Перегляд вихідного коду сторінки Нецентрований хі-квадрат розподіл

{{Розподіл ймовірностей
|name=Нецентрований хі-квадрат 
|median=
|mgf=<math>\frac{\exp\left(\frac{\lambda t}{1-2t }\right)}{(1-2 t)^{k/2}} \text{ for }2t<1</math>
|entropy=
|kurtosis=<math>\frac{12(k+4\lambda)}{(k+2\lambda)^2}</math>
|skewness=<math>\frac{2^{3/2}(k+3\lambda)}{(k+2\lambda)^{3/2}}</math>
|variance=<math>2(k+2\lambda)\,</math>
|mode=
|mean=<math>k+\lambda\,</math>
|type=density
|cdf=<math>1 - Q_{\frac{k}{2}} \left( \sqrt{\lambda}, \sqrt{x} \right)</math> де<math>Q_M(a,b)\,</math> — [[Q-функція Маркума]]
|pdf=<math>\frac{1}{2}e^{-(x+\lambda)/2}\left (\frac{x}{\lambda} \right)^{k/4-1/2}
 I_{k/2-1}(\sqrt{\lambda x})</math>
|support=<math>x \in [0; +\infty)\,</math>
|parameters=<math>k > 0\,</math> — ступені свободи<br />
<math>\lambda > 0\,</math> — параметр нецентральности,
|cdf_image=[[File:Chi-Squared-(nonCentral)-cdf.png|325px]]
|pdf_image=[[File:Chi-Squared-(nonCentral)-pdf.png|325px]]
|char=<math>\frac{\exp\left(\frac{i\lambda t}{1-2it}\right)}{(1-2it)^{k/2}}</math>
}}
У [[Теорія ймовірностей|теорії ймовірностей]] і [[Статистика|статистиці]] '''нецентрований розподіл хі-квадрат''' ('''нецентрований <math>\chi^2</math> розподіл''')&nbsp;— це нецентроване узагальнення розподілу [[Розподіл хі-квадрат|хі-квадрат]]. Він часто зустрічається при [[Статистична потужність|аналізі потужності]] статистичних тестів, в яких розподіл параметра при нульовій гіпотезі є (можливо, асимптотично) хі-квадрат розподілом. Важливими прикладами таких тестів є тести на [[Перевірка відношенням правдоподібностей|відношення правдоподібності]].

== Передумови ==
Нехай <math>(X_1,X_2, \ldots, X_i, \ldots,X_k)</math> - ''k'' [[Незалежність (теорія ймовірностей)|незалежних]], [[Нормальний розподіл|нормально розподілених]] випадкових величин із середніми <math>\mu_i</math> та одиничною дисперсією. Тоді випадкова величина

: <math>\sum_{i=1}^k X_i^2</math>

розподілена за нецентрованого хі-квадрат розподілу. У цього розподілу два параметри: <math>k</math> який визначає кількість ступенів свободи (тобто кількість <math>X_i</math>) і <math>\lambda</math> що пов'язане із середнім значенням випадкових величин <math>X_i</math> формулою:

: <math>\lambda=\sum_{i=1}^k \mu_i^2.</math>

іноді <math>\lambda</math> називають параметром нецентрованості. Зверніть увагу, в деяких джерелах  <math>\lambda</math>визначають інакше, наприклад, половиною вищезазначеної суми чи квадратним коренем з неї.

Цей розподіл виникає у [[Багатовимірна статистика|багатовимірній статистиці]] як похідна від [[Багатовимірний нормальний розподіл|багатовимірного нормального розподілу]]. Тоді як центрований [[Розподіл хі-квадрат|хі-квадрат розподіл]] - це квадрат [[Віддаль між двома точками|норми]] [[Багатовимірна випадкова величина|випадкового вектора]] з розподілом <math>N(0_k,I_k)</math> (тобто квадрат відстані від [[Початок координат|початку координат]] до випадкової точки-реалізації випадкової величини, що має такий розподіл), нецентрований <math>\chi^2</math> - це квадрат норми випадкового вектора з розподілом <math>N(\mu,I_k)</math>. Тут <math>0_k</math> - нульовий вектор ''з k елементів'', <math>\mu = (\mu_1, \ldots, \mu_k)</math> і <math>I_k</math> - ''k'' вимірна [[одинична матриця]].

== Означення ==
Функція [[Густина ймовірності|густини ймовірності]] (pdf) задається як

: <math>
f_X(x; k,\lambda) = \sum_{i=0}^\infty \frac{e^{-\lambda/2} (\lambda/2)^i}{i!} f_{Y_{k+2i}}(x),
</math>

де <math>Y_q</math> розподілена за законом хі-квадрат з <math>q</math> ступенями свободи.

З цього запису випливає, що нецентрований хі-квадрат розподіл є зваженою Пуассоном сумішшю центральних хі-квадрат розподілів. Нехай випадкова величина ''J'' має [[розподіл Пуассона]] із середнім значенням <math>\lambda/2</math>, та [[умовний розподіл]] ''Z,'' заданий ''J''&nbsp;=&nbsp;''i'' - хі-квадрат із ''k''&nbsp;+&nbsp;2 ''i'' ступеня свободи. Тоді [[Відособлений розподіл|безумовний розподіл]] ''Z'' є нецентрованим хі-квадрат розподілом з ''k'' ступенями свободи та параметром нецентрованості <math>\lambda</math> .

Крім того, щільність можна подати формулою

: <math>f_X(x;k,\lambda)=\frac 1 2 e^{-(x+\lambda)/2} \left (\frac x \lambda \right)^{k/4-1/2} I_{k/2-1}(\sqrt{\lambda x})</math>

де <math>I_\nu(y)</math> - модифікована [[Функції Бесселя|функція Бесселя]] першого роду:

: <math> I_\nu(y) = (y/2)^\nu \sum_{j=0}^\infty \frac{ (y^2/4)^j}{j! \Gamma(\nu+j+1)}. </math>

Використовуючи зв'язок [[функції Бесселя]] з [[Гіпергеометрична функція|гіпергеометричними функціями]], щільність також можна записати як<ref>Muirhead (2005) Theorem 1.3.4</ref>:

: <math>f_X(x;k,\lambda)={{\rm e}^{-\lambda/2}} _0F_1(;k/2;\lambda x/4)\frac 1 {2^{k/2} \Gamma(k/2)} {\rm e}^{-x/2} x^{k/2-1}.</math>

У Зіґеля (1979) описано випадок ''k''&nbsp;=&nbsp;0 (нуль ступенів свободи) докладно, у цьому випадку розподіл має дискретну складову в нулі.

== Властивості ==

=== Твірна функція ===
[[Твірна функція моментів]], задається формулою

: <math>M(t;k,\lambda)=\frac{\exp\left(\frac{ \lambda t}{1-2t }\right)}{(1-2 t)^{k/2}}.</math>

=== Моменти ===
Перші кілька початкових [[Момент (математика)|моментів]]:

: <math>\mu'_1=k+\lambda</math>
: <math>\mu'_2=(k+\lambda)^2 + 2(k + 2\lambda) </math>
: <math>\mu'_3=(k+\lambda)^3 + 6(k+\lambda)(k+2\lambda)+8(k+3\lambda)</math>
: <math>\mu'_4=(k+\lambda)^4+12(k+\lambda)^2(k+2\lambda)+4(11k^2+44k\lambda+36\lambda^2)+48(k+4\lambda)</math>

Перші кілька центральних [[Момент (математика)|моментів]]:

: <math>\mu_2=2(k+2\lambda)\,</math>
: <math>\mu_3=8(k+3\lambda)\,</math>
: <math>\mu_4=12(k+2\lambda)^2+48(k+4\lambda)\,</math>

''N-''а кумулянта є

: <math>K_n=2^{n-1}(n-1)!(k+n\lambda).\,</math>

Отже

: <math>\mu'_n = 2^{n-1}(n-1)!(k+n\lambda)+\sum_{j=1}^{n-1} \frac{(n-1)!2^{j-1}}{(n-j)!}(k+j\lambda )\mu'_{n-j}. </math>

=== Функція розподілу ===
Знову використовуючи співвідношення між центрованим та нецентрованим розподілами хі-квадрат, функцію [[Функція розподілу ймовірностей|розподілу]] (cdf) можна записати як

: <math>P(x; k, \lambda ) = e^{-\lambda/2}\; \sum_{j=0}^\infty \frac{(\lambda/2)^j}{j!} Q(x; k+2j)</math>

де <math>Q(x; k)\,</math> - функція розподілу центрованого розподілу хі-квадрат із ''k'' ступенями свободи, що записується як

: <math>Q(x;k)=\frac{\gamma(k/2,x/2)}{\Gamma(k/2)}\,</math>

і де <math>\gamma(k,z)\,</math> - [[Неповна гамма-функція|нижня неповна гамма-функція]].

Можна також скористатися [[Q-функція Маркума|Q-функцією Маркума]] <math>Q_M(a,b)</math> для запису функції розподілу<ref>Nuttall, Albert H. (1975): ''[http://ieeexplore.ieee.org/xpl/freeabs_all.jsp?arnumber=1055327 Some Integrals Involving the Q<sub>M</sub> Function]'', ''IEEE Transactions on Information Theory'', 21(1), 95–96, {{ISSN|0018-9448}}</ref>

:<math>P(x; k, \lambda) = 1 - Q_{\frac{k}{2}} \left( \sqrt{\lambda}, \sqrt{x} \right)</math>

==== Наближення (у тому числі для квантилів) ====
Абдель-Аті <ref>Abdel-Aty, S. (1954). [https://www.jstor.org/stable/2332731 Approximate Formulae for the Percentage Points and the Probability Integral of the Non-Central χ2 Distribution] ''[[Biometrika]]'' 41, 538&#x2013;540. doi:10.2307/2332731</ref> виводять (як "перше наближення") нецентроване наближення Вільсона-Гілферті:

<math> \left(\frac{\chi'^2}{k+\lambda}\right)^{\frac 1 3}</math> має приблизно [[нормальний розподіл]], <math>\sim \mathcal{N}\left(1-\frac{2}{9f}, \frac{2}{9f} \right),</math> тобто

: <math> P(x; k, \lambda )\approx \Phi \left\{ \frac{\left(\frac{x}{k+\lambda}\right)^{1/3} - \left(1 - \frac{2}{9f}\right) } {\sqrt{\frac{2}{9f}} } \right\}, \text{where } \ f := \frac{(k+\lambda)^2}{k+2\lambda} = k + \frac{\lambda^2}{k+2\lambda},</math>

що є досить точним і добре адаптовним до нецентрованості. Крім того, <math>f = f(k,\lambda)</math> стає <math>f = k</math> при <math>\lambda=0</math>, [[Розподіл хі-квадрат|(центрований) хі-квадрат]] розподіл.

Санкаран<ref>Sankaran, M. (1963). [http://biomet.oxfordjournals.org/cgi/content/citation/50/1-2/199 Approximations to the non-central chi-squared distribution] ''[[Biometrika]]'', 50(1-2), 199&#x2013;204</ref> описує ряд аналітичних виразів [[Апроксимація|наближень]] [[Функція розподілу ймовірностей|функції розподілу]]. В своїх ранніх роботах<ref>Sankaran, M. (1959). "On the non-central chi-squared distribution", ''[[Biometrika]]'' 46, 235&#x2013;237</ref> він отримав та довів наступне наближення:

: <math> P(x; k, \lambda ) \approx \Phi \left\{ \frac{(\frac{x} {k + \lambda}) ^ h - (1 + h p (h - 1 - 0.5 (2 - h) m p))} {h \sqrt{2p} (1 + 0.5 m p)} \right\} </math>

де

: <math> \Phi \lbrace \cdot \rbrace \, </math> позначає [[Функція розподілу ймовірностей|функцію розподілу]] [[Нормальний розподіл|стандартного нормального розподілу]];
: <math> h = 1 - \frac{2}{3} \frac{(k+ \lambda) (k+ 3 \lambda)}{(k+ 2 \lambda) ^ 2} \, ;</math>
: <math> p = \frac{k+ 2 \lambda}{(k+ \lambda) ^ 2} ;</math>
: <math> m = (h - 1) (1 - 3 h) \, .</math>

Це та інші наближення описані в його пізніших підручниках<ref>Johnson et al. (1995) ''Continuous Univariate Distributions'' Section 29.8</ref>.

Для даної ймовірності ці формули легко обернути для обчислення досить точних наближеннь <math> x</math> відповідних квантилів.

== Виведення функції щільности ==
Виведення функції щільності ймовірності найлегше зробити, виконавши наступні кроки:

# Оскільки <math>X_1,\ldots,X_k</math> мають одиничні дисперсії, їх спільний розподіл сферично симетричний, аж до зсуву місця.
# Тоді сферична симетрія означає, що розподіл <math>X=X_1^2+\cdots+X_k^2</math> залежить від середніх значень лише через квадрат довжини, <math>\lambda=\mu_1^2+\cdots+\mu_k^2</math> . Тому, без обмеження загальности можна взяти <math>\mu_1=\sqrt{\lambda}</math> і <math>\mu_2=\cdots=\mu_k=0</math> .
# Тепер обчислимо щільність <math>X=X_1^2</math> (тобто ''k''&nbsp;=&nbsp;1 випадок). Просте перетворення випадкових величин дає

::: <math>\begin{align}f_X(x,1,\lambda) &= \frac{1}{2\sqrt{x}}\left( \phi(\sqrt{x}-\sqrt{\lambda}) + \phi(\sqrt{x}+\sqrt{\lambda}) \right )\\ &= \frac{1}{\sqrt{2\pi x}} e^{-(x+\lambda)/2} \cosh(\sqrt{\lambda x}), \end{align}</math>
:: де <math>\phi(\cdot)</math> - функція щільности стандартної нормальної випадкової величини.

# Розкладемо [[Гіперболічні функції|гіперболічну функцію]] в [[ряд Тейлора]]. Це дає зважену за Пуассоном суміш представлення щільності, поки ще для ''k''&nbsp;=&nbsp;1. Індекси на випадкових величин в хі-квадрат розподілених випадкових величинах в наведеному вище ряді в цьому випадку є 1&nbsp;+&nbsp;2 ''i''.
# Нарешті, для загального випадку. Припустимо без обмеження загальності <math>X_2,\ldots,X_k</math> є стандартні нормальні, отже <math>X_2^2+\cdots+X_k^2</math> має ''центрований'' хі-квадрат розподіл з ( ''k''&nbsp;&#x2212;&nbsp;1) ступенями свободи, незалежна від <math>X_1^2</math>. Використовуючи запис <math>X_1^2</math> у вигляді Пуасонівської суміші, і той факт, що сума хі-квадрат випадкових величин має також хі-квадрат, отримуємо результат. Індексами в ряді є (1&nbsp;+&nbsp;2 ''i'' )&nbsp;+&nbsp;( ''k''&nbsp;&#x2212;&nbsp;1) =&nbsp;''k''&nbsp;+&nbsp;2 ''i'' як і треба показати.

== Пов’язані розподіли ==

* Якщо <math>V</math> [[Розподіл хі-квадрат|хі квадрат]] розподілена в.в.:  <math>V \sim \chi_k^2</math>, тоді <math>V</math> також нецетровано хі квадрат розподілена з нульовим параметром нецетральности: <math>V \sim {\chi'}^2_k(0)</math>
* Лінійна комбінація незалежних нецентральних хі квадрат розподілених випадкових величин <math>\xi=\sum_i \lambda_i Y_i + c, \quad  Y_i \sim \chi'^2(m_i,\delta_i^2)</math>, має узагальнений хі квадрат розподіл.
* Якщо <math>V_1 \sim {\chi'}_{k_1}^2(\lambda)</math> і <math>V_2 \sim {\chi'}_{k_2}^2(0)</math> і <math>V_1</math> незалежна від <math>V_2</math>, тоді нецентрально <nowiki><i id="mwARo">F</i></nowiki>-розподілена величину можна отримати як <math>\frac{V_1/k_1}{V_2/k_2} \sim F'_{k_1,k_2}(\lambda)</math>
* Як <math>J \sim \mathrm{Poisson}\left({\frac{1}{2}\lambda}\right)</math>, тоді <math>\chi_{k+2J}^2 \sim {\chi'}_k^2(\lambda)</math>
* Якщо <math>V\sim{\chi'}^2_2(\lambda)</math>, тоді <math>\sqrt{V}</math> - розподілена за [[Розподіл Райса|розподілом Райса]] з параметром <math>\sqrt{\lambda}</math> випадкова величина.
* Наближення нормальним розподілом: якщо <math>V \sim {\chi'}^2_k(\lambda)</math>, тоді <math>\frac{V-(k+\lambda)}{\sqrt{2(k+2\lambda)}}\to N(0,1)</math> за розподілом при <math>k\to\infty</math> чи <math>\lambda\to\infty</math>.
* Якщо <math>V_1 \sim {\chi'}^2_{k_1}(\lambda_1)</math>і <math>V_2 \sim {\chi'}^2_{k_2}(\lambda_2)</math>, де <math>V_1, V_2</math> - незалежні, тоді <math>W = (V_1+V_2) \sim {\chi'}^2_k(\lambda_1+\lambda_2)</math>, де <math>k=k_1+k_2</math>.
* Взагальному, для скінченної множини <math>V_i \sim {\chi'}^2_{k_i}(\lambda_i),  i\in \left \{ 1..N \right \}</math>, сума цих нецентральних хі квадрат розподілених в.в. <math>Y = \sum_{i=1}^N V_i</math> має розподіл <math>Y \sim {\chi'}^2_{k_y}(\lambda_y)</math>, де <math>k_y=\sum_{i=1}^N k_i, \lambda_y=\sum_{i=1}^N\lambda_i</math>. Це можна покажати використовуючи твірні функції моментів наступним чином: <math>M_Y(t) = M_{\sum_{i=1}^N V_i}(t) = \prod_{i=1}^N M_{V_i}(t)</math> використовуючи незалежність <math>V_i</math> випадкових величин. Далі просто підставляємо ТФМ нецентрального хі квадрат розподілу у вираз для добутку і зведенням до нової ТФМ. Або ж зважаючи на інтерпретацію у розділі Передумови як сума квадратів незалежних норомально розподілених в.в. з варіацією 1 і відповідними середніми значеннями.
* ''Комплексні нецентральні хі квадрат розподіли'' мають застосування у радіо зв'язку і системах радарів {{Джерело}}. Нехай <math>(z_1, \ldots, z_k)</math> - незалежні скалярні комплексні випадкові величини з нецентральною колоавою симетрією, з середніми <math>\mu_i</math> і одиничними варіаціями: <math> \operatorname{E} \left |z_i - \mu_i \right |^2 = 1 </math>. Тоді дійснозначна випадкова величина <math>S = \sum_{i=1}^k \left |z_i \right | ^2</math> розподілена за комплексним нецентральним хі квадрат розподілом:

:: <math> f_S(S) = \left( \frac {S}{\lambda} \right)^{(k-1)/2} e^{ - (S + \lambda) } 
 I_{k-1} (2 \sqrt {S\lambda} )</math><br /><br /><br /><br />де <math>\lambda=\sum_{i=1}^k \left |\mu_i \right |^2.</math>

=== Перетворення ===
Санкаран (1963) описує перетворення типу <math>z=[(X-b)/(k+\lambda)]^{1/2}</math>. Він аналізує розклад кумулянт <math>z</math> до порядку <math>O((k+\lambda)^{-4})</math> і доводить, що для деяких <math>b</math> можна отримати прийнятні результати:

* при <math>b=(k-1)/2</math>  друга кумулянта <math>z</math> асимптотично не залежить від <math>\lambda</math>,
* при <math>b=(k-1)/3</math> третя кумулянта <math>z</math> асимптотично не залежить від <math>\lambda</math>,
* при <math>b=(k-1)/4</math> четверта кумулянта <math>z</math> асимптотично не залежить від <math>\lambda</math>.

Крім того, більш просту трансформацію <math>z_1 = (X-(k-1)/2)^{1/2}</math> можна використовувати як дисперсійно-стабілізуюче перетворення, яке дає випадкову величину із середнім значенням <math>(\lambda + (k-1)/2)^{1/2}</math> і дисперсією <math>O((k+\lambda)^{-2})</math>.

Використанню таких перетворень може завадити необхідність квадратного кореня з від’ємних чисел.
<center>
{| class="wikitable"
|+ '''Різні хі та хі-квадрат розподіли'''
|-
! Name !! Statistic
|-
| [[Розподіл хі-квадрат]] || <math>\sum_{i=1}^k \left(\frac{X_i-\mu_i}{\sigma_i}\right)^2</math>
|-
| Нецентрований хі-квадрат розподіл || <math>\sum_{i=1}^k \left(\frac{X_i}{\sigma_i}\right)^2</math>
|-
| [[Розподіл Хі]] || <math>\sqrt{\sum_{i=1}^k \left(\frac{X_i-\mu_i}{\sigma_i}\right)^2}</math>
|-
| [[Нецентрований хі розподіл]] || <math>\sqrt{\sum_{i=1}^k \left(\frac{X_i}{\sigma_i}\right)^2}</math>
|}
</center>

== Використання ==

=== Використання в довірчих інтервалах ===
Двосторонні нормальні довірчі інтервали в [[Регресійний аналіз|регресії]] можна обчислити на основі нецентрованого хі-квадратрозподілу<ref>{{Cite journal|last=Derek S. Young|date=August 2010|title=tolerance: An R Package for Estimating Tolerance Intervals|url=http://www.jstatsoft.org/v36/i05|journal=Journal of Statistical Software|volume=36|pages=1–39|issn=1548-7660|access-date=19 лютого 2013}}, p.32</ref>. Використовуючи його можна обчислити статистичний інтервал, в межах якого з певним рівнем довіри потрапляє певна частина вибіркової сукупності.

== Примітки ==
{{reflist|2}}

== Список літератури ==

* Абрамовіц, М. та Стегун, ІА (1972), ''Довідник з математичних функцій'', Дувр. [http://www.math.sfu.ca/~cbm/aands/page_942.htm Розділ 26.4.25.]
* Джонсон, Нью-Йорк, Коц, С., Балакрішнан, Н. (1995), ''Безперервні одноваріантні розподіли, том 2 (2-е видання)'', Wiley.{{ISBN|0-471-58494-0}}
* Мюрхед, Р. (2005) ''Аспекти багатовимірної статистичної теорії'' (2-е видання). Вілі.{{ISBN|0-471-76985-1}}
* Siegel, AF (1979), "Нецентральний розподіл хі-квадрат з нульовим ступенем свободи та тестування на однорідність", ''Biometrika'', 66, 381 &#x2013; 386
* {{Citation|title=Linear combinations of non-central chi-squared variates|jstor=2238621|year=1966|last=Press, S.J.|journal=The Annals of Mathematical Statistics|pages=480–487|volume=37|number=2|doi=10.1214/aoms/1177699531}}
{{Розподіли ймовірності}}

[[Категорія:Неперервні розподіли]]