Перегляд вихідного коду сторінки Нормальний простір

{{Аксіоми відокремлюваності}}
'''Нормальний простір''' — [[топологічний простір]], який задовольняє [[аксіоми відокремлюваності|аксіомам віддільності]] T<sub>1</sub>, T<sub>4</sub>, тобто такий топологічний простір, в якому одноточкові множини [[замкнена множина|замкнені]] і будь-які дві диз'юнктні (тобто,такі, що не [[перетин множин|перетинаються]]) замкнуті множини мають диз'юнктні [[окіл|околи]].

== Приклади нормальних просторів ==
Більшість просторів, що зустрічаються у [[математичний аналіз|математичному аналізі]] нормальні [[Гаусдорфів простір|гаусдорфові простори]], або принаймні нормальні регулярні простори:
* Усі [[метричний простір|метричні простори]] (а, отже, всі [[метризовний простір|метризовні]]) є абсолютно нормальними гаусдорфовими просторами;
* Усі [[псевдометричний простір|псевдометричні простори]] (а, отже, всі [[псевдометризовний простір|псевдометризовні]]) є абсолютно нормальними регулярними, хоча не обов'язково гаусдорфовими;
* Всі гаусдорфовs[[компактний простір | компактні простори]] є нормальними;
* Зокрема, [[стоун-чехівська компактифікація]] [[Тихонівський простір|тихоновського простору]] є нормальним гаусдорфовим простором;
* Узагальнюючи наведені вище приклади, всі [[Паракомпактний простір|паракомпактні]] гаусдорфові простори є нормальними, і всі паракомпактні регулярні простори нормальні;
* Усі паракомпактні [[топологічний многовид|топологічні многовиди]] є абсолютно нормальними гаусдорфими просторами. Тим не менш, існують не паракомпактні многовиди, які не є навіть нормальними просторами.
* Усі [[топологія порядку | топології порядку]] на [[повністю впорядкована множина|повністю впорядкованій множині]] є спадково нормальними і гаусдорфими.
* Кожний [[регулярний простір]], який задовольняє [[Друга аксіома зліченності|другу аксіому зліченності]] є абсолютно нормальним, і кожний регулярний [[ліндельофовий простір]] є нормальним.

Крім того, всі [[повністю нормальний простір|повністю нормальні простори]] нормальні (навіть якщо не регулярні). [[Простір Серпінського]] є прикладом нормального простору, який не є регулярним.

== Властивості==
* Нормальні простори є частковим випадком [[цілком регулярний простір|цілком регулярних]] (інакше, тихоновських) просторів.
* Будь-який замкнений підпростір нормального простору нормальний.
* Простір, усі підпростори якого нормальні, називається  ''спадково нормальним'''.
** Для спадкової нормальності достатньо, щоб усі відкриті підпростори були нормальні.
** Для спадкової нормальності необхідно і достатньо, щоб були відокремлені околами будь-які дві множини, з яких жодна не містить точок дотику іншого.
* Нормальний простір називається '''цілком нормальним''', якщо у ньому кожна замкнена множина є перетином [[зліченна множина|зліченної]] кількості відкритих множин.
** Будь-який цілком нормальний простір є спадково нормальним.
* Добуток двох нормальних просторів не обов'язково нормальний.
* '''Досконало нормальним простором''' є топологічний простір <math>X</math>, в якому кожні дві неперетинні замкнуті множини <math>E</math> та <math>F</math> можуть бути [[принцип роздільності|точно розділені функцією]], в тому сенсі, що існує неперервна функція <math>f</math> з <math>X</math> в інтервал <math>[0,1]</math> така що <math>f^{-1}(0)=E</math> та <math>f^{-1}(1)=F</math>.<ref>Willard, Exercise 15C</ref>

== Див. також ==
*[[Лема Урисона]]
*[[Теорема Тітце про продовження]]

== Примітки ==
{{reflist}}

== Література ==
* {{Александров.Введение в теорию множеств и общую топологию}}
* ''Келли Дж.&nbsp;Л.'' Общая топология.&nbsp;— М.: Наука, 1968. {{ref-ru}}
*{{cite book |last= Willard |first= Stephen |title= General Topology |publisher= Addison-Wesley |location= Reading, MA |year= 1970 |isbn= 978-0-486-43479-7 |url= https://archive.org/details/generaltopology00will_0 |url-access= registration}} {{ref-en}}

[[Категорія:Аксіоми відокремлюваності]]