Перегляд вихідного коду сторінки Нормальний розподіл

{{Розподіл ймовірностей|
  | name       = Нормальний розподіл
  | type       = pmf
  | pdf_image  = [[Файл:Normal Distribution PDF.svg|350px|Щільність (густина) нормального розподілу]]<br /><small>Червона крива відповідає ''стандартному нормальному розподілу''</small>
  | cdf_image  = [[Файл:Normal Distribution CDF.svg|350px|Функція розподілу нормально розподіленої випадкової величини]]<br />
  | notation   = <math>\mathcal{N}(\mu,\,\sigma^2)</math>
  | parameters = {{nowrap|''μ'' ∈ '''R'''}} — математичне сподівання <br />{{nowrap|''σ''<sup>2</sup> > 0}} — дисперсія
  | support    = ''x'' ∈ '''R'''
  | pdf        = <math>\frac{1}{\sigma\sqrt{2\pi}}\,e^{ -\frac{(x-\mu)^2}{2\sigma^2} }</math>
  | cdf        = <math>\frac12\left[1 + \operatorname{erf}\left( \frac{x-\mu}{\sqrt{2\sigma^2}}\right)\right] </math>
  | mean       = ''μ''
  | median     = ''μ''
  | mode       = ''μ''
  | variance   = <math>\sigma^2\,</math>
  | skewness   = 0
  | kurtosis   = 0 <!-- DO NOT REPLACE THIS WITH THE OLD-STYLE KURTOSIS WHICH IS 3. -->
  | entropy    = <math>\frac12 \ln(2 \pi e \, \sigma^2)</math>
  | mgf        = <math>\exp\{ \mu t + \frac{1}{2}\sigma^2t^2 \}</math>
  | char       = <math>\exp \{ i\mu t - \frac{1}{2}\sigma^2 t^2 \}</math>
  | fisher     = <math>\mathcal{I}(\mu,\sigma) =\begin {pmatrix} 1/\sigma^2 & 0 \\ 0 & 2/\sigma^2\end{pmatrix}</math>
<math>\mathcal{I}(\mu,\sigma^2) =\begin {pmatrix} 1/\sigma^2 & 0 \\ 0 & 1/(2\sigma^4)\end{pmatrix}</math>
  | conjugate prior = Нормальний розподіл
  }}
'''Нормальний розподіл''' (розподіл [[Гаус Карл Фрідріх|Ґауса]])&nbsp;— розподіл [[ймовірність|ймовірностей]] [[випадкова величина|випадкової величини]], що характеризується [[густина ймовірності|густиною ймовірності]]

: <math>
f(x;\mu,\sigma)
=
\frac{1}{\sigma\sqrt{2\pi}} \, \exp \left( -\frac{(x- \mu)^2}{2\sigma^2} \right)
</math>

де <math>\mu</math>&nbsp;— [[математичне сподівання]], <math>\sigma^2</math>&nbsp;— [[дисперсія випадкової величини]]. Параметр <math>\sigma</math> також відомий, як [[стандартне відхилення]]. Розподіл із <math>\mu=0</math> та <math>\sigma^2=1</math> називають '''стандартним нормальним розподілом'''.

[[Центральна гранична теорема]] стверджує, що нормальний розподіл виникає тоді, коли дана випадкова величина являє собою суму великого числа незалежних випадкових величин, кожна з яких відіграє незначну роль в утворенні всієї суми. Наприклад, відстань від влучення [[Артилерійський снаряд|снаряду]] [[гармата|гармати]] до [[ціль|цілі]] при великій кількості [[постріл]]ів характеризується саме нормальним розподілом.

Нормально розподілена [[випадкова величина]] позначається так: <math>\xi \sim N(\mu,\sigma^2)</math>.

== Визначення ==

=== Стандартний нормальний розподіл ===
Найпростіший варіант нормального розподілу відомий як ''стандартний нормальний розподіл''. Це особливий випадок, коли <math>\mu=0</math> і <math>\sigma =1</math>, і його описують такою [[Густина імовірності|функцією густини імовірності]]:

:<math>
\varphi(x) = \frac 1{\sqrt{2\pi}}e^{- \frac 12 x^2}
</math>

Коефіцієнт <math>1/\sqrt{2\pi}</math> в даному виразі гарантує, що загальна площа під кривою <math>\varphi(x)</math> дорівнює одиниці.<ref>За доведенням цього див. [[Гауссів інтеграл]]</ref> Множник <math>1/2</math> в показнику експоненти гарантує, що розподіл має одиничну дисперсію (тобто дисперсія дорівнює одиниці), а таким чином і одиничне стандартне відхилення. Ця функція симетрична довкола значення <math>x=0</math>, де вона набуває свого максимального значення <math>1/\sqrt{2\pi}</math> і має дві [[Точка перегину|точки перегину]] при <math>x=+1</math> і <math>x=-1</math>.

В деяких авторів можуть бути відмінності щодо того який нормальний розподіл вважати "стандартним". [[Карл Фрідріх Гаусс|Гаусс]] визначив стандартний нормальний розподіл як такий, що має дисперсію <math>\sigma^2 = 1/2</math>, і має функцію густини імовірності:

:<math>\varphi(x) = \frac{e^{-x^2}}{\sqrt\pi}</math>

{{нп|Стівен Стіглер|Стілгер|en|Stephen Stigler}}<ref>{{harvtxt |Stigler |1982 }}</ref> пішов навіть далі, коли визначив стандартний нормальний розподіл із дисперсією <math>\sigma^2 = 1/(2\pi)</math> так:

:<math> \varphi(x) = e^{-\pi x^2} </math>

=== Загальний нормальний розподіл ===
Кожний нормальний розподіл є різновидом стандартного нормального розподілу, область значень якого була розтягнута на величину <math>\sigma</math> (стандартне відхилення) і потім переміщена на <math>\mu</math> (середнє значення):

:<math>
f(x \mid \mu, \sigma^2) =\frac 1 \sigma \varphi\left(\frac{x-\mu} \sigma \right).
</math>

Густина імовірності повинна масштабуватися на <math>1/\sigma</math> так щоб інтеграл зберігав значення&nbsp;<math>1</math>.

Нехай <math>Z</math> це {{нп|Стандартна нормальна змінна|стандартне нормальний параметр відхилення|en|standard normal deviate}}, тоді <math>X=\sigma Z + \mu</math> матиме нормальний розподіл із сподіванням <math>\mu</math> і стандартним відхиленням <math>\sigma</math>. І навпаки, якщо <math>X</math> є нормальним відхиленням із параметрами <math>\mu</math> і <math>\sigma^2</math>, тоді <math>Z=(X-\mu)/\sigma</math> матиме стандартний нормальний розподіл. Цей варіант називається стандартизованою формою <math>X</math>

Кожен нормальний розподіл є експонентою [[Квадратична функція|квадратичної функції]]:

:<math>f(x) = e^{a x^2 + b x + c}</math>

де <math>a<0</math> і <math>c=b^2/(4a)+\ln(-a/\pi)/2</math>. В даній формі, середнє значення дорівнює <math>\mu = -b/(2a)</math>, а дисперсія дорівнює <math>\sigma^2=-1/(2a)</math>. У випадку стандартного нормального розподілу, <math>a=-1/2</math>, <math>b=0</math>, а <math>c=-\ln(2\pi)/2</math>.

=== Позначення ===
Густина імовірності стандартного Гауссового розподілу (стандартного нормального розподілу) (із нульовим середнім і одиничною дисперсією) часто позначається грецькою літерою <math>\phi</math> ([[Фі (літера)|Фі]]).<ref>{{harvtxt |Halperin |Hartley |Hoel |1965 |loc=item 7 }}</ref> Також часто використовується інша форма літери фі — <math>\varphi</math>.

Нормальний розподіл позначають як <math>N(\mu,\sigma^2)</math> або <math>\mathcal{N}(\mu,\sigma^2)</math>.<ref>{{harvtxt |McPherson |1990 |p=110 }}</ref> Таким чином, якщо випадкова величина <math>X</math> має нормальний розподіл із середнім <math>\mu</math> і дисперсією <math>\sigma^2</math>, це можна записати наступним чином

:<math>X \sim \mathcal{N}(\mu,\sigma^2).</math>

===Альтернативні параметризації===
Деякі автори виступають за використання параметру <math>\tau</math> як такий, що визначає ширину розподілу, замість відхилення <math>\sigma</math> або дисперсії <math>\sigma^2</math>. Цей параметр як правило визначається як обернена дисперсія, <math>1/\sigma^2</math>.<ref>{{harvtxt |Bernardo |Smith |2000 |page=121 }}</ref> Формула розподілу тоді приймає наступний вигляд:

:<math>f(x) = \sqrt{\frac\tau{2\pi}} e^{-\tau(x-\mu)^2/2}.</math>

Цей варіант, як стверджують, має переваги при виконанні чисельних розрахунків коли <math>\sigma</math> має значення дуже близьке до нуля і в деяких контекстах спрощує формули, наприклад, у [[Баєсова статистика|Баєсовій статистиці]] випадкових величин із [[Багатовимірний нормальний розподіл|багатовимірним нормальним розподілом]].

Також коефіцієнт може визначатися як обернене відхилення <math>\tau^\prime=1/\sigma</math>, тоді вираз нормального розподілу стане наступним:

: <math>f(x) = \frac{\tau^\prime}{\sqrt{2\pi}} e^{-(\tau^\prime)^2(x-\mu)^2/2}.</math>

На думку Стінглера, таке формулювання має переваги у швидкому запам'ятовуванні формули, і дозволяє мати просте наближення формул для [[Квантиль|квантилів]] розподілу.

== Особливість ==
Якщо [[Випадкова величина|випадкові величини]] <math>\,X,\,Y</math> мають нормальний розподіл імовірностей, то їх сума <math>\,Z=X+Y,</math>&nbsp; різниця <math>\,V=X-Y</math> також будуть нормально розподілені, а добуток <math>\,U=XY</math> величин <math>\,X,\,Y</math> не буде підпорядкований нормальному розподілу. <ref >Пряха Б. [http://ena.lp.edu.ua:8080/bitstream/ntb/7170/1/06.pdf Означення суми, різниці та добутку випадкових величин] {{Webarchive|url=https://web.archive.org/web/20150606220330/http://ena.lp.edu.ua:8080/bitstream/ntb/7170/1/06.pdf |date=6 червня 2015 }} // ''Геодезія, картографія і аерофотознімання:'' Міжвідомчий науково-технічний збірник.&nbsp;— Л. : Видавництво Національного університету «Львівська політехніка».&nbsp;— 2009.&nbsp;— Вип. 72.&nbsp;— С. 41—49.</ref>

== Властивості ==

Нормальний розподіл із функцією густини <math>f(x)</math> (математичним сподіванням <math>\mu</math> і стандартним відхиленням <math>\sigma > 0</math>) має наступні властивості:
* Він симетричний відносно точки <math>x=\mu,</math> яка одночасно є [[Мода (статистика)|модою]], [[Медіана (статистика)|медіаною]] і [[Середнє значення|середнім значенням]] розподілу.<ref name="PR2.1.4">{{harvtxt |Patel |Read |1996 |loc=[2.1.4] }}</ref>
* Розподіл є одномодальним: його перша [[Похідна|похідна]] додатна при <math>x<\mu,</math> від'ємна при <math>x>\mu,</math> і дорівнює нулю лише в точці <math>x=\mu.</math>
* Площа, що обмежена під кривою і віссю <math>x</math> дорівнює одиниці.
* Її функція густини має дві [[Точка перегину|точки перегину]] (де друга похідна функції <math>f</math> дорівнює нулю і змінює знак), що віднесені від середнього на величину одного стандартного відхилення, тобто на <math>x=\mu-\sigma</math> і <math>x=\mu+\sigma.</math><ref name="PR2.1.4" />
* Густина є [[Логарифмічно угнута функція|логарифмічно угнутою функцією]].<ref name="PR2.1.4" />
* Функція густини є нескінченно [[Диференційовна функція|диференційованою]], і {{нп|Гладка функція (теорія ймовірності)|супергладкою|en|Smoothness (probability theory)}} порядку 2.<ref>{{harvtxt |Fan |1991 |p=1258 }}</ref>

Крім того, густина <math>\varphi</math> стандартного нормального відхилення (тобто, з <math>\mu=0</math> і <math>\sigma=1</math>) має також наступні властивості:
* Її перша похідна дорівнює <math>\varphi^\prime(x)=-x\varphi(x).</math>
* Її друга похідна дорівнює <math>\varphi^{\prime\prime}(x)=(x^2-1)\varphi(x).</math>
* В загальному випадку, її {{mvar|n}}-та похідна дорівнює <math>\varphi^{(n)}(x) = (-1)^n\operatorname{He}_n(x)\varphi(x),</math> де <math>\operatorname{He}_n(x)</math> є {{mvar|n}}-им (імовірнісний) [[Поліноми Ерміта|поліномом Ерміта]].<ref>{{harvtxt |Patel |Read |1996 |loc=[2.1.8] }}</ref>
* Ймовірність того, що нормально розподілена випадкова величина <math>X</math> із відомими <math>\mu</math> і <math>\sigma</math> знаходиться в певному проміжку, можна розрахувати із відомого факту, що частка <math>Z = (X-\mu)/\sigma</math> має стандартний нормальний розподіл.

==Лог-нормальний розподіл==
Функція розподілу F(y), в якій логарифм величини є нормально розподіленим: 

<math>F(y)=f_{gauss}(\ln y)</math>, 

де <math>f_{gauss}(x)</math>&nbsp;— функція розподілу Гауса. 

Такою функцією описується розподіл частинок аерозолю за розмірами.<ref>Глосарій термінів з хімії // Й.&nbsp;Опейда, О.&nbsp;Швайка. Ін-т фізико-органічної хімії та вуглехімії ім. Л.&nbsp;М.&nbsp;Литвиненка НАН України, Донецький національний університет.&nbsp;— Донецьк : Вебер, 2008.&nbsp;— 758&nbsp;с.&nbsp;— ISBN 978-966-335-206-0</ref>

== Кумулятивна функція розподілу ймовірностей  ==
[[Функція розподілу ймовірностей|Кумулятивна функція розподілу ймовірностей]] стандартного нормального розподілу, зазвичай позначають великою грецькою літерою <math>\Phi</math> ([[Фі (літера)|фі]]), є наступним інтегралом

:<math>\Phi(x) = \frac 1 {\sqrt{2\pi}} \int_{-\infty}^x e^{-t^2/2} \, dt</math>

В статистиці часто застосовують споріднену [[Функція помилок|функції помилок]], або <math>\operatorname{erf}(x)</math>, що визначена як імовірність випадкової величини із нормальним розподілом, що має нульове середнє і дисперсію <math>1/2</math> потрапити у проміжок значень <math>[-x, x]</math>; що записується наступним чином

:<math>\operatorname{erf}(x) = \frac 2 {\sqrt\pi} \int_0^x e^{-t^2} \, dt</math>

Ці інтеграли не можливо виразити за допомогою елементарних функцій, що часто називають [[Спеціальні функції|спеціальними функціями]]. Однак існує багато відомих чисельних апроксимацій; див. [[#Numerical approximations for the normal CDF|below]].

Ці дві функції тісно пов'язані одна з одною, а саме:

: <math> \Phi(x) = \frac{1}{2} \left[1 + \operatorname{erf}\left( \frac x {\sqrt 2} \right) \right]</math>

Для випадку загального нормального розподілу із густиною <math>f</math>, середнім <math>\mu</math> і відхиленням <math>\sigma</math>, кумулятивна функція розподілу буде наступною

:<math>
F(x) = \Phi\left(\frac{x-\mu} \sigma \right) = \frac{1}{2} \left[1 + \operatorname{erf}\left(\frac{x-\mu}{\sigma \sqrt 2 }\right)\right]
</math>

Компоненту кумулятивної функції стандартного нормального розподілу, <math>Q(x) = 1 - \Phi(x)</math>, часто називають {{нп|Q-функція|Q-функцією|en|Q-function}}, особливо в технічній сфері.<ref>{{cite web|url=http://cnx.org/content/m11537/1.2/|last=Scott|first=Clayton|first2=Robert|last2=Nowak|title=The Q-function|work=Connexions|date=7 серпня 2003|accessdate=6 червня 2018|archive-date=12 січня 2012|archive-url=https://web.archive.org/web/20120112233326/http://cnx.org/content/m11537/1.2/}}</ref><ref>{{cite web|url=http://www.eng.tau.ac.il/~jo/academic/Q.pdf|last=Barak|first=Ohad|title=Q Function and Error Function|publisher=Tel Aviv University|date=6 квітня 2006|deadurl=yes|archiveurl=https://web.archive.org/web/20090325160012/http://www.eng.tau.ac.il/~jo/academic/Q.pdf|archivedate=March 25, 2009}}</ref> Вона задає ймовірність того що значення стандартної нормальної випадкової величини <math>X</math> буде перевищувати значення <math>x</math>: <math>P(X>x)</math>. Також іноді можуть використовуватися інші визначення <math>Q</math>-функції, усі пов'язані із простими перетвореннями <math>\Phi</math>.<ref>{{MathWorld |urlname=NormalDistributionFunction |title=Normal Distribution Function }}</ref>

[[Графік функції|Графік]] кумулятивної функції стандартного нормального розподілу <math>\Phi</math> має <math>2</math>-кратну [[Обертова симетрія|обертову симетрію]] довкола точки <math>(0,1/2)</math>; що задається як, <math>\Phi(-x) = 1 - \Phi(x)</math>. її [[первісна]] (невизначений інтеграл) дорівнює 
:<math>\int \Phi(x)\, dx = x\Phi(x) + \varphi(x) + C.</math>

Кумулятивна функція розподілу ймовірностей стандартного нормального розподілу може розкладатися в ряд за допомогою [[інтегрування частинами]]:

:<math>\Phi(x)=\frac{1}{2} + \frac{1}{\sqrt{2\pi}}\cdot e^{-x^2/2} \left[x + \frac{x^3}{3} + \frac{x^5}{3\cdot 5} + \cdots + \frac{x^{2n+1}}{(2n+1)!!} + \cdots\right]</math>

де <math>!!</math> позначає [[Подвійний факторіал]].

== Центральна гранична теорема ==
[[Файл:De moivre-laplace.gif|right|thumb|250px|Із збільшенням кількості дискретних подій, функція починає нагадувати нормальний розподіл]]
[[Файл:Dice sum central limit theorem.svg|thumb|250px|Порівняння функцій густини імовірності, <math>p(k)</math> для суми із <math>n</math> підкидувань 6-гранної гральної кістки, що показує їхню збіжність до нормального розподілу із збільшенням <math>na</math>, що відповідає центральній граничній теоремі. На графіку праворуч-внизу, показані масштабовані, накладені один на одного згладжені межі попередніх графіків і їх порівняння із нормальним розподілом (чорна крива).]]
{{Main article|Центральна гранична теорема}}

Центральна гранична теорема стверджує, що при певних умовах, сума багатьох випадкових величин буде мати розподіл близький до нормального розподілу. Зокрема, якщо <math>X_1,\ldots ,X_n</math>&nbsp;— [[Незалежні однаково розподілені випадкові величини|незалежні і однаково розподілені]] випадкові величини із однаковим розподілом, нульовим середнім, і дисперсією <math>\sigma^2</math> і з <math>Z</math> є їхнім середнім масштабованим на <math>\sqrt{n}</math>
: <math> Z = \sqrt{n}\left(\frac{1}{n}\sum_{i=1}^n X_i\right) </math>
Тоді, із збільшенням <math>n</math>, розподіл імовірностей величини <math>Z</math> буде збігатися із нормальним розподілом із нульовим середнім і дисперсією <math>\sigma^2</math>.

Теорему можна поширити і для випадку коли величини <math>(X_i)</math> не є незалежними і/або не є однаково розподіленими, але тоді є умови на степені залежності і моменти розподілів.

Багато [[Статистичний критерій|статистичних критеріїв]], [[Функція внеску|функцій внеску]], і [[Статистична оцінка|статистичних оцінок]], що застосовуються на практиці містять в своїй основі суми певних випадкових величин, і навіть ще більшу кількість статистичних оцінок можна представити як суму випадкових величин використовуючи [[Робастність_у_статистиці#Підхід,_заснований_на_функції_впливу|функції впливу]]. Центральна гранична теорема стверджує, що такі статистичні параметри будуть мати асимптотично нормальні розподіли.

Центральна гранична теорема також передбачає, що певні розподіли можливо апроксимувати за допомогою нормального розподілу, наприклад:
* [[Біноміальний розподіл]] <math>B(n,p)</math> є [[Локальна теорема Муавра — Лапласа|наближено нормальним]] із середнім <math>np</math> і дисперсією <math>np(1-p)</math> при великих <math>n</math> і при <math>p</math>, що не є досить близьке до <math>0</math> або <math>1</math>.
* [[Розподіл Пуассона]] із параметром <math>\lambda</math> є наближено нормальним із середнім <math>\lambda</math> і дисперсією <math>\lambda</math>, при великих значеннях <math>\lambda</math>.<ref>{{cite web|url=http://www.stat.ucla.edu/~dinov/courses_students.dir/Applets.dir/NormalApprox2PoissonApplet.html|title=Normal Approximation to Poisson Distribution|website=Stat.ucla.edu|date=|accessdate=2017-03-03|archive-date=2 березня 2017|archive-url=https://web.archive.org/web/20170302180108/http://www.stat.ucla.edu/~dinov/courses_students.dir/Applets.dir/NormalApprox2PoissonApplet.html}}</ref>
* [[Розподіл хі-квадрат]] <math>\chi^2(k)</math> є наближено нормальним із середнім <math>k</math> і дисперсією <math>2k</math>, для великих <math>k</math>.
* [[t-розподіл Стьюдента]] <math>t(\nu)</math> є наближено нормальним із середнім <math>0</math> і дисперсією <math>1</math> при великих <math>\nu</math>.

Наскільки достатньою є точність таких апроксимацій залежить від задачі, в якій вони застосовуються і [[Швидкість збіжності|швидкості збіжності]] до нормального розподілу. Як правило, такі апроксимації є менш точними на кінцях розподілу.

Загальна верхня межа похибки апроксимації для центральної граничної теореми задається {{нп|теорема Беррі — Ессена|теоремою Беррі — Ессена|en|Berry–Esseen theorem}}, поліпшення апроксимації досягається за допомогою {{нп|Ряди Грамма-Шарлье і Еджворта|рядів Еджворта|en|Edgeworth expansion}}.

== Див. також ==
* [[Випадкова величина]]
* [[Перетворення Бокса-Мюллера]]
* [[Ступінь довіри до вимірів]]
* [[Гауссовий q-розподіл]]
* [[Розподіл Гауса на локально компактній абелевій групі]]

== Джерела ==
{{Портал|Математика}}
* {{Гнєденко.Курс теорії ймовірностей}}
* {{Карташов.Імовірність процеси статистика}}
* {{Гіхман.Скороход.Ядренко}}

== Примітки ==
{{reflist}}

{{Statistics-stub}}
{{Список розподілів ймовірності}}

[[Категорія:Неперервні розподіли]]
[[Категорія:Спряжені апріорні розподіли]]
[[Категорія:Нормальний розподіл| ]]
[[Категорія:Розподіли експоненційного сімейства]]
[[Категорія:Стійкі розподіли]]
[[Категорія:Ймовірнісні розподіли]]
[[Категорія:Сімейство розподілів з параметрами зсуву та масштабу]]