Перегляд вихідного коду сторінки Нерівність Чебишова

: ''Для нерівності для наборів чисел&nbsp;— див. [[Нерівність Чебишова для сум чисел]].''
'''Нерівність Чебишова'''&nbsp;— результат [[Теорія ймовірностей|теорії ймовірностей]], який стверджує, що для будь-якої [[Випадкова величина|випадкової величини]] із скінченною [[Дисперсія випадкової величини|дисперсією]] майже всі значення концентруються біля значення [[Математичне сподівання|математичного сподівання]]. Нерівність Чебишева дає кількісні характеристики цієї властивості.

== Теорема ==
Нехай <math> X </math> є [[Випадкова величина|випадковою величиною]] із [[математичне сподівання|математичним сподіванням]] <math> \eta </math> і [[Дисперсія випадкової величини|дисперсією]] <math> {\sigma}^2 </math>. Тоді для всякого <math> \epsilon > 0 </math> виконується нерівність:

: <math>
P \{ |X-\eta| \ge \epsilon \} \le \frac{{\sigma}^2}{{\epsilon}^2}
</math>

інакше

: <math>
P \{ |X-\eta| \ge k\sigma \} \le \frac{1}{k^2}
</math>

Нам цікавий лише випадок з <math>k > 1.</math> Коли <math>k \le 1</math> права частина <math>\frac{1}{k^2} \ge1</math> і нерівність стає тривіальною, бо ймовірність не перевищує 1.

Наприклад, використовуючи <math>k = \sqrt{2}</math> показуємо, що ймовірність того., що значення лежить поза проміжком <math>(\mu - \sqrt{2}\sigma, \mu + \sqrt{2}\sigma)</math> не перевищує <math>\frac{1}{2}</math>.

Тому що нерівність можна застосувати до будь-яких розподілів якщо вони мають відоме середнє значення і дисперсію, нерівність зазвичай дає слабку оцінку в порівнянні з ситуацією коли відомо більше даних про розподіл.

{|class="wikitable" style="background-color:#FFFFFF; text-align:center"
|-
! <math>k</math>
! Мін. % в <math>k</math> стандартних{{ns}}<br>відхилень від середнього
! Макс. % поза <math>k</math> стандартних{{ns}}<br>відхилень від середнього
|-
|  1
|| 0%
|| 100%
|-
|  {{sqrt|2}}
|| 50%
|| 50%
|-
|  1.5
|| 55.56%
|| 44.44%
|-
|  2
|| 75%
|| 25%
|-
|  3
|| 88.8889%
|| 11.1111%
|-
|  4
|| 93.75%
|| 6.25%
|-
|  5
|| 96%
|| 4%
|-
|  6
|| 97.2222%
|| 2.7778%
|-
|  7
|| 97.9592%
|| 2.0408%
|-
|  8
|| 98.4375%
|| 1.5625%
|-
|  9
|| 98.7654%
|| 1.2346%
|-
|  10
|| 99%
|| 1%
|}

==Приклад==
Припустімо, що ми навмання обираємо часописну статтю зі джерела з 1000 слів на статтю в середньому, зі стандартним відхиленням у 200 слів. Ми можемо зробити висновок, що ймовірність того, що стаття містить від 600 до 1400 слів (тобто в межах ''k''&nbsp;=&nbsp;2 стандартних відхилень від середнього) має бути щонайменше 75%, бо згідно з нерівністю Чебишова шанс опинитись за межами цього діапазону не більший ніж {{frac|1|''k''{{su|p=2}}}} {{=}} {{frac2|1|4}}}}. Але, якби ми додатково знали, що ми маємо справу з [[нормальний розподіл|нормальним розподілом]], ми могли б сказати, що існує 75% шанс того, що кількість слів між 770 і 1230 (точніше обмеження).

==Точність оцінки==
Як показано вище, нерівність зазвичай надає радше слабку оцінку. Однак, для довільного розподілу її неможливо покращити. Це точна оцінка для такого розподілу: для будь-якого ''k''&nbsp;≥&nbsp;1,
: <math>
    X = \begin{cases}
        -1, & \text{з імовірністю }\frac{1}{2k^2} \\
         0, & \text{з імовірністю }1 - \frac{1}{k^2} \\
         1, & \text{з імовірністю }\frac{1}{2k^2}
        \end{cases}
  </math>

Для цього прикладу, середнє значення ''μ'' = 0 і стандартне відхилення ''σ'' = 1/''k'', отже
: <math>
    \Pr(|X-\mu| \ge k\sigma) = \Pr(|X| \ge 1) = \frac{1}{k^2}.
  </math>
саме для розподілів, які є [[Лінійне відображення|лінійними перетвореннями]] цього прикладу, нерівність Чебишева стає рівністю.

== Доведення ==
{{Розділ без джерел|дата=травень 2016}}
Нехай <math> F(x) </math> &nbsp;- функція розподілу змінної <math> X </math>. Тоді:

<math> 
P \{ |X-\eta| \ge \epsilon \} = \int_{-\infty}^{-\eta-\epsilon} \,dF(x) + \int_{\eta+\epsilon}^{\infty} \,dF(x) = \int_{|x-\eta| \ge \epsilon} \,dF(x)
</math>

Звідси одержуємо,

<math> 
{\sigma}^2 = \int_{-\infty}^{\infty} (x-\eta)^2 \,dF(x) \ge \int_{|x-\eta| \ge \epsilon} (x-\eta)^2 \,dF(x) \ge {\epsilon}^2 \int_{|x-\eta| \ge \epsilon} \,dF(x) 
</math>

З того, що <math> P \{ |X-\eta| \ge \epsilon \} = \int_{|x-\eta| \ge \epsilon} \,dF(x) </math> одержуємо твердження теореми.

== Див. також ==
* [[Нерівність Маркова]]
* [[Нерівність Ляпунова]]
* [[Чебишов Пафнутій Львович]]

== Джерела ==
* {{Карташов.Імовірність процеси статистика}}
* {{Гнеденко.Курс теории вероятностей}}
* {{Гіхман.Скороход.Ядренко}}

[[Категорія:Імовірнісні нерівності]]
[[Категорія:Статистичні нерівності]]