Перегляд вихідного коду сторінки Норма (математика)

{{Otheruses|норма}}

'''Нор́ма''' — це функція, що задана на [[лінійний простір|лінійному просторі]] і є узагальненням поняття довжини вектора.

Простір із заданою на ньому нормою називається [[нормований простір|нормованим простором]].

== Означення норми ==

'''Нормою''' у [[векторний простір|векторному просторі]] <math>V</math> над полем <math>\mathbb{K}</math> називають відображення <math>\|\cdot\|:V\rightarrow\mathbb{R},</math> що задовольняє наступним умовам:

# <math>\|v\| \geq 0,\quad \|v\|=0</math> тільки при <math>v =\vec{0}</math> (''невід'ємність'')
# <math>\|rv\|\,=\,|r|\|v\|,\quad</math> де <math>r\in\mathbb{K}</math>&nbsp;— скаляр (''однорідність'')
# <math>\|u+v\|\,\le\,\|u\|+\|v\|,\quad \forall u,v\in V</math> (''[[нерівність трикутника]]'')

Ці умови також відомі як ''аксіоми норми''.

== Властивості ==

За допомогою норми <math>\|\cdot\|,</math> векторний простір <math> V </math> одержує структуру [[метричний простір|метричного]] і [[Топологічний простір|топологічного нормованого векторного простору]]. А саме, відстань <math>d(u,v)=\|u-v\|.</math> Зазначимо, що для будь-яких <math>u,v,w\in V</math> виконується <math>d(u+w,v+w)=d(u,v),</math> метрики на векторному просторі <math>V</math> з такою властивістю називаються '''трансляційно інваріантними'''. Найважливіший спеціальний випадок&nbsp;— це коли метричний простір <math> V </math> є [[фундаментальна послідовність#Означення|повним]] відносно метрики означеної нормою, тобто коли <math> V </math>&nbsp;— повний нормований лінійний простір, або [[банахів простір]].

=== Геометричний зміст норми ===
З геометричної думки, задання норми на <math>V</math>&nbsp;— це те й саме, що і задання її '''одиничної кулі''' <math>B(0,1)=\{v\in V:\|v\|\leq 1\},</math> тобто множини всіх векторів, довжина яких не перевищує одиниці. Одинична куля норми&nbsp;— це [[випукла множина|випукла підмножина]] векторного простору <math>V,</math> що містить [[нульовий вектор]] <math>\vec{0}</math> серед своїх внутрішніх точок.

== Приклади ==

=== Евклідова норма ===
{{main|Евклідова норма}}
Нехай <math>V=\mathbb{R}^n</math>&nbsp;— це <math>n</math>-вимірний координатний векторний простір. '''Евклідова норма''' на <math>V</math> визначається за формулою <math>\|u\|=\sqrt{(u,u)},</math> де <math>(u,v)=\sum_{i=1}^n u_i v_i</math>&nbsp;— це стандартний [[скалярний добуток]] на <math>\mathbb{R}^n.</math> Перші дві аксіоми норми майже очевидні. Щодо третьої аксіоми, то вона випливає з [[нерівність Коші-Буняковського|нерівності Коші-Буняковського]] у <math>\mathbb{R}^n.</math> Одинична куля цієї норми&nbsp;— це звичайна одинична куля.

=== Супремум норма ===
Нехай <math>V=\mathbb{R}^n,</math>⁣ але цього разу визначимо норму за формулою <math>\|u\|=\operatorname{sup}_{i=1}^n |u_i| </math> (це так звана '''sup''' норма). Всі три аксіоми норми легко перевіряються. У цьому випадку, одинична куля норми являє собою одиничний куб <math>\{u\in\mathbb{R}^n:|u_i|\leq 1, 1\leq i\leq n\},</math> що складається із тих векторів, всі координати яких містяться між <math>-1</math> і <math>1.</math>

=== Манхетенська норма ===
Нехай <math>V=\mathbb{R}^n,</math> але цього разу визначимо норму за формулою
<math>\|u\|=\sum_{i=1}^n|u_i|. </math> Як і в попередньому прикладі, аксіоми норми легко перевіряються. Одинична куля цієї норми&nbsp;— це узагальнений [[октаедр]], що є [[правильний політоп|правильним політопом]] <math>n</math>-вимірного простору полярним до <math>n</math>-вимірного [[куб]]а.

== Еквівалентність норм ==
Нехай <math>\|\cdot\|_1,\,\|\cdot\|_2</math>&nbsp;— дві норми визначені на одному і тому ж просторі <math>\!V</math>. Якщо існує таке дійсне <math>C>0,</math> що <math>\|v\|_1\leq C\|v\|_2</math> для будь-якого <math>v\in V,</math> то норма <math>\|\cdot\|_1</math> називається ''підпорядкованою'' нормі <math>\|\cdot\|_2.</math> Якщо водночас і норма <math>\|\cdot\|_2</math> підпорядкована нормі <math>\|\cdot\|_1</math>, то такі дві норми називаються ''еквівалентними''.

== Джерела ==
* {{Гельфанд.ЛінійнаАлгебра.укр}}
* {{Гантмахер.Теорія матриць}}
* {{Банах. КФА Лінійні операції}}
* {{Березанський.Ус.Шефтель}}

{{Перекласти|en|Norm (mathematics)|дата=січень 2018}}

[[Категорія:Лінійна алгебра]]
[[Категорія:Функціональний аналіз]]
[[Категорія:Математичний аналіз]]