  &= {\partial A_x \over \partial x} + {\partial A_y \over \partial y} + {\partial A_z \over \partial z} \\
  &= \left( \frac{\partial}{\partial x}, \frac{\partial}{\partial y}, \frac{\partial}{\partial z} \right) \cdot \mathbf{A} \\
  &= \nabla \cdot \mathbf{A}
\end{align}</math>
{{Imageframe|content=∇{{sup|2}}''φ''|width=200|innerstyle=font-size:400%; line-height: 120&nbsp;%; font-family: Times New Roman, serif; text-align: center;|caption=Лапласіан скалярного поля <math>\varphi</math>.}}

* '''[[Оператор Лапласа|Лапласіан]]''': лапласіан або оператор Лапласа <math>\operatorname{div} \operatorname{grad} \varphi</math> скалярного поля <math>\varphi</math> є скаляром, який символічно виражається скалярним добутком ∇ <sup>2</sup> і скалярним полем ''φ'',

:: <math>\begin{align}
 \operatorname{div} \operatorname{grad} \varphi
  &= \nabla \cdot (\nabla \varphi) \\
  &= (\nabla \cdot \nabla) \varphi \\
  &= \nabla^2 \varphi \\
  &= \Delta \varphi \\
\end{align}</math>
{{Imageframe|content=∇×'''A'''|width=200|innerstyle=font-size:400%; line-height: 120%; font-family:Times New Roman, serif; text-align:center;|caption=Ротор векторного поля '''A'''.}}

* '''[[Ротор (математика)|Ротор]]''': Ротор <math>\mathrm{curl}\,\mathbf{A}</math>, або <math>\mathrm{rot}\,\mathbf{A}</math>, векторного поля '''A''' є вектором, який символічно виражається [[Векторний добуток|векторним добутком]] ∇ на вектор '''A''',

:: <math>\begin{align}
 \operatorname{curl} \mathbf{A}
  &= \left(
     {\partial A_z \over {\partial y} } - {\partial A_y \over {\partial z} },
     {\partial A_x \over {\partial z} } - {\partial A_z \over {\partial x} },
     {\partial A_y \over {\partial x} } - {\partial A_x \over {\partial y} }
    \right) \\
  &= \left( {\partial A_z \over {\partial y} } - {\partial A_y \over {\partial z} } \right) \mathbf{i} +
    \left( {\partial A_x \over {\partial z} } - {\partial A_z \over {\partial x} } \right) \mathbf{j} +
    \left( {\partial A_y \over {\partial x} } - {\partial A_x \over {\partial y} } \right) \mathbf{k} \\
  &= \begin{vmatrix}
     \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\
     \cfrac{\partial}{\partial x} & \cfrac{\partial}{\partial y} & \cfrac{\partial}{\partial z} \\
     A_x & A_y & A_z
    \end{vmatrix} \\
  &= \nabla \times \mathbf{A}
\end{align}</math>

Багато символьних операцій з похідними можна узагальнити безпосередньо за допомогою оператора градієнта в декартових координатах. Наприклад, [[правило добутку]] для похідної від функції однієї змінної має прямий аналог у множенні скалярних полів із застосуванням оператора градієнта, як у

: <math>(f g)' = f' g+f g' ~~~ \Longrightarrow ~~~ \nabla(\phi \psi) = (\nabla \phi) \psi + \phi (\nabla \psi).</math>

Багато інших правил з математичного аналізу функцій однієї змінної мають [[Формули векторного аналізу|аналоги у векторному аналізі]] для градієнта, дивергенції, ротора та лапласіана.

Ряд позначень були розроблені і для більш екзотичних типів просторів. Зокрема, для обчислень у [[Простір Мінковського|просторі Мінковського]] [[оператор д'Аламбера]], також званий даламберіаном або хвильовим оператором, позначається як <math>\Box</math>, або як <math>\Delta</math> коли не призводить до плутанини із символом Лапласа.

== Див. також ==
* [[Похідна]]
* [[Метод флюксій]]
* [[Матриця Гессе]]
* [[Матриця Якобі]]
* [[Таблиця математичних символів]]

== Примітки ==
{{Reflist|2}}

[[Категорія:Математична нотація]]
[[Категорія:Диференціальне числення]]