Перегляд вихідного коду сторінки Невласний інтеграл

{{Числення|expanded=Інтегральне}}
'''Невла́сний інтегра́л''', '''невласти́вий інтегра́л''' — розширення поняття [[інтеграл Рімана|інтеграла Рімана]]. В інтегралі Рімана розглядають 
* скінченний [[Інтервал (математика)|проміжок]] інтегрування [''a'', ''b''];
* підінтегральна [[Функція (математика)|функція]] ''f''(''x'')&nbsp;— [[обмежена функція|обмежена]] (необхідна умова інтегровності функції за [[Ріман]]ом).

''Невласний інтеграл I (першого) роду'' розглядається на нескінченному проміжку інтегрування (і обчислюється як [[границя (математика)|границя]] [[послідовність (математика)|послідовності]] інтегралів Рімана по скінченних проміжках, які «розширюються»), а ''невласний інтеграл II (другого) роду''&nbsp;— це інтеграл з необмеженою підінтегровною функцією (обчислюється як границя послідовності інтегралів Рімана по [[Інтервал (математика)|інтервалах]],
які наближаються до [[особлива точка|особливої точки]] підінтегральної функції, де ця функція прямує до [[Нескінченність|нескінченності]]).

Подальшим узагальненням інтеграла Рімана є поняття [[головне значення інтеграла за Коші|головного значення інтеграла за Коші]].

== Невласний інтеграл першого роду («нескінченний інтервал») ==

=== Означення ===
[[Файл:Improperintegral2.png|thumb|250px|Невласний інтеграл першого роду є площею нескінченно широкої криволінійної трапеції]]

Нехай ''a'' &isin; ''R''. Невласний інтеграл першого роду визначається на одному з таких нескінченних інтервалів:
# (''a'', +∞);
# (−∞, ''a'');
# (-∞, +∞).

==== Означення для інтервалу (''a'', +∞) ====
'''Означення.''' Нехай функція ''f'' : (''a'', +∞) → ''R'' така, що &forall; ''A'' > ''a'' : ''f'' &isin; ''R''([''a'', ''A'']), тобто є скінченним інтеграл Рімана
: <math>  \int_{a}^{A} f(x)\, dx =: F(A). </math>

Якщо існує скінченна [[границя]] [[послідовність (математика)|послідовності]] інтегралів ''F''(''A''), коли ''A'' → +∞, то
* значення цієї границі називають ''невласним інтегралом першого роду'' для функції ''f'' по інтервалу (''a'',&nbsp;+∞) і позначають символом <math>\int_{a}^{+\infty} f(x)\, dx;</math>

* невласний інтеграл <math> \int_a^{+\infty} f(x)\, dx</math> називають ''збіжним''.

Якщо ж виконуються умови означення, але границя ''F''(''A'') не існує або рівна ±∞, то кажуть, що невласний інтеграл першого роду для функції ''f'' ''розбігається'' (або є ''розбіжним'').

Аналогічно можна дати означення невласного інтеграла першого роду для інтервалу (−∞,&nbsp;''a'').

'''Приклад.''' Розглянемо інтеграл
: <math> \int_{-1}^{+\infty} \frac{1}{x} \, dx. </math>
Для довільного ''A'' > 0 функція ''f''(''x'') = 1/''x''&nbsp;∉&nbsp;''R''([-1, ''A'']) (бо є необмеженою в околі точки 0). Отже, даний інтеграл не є невласним інтегралом першого роду.

'''Приклад.''' Розглянемо інтеграл
: <math> \int_0^{+\infty} \frac{1}{1+x^2} \, dx. </math>
Для всіх ''A'' > 0 функція ''f''(''x'') = 1/(1+''x''²)&nbsp;&isin;&nbsp;''R''([0, ''A'']) як обмежена функція. Отже, даний інтеграл є невласним інтегралом першого роду. Дослідимо його збіжність:
: <math> F(A) := \int_0^A \frac{1}{1+x^2}\, dx = \mathop{\mathrm{arctg}}\, x \Bigr|_{x=0}^A =  
\mathop{\mathrm{arctg}}\, A \rightarrow \pi/2, \quad A \to +\infty.</math>
Отже, даний невласний інтеграл є збіжним, і його значення дорівнює π/2.

'''Приклад.''' Розглянемо інтеграл
: <math> \int_1^{+\infty} \frac{1}{x} \, dx. </math>
Для всіх ''A'' > 1 функція ''f''(''x'') = 1/''x''&nbsp;&isin;&nbsp;''R''([1, ''A'']) як обмежена функція. Отже, даний інтеграл є невласним інтегралом першого роду. Дослідимо його збіжність:
: <math> F(A) := \int_1^A \frac{1}{x}\, dx = \ln x \Bigr|_{x=1}^A =  
\ln A \rightarrow +\infty, \quad A \to +\infty.</math>
Отже, даний невласний інтеграл є розбіжним.

'''Приклад.''' Розглянемо інтеграл
: <math> \int_0^{+\infty} \cos x \, dx. </math>
Для всіх ''A'' > 0 функція ''f''(''x'') = cos&nbsp;''x''&nbsp;&isin;&nbsp;''R''([0, ''A'']) як обмежена функція. Отже, даний інтеграл є невласним інтегралом першого роду. Дослідимо його збіжність:
: <math> F(A) := \int_1^A \cos x\, dx = \sin x \Bigr|_{x=0}^A =  
\sin A.</math>
Оскільки не існує границі sin ''A'' при ''A'' → +∞,<ref>Розглянемо дві послідовності ''A''<sub>''k''</sub> = 2π''k'' та ''A''´<sub>''k''</sub> = π/2 + 2π''k'', ''k'' ≥ 1,. Маємо sin ''A''<sub>''k''</sub> → 0, a sin ''A''´<sub>''k''</sub> → 1 при ''k'' → +∞.</ref> то даний невласний інтеграл є розбіжним.

==== Означення для інтервалу (−∞, +∞) ====
'''Означення.''' Нехай функція ''f'' : (−∞, +∞) → ''R'' така, що &forall; ''A'', ''B'' &isin; ''R'', ''A''&nbsp;<&nbsp;''B'' : ''f'' &isin; ''R''([''A'', ''B'']), тобто є скінченним інтеграл Рімана
: <math>  \int_{A}^{B} f(x)\, dx =: F(A, B); </math>
Якщо існує скінченна подвійна [[границя]] [[послідовність (математика)|послідовності]] інтегралів ''F''(''A, B''), коли ''A'' → −∞ та ''B'' → +∞ незалежно одне від одного, то
* значення цієї границі називають ''невласним інтегралом першого роду'' для функції ''f'' по інтервалу (−∞,&nbsp;+∞) і позначають одним із символів
:: <math>\int_{-\infty}^{+\infty} f(x)\, dx, \qquad \int_{\mathbb{R}} f(x) \, dx</math>

* невласний інтеграл <math>\int_{-\infty}^{+\infty} f(x)\, dx</math> називають ''збіжним''.

Якщо ж виконується умова означення, але границя ''F''(''A'', ''B'') не існує або рівна ±∞, то кажуть, що невласний інтеграл першого роду для функції ''f'' ''розбігається'' (або є ''розбіжним'').

==== Властивості ====
* <math>\int_{-\infty}^{+\infty}f(x)\, dx</math> збігається ⇔ ∀''a'' &isin; ''R'' інтеграли <math>\int_{-\infty}^{a}f(x)\, dx,</math> <math>\int_{a}^{+\infty}f(x)\, dx</math> є збіжними;

* <math>\int_{-\infty}^{+\infty}f(x)\, dx</math> розбігається ⇔ ∃''a'' &isin; ''R'' таке, що хоча б один із інтегралів <math>\int_{-\infty}^{a}f(x)\, dx,</math> <math>\int_{a}^{+\infty}f(x)\, dx</math>
є розбіжним.

=== Критерій Коші збіжності невласного інтеграла першого роду ===

Нехай функція ''f''(''x'') задовольняє умові [[Невласний інтеграл#Означення|означення для інтервалу (''a'', +∞)]].
<!-- чомусь не працює
[[Невласний інтеграл# Означення для інтервалу (''a'', +∞) |означення для інтервалу (''a'', +∞)]].
-->

Невласний інтеграл <math> \int \limits_{a}^{\infty}f(x)dx </math>
збігається [[Тоді й лише тоді|тоді і лише тоді]], коли
: <math> \forall \varepsilon > 0  \quad \exists A_0 \ge a \quad \forall A' \ge A_0 \quad \forall A''\ge A_0:\quad \left | \int_{A'} ^{A''} f(x)\, dx \right | < \varepsilon. </math>

Аналогічно можна сформулювати критерій Коші збіжності невласного інтеграла першого роду по інтервалу (−∞, ''a'').

=== Ознаки порівняння збіжності невласних інтегралів першого роду ===

Нехай функція ''f''(''x'') задовольняє умові [[Невласний інтеграл#Означення|означення для інтервалу (''a'', +∞)]].
<!-- чомусь не працює
[[Невласний інтеграл# Означення для інтервалу (''a'', +∞) |означення для інтервалу (''a'', +∞)]].
-->

* Якщо існує функція ''g''(''x'') така, що
*# |''f''(''x'')| ≤ ''g''(''x'') для всіх ''x'' ≥ ''a'' та
*# &int;<sub>a</sub><sup>+∞</sup>''g''(''x'') ''dx'' збігається,
то &int;<sub>a</sub><sup>+∞</sup>''f''(''x'') ''dx'' теж збігається.
* Якщо існує функція ''g''(''x'') така, що
*# 0 ≤ ''g''(''x'') ≤ |''f''(''x'')| для всіх ''x'' ≥ ''a'' та
*# &int;<sub>a</sub><sup>+∞</sup>''g''(''x'') ''dx'' розбігається,
то &int;<sub>a</sub><sup>+∞</sup>''f''(''x'') ''dx'' теж розбігається.

У випадку, коли ''f''(''x'')&nbsp;— невід'ємна, ознаки порівняння можна схематично записати у вигляді:

        ''f''(''x'') ≤ ''g''(''x'')
         зб. ⇐ зб.
       розб. ⇒ розб.

Аналогічні твердження мають місце для невласних інтегралів по інтервалам (−∞, ''a'') та (−∞, +∞).

=== Абсолютна збіжність ===
'''Означення.''' Невласний інтеграл <math> \int_{a}^{+ \infty} f(x)\, dx </math> називається ''абсолютно збіжним'', якщо збіжним є невласний інтеграл
: <math> \int_{a} ^ {+ \infty} | f(x) | \, dx. </math>

'''Означення.''' Збіжний невласний інтеграл, який не є [[Абсолютна збіжність|абсолютно збіжним]], називається ''умовно збіжним''.

'''Теорема.''' Якщо невласний інтеграл збігається абсолютно, то він збігається.

=== Ознаки збіжності ===

==== Ознака Діріхле ====
Нехай для функцій ''{f, g}'' ⊂ ''C''([''a'', +∞)) виконуються умови:
# існує стала ''C'' &isin; ''R'' така, що для всіх ''A'' ≥ ''a'': <math> \left| \int_{a}^{A}f(x)dx   \right| \leq C;</math>
# функція ''g'' [[монотонна функція|монотонна]] на [''a'', +∞);
# ''g''(''x'') → 0 при ''x'' → +∞.
Тоді збіжним буде невласний інтеграл <math> \int_{a}^{+\infty} f(x)g(x)\, dx. </math>

'''Приклад.'''
Розглянемо [[інтеграл Діріхле]]
: <math>
\int_1^{+\infty} \frac{\sin x}{x} \, dx.
</math>
Цей інтеграл є збіжним за ознакою Діріхле: функції ''f''(''x'') = sin ''x'' та ''g''(''x'') = 1/''x'' є неперервними на [1, +∞) та задовольняють умовам 1—3 ознаки Діріхле.

==== Ознака Абеля ====
Нехай функції ''f'', ''g'' визначені на [''a'',&nbsp;+∞) та задовольняють умовам:
# збіжним є невласний інтеграл <math>\int_{a}^{+\infty}f(x)\, dx;</math>
# функція ''g'' [[монотонна функція|монотонна]] на [''a'',&nbsp;+∞);
# функція ''g''&nbsp;— обмежена на [''a'',&nbsp;+∞).
Тоді збіжним буде невласний інтеграл <math> \int_{a}^{+\infty} f(x)g(x)\, dx. </math>

== Невласний інтеграл другого роду («від необмеженої функції») ==
[[Файл:Improperintegral1.png|thumb|250px|Невласний інтеграл другого роду є площею нескінченно високої криволінійної трапеції]]
Невласний інтеграл другого роду є узагальненням інтеграла Рімана для випадку необмеженої функції.

Нехай функція ''f''(''x'') визначена та неперервна на інтервалі [''a'',&nbsp;''b'').

'''Означення.''' Точка ''b'' називається ''особливою точкою'' функції ''f''(''x''), якщо
* для всіх α&nbsp;∈&nbsp;(0,&nbsp;''b''&nbsp;−&nbsp;''a'') функція ''f'' є обмеженою на інтервалі [''a'',&nbsp;''b''&nbsp;−&nbsp;α);
* функція ''f''&nbsp;— необмежена на інтервалі [''a'',&nbsp;''b'').

Розглянемо функцію
: <math>F(\alpha) := \int_{a}^{b-\alpha}f(x)\, dx, \quad \alpha \in (0,b-a).</math>

'''Означення.''' Нехай виконуються умови:
# функція ''f''(''x'') визначена та неперервна на інтервалі [''a'',&nbsp;''b'');
# точка ''b''&nbsp;— особлива точка функції ''f''(''x'');
# існує скінченна границя ''F''(α) при α → 0.
Тоді
* значення цієї границі називають ''невласним інтегралом другого роду'' і позначають символом <math>\int_{a}^{b}f(x)\, dx;</math>

* кажуть, що цей невласний інтеграл ''збігається'' (або є ''збіжним'').

Якщо виконуються умови 1—2 означення, але границя ''F''(α) не існує або дорівнює ±∞, то такий невласний інтеграл ''розбігається'' (називається ''розбіжним'').

'''Зауваження.''' У випадку, коли функція ''f''(''x'') має скінченну кількість особливих точок на проміжку інтегрування, то інтеграл розбивають на суму інтегралів по інтервалам, в кожному з яких присутня лише одна особлива точка на одному з кінців інтегрування.

== Зв'язок між невласними інтегралами I та II родів ==
Нижче наведено відображення, які пов'язують інтервали скінченної на нескінченної довжин:

    ''x''           заміна змінної          ''t''
  I [''a'', +∞)  →  ''x'' = ''a''/(1−''t'')          →  [0, 1)
 II [''a'', ''b'')   →  ''x'' = ''b'' − (''b''−''a'')/(1−''t'')  →  [0, +∞)

У невласному інтегралі першого роду виконаємо заміну змінних згідно рядку I:
: <math> \int_a^{+\infty} f(x) \, dx  = 
\begin{vmatrix}
 x = \frac{a}{1-t} \\
dx = \frac{a}{(1-t)^2}\, dt
\end{vmatrix} =
\int_0^1 \frac{a}{(1-t)^2} f\left(\frac{a}{1-t}\right)\,  dt,
</math>
в результаті чого отримаємо інтеграл по скінченному проміжку [0,&nbsp;1] від необмеженої функції, тобто невласний інтеграл другого роду.

І навпаки, виконавши заміну в невласному інтегралі другого роду згідно рядку II
: <math> \int_a^b f(x) \, dx  = 
\begin{vmatrix}
 x = b - \frac{b-a}{1-t} \\
dx = - \frac{b-a}{(1-t)^2}\, dt
\end{vmatrix} =
- \int_0^{+\infty} \frac{b-a}{(1-t)^2} f\left(b - \frac{b-a}{1-t}\right)\,  dt,
</math>
отримаємо невласний інтеграл першого роду по нескінченному проміжку [0,&nbsp;+∞).

'''Зауваження.''' Зв'язок між невласними інтегралами I та II родів дозволяє звести питання про збіжність невласного інтеграла II роду до питання про збіжність невласного інтеграла I роду, а саме:
'''невласний інтеграл II роду збігається тоді і лише тоді, коли збігається відповідний невласний інтеграл I роду.'''

== Інтеграл від необмеженої функції по нескінченному проміжку ==
Розглянемо інтеграл
: <math> \int_a^{+\infty} f(x) \, dx,</math>
в якому підінтегральна функція ''f''(''x'') має скінченну кількість особливих точок ''p''<sub>1</sub> < ''p''<sub>2</sub> < … < p<sub>n</sub> всередині проміжку інтегрування. Щоб обчислити даний інтеграл, потрібно скористатися рівністю
: <math>\int_a^{+\infty} f(x) \, dx = \int_a^{p_n+1} f(x) \, dx + \int_{p_n+1}^{+\infty} f(x) \, dx.</math>
В правій частині цієї рівності перший інтеграл&nbsp;— це інтеграл по скінченному проміжку інтегрування зі скінченною кількістю полюсів (див. '''Зауваження''' в розділі [[Невласний інтеграл#Невласний інтеграл другого роду («від необмеженої функції»)|Невласний інтеграл другого роду («від необмеженої функції»)]]), а другий інтеграл&nbsp;— це невласний інтеграл першого роду (якщо ''f''(''x'') задовольняє умові [[Невласний інтеграл#Означення|означення для інтервалу (''a'', +∞)]]).
<!-- чомусь не працює
[[Невласний інтеграл# Означення для інтервалу (''a'', +∞) |означення для інтервалу (''a'', +∞)]]).
-->).

== Гамма-функція та бета-функція ==
{{Докладніше|Гамма-функція|Бета-функція}}

Виділяють особливий клас функцій, які представлені у вигляді власного або невласного інтеграла, який залежить не тільки від формальної змінної, а і від параметра. Такі функції називаються [[Залежний від параметра інтеграл|інтегралами, залежними від параметра]]. До їх числа відносяться [[гамма-функція]] та [[бета-функція]] Ейлера.

Гамма функція представляється невласним інтегралом першого роду:
: <math>\Gamma(a)=\int_{0}^{+\infty}x^{a-1} \exp(-x) \, dx, \quad a>0.</math>
 
Бета функція є невласним інтегралом другого роду:
: <math> B(a, \, b)=\int_{0}^{1}x^{a - 1}(1-x)^{b-1}\, dx, \quad a > 0, \, b > 0.</math>

== Див. також ==
{{Портал|Математика}}
* [[Невизначений інтеграл функції комплексної змінної]]
* [[Первісна]]
* [[Інтегральне числення]]
<!--
** [[Первісна та невизначений інтеграл]]
*** [[Первісна та невизначений інтеграл#Первісна]]
*** [[Первісна та невизначений інтеграл#Невизначений інтеграл]]
-->
** [[Визначений інтеграл]]
*** [[Інтеграл Рімана]]
*** [[Інтеграл Стілтьєса]]
*** [[Інтеграл Лебега]]
*** [[Інтеграл Даніелла]]
*** [[Інтеграл Бохнера]]
*** [[Головне значення інтеграла за Коші]]
* [[Метод Самокиша]]&nbsp;— чисельний метод для обчислення інтегралів з особливостями.

== Примітки ==
{{reflist}}

== Джерела ==
* {{Фіхтенгольц.укр}}
* {{Ляшко.Ємельянов.Боярчук.Математичний аналіз.ч1}}
* {{Дороговцев.Математичний аналіз.ч1}}* {{Дороговцев.Математичний аналіз.ч1}}
* {{Клепко_ВМ|частина=Невласні інтеграли|сторінки=453}}

{{Math-stub}}

[[Категорія:Математичний аналіз]]
[[Категорія:Інтегральне числення]]