Перегляд вихідного коду сторінки Нормований простір

[[Векторний простір]] <math>X</math>, на якому задано [[Норма (математика)|норму]], називають '''векторним нормованим простором''', '''лінійним нормованим простором''', або просто '''нормованим простором'''. Інтуїтивно, норма є узагальненням довжини вектора у геометрії ([[Евклідів простір|евклідовому просторі]]). Для векторних просторів над полем [[Дійсне число|дійсних]] <math> \mathbb R</math> чи [[Комплексне число|комплексних]] <math>\mathbb C</math> чисел, нормою називають відображення <math>\|\cdot\| \colon X \to \mathbb R</math>, що ставить кожному вектору <math>x \in X</math> у відповідність дійсне число <math>\|x\|</math>, та задовольняє наступним умовам:

# <math>\|x\| \ge 0 \quad (\forall x \in X)</math> (''невід'ємність'')
# <math>\|x\| = 0 \implies x = 0 \quad (\forall x \in X)</math> (''додатна визначеність'')
# <math>\|\lambda x\| = |\lambda|\cdot \|x\| \quad (\forall \lambda \in \mathbb K) (\forall x \in X)</math> (''однорідність'')
# <math>\|x+y\| \le \|x\| + \|y\| \quad (\forall x,y \in X)</math> (''[[нерівність трикутника]]'' чи ''субадитивність'')

З однорідності одразу випливає, що <math>\|0\| = 0</math>. Якщо ж опустити умову додатної визначеності, тобто якщо існують ненульові вектори із нульовою нормою, то <math>\|\cdot\|</math> буде [[Напівнорма|напівнормою]].

У випадку, коли говорять про норми різних просторів, їх розрізняють назвою простора у індексі, наприклад <math>\|\cdot\|_X</math>, <math>\|\cdot\|_Y</math> для просторів <math>X</math>, <math>Y</math>. У випадку різних норм на одному просторі, їх прийнято нумерувати нижнім індексом, наприклад <math>\|\cdot\|_1</math>, <math>\|\cdot\|_2</math>, або <math>\|\cdot\|_a</math>, <math>\|\cdot\|_b</math>.

Кожен нормований простір є також [[Метричний простір|метричним простором]], оскільки кожна норма породжує [[Метрика (математика)|метрику]], визначену як <math>d(x,y) = \|x-y\|</math>. Якщо нормований простір є [[Повний метричний простір|повним]] відносно цієї метрики, його називають [[Банахів простір|Банаховим простором]]. Банахові простори вважаються центральним об'єктом дослідження [[Функціональний аналіз|функціонального аналізу]].

== Приклади ==

* Дійсні числа <math>\mathbb R</math> із нормою <math>\|a\| = |a|</math>, яка породжує метрику <math>d(a,b) = |a-b|</math>, будуть повним нормованим ([[Банахів простір|Банаховим]]) простором.
* Комплексні числа <math>\mathbb C</math> із нормою <math>\|z\| = z\overline z</math>, де <math>\overline z</math>&nbsp;— це комплексне [[Спряжені числа|спряження]], будуть Банаховим простором. Інше еквівалентне визначення норми має вигляд <math display="inline">\|a+ib\| = \sqrt{a^2 + b^2}</math>.
* Векторний простір <math>\mathbb R^n</math> із стандартною евклідовою нормою <math display="inline">\|x\| = \sqrt{\sum_{i}|x_i|^2}</math> є Банаховим простором.
* [[Простір неперервних функцій|Простір неперервних відображень]] на компакті <math>C([0;1], \mathbb R)</math> із супремум-нормою <math display="inline">\|f\|_\infty = \sup_{x \in [0;1]} |f(x)|</math> є Банаховим простором. Збіжність функцій за цією нормою відповідає [[Рівномірна збіжність|рівномірній збіжності]].
* [[Простір Lp|Простір сумовних функцій]] <math>L_p(R, d\mu)</math> на <math>R</math> із мірою <math>\mu</math> та нормою <math display="inline">\|x\|_p = \left(\int_R |x(q)|^p d\mu(q)\right)^{1/p} </math> є Банаховим.
** Простір інтегровних за Ріманом функцій на <math>[0;1] </math> із нормою <math display="inline">\|f\| = \sqrt{\int_0^1 |f(t)|^2 dt} </math> є частковим випадком <math>L_2([0;1], d\mu) </math>, де <math>d\mu </math>&nbsp;— це [[міра Лебега]]; відповідно, він є Банаховим.
** Простір сумовних послідовностей <math>l_p</math> із нормою <math display="inline">\|\{x_n\}\| = \left(\sum_{n=1}^\infty |x_n|^p\right)^{1/p}</math> є частковим випадком <math>L_p(\mathbb N)</math>, тобто також Банаховим простором.
* [[Супремум-норма|Простір обмежених послідовностей]] <math>l_\infty </math> із нормою <math>\|\{x_n\}\|_\infty = \sup \{|x_n|: n\in\mathbb N\} </math> є Банаховим.

== Топологічна структура ==
Нехай <math>(X, \|\cdot\|)</math>&nbsp;— векторний нормований простір із нормою <math>\|\cdot\|</math> та породженою нею метрикою <math>d(x,y) = \|x-y\|</math>.

=== Границя ===
Можна довести ''другу нерівність трикутника''
:<math id="trineq2">\bigl|\|x\| - \|y\|\bigr| \le \|x-y\| \quad (\forall x,y \in X).</math>

{{Hidden begin
|border=1px solid silver
|title=Доведення другої нерівності трикутника
}}
:<math>\|x\| = \|x-y+y\| \le \|x-y\| + \|y\|</math>,
звідки
:<math>\|x-y\| \ge \|x\| - \|y\|</math>,
а також
:<math>\|x-y\| = |-1|\cdot \|y-x\| = \|y-x\| \ge \|y\| - \|x\|</math>
{{Hidden end}}

Нехай <math>\{ x_n \} \subset X</math>&nbsp;— послідовність. Можна показати, що збіжність за метрикою, породженою нормою <math>x_n \longrightarrow x</math>, співпадає із збіжністю за нормою <math display="inline">\lim_{n \to \infty} \|x_n - x\| = 0.</math>

Дійсно, збіжність за метрикою
:<math>x_n \longrightarrow x </math> 
визначається як
:<math>\forall \varepsilon > 0: \exists N\in \mathbb N: \forall n>N: d(x_n,x) = \|x_n - x\| < \varepsilon, </math>
звідки
:<math>\lim_{n \to \infty} \|x_n - x\| = 0.</math>

=== Неперервність ===
А тоді, із другої нерівності трикутника одразу випливає неперервність норми відносно породженої неї метрики:

<math>\bigl|\|x_n\| - \|x\|\bigr| \le \|x_n - x\| \longrightarrow 0</math>, тобто <math>\|x_n\| \longrightarrow \|x\|.</math>

[[Топологічний простір|Топологія]], породжена цією метрикою, буде найслабшою з тих, за яких дана норма є неперервною.{{Джерело}}

Векторний простір також наділений операціями додавання векторів <math>+ \colon X \times X \to X </math> та множенням на скаляр <math>\cdot\,\colon \mathbb K \times X \to X</math>. Можна показати, що ці операції будуть також неперервними відносно топології, породженої метрикою <math>d</math>.

=== Повнота та поповнення простору ===
Векторний нормований простір <math>X</math> називається повним, якщо він повний відносно метрики <math>d(x,y) = \|x-y\|</math>. Повний дійсний (чи комплексний) лінійний нормований простір називають дійсним (комплексним) [[Банахів простір|Банаховим простором]]. Банахові простори є важливим об'єктом вивчення у [[Функціональний аналіз|функціональному аналізі]].

Тобто, простір буде повним, якщо кожна послідовність, фундаментальна в сенсі 
:<math>\forall \varepsilon>0: \exists N\in \mathbb N: \forall n,m>N: \|x_n-x_m\| < \varepsilon, </math>
збігатиметься до деякого елементу <math>x \in X</math>, <math>x_n \longrightarrow x</math>.

Якщо ж у ''нормованому'' просторі існують незбіжні фундаментальні послідовності, тобто простір неповний, то його можна '''поповнити''' деякою кількістю елементів так, щоб отримати повний простір. При цьому можна застосувати відому процедуру поповнення ''метричного'' простору. Кожен нормований простір допускає ізометричне поповнення, і при чому єдине. Більше того, простір буде всюди щільним у своєму поповненні.

{{Hidden begin
|title=Процедура поповнення нормованого простору
|border=1px solid silver
}}
# Вводимо [[відношення еквівалентності]] на множині фундаментальних послідовностей у просторі <math>X</math>. Нехай <math>\{x_n, n\in\mathbb N\}, \{y_n, n\in\mathbb N\} \subset X</math>&nbsp;— послідовності. Вважатимемо їх еквівалентними (<math>\{x_n\} \sim \{y_n\}</math>), якщо <math>\lim_{n\to\infty} \|x_n - y_n\| = 0 </math>. Рефлексивність та симетричність очевидні, транзитивність випливає з нерівності трикутника. Позначимо множину нееквівалентних фундаментальних послідовностей ([[Фактор-множина|фактор-множину]]) <math>X/\sim </math> як <math>\tilde X </math>. Залишається показати, що <math>\tilde X </math> і є шуканим поповненням.
# <math>\tilde X </math> є лінійним простором, як простір послідовностей, із відповідними додаванням та множенням на скаляр. Тут важливо перевірити коректність визначення операцій, тобто незалежність результату операцій на класах еквівалентності від обраних представників цих класів. У<math>\tilde X </math> також можна визначити нуль, що буде просто класом еквівалентності сталої нульової послідовності <math>(0,0,...,0,...)</math>.
# <math>\tilde X </math> буде нормованим простором. Введемо норму <math>\|\{x_n\}\| = \lim_{n\to\infty} \|x_n\|  </math>. Границя завжди існуватиме і коректна, бо ця норма визначається лише для фундаментальних послідовностей. Нехай <math>\|\{x_n\}\|=0</math>. Тоді <math>\lim_{n\to\infty} \|x_n\|=\|x_n-0\|=0</math>, тобто <math>\{x_n\} \sim 0</math>, звідки <math>\tilde 0 = [{x_n}]</math>, де квадратними дужками позначено клас еквівалентності, а <math>\tilde 0 = [(0,0,...)]</math>. Таким чином, норма, визначена на <math>\tilde X</math> задовольняє умову додатної визначеності&nbsp;— норма нульова на нульовому елементі.
# <math>X </math> в деякому сенсі буде підмножиною <math>\tilde X </math>. Дійсно, кожен елемент <math>a \in X </math> можна ототожнити із класом еквівалентності сталої послідовності <math>[(a,a,...)] \in \tilde X </math>.
# <math>X </math>&nbsp;— [[Щільна множина|скрізь щільна]] в <math>\tilde X </math>. Дійсно, для довільного <math>\varepsilon > 0 </math> з фундаментальності матимемо <math>\forall n,m>N: \|x_n-x_m\|_X < \varepsilon  </math>. Поклавши <math>x = x_{N+1} </math> матимемо <math>\|x_n - x\|_X \longrightarrow 0 </math>, тобто <math>\|x_n - \tilde x\|_{\tilde X} </math> (якщо сприйняти послідовність <math>x_n-x </math> як елемент <math>\tilde X </math>).
# І нарешті, <math>\tilde X </math> дійсно повний. Для кожної фундаментальної послідовності <math>\{\tilde x_n\} \subset \tilde X </math>, з щільності <math>X </math> в <math>\tilde X </math>, достатньо знайти <math>x_n </math> достатньо близькі до <math>\tilde x_n </math> та довести фундаментальність <math>\{x_n\} </math>. Таким чином отримаємо <math>\tilde x_n \longrightarrow [\{x_n\}] </math>, тобто збіжність кожної фундаментальної послідовності у <math>\tilde X </math>.
{{Hidden end}}

=== Еквівалентність норм ===
Нехай на векторному просторі <math>X</math> визначено дві різні норми, <math>\|\cdot\|_1</math>, <math>\|\cdot\|_2</math>.

Норми називають [[Норма (математика)#Еквівалентність норм|еквівалентними]], якщо вони породжують одну і ту саму топологію на цьому просторі. Інтуїтивно, еквівалентність норм означає, що норми однаково визначають поняття збіжності.

Один з критеріїв еквівалентності норм полягає в тому, що [[Куля (топологія)|куля]] згідно однієї норми вкладається у кулю згідно іншої, і навпаки:
:<math>(\exists C,D \in \mathbb R)(\forall x\in X): C\|x\|_1 \le \|x\|_2 \le D\|x\|_2 </math>

Всі норми на скінченновимірному дійсному чи комплексному векторному просторі є еквівалентними.

=== База топології та компактність ===
Топологія в околі довільної точки нормованого простору повністю описується околом нуля. [[Система околів|Систему околів]] <math>\mathcal N(x) </math>точки <math>x \in X </math> можна представити як [[Трансляція (математика)|трансляцію]] системи околів нуля <math>\mathcal N(0) </math>:
:<math>\mathcal N(x) = \{x+N : N \in \mathcal N(0)\} ,</math>, де <math>x + N := \{x + n : n \in N\} </math>.{{Джерело?}}

Векторний нормований простір <math>X</math> є [[Локально компактний простір|локально компактним]] тоді і лише тоді, коли одинична куля <math>B = \{x : \|x\|\le 1\}  </math> є [[Компактний простір|компактом]]. Можна показати, що скінченновимірність простору&nbsp;— це необхідна та достатня умова локальної компактності простору. Некомпактність нескінченновимірної одиничної кулі є безпосереднім наслідком [[Лема Ріса|Леми Ріса]]; тобто локально компактні простори є скінченновимірними. В інший бік доведення нетривіальне.{{Джерело?}}

== Лінійні функціонали та спряжений простір ==
Нехай <math>X </math>&nbsp;— нормований векторний простір. Нехай <math>l : X \to \mathbb \mathbb K </math>, де <math>\mathbb K = \mathbb C </math> чи <math>\mathbb R </math>&nbsp;— [[Лінійна форма|лінійний функціонал]].

Можна визначити норму для неперервних лінійних функціоналів:
:<math>\|l\| = \sup \left\{ \frac{|l(x)|}{\|x\|} : \; x \in X, \;\|x\|\ne 0 \right\} = \sup \{|l(x)| : \; \|x\|=1\}  </math>

Еквівалентно, 
:<math>\|l\| = \inf \left\{ c \in \mathbb R\mid (\forall x\in X): |l(x)| \le c\|x\| \right\}  </math>.

Лінійний функціонал неперервний тоді і лише тоді, коли він обмежений, тобто 
:<math>(\exists c\in\mathbb R)(\forall x\in X): |l(x)| \le c \|x\|  </math>. 
При цьому норма тоді є найменшим таким числом <math>c  </math>.

Якщо лінійний функціонал неперервний в одній точці, то він неперервний скрізь. На практиці зручно перевіряти неперервність в нулі.

=== Спряжений простір ===
Простір всіх обмежених (непервних) функціоналів на <math>X  </math> називається його [[Спряжений простір|спряженим простором]] і позначається <math>X'  </math>. Він також буде векторним простором. На спряженому просторі прийнято задавати вищезгадану норму <math>\|l\|, \;l \in X'  </math>. Для неї виконуватиметься нерівність трикутника, отже він також є нормованим простором:
:<math>|(l + m)(x)| = |l(x)+m(x)| \le |l(x)| + |m(x)| \le (\|l\| + \|m\|)(x) ,</math>
звідки 
:<math>\|l+m\| \le \|l\| + \|m\|  </math>, де <math>m</math>&nbsp;— деякий інший неперервний лінійний функціонал.

Спряжений простір до нормованого простору завжди повний (відповідно, Банаховий), навіть якщо оригінальний простір не є повним.

Можна побудувати другий спряжений простір <math>X''</math>. Існує канонічне ізометричне [[вкладення]] нормованого простору у свій другий спряжений. Воно визначається як відображення <math>\varphi : X \ni x \mapsto L_x \in X''</math>, де <math>L_x</math>&nbsp;— це неперервний лінійний функціонал на <math>X'</math>, який визначають поточково як <math>L_x(l) = l(x) \quad (\forall l \in X')</math>. Існування такого вкладення позначають як <math>X \subset X''</math>.

Повний нормований простір, [[Ізоморфізм|ізоморфний]] своєму другому спряженому, називають [[Рефлексивний простір|рефлексивним]] (у цьому випадку <math>\varphi(X) = X''</math>, образом простору є весь другий спряжений).

=== Продовження лінійних функціоналів ===
Неперервний лінійний функціонал, заданий на щільній множині в нормованому просторі, можна єдиним чином продовжити на замикання області визначення зі збереженням норми.
{{Main|Теорема Гана — Банаха}}

Неперервний лінійний функціонал, заданий на деякому лінійному підпросторі нормованого простору, можна продовжити на весь простір зі збереженням норми (не обов'язково єдиним чином).

Лінійні функціонали та їх продовження, поміж іншого, є потужним інструментом у дослідженні структури нормованого простору. Наприклад:

* Для кожного <math>y \in X, y \ne 0</math> існує функціонал <math>l \in X'</math> такий, що <math>\|l\| = 1</math> та <math>l(y) = \|y\|</math>.
* <math>(\forall x,y\in X, \; x \ne y) (\exists l\in X'): l(x) \ne l(y)</math> (це твердження задає нижню межу на кількість елементів спряженого простору)

== Див. також ==
* [[Метричний простір]]
* [[Норма (математика)|Норма]]
* [[Банахів простір]]
* [[Лема Ріса]]
* [[Теорема Гана — Банаха]]
* [[Спряжений простір]]
* [[Простір Lp]]
* [[Супремум-норма]]
* {{Не перекладено|Простір послідовностей|Простір обмежених послідовностей|en|Sequence space}}

== Джерела ==
* {{Банах. КФА Лінійні операції}}
* {{Березанський.Ус.Шефтель}}
* {{Колмогоров.Фомин}}

{{math-stub}}

[[Категорія:Нормовані простори| ]]