Перегляд вихідного коду сторінки Неперервна справа функція з лівосторонніми границями

[[Файл:Discrete probability distribution illustration.png|right|thumb|[[Функція розподілу ймовірностей|Функції розподілу випадкової величини]] є прикладами càdlàg функцій]]
В [[математика|математиці]], '''càdlàg''' ({{lang-fr|continu à droite, limite à gauche}}, або англійською '''RCLL''' або {{lang-en|“right continuous with left limits”}}) функція або '''''Неперервна справа функція з лівосторонніми границями''''' (НСФзЛГ)&nbsp;— це функція визначена на [[дійсні числа|дійсній осі]] (або її підмножині), всюди неперервна справа і має лівосторонні границі в кожній точці. Càdlàg функції є дуже важливими у вивченні [[випадковий процес|стохастичних процесів]] з стрибками, на відміну від [[Вінерівський процес|Вінерівського процесу]] який має неперервні траєкторії. Клас неперервних справа функцій з лівосторонніми границями (càdlàg функції) утворюють '''простір Скорохода'''.
==Означення==

Нехай {{nowrap|(''M'', ''d'')}} — [[метричний простір]], і {{nowrap|''E'' ⊆ '''R'''}}. Функція {{nowrap|''ƒ'':&thinsp;''E'' → ''M''}} називається '''неперервною справа функцією з лівосторонніми границями''' (або '''càdlàg функцією''') якщо, для всіх {{nowrap|''t'' ∈ ''E''}},
* [[Границя функції в точці|лівостороння границя]] {{nowrap|''ƒ''(''t−'') :{{=}} lim<sub>''s↑t''</sub>&thinsp;''ƒ''(''s'')}} існує; і
* [[Границя функції в точці|правостороння границя]] {{nowrap|''ƒ''(''t+'') :{{=}} lim<sub>''s↓t''</sub>&thinsp;''ƒ''(''s'')}} існує і дорівнює ''ƒ''(''t'').
Тобто, ''ƒ'' — неперервна справа з лівосторонніми границями<ref>{{cite book | author=Підкуйко, Сергій  | title=Математичний аналіз — Т.1. Множини. Дійсні числа. Границя послідовності. Границя функції. Неперервність функції. Диференціальне числення функцій однієї змінної| publisher=Галицька видавнича спілка | location=Львів | year=2004 | isbn=966-7893-26-Х|pages = 530}}</ref>.

=== Приклади ===

* Всі неперервні функції є càdlàg функціями.
* [[Функція розподілу ймовірностей|Функції розподілу ймовірностей]] є càdlàg функціями за означенням.
* Права похідна <math>f^\prime_+</math> будь-якої [[опукла функція|опуклої функції]] '' f'', що визначена на відкритому інтервалі, є зростаючою '''càdlàg''' функцією{{fact}}.

==Простір Скорохода==

[[Множина]] усіх càdlàg функцій {{nowrap|''ƒ'':&thinsp;''E'' → ''M''}}  часто позначається як {{nowrap|''D''(''E''; ''M'')}} (або просто ''D'') і називається '''Простір Скорохода''' на честь [[Інститут математики НАН України|українського математика]] [[Скороход Анатолій Володимирович|Анатолія Скорохода]]. Простору Скорохода може бути поставлена у відповідність [[топологія]], яка дозволяє нам інтуітивно "трохи збурювати простір і час" (тоді як традиційна топологія з [[Рівномірна збіжність|рівномірною збіжністю]] дозволяє лише "трохи збурювати простір"). Для спрощення візьмемо {{nowrap|''E'' {{=}} [0, ''T'']}} та {{nowrap|''M'' {{=}} '''R'''<sup>''n''</sup>}} — дивись у Billingsley більш загальну конструкцію.

З початку треба визначити аналог [[неперервність|модуля неперервності]], {{nowrap|''ϖ′<sub>ƒ</sub>''(''δ'')}}. Для будь-якого {{nowrap|''F'' ⊆ ''E''}} визначимо
: <math>
    w_{f} (F) := \sup_{s, t \in F} | f(s) - f(t) |
  </math>
і для {{nowrap|''δ'' > 0}} визначимо '''càdlàg modulus''' як
: <math>
    \varpi'_{f} (\delta) := \inf_{\Pi} \max_{1 \leq i \leq k} w_{f} ([t_{i - 1}, t_{i})),
  </math>
де [[infimum]] береться по всім розподілам {{nowrap|Π {{=}} {0 {{=}} ''t''<sub>0</sub> < ''t''<sub>1</sub> < … < ''t<sub>k</sub> {{=}} T''}}}, {{nowrap|''k'' ∈ '''N'''}} з {{nowrap|min<sub>''i''</sub> (''t<sub>i</sub> − t''<sub>''i''−1</sub>) > ''δ''}}. Таке визначення дає сенс для non-càdlàg ''ƒ'' (тоді як звичайний модуль неперевності дає сенс для розривних функцій) і можна показати, що ''ƒ'' є càdlàg [[тоді і тільки тоді]] {{nowrap|''ϖ′<sub>ƒ</sub>''(''δ'') → 0}} коли {{nowrap|''δ'' → 0}}.

Позначимо Λ множину усіх [[Монотонна функція|строго зростаючих]], неперервних [[бієкція|бієкцій]] з ''E'' в себе (це є "збурення часу"). Нехай
: <math>
    \| f \| := \sup_{t \in E} | f(t) |
  </math>
позначає однорідну норму функцій на ''E''. Визначимо '''метрику Скорохода''' ''σ'' на ''D'' так
: <math>
    \sigma (f, g) := \inf_{\lambda \in \Lambda} \max \{ \| \lambda - I \|, \| f - g \circ \lambda \| \},
  </math>
де {{nowrap|''I'': ''E'' → ''E''}} є [[Характеристична функція|індикаторною функцією]]. В термінах інтуітивного "збурення" {{nowrap|{{!!}}''λ − I''{{!!}}}} вимірює розмір "збурення в часі", а {{nowrap|{{!!}}''ƒ − g○λ''{{!!}}}} вимірює розмір "збурення в просторі".

Можна показати, що [[метрика (математика)|метрика]] Скорохода є дійсно метрикою. Топологія Σ, що генерується ''σ'' називається '''топологією Скорохода''' на ''D''.

==Властивості простору Скорохода==

===Узагальнення однорідної торології===

Простір ''C'' неперевних функцій на ''E'' є [[Індукована топологія|підпростором]] ''D''. Топологія Скорохода, яка зв'язується з простором ''C'', збігається з однорідною топологією на ньому.

===Повнота===

Можна показати, що хоча ''D'' не є [[повний простір|повним простором]] по точки зору метрики Скорохода ''σ'', існує [[метрика (математика)|топологічно еквівалентна метрика]] ''σ''<sub>0</sub> з якою ''D'' є повним.<ref>Convergence of probability measures - Billingsley 1999, p. 125</ref>

===Сепарабельність===
Якщо ''σ'' або ''σ''<sub>0</sub>, то ''D'' є [[Сепарабельний простір|сепарабельним простором]]. Тоді простір Скорохода є [[Польський простір|польським простором]].

===Щільність простору Скорохода===
Застосовуючи [[Теорема Асколі — Арцела|теорему Арцела-Асколі]], можна показати, що послідовність (''μ<sub>n</sub>'')<sub>''n''=1,2,…</sub> [[Ймовірнісний простір|ймовірнісних мір]] на просторі Скорохода ''D'' є [[tightness of measures|щільною]] тоді і лише тоді, коли виконуються наступні дві умови:
: <math>
    \lim_{a \to \infty} \limsup_{n \to \infty} \mu_{n}\big( \{ f \in D \;|\; \| f \| \geq a \} \big) = 0,
  </math>
та
: <math>
    \lim_{\delta \to 0} \limsup_{n \to \infty} \mu_{n}\big( \{ f \in D \;|\; \varpi'_{f} (\delta) \geq \varepsilon \} \big) = 0\text{ для всіх }\varepsilon > 0.
  </math>

===Алгебраїчна та топологічна структура===
При топології Скорохода та поточковому складанні функцій ''D'' не є [[Топологічна група|топологічною групою]]. Це видно з наступного прикладу:

Нехай <math> E=[0,2) </math> одиничний интервал, а <math>f_n = \chi_{[1-1/n,2)} \in D</math> послідовність характеристичних функцій.
Не дивлячись на те, що <math> f_n \rightarrow \chi_{[1,2)} </math> в топології Скорохода, послідовність <math> f_n - \chi_{[1,2)} </math> не збігається до 0.

== Див. також ==
*[[Неперервна функція]]
*[[Границя функції]]

== Джерела ==
{{reflist}}
* {{cite book | author=Billingsley, Patrick | title=Probability and Measure | url=https://archive.org/details/probabilitymeasu0000bill | publisher=John Wiley & Sons, Inc. | location=New York, NY | year=1995 | isbn=0-471-00710-2}}

{{-}}{{Math-stub}}
[[Категорія:Теорія випадкових процесів]]
[[Категорія:Математичний аналіз]]
[[Категорія:Типи функцій]]