Перегляд вихідного коду сторінки Неповна гамма-функція

[[File:Incomplete lower gamma 3d.gif|thumb|Нижня неповна гамма-функція в 3D]]
[[File:Incomplete lower gamma 4d.gif|thumb|Анімація нижньої неповної гамма-функції]]
[[File:Incomplete lower gamma 5d.gif|thumb|Верхня неповна гамма-функція в 3D]]

У [[Математика|математиці]] '''верхня неповна гамма-функція''' і '''нижня неповна гамма-функція''' є типом [[Спеціальна функція|спеціальних функцій,]] які виникають при розв'язанні різноманітних математичних задач, таких як деякі [[Інтеграл|інтеграли]].

Їх відповідні назви випливають з їх інтегральних визначень, які визначаються аналогічно [[Гамма-функція|гамма-функції]], іншим типом спеціальної функції, але з різними або "неповними" інтегральними межами. Гамма-функція визначається як інтеграл від нуля до нескінченності. Це відрізняється від нижньої неповної гамма-функції, яка визначається як інтеграл від нуля до змінної верхньої межі. Відповідно, верхня неповна гамма-функція визначається як інтеграл від змінної нижньої межі до нескінченності.

==Визначення==
Верхня неповна гамма-функція визначається як:

:<math> \Gamma(s,x) = \int_x^{\infty} t^{s-1}\,e^{-t}\,{\rm d}t ,\,\!</math>

в той час як нижня неповна гамма-функція визначається як:

:<math>  \gamma(s,x) = \int_0^x t^{s-1}\,e^{-t}\,{\rm d}t .\,\!</math>

==Властивості==

В обох випадках '''''s''''' є складним параметром, таким, що дійсна частина '''''s''''' є позитивною.

[[Інтегрування частинами|Інтегруванням частинами]] знаходимо [[рекурентне співвідношення]]
:<math>\Gamma(s+1,x)= s\Gamma(s,x) + x^{s} e^{-x}</math>

та

:<math> \gamma(s+1,x) =s\gamma(s,x) - x^{s} e^{-x}</math>

Оскільки звичайна гамма-функція визначається як

:<math> \Gamma(s) = \int_0^{\infty} t^{s-1}\,e^{-t}\,{\rm d}t</math>

маємо
:<math> \Gamma(s) = \Gamma(s,0) = \lim_{x\to\infty} \gamma(s,x)</math>
та
:<math> \gamma(s,x) + \Gamma(s,x) = \Gamma(s).</math>

===Продовження для комплексних значень===

Нижня неповна гамма-функція та верхня неповна гамма-функція, що визначені вище для дійсних позитивних ''s'' і ''x'', можуть бути розвинені в [[Голоморфна функція|голоморфній функції]] s, по відношенню як до ''x'', так і до ''s'', визначені для майже всіх комбінацій складних ''x'' та ''s''.<ref>[http://dlmf.nist.gov/8.2.ii DLMF, Incomplete Gamma functions, analytic continuation]</ref> Комплексний аналіз показує, що властивості дійсних неповних гамма-функцій поширюються на їх голоморфні аналоги.

=====Голоморфне розширення=====
Повторне застосування рекурентного відношення до '''нижньої неповної гамма-функції''' призводить до розширення [[Степеневий ряд|степеневого ряду]]: 
[http://dlmf.nist.gov/8.8.E7]

:<math>\gamma(s, x) = \sum_{k=0}^\infty \frac{x^s e^{-x} x^k}{s(s+1)...(s+k)} = x^s \, \Gamma(s) \, e^{-x}\sum_{k=0}^\infty\frac{x^k}{\Gamma(s+k+1)}</math>

Враховуючи стрімке зростання абсолютної величини &Gamma;(''z'' + ''k'') при ''k''&nbsp;→&nbsp;∞, а також той факт, що  взаємна Γ('' z '') є [[Ціла функція|цілою функцією]], коефіцієнти у правій частині суми є чітко визначеними, а локально сума [[Рівномірна збіжність|сходиться рівномірно]] для всіх комплексних ''s'' та ''x''. За теоремою [[Карл Веєрштрас|Вейерштрасса]], гранична функція іноді позначається як <math>\gamma^*</math>,

:<math>\gamma^*(s, z) := e^{-z}\sum_{k=0}^\infty\frac{z^k}{\Gamma(s+k+1)}</math> [http://dlmf.nist.gov/8.7.E1]

є цілою щодо ''z'' (для фіксованих ''s'') та ''s'' (для фіксованих ''z'') [http://dlmf.nist.gov/8.2.ii] , і, таким чином, голоморфна на ℂ×ℂ за [[Теорема Хартогса|теоремою Хартогса]][http://www.math.umn.edu/~garrett/m/complex/hartogs.pdf]. Отже, наступне ''розвинення''

:<math>\gamma(s,z) = z^s \, \Gamma(s) \, \gamma^*(s,z)</math> [http://dlmf.nist.gov/8.2.E6],

розширює дійсну неповну гамма-функцію в голоморфну функцію, як спільно, так і окремо в ''z'' і ''s''. З властивостей z<sup>s</sup> та гамма-функції випливає, що перші два чинники фіксують [[Особливі точки|особливі точки]] γ (при ''z'' = 0 або ''s'' - не додатнє ціле число), тоді як останній чинник сприяє його нулям.

=====Багатозначність=====
Комплексний логарифм log&nbsp;''z''&nbsp;=&nbsp;log&nbsp;|''z''|&nbsp;+&nbsp;''i''&nbsp;arg&nbsp;''z'' визначається лише кратним 2πi, що робить його багатозначним. Функції, що включають складний логарифм, як правило, успадковують цю властивість. Серед них - складна потужність, і оскільки ''z'' <sup>''s''</sup> з'являється в його розкладі, то γ-функція теж.

Невизначеність [[Багатозначна функція|багатозначних функцій]] призводить до ускладнень, оскільки необхідно вказати, як вибрати значення. Стратегії для вирішення цього є:
* (найбільш загальний спосіб) замінити домен ℂ багатозначних функцій відповідним різновидом у ℂ × ℂ, що називається [[Поверхня Рімана|поверхнею Рімана]]. У той час як це усуває багатозначність, потрібно знати теорію, яка лежить в основі [http://math.berkeley.edu/~teleman/math/Riemann.pdf];
* обмежуйте такий домен, при якому багатозначна функція розкладається на окремі однозначні гілки, які можна обробляти індивідуально.

=====Поведінка поблизу точки розгалуження=====
Поряд з ''z''=0 γ поводиться асимптотично:

:<math>\gamma(s, z) \asymp z^s \, \Gamma(s) \, \gamma^*(s, 0) = z^s \, \Gamma(s)/\Gamma(s+1) = z^s/s</math>

Для додатних дійсних ''x'', ''y'' та ''s'', ''x''<sup>''y''</sup>/y → 0, при (''x'', ''y'') → (0, ''s''). Цим обґрунтовується, що ''γ(s, 0) = 0'' для дійсних ''s'' > 0. Проте, в комплексній області все трохи інакше. Тільки якщо (a) дійсна частина ''s'' є додатною, та (b) значення ''u''<sup>''v''</sup> беруться з лише кінцевого набору гілок, то вони гарантовано сходяться до нуля, оскільки (''u'', ''v'') → (0, ''s''), так само і для ''γ''(''u'', ''v''). ''γ''(''b'') виконується на одиничній гілці, і '''тому''' ''γ''(''s'', 0) = 0 для ''s'' з додатною дійсною частиною є неперевною межею. Таке продовження в жодному разі не є [[Аналітичне продовження|аналітичним]].

=====Алгебраїчні співвідношення=====
Усі алгебраїчні співвідношення та диференціальні рівняння, які спостерігаються за допомогою дійсної ''γ''(''s'', ''z'') зберігаються і для її голоморфного аналога. Це є наслідком теореми про тотожність[http://planetmath.org/encyclopedia/RigidityTheoremForAnalyticFunctions.html], яка вказує, що рівняння між голоморфними функціями, чинними на дійсному інтервалі, зберігаються скрізь. Зокрема, у відповідних гілках, зберігаються рекурентні співвідношення [http://dlmf.nist.gov/8.8.E1] та ''∂γ''(''s'',''z'')/''∂z'' = ''z''<sup>''s''−1</sup> ''e''<sup>−''z''</sup> [http://dlmf.nist.gov/8.8.E12] зберігаються на відповідних гілках.

=====Інтегральне зображення=====
Останнє співвідношення говорить нам, що для фіксованого значення ''s'', ''γ'' є [[Первісна|первісною]] голоморфної функції ''z''<sup>''s''−1</sup> ''e''<sup>−''z''</sup>. Отже, [http://planetmath.org/encyclopedia/ComplexAntiderivative.html], для будь-яких комплексних ''u'', ''v'' ≠ 0,

:<math>\int_u^v t^{s-1}\,e^{-t}\,{\rm d}t = \gamma(s,v) - \gamma(s,u)</math>

має місце до тих пір, поки шлях інтегрування, цілком лежить в області підінтегральної гілки. Якщо додатково, дійсна частина ''s'' є додатною, то застосовується межа ''γ''(''s'', ''u'') → 0 при ''u'' → 0, остаточно приходячи до комплексного інтегрального визначення γ

:<math>\gamma(s, z) = \int_0^z t^{s-1}\,e^{-t}\,{\rm d}t, \, \Re(s) > 0. </math>[http://dlmf.nist.gov/8.2.E1]

Будь-який шлях інтегрування, який містить 0 тільки в його початку, а в іншому випадку обмежується областю підінтегральної гілки, є справедливим, наприклад, пряма лінія, що з'єднує 0 і ''z''.

======Дійсні значення======
Враховуючи інтегральне подання головної гілки γ, для будь-якого позитивного дійсного s, x виконується таке рівняння:[http://dlmf.nist.gov/5.2.E1]
:<math>\Gamma(s) = \int_0^\infty t^{s-1}\,e^{-t}\,{\rm d}t = \lim_{x \rightarrow \infty} \gamma(s, x)</math>

======Комплексна ''s'' ======
Цей результат поширюється на комлексну s. Припустимо спочатку {{math|1 ≤ Re(s) ≤ 2}} nf {{math|1 < a < b}}. Потім
:<math>|\gamma(s, b) - \gamma(s, a)| \le \int_a^b |t^{s-1}| e^{-t}\,{\rm d}t = \int_a^b t^{\Re s-1} e^{-t}\,{\rm d}t \le \int_a^b t e^{-t}\,{\rm d}t</math>
де
:<math>|z^s| = |z|^{\Re s}\,e^{-\Im s\arg z}</math>[http://dlmf.nist.gov/4.4.E15]
був використаний посередині. Оскільки кінцевий інтеграл стає довільно малим, тільки якщо ''a'' досить великий, γ(s, x) рівномірно сходиться для ''x'' → ∞ на проміжку {{math|1 ≤ Re(s) ≤ 2}} відношенню до голоморфної функції, яка повинна дорівнювати Γ(s) за теоремою про тотожність [http://planetmath.org/encyclopedia/RigidityTheoremForAnalyticFunctions.html]. Беручи межу в рекурентному співвідношенні ''γ''(''s'',''x'') = (''s''&nbsp;−&nbsp;1)''γ''(''s''&nbsp;−&nbsp;1,''x'')&nbsp;−&nbsp;''x''<sup>''s''
−1</sup> ''e''<sup>−''x''</sup>, і відзначаючи, що lim ''x''<sup>''n''</sup> ''e''<sup>−''x''</sup> = 0 при ''x'' → ∞ і всіх n, бачимо, що γ(s,x)  також сходиться за межею проміжку до функції, яка відповідає рекурентному відношенню Γ-функції. З цього слідує

:<math>\Gamma(s) = \lim_{x \rightarrow \infty} \gamma(s, x)</math>

для всіх комплексних ''s'' недодатніх цілих чисел, x дійсне та γ основна.

======Порожня збіжність======
Нехай ''u'' з проміжку |arg ''z''| < ''δ'' < ''π''/2 з деякими фіксованими ''δ'' (''α'' = 0), ''γ'' є основною галуззю в цьому секторі, бачимо, що

:<math>\Gamma(s) - \gamma(s, u) = \Gamma(s) - \gamma(s, |u|) + \gamma(s, |u|) - \gamma(s, u).</math>

Як видно вище, перша різниця може бути довільно мала, якщо |''u''| є достатньо великим. Друга різниця дозволяє зробити наступну оцінку

:<math>|\gamma(s, |u|) - \gamma(s, u)| \le \int_u^{|u|} |z^{s-1} e^{-z}|\,{\rm d}z = \int_u^{|u|} |z|^{\Re s - 1}\,e^{-\Im s\,\arg z}\,e^{-\Re z} \,{\rm d}z</math>

де ми використали інтегральне зображення γ та формулу про |z<sup>s</sup>|. Якщо ми інтегруємо вздовж дуги з радіусом ''R'' = |''u''| навколо 0, що зв'язує ''u'' і |''u''|, тоді останній інтеграл дорівнює

:<math>\le R|\arg u|\,R^{\Re s - 1}\,e^{\Im s\,|\arg u|}\,e^{-R\cos\arg u} \le \delta\,R^{\Re s}\,e^{\Im s\,\delta}\,e^{-R\cos\delta} = M\,(R\,\cos\delta)^{\Re s}\,e^{-R\cos\delta}</math>

де ''M'' = ''δ''(cos ''δ'')<sup>−Re ''s''</sup> ''e''<sup>Im ''sδ''</sup> є постійною незалежною ''u'' або ''R''. Знову посилаючись на поведінку ''x''<sup>''n''</sup> ''e''<sup>−''x''</sup> для великого ''x'', ми бачимо, що останній вираз наближається до 0, оскільки ''R'' збільшується до ∞.
Отже,маємо:

:<math>\Gamma(s) = \lim_{|z| \rightarrow \infty} \gamma(s, z), \quad |\arg z| < \pi/2 - \epsilon</math>

якщо ''s'' не є невід'ємним цілим числом, 0 < ''ε'' < ''π''/2 є довільно малим, але фіксованим, а '' γ '' позначає основну гілку в цій області.

=====Загальне зображення=====
<math>\gamma(s, z)</math> is:

* [[Ціла функція]] в ''z'' для фіксованого додатного інтеграла s;
* [[Багатозначна функція|Багатозначна]] [[голоморфна функція]] в ''z'' для фіксованого не цілого ''s'', з [[Точка розгалуження|точкою розгалуження]] в ''z'' = 0;
* На кожній гілці  [[мероморфна функція]] в ''s'' для фіксованого ''z'' ≠ 0, з простими полюсами в недодатних цілих х.

====Верхня неповна гамма-функція====

Що стосується '''Верхньої неповної гамма-функції''', голоморфне розширення, по відношенню до ''z'' або ''s'', задається

: <math>\Gamma(s,z) = \Gamma(s) - \gamma(s, z)</math> [http://dlmf.nist.gov/8.2.E3]

в точках (''s'', ''z''), де права частина існує. Оскільки <math>\gamma</math> багатозначна, те саме для <math>\Gamma</math>,  але обмеження до основних значень дає лише однозначну основну гілку <math>\Gamma</math>.

Коли ''s'' є не додатнім цілим числом у вищезгаданому рівнянні, то ні одна частина різниці не визначена, а [[Границя функції в точці | обмеження процесу]], розвинене для ''s'' → 0, заповнює відсутні значення. [[Комплексний аналіз]] гарантує [[голоморфна функція | голоморфність]], оскільки <math>\Gamma(s,z)</math> виявляється  [[Обмеженість функцією|обмежена]] в  сусіди цього обмеження для фіксованого ''z''[http://planetmath.org/encyclopedia/RiemannsRemovableSingularityTheorem.html].

Щоб визначити межу, потужний ряд <math>\gamma^*</math> при ''z'' = 0 виявляється корисним. Замінивши <math>e^{-x}</math> своїм послідовним рядком у інтегральному визначенні <math>\gamma</math>, одержуємо (припускаємо ''x'',''s'' додатні дійсні числа в даний момент):

:<math>\gamma(s, x) = \int_0^x t^{s-1} e^{-t} \operatorname{d}t = \int_0^x \sum_{k=0}^\infty (-1)^k\,\frac{t^{s+k-1}}{k!}\operatorname{d}t = \sum_{k=0}^\infty (-1)^k\,\frac{x^{s+k}}{k!(s+k)} = x^s\,\sum_{k=0}^\infty \frac{(-x)^k}{k!(s+k)}</math>

або

:<math>\gamma^*(s,x) = \sum_{k=0}^\infty \frac{(-x)^k}{k!\,\Gamma(s)(s+k)}.</math> [http://dlmf.nist.gov/8.7.E1]

який як серійне представлення всієї функції <math>\gamma^*</math>, збігається для всього комплексу ''x'' (а весь комплекс ''s'' не є не додатнім цілим числом).

З його обмеженням до справжніх значень, серія дозволяє робити розширення:

:<math>\gamma(s, z) - \frac{1}{s} = -\frac{1}{s} + z^s\,\sum_{k=0}^\infty \frac{(-z)^k}{k!(s+k)} = \frac{z^s-1}{s} + z^s\,\sum_{k=1}^\infty \frac{(-z)^k}{k!(s+k)},\quad \Re(s) > -1, \,s \ne 0</math>

Де ''s''&nbsp;→&nbsp;0:
:<math>\frac{z^s-1}{s} \rightarrow \ln(z),\quad \Gamma(s) - \frac{1}{s} = \frac{1}{s} - \gamma + O(s) - \frac{1}{s} \rightarrow-\gamma</math>,
(<math>\gamma</math> [[Стала Ейлера—Маскероні]] ), отже,
:<math>\Gamma(0,z) = \lim_{s\rightarrow 0}\left(\Gamma(s) - \tfrac{1}{s} - (\gamma(s, z) - \tfrac{1}{s})\right) = -\gamma-\ln(z) - \sum_{k=1}^\infty \frac{(-z)^k}{k\,(k!)}</math>
є граничною функцією верхньої неповної гамма-функції як ''s''&nbsp;→&nbsp;0, також відомою як [[Інтегральна показникова функція|<math>E_1(z)</math>]].<ref>[http://dlmf.nist.gov/8.4.E4 DLMF, Incomplete Gamma functions, Special Values, 8.4.4]</ref>

За допомогою рекурентного співвідношення, з цього результату можна вивести значення <math>\Gamma(-n, z)</math> для натуральних чисел ''n''<ref>[http://dlmf.nist.gov/8.4.E15 DLMF, Incomplete Gamma functions, Special Values, 8.4.15]</ref>

:<math>\Gamma(-n, z) = \frac{1}{n!} \left(\frac{e^{-z}}{z^n} \sum_{k = 0}^{n - 1} (-1)^k (n - k - 1)! \, z^k + (-1)^n \Gamma(0, z)\right)</math>

тому верхня неповна гамма-функція виявляється існуючою і голоморфною, як для '' z '', так і для ''s'' для всіх '' s '' і ''z''&nbsp;≠&nbsp;0.

<math>\Gamma(s, z)</math> is:

* [[Ціла функція]] в ''z'' для фіксованого додатного інтеграла s;
* = <math>\Gamma(s)</math> для ''s'' з додатної дійсною частиною ''z'' = 0 (границя, коли <math>(s_i,z_i)  \rightarrow (s, 0)</math>), 
але це безперервне продовження, а не  [[Аналітичне продовження|аналітичне]] ('''не''' тримається для дійсного s <0!);
* Багатозначна [[голоморфна функція]] в ''z'' для фіксованого ''s'' (''s'' не нуль і не додатній інтеграл) з [[Точка розгалуження|точкою розгалуження]] в ''z'' = 0;
* На кожній гілці  [[ціла функція]] в ''s'' для фіксованого ''z'' ≠ 0.

===Спеціальні значення===

* <math>\Gamma(s) = (s-1)!</math> якщо {{math|''s''}} додатне [[Цілі числа|ціле]],
* <math>\Gamma(s,x) = (s-1)!\, e^{-x} \sum_{k=0}^{s-1} \frac{x^k}{k!}</math> якщо ''s'' додатне [[Цілі числа|ціле]],<ref>{{mathworld|urlname=IncompleteGammaFunction | title=Incomplete Gamma Function}} (equation 2)</ref>
* <math> \Gamma(s,0) = \Gamma(s), \Re(s) > 0</math>,
* <math>\Gamma(1,x) = e^{-x}</math>,
* <math>\gamma(1,x) = 1 - e^{-x}</math>,
* <math>\Gamma(0,x) = -\operatorname{Ei}(-x)</math> for <math>x>0</math>,
* <math>\Gamma(s,x) = x^s \operatorname{E}_{1-s}(x)</math>,
* <math>\Gamma\left(\tfrac{1}{2}, x\right) = \sqrt\pi \operatorname{erfc}\left(\sqrt x\right)</math>,
* <math>\gamma\left(\tfrac{1}{2}, x\right) = \sqrt\pi \operatorname{erf}\left(\sqrt x\right)</math>.

Тут, <math>\operatorname{Ei}</math> це [[інтегральна показникова функція]], <math>\operatorname{E}_n</math> це узагальнена інтегрально-показникова функція, <math>\operatorname{erf}</math> це [[функція помилок]], і <math>\operatorname{erfc}</math> це доповнююча функція помилок, <math>\operatorname{erfc}(x) = 1-\operatorname{erf}(x)</math>.

===Асимптотична поведінка===

* <math>\frac{\gamma(s,x)}{x^s} \rightarrow \frac{1}{s}</math> якщо <math>x \rightarrow 0</math>,
* <math>\frac{\Gamma(s,x)}{x^s} \rightarrow -\frac{1}{s}</math> якщо <math>x \rightarrow 0</math> and <math>\Re (s) < 0</math> (для дійсних {{math|''s''}}, помилка {{math|Γ(''s'', ''x'') ~ −''x''<sup>''s''</sup> / ''s''}} знаходиться на прядку {{math|''O''(''x''<sup>min{''s'' + 1, 0}</sup>)}} if {{math|''s'' ≠ −1}} та {{math|''O''(ln(''x''))}} якщо {{math|1=''s'' = −1}}),
* <math>\gamma(s,x) \rightarrow \Gamma(s)</math> коли <math>x \rightarrow \infty</math>,
* <math>\frac{\Gamma(s,x)}{x^{s-1} e^{-x}} \rightarrow 1</math> коли <math>x \rightarrow \infty</math>,
* <math>\Gamma(s,z) \sim z^{s-1} e^{-z} \sum_{k=0} \frac {\Gamma(s)} {\Gamma(s-k)} z^{-k}</math> як [[асимптотичний розклад]] при <math>|z| \to \infty</math> та <math>\left|\arg z\right| < \tfrac{3}{2} \pi</math>.<ref>[http://dlmf.nist.gov/8.11.i DLMF, Incomplete Gamma functions, 8.11(i)]</ref>

==Оціночні формули==

Нижню неповну гамма-функцію можна оцінити за допомогою розширення потужності рядка:[http://dlmf.nist.gov/8.8.E7]

:<math>\gamma(s, z) = \sum_{k=0}^\infty \frac{z^s e^{-z} z^k}{s(s+1)...(s+k)}</math>

Альтернативне розширення - це
:<math>\gamma(s,z)= \sum_{k=0}^\infty \frac{(-1)^k}{k!} \frac{z^{s+k}}{s+k}= \frac{z^s}{s} M(s, s+1,-z),</math>
де ''M'' це [[вироджена гіпергеометрична функція Куммера]].

===Зв'язок з виродженою гіпергеометричною функцією Куммера===

Коли дійсна частина ''z'' додатна,

:<math>
\gamma(s,z) = s^{-1} z^s e^{-z} M(1,s+1,z)
</math>

де

:<math>
M(1, s+1, z) = 1 + \frac{z}{(s+1)}+ \frac{z^2}{(s+1)(s+2)}+ \frac{z^3}{(s+1)(s+2)(s+3)}+ \cdots
</math>

має нескінченний радіус збіжності.

Знову ж таки, з виродженими гіпергеометричними функціями і використанням тотожності Куммера,,
:<math>
\begin{align}
\Gamma(s,z) &= e^{-z} U(1-s,1-s,z) = \frac{z^s e^{-z}}{\Gamma(1-s)} \int_0^\infty  \frac{e^{-u}}{u^s (z+u)}{\rm d}u =
\\
  &= e^{-z} z^s U(1,1+s,z) = e^{-z} \int_0^\infty e^{-u} (z+u)^{s-1}{\rm d} u = e^{-z} z^s \int_0^\infty e^{-z u} (1+u)^{s-1}{\rm d} u.
\end{align}
</math>

Для фактичного обчислення числових значень ланцюговий дріб Гауса забезпечує корисне розширення:

:<math>
\gamma(s, z) = \cfrac{z^s e^{-z}}{s - \cfrac{s z}{s+1 + \cfrac{z}{s+2 - \cfrac{(s+1)z}
{s+3 + \cfrac{2z}{s+4 - \cfrac{(s+2)z}{s+5 + \cfrac{3z}{s+6 - \ddots}}}}}}}.
</math>

Цей неперервний дріб збігається для всіх комплексних ''z'', тоді і тільки тоді, коли ''s'' є додатнім цілим числом.

Верхня неповна гамма-функція має неперервний дріб
:<math>
\Gamma(s, z) = \cfrac{z^s e^{-z}}{z+\cfrac{1-s}{1 + \cfrac{1}{z + \cfrac{2-s}
{1 + \cfrac{2}{z+ \cfrac{3-s}{1+ \ddots}}}}}}
</math><ref>Abramowitz and Stegun [http://www.math.sfu.ca/~cbm/aands/page_263.htm p.&nbsp;263, 6.5.31]</ref>
та
:<math>
\Gamma(s, z)= \cfrac{z^s e^{-z}}{1+z-s+ \cfrac{s-1}{3+z-s+ \cfrac{2(s-2)}{5+z-s+ \cfrac{3(s-3)} {7+z-s+ \cfrac{4(s-4)}{9+z-s+ \ddots}}}}}
</math>{{Citation needed|date=February 2013}}

===Теорема множення===
Існує наступна теорема множення:
:<math>
\begin{align}
\Gamma(s,z) &= \frac 1 {t^s} \sum_{i=0}^{\infty} \frac{\left(1-\frac 1 t \right)^i}{i!} \Gamma(s+i,t z)
\\
  &= \Gamma(s,t z) -(t z)^s e^{-t z} \sum_{i=1}^{\infty} \frac{\left(\frac 1 t-1 \right)^i}{i} L_{i-1}^{(s-i)}(t z).
\end{align}
</math>

== Регуляризовані гамма-функції та випадкові величини Пуассона ==

Дві пов'язані функції — це регуляризовані гамма-функції:

:<math>P(s,x)=\frac{\gamma(s,x)}{\Gamma(s)},</math>

:<math>Q(s,x)=\frac{\Gamma(s,x)}{\Gamma(s)}=1-P(s,x).</math>

<math>P(s,x)</math> — це [[функція розподілу ймовірностей|функції розподілу ймовірностей]] для випадкових змінних гамма-функції з параметром форми <math>s</math> та [[Коефіцієнт масштабу|коефіцієнтом масштабу]] 1.

Коли <math>s</math> ціле, <math>Q(s,\lambda)</math> є сукупною функцією розподілу для [[Розподіл Пуассона|змінних Пуассона]]: Якщо <math>X</math> є <math>{\rm Poi}(\lambda)</math> випадковою величиною, тоді

:<math> Pr(X<s) = \sum_{i<s} e^{-\lambda} \frac{\lambda^i}{i!} = \frac{\Gamma(s,\lambda)}{\Gamma(s)} = Q(s,\lambda).
</math>

Ця формула може бути отримана шляхом повторного інтегрування частинами.

== Похідні ==

Похідна верхньої неповної гамма-функції <math> \Gamma (s,x) </math> по відношенню до ''x'' добре відома. Вона задається від'ємним підсумком від його інтегрального визначення (від оцінюваного на нижній межі):
:<math> 
\frac{\partial \Gamma (s,x) }{\partial x} = - x^{s-1} e^{-x}
</math>
Похідна по відношенню до її першого аргументу <math>s</math> задана як<ref>[K.O. Geddes, M.L. Glasser, R.A. Moore and T.C. Scott, ''Evaluation of Classes of Definite Integrals Involving Elementary Functions via Differentiation of Special Functions'', AAECC (Applicable Algebra in Engineering, Communication and Computing), vol. 1, (1990), pp.&nbsp;149–165, [http://www.springerlink.com/content/t7571u653t83037j/]{{Недоступне посилання}}</ref>
:<math>
\frac{\partial \Gamma (s,x) }{\partial s} = \ln x \Gamma (s,x) + x\,T(3,s,x)
</math>
і друга похідна як
:<math>
\frac{\partial^2 \Gamma (s,x) }{\partial s^2} = \ln^2 x \Gamma (s,x) + 2 x[\ln x\,T(3,s,x) + T(4,s,x) ]
</math>
де функція <math>T(m,s,x)</math> є особливим випадком [[G-функція Мейєра|G-функції Мейєра]]
:<math>
T(m,s,x) = G_{m-1,\,m}^{\,m,\,0} \!\left( \left. \begin{matrix} 0, 0, \dots, 0 \\ s-1, -1, \dots, -1 \end{matrix} \; \right| \, x \right).
</math>
Цей конкретний окремий випадок має власні властивості внутрішнього ''закриття'', тому він може використовуватися для виразу ''всіх'' послідовних похідних. В загальному,
:<math>
\frac{\partial^m \Gamma (s,x) }{\partial s^m} = \ln^m x \Gamma (s,x) + m x\,\sum_{n=0}^{m-1} P_n^{m-1} \ln^{m-n-1} x\,T(3+n,s,x)
</math>
де <math> P_j^n </math> це [[перестановка]], визначена [[Символ Похгаммера|символом Похгамера]]:
:<math>
P_j^n = \left( \begin{array}{l} n \\ j \end{array} \right) j! = \frac{n!}{(n-j)!}.
</math>
Усі такі похідні можуть бути сформовані послідовно з:
:<math>
\frac{\partial T (m,s,x) }{\partial s} = \ln x ~ T(m,s,x) + (m-1) T(m+1,s,x)
</math>
та
:<math>
\frac{\partial T (m,s,x) }{\partial x} = -\frac{1}{x} [T(m-1,s,x) + T(m,s,x)]
</math>
Ця функція <math>T(m,s,x)</math> може бути обчислена з представлення її серії, дійсної для <math> |z| < 1 </math>, 
:<math>
T(m,s,z) = - \frac{(-1)^{m-1} }{(m-2)! } \frac{{\rm d}^{m-2} }{{\rm d}t^{m-2} } \left[\Gamma (s-t) z^{t-1}\right]\Big|_{t=0} + \sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-1)^n z^{s-1+n}}{n! (-s-n)^{m-1} }
</math>
з умовою, що ''s'' - це не від'ємне ціле число чи нуль. У такому випадку треба використовувати обмеження. Результати для <math> |z| \ge 1 </math> можна отримати за допомогою [[Аналітичне продовження|аналітичного продовження]]. Деякі особливі випадки цієї функції можуть бути спрощені. Наприклад, <math>T(2,s,x)=\Gamma(s,x)/x</math>, <math>x\,T(3,1,x) = {\rm E}_1(x)</math>, де <math>{\rm E}_1(x)</math> це [[Інтегральна показникова функція]]. Ці похідні та функція <math>T(m,s,x)</math> дають точні розв'язання для ряду інтегралів шляхом повторного диференціювання інтегрального визначення верхньої неповної гамма-функції.
До прикладу,
:<math> 
\int_{x}^{\infty} \frac{t^{s-1} \ln^m t}{e^t} {\rm d}t= \frac{\partial^m}{\partial s^m} \int_{x}^{\infty} \frac{t^{s-1}}{e^t} {\rm d}t= \frac{\partial^m}{\partial s^m} \Gamma (s,x)
</math>
Ця формула може бути далі ''наповнена'' або узагальнена на величезний клас [[перетворення Лапласа ]] та перетворення Мелліна. У поєднанні з [[Система комп'ютерної алгебри|системою комп'ютерної алгебри]] експлуатація спеціальних функцій забезпечує потужний метод вирішення певних інтегралів, зокрема тих, що зустрічаються у практичних інженерних застосуваннях.

==Невизначені і визначені інтеграли==
Наступні невизначені інтеграли легко отримати при використанні [[інтегрування частинами]]:

:<math>
\int x^{b-1} \gamma(s,x) \mathrm d x = \frac{1}{b} \left( x^b \gamma(s,x) + \Gamma(s+b,x) \right).
</math>

:<math>
\int x^{b-1} \Gamma(s,x) \mathrm d x = \frac{1}{b} \left( x^b \Gamma(s,x) - \Gamma(s+b,x) \right),
</math>

Нижня і верхня неповна гамма-функція поєднуються через [[перетворення Фур'є]]:

:<math>
\int_{-\infty}^\infty \frac {\gamma\left(\frac s 2, z^2 \pi \right)} {(z^2 \pi)^\frac s 2} e^{-2 \pi i k z} \mathrm d z = \frac {\Gamma\left(\frac {1-s} 2, k^2 \pi \right)} {(k^2 \pi)^\frac {1-s} 2}.
</math>

Це випливає, наприклад, з відповідною спеціалізацією від {{harv|Gradshteyn|Ryzhik|2015|loc=§7.642}}

== Примітки ==
<references/>

== Див. також ==
{{multicol}}
* [[Алгебраїчна функція]]
* [[Аналітична функція]]
* [[Апаратна функція]]
* [[Багатозначна функція]]
* [[Вектор-функція]]
* [[Випадкова функція]]
* [[Виробнича функція]]
* [[Гамма-функція]]
* [[Гармонічна функція]]
* [[Степенева функція]]
* [[Трансцендентна функція]]
{{multicol-break}}
* [[Дельта-функція]]
* [[Дробово-лінійна функція]]
* [[Експоненційна функція]]
* [[Лінійна функція]]
* [[Логарифмічна функція]]
* [[Математична функція]]
* [[Монотонна функція]]
* [[Непарна функція]]
* [[Неперервна функція]]
* [[Узагальнена функція]]
* [[Функція розподілу ймовірностей]]
{{multicol-break}}
* [[Обернена функція]]
* [[Однозначна функція]]
* [[Парна функція]]
* [[Періодична функція]]
* [[Пропозиційна функція]]
* [[Раціональна функція]]
* [[Розривна функція]]
* [[Складена функція]]
* [[Хвильова функція]]
* [[Ціла функція]]
* [[Голоморфна функція]]
* [[Многочлен Малера]]
{{multicol-end}}

== Джерела ==
* {{Cite web | title=people.math.sfu.ca Incomplete Gamma function | url= http://www.math.sfu.ca/~cbm/aands/page_260.htm}} §6.5.
* {{Cite journal| first1=Giampietro | last1=Allasia
|first2=Renata |last2=Besenghi
|title= Numerical calculation of incomplete gamma functions by the trapezoidal rule
|journal=Numer. Math.
|volume=50
|issue=4
|doi=10.1007/BF0139666
|year=1986
|pages=419–428
}}
* {{cite journal|first1=Paolo |last1=Amore
|title=Asymptotic and exact series representations for the incomplete Gamma function
|journal=Europhys. Lett.
|year=2005
|mr=2170316
|volume=71 | issue=1
|pages=1–7
 |doi=10.1209/epl/i2005-10066-6
}}
* G. Arfken and H. Weber. ''Mathematical Methods for Physicists''. Harcourt/Academic Press, 2000. ''(See Chapter 10.)''
* {{Cite journal | last1= DiDonato | first1= Armido R. | last2= Morris, Jr. | first2= Alfred H. | title= Computation of the incomplete gamma function ratios and their inverse | url= https://archive.org/details/sim_acm-transactions-on-mathematical-software_1986-12_12_4/page/377 | journal= ACM Transactions on Mathematical Software | volume= 12 | issue= 4 | pages= 377&ndash;393 |date=Dec 1986 | doi= 10.1145/22721.23109 | ref= harv}}
* {{cite journal|first1= Richard |last1=Barakat
|title=Evaluation of the Incomplete Gamma Function of Imaginary Argument by Chebyshev Polynomials
|url= https://archive.org/details/sim_mathematics-of-computation_1961-01_15_73/page/7 |journal=Math. Comp.
|year=1961
|mr=0128058
|volume=15 | issue=73 |pages=7–11 |doi=10.1090/s0025-5718-1961-0128058-1
}}
* {{cite journal|first1=Petr |last1=Carsky |first2=Martin |last2=Polasek
|title=Incomplete Gamma {{math|F_m(x)}} functions for real and complex arguments
|year=1998 |doi =10.1006/jcph.1998.5975 |volume=143
|issue=1 |pages=259–265 |journal=J. Comput. Phys. | mr=1624704
}}
* {{cite journal|first1= M. Aslam |last1=Chaudhry |first2=S. M. |last2=Zubair
|title=On the decomposition of generalized incomplete Gamma functions with applications to Fourier transforms
|journal=J. Comput. Appl. Math.
|year=1995 |volume=59 |issue=101 | pages=253–284 | mr=1346414 |doi=10.1016/0377-0427(94)00026-w
}}
* {{Cite journal | last1= DiDonato | first1= Armido R. | last2= Morris, Jr. | first2= Alfred H. | doi= 10.1145/29380.214348 | title= ALGORITHM 654: FORTRAN subroutines for computing the incomplete gamma function ratios and their inverse | url= https://archive.org/details/sim_acm-transactions-on-mathematical-software_1987-09_13_3/page/318 | journal= ACM Transactions on Mathematical Software | volume= 13 | issue= 3 | pages= 318&ndash;319 |date=Sep 1987 | ref= harv}} ''(See also [http://www.netlib.org/toms/654 www.netlib.org/toms/654]).''
* {{Cite journal|first1=H. | last1=Fr&uuml;chtl | first2=P. |last2=Otto
|title= A new algorithm for the evaluation of the incomplete Gamma Function on vector computers
|journal= ACM Trans. Math. Softw.
|year=1994 |volume=20 |issue=4|pages=436–446 |doi=10.1145/198429.198432
}}
* {{cite journal|first1=Walter |last1=Gautschi
|title=The incomplete gamma function since Tricomi
|year=1998 | journal=Atti Convegni Lincei | mr=1737497
|volume=147 | pages=203–237
}}
* {{cite journal|first1=Walter |last1=Gautschi
|title = A Note on the recursive calculation of Incomplete Gamma Functions
|journal=ACM Trans. Math. Softw.
|year=1999
|mr=1697463 |volume=25 |issue=1 | pages=101–107 |doi=10.1145/305658.305717
}}
* {{cite book |title=Table of Integrals, Series, and Products |last=|first=|date=2015 |year=|publisher=[Academic Press, Inc.] |edition=8 |location=|pages=908–911 |chapter=8.35. |language=English |isbn=978-0-12-384933-5 |lccn=2014010276 <!-- |url=http://books.google.com/books?id=NjnLAwAAQBAJ |access-date=2016-02-21-->|ref=harv|author-first1=Izrail Solomonovich |author-last1=Gradshteyn |author-first2=Iosif Moiseevich |author-last2=Ryzhik |author-first3=Yuri Veniaminovich |author-last3=Geronimus |author-first4=Michail Yulyevich |author-last4=Tseytlin author-first5=Alan |author-last5=Jeffrey |editor-first1=Daniel |editor-last1=Zwillinger |editor-first2=Victor Hugo |editor-last2=Moll }}
* {{cite journal|first1=William B. |last1=Jones | first2= W. J. |last2=Thron
|title=On the computation of incomplete gamma functions in the complex domain
|year=1985
|journal=J. Comp. Appl. Math | doi=10.1016/0377-0427(85)90034-2
|mr=0793971 | volume=12-13 | pages=401–417
}}
* {{Cite journal | last1= Mathar | first1= Richard J. | title= Numerical representation of the incomplete gamma function of complex-valued argument | journal= Numerical Algorithms | year= 2004 | volume= 36 | issue= 3 | pages= 247&ndash;264 | doi= 10.1023/B:NUMA.0000040063.91709.5 | mr= 2091195 | ref= harv }}
* {{cite journal| first1=Allen R. | last1=Miller | first2=Ira S. | last2=Moskowitz
|title=On certain Generalized incomplete Gamma functions
|year=1998 | journal=J. Comput. Appl. Math
|volume=91 | issue=2|pages=179–190 | doi=10.1016/s0377-0427(98)00031-4
}}
* {{cite journal|first1=R. B. | last1=Paris | 
title=A uniform asymptotic expansion for the incomplete gamma function
|journal= J. Comput. Appl. Math.
|year=2002 | doi=10.1016/S0377-0427(02)00553-8
|volume=148 | issue=2 | pages=323–339 | mr=1936142
}}
* {{Cite book | last1=Press | first1=WH | last2=Teukolsky | first2=SA | last3=Vetterling | first3=WT | last4=Flannery | first4=BP | year=2007 | title=[[Numerical Recipes: The Art of Scientific Computing]] | edition=3 | publisher=Cambridge University Press |  publication-place=New York | isbn=978-0-521-88068-8 | chapter=Section 6.2. Incomplete Gamma Function and Error Function | ref=harv }}
* {{cite journal|first1=Roy | last1=Takenaga | title=On the Evaluation of the Incomplete Gamma Function
|url=https://archive.org/details/sim_mathematics-of-computation_1966-10_20_96/page/606 |year=1966 | journal=Math. Comp. | volume=20 | issue=96
|pages=606–610|mr=0203911 |doi=10.1090/S0025-5718-1966-0203911-3 
}}
* {{cite journal|first1=Nico | last1=Temme
|title=Uniform Asymptotic Expansions of the Incomplete Gamma Functions and the Incomplete Beta Function
|url=https://archive.org/details/sim_mathematics-of-computation_1975-10_29_132/page/1109 |journal=Math. Comp.
|doi=10.1090/S0025-5718-1975-0387674-2 
|volume=29 | issue=132 | year=1975 | pages=1109–1114 |mr=0387674
}}
* {{cite journal|first1=Riho | last1=Terras
|title=The determination of incomplete Gamma Functions through analytic integration
|year=1979 | journal = J. Comp. Phys. | volume=31 | pages=146–151|mr=0531128 | doi=10.1016/0021-9991(79)90066-4
}}
* {{cite journal| first1=Francesco G. | last1=Tricomi
|title=Sulla funzione gamma incompleta
|year=1950|doi=10.1007/BF02428264 | journal=Ann. Mat. Pura Appl.
|volume=31|pages=263–279|mr=0047834
}}
* {{cite journal|first1=F. G. |last1=Tricomi
|title=Asymptotische Eigenschaften der unvollst. Gammafunktion|
year=1950|mr=0045253|journal=Math. Zeitsch. | pages=136–148
|volume=53|number=2|doi=10.1007/bf01162409
}}
* {{cite journal|first1=Joris | last1=van Deun | first2=Ronald | last2=Cools
|title=A stable recurrence for the incomplete gamma function with imaginary second argument
|journal=Numer. Math. |year=2006 | doi=10.1007/s00211-006-0026-1 | pages=445–456 | volume=104|mr=2249673
}}
* {{cite journal|first1=Serge | last1=Winitzki | title=Computing the incomplete gamma function to arbitrary precision
|year=2003 | journal=Lect. Not. Comp. Sci. | volume=2667 | pages=790–798 | mr=2110953 | doi=10.1007/3-540-44839-x_83}}
* {{MathWorld|title=Incomplete Gamma Function|id=IncompleteGammaFunction}}

{{Математична логіка}}
{{Математичні знаки}}
{{Розділи математики}}

[[Категорія:Спеціальні функції]]
[[Категорія:Функції та відображення]]
[[Категорія:Теорія множин]]
[[Категорія:Математична термінологія]]