Перегляд вихідного коду сторінки Невироджена матриця

'''Неви́роджена ма́триця''' (''неособли́ва'', ''несингуля́рна'', ''інверто́вана'') — [[квадратна матриця]], [[визначник]] якої не дорівнює нулю:
:<math>\ \det(A) \ne 0.</math>

==Властивості==
*Рядки і стовпці невиродженої матриці [[лінійно незалежні вектори|лінійно незалежні]].
*[[Ранг матриці]] дорівнює розмірності матриці.
*У невиродженої матриці є [[обернена матриця]]. Це еквівалентно тому, що [[лінійний оператор]], який задається матрицею '''А''' є [[бієкція|бієкцією]] [[Векторний простір|векторного простору]].
* Якщо матриця <math>\ A</math> — невироджена, то [[СЛАР|система рівнянь]] <math>\ A x = 0</math> має тільки нульовий розв'язок.
* Матриця є невиродженою [[тоді і тільки тоді]] якщо всі її [[власні значення матриці|власні значення]] є ненульовими.

==Приклад==
* [[Одинична матриця]] є невиродженою.
* [[Матриця повороту]] є невиродженою.

==Методи обернення матриці==
<!-- Допоможіть у перекладі підрозділів з en:Invertible_Matrix -->
===Метод Гауса===
{{see also|Метод Гауса#Знаходження оберненої матриці}}

===Метод Ньютона===

===Метод Гамільтона — Келі===
===Власний розклад матриці===
===Розклад Холецького===
===Аналітичний розв'язок===
===Обернення блоками===
<!--Сюди посилається сторінка перенаправлення [[Лема обернення матриці]]-->
Також матриці можна обернути блоками через використання такої формули:
{| border="0" cellpadding="0" cellspacing="0" width="100%"
|-
| align="left" |
:<math>
\begin{bmatrix} \mathbf{A} & \mathbf{B} \\ \mathbf{C} & \mathbf{D} \end{bmatrix}^{-1} = \begin{bmatrix} \mathbf{A}^{-1}+\mathbf{A}^{-1}\mathbf{B}(\mathbf{D}-\mathbf{CA}^{-1}\mathbf{B})^{-1}\mathbf{CA}^{-1} & -\mathbf{A}^{-1}\mathbf{B}(\mathbf{D}-\mathbf{CA}^{-1}\mathbf{B})^{-1} \\ -(\mathbf{D}-\mathbf{CA}^{-1}\mathbf{B})^{-1}\mathbf{CA}^{-1} & (\mathbf{D}-\mathbf{CA}^{-1}\mathbf{B})^{-1} \end{bmatrix}
</math>
| align="right"|<math>(1)\,</math>
|}
де '''A''', '''B''', '''C''' і '''D''' це [[Блочна матриця|блоки матриці]] довільного розміру. ('''A''' і '''D''' повинні бути квадратними, щоб їх можна було обернути. Більше того, '''A''' і '''D'''&minus;'''CA'''<sup>&minus;1</sup>'''B''' повинна бути невиродженою.<ref>
{{cite book
 |last = Bernstein
 |first = Dennis
 |title = Matrix Mathematics
 |url = https://archive.org/details/matrixmathematic00unse
 |publisher = Princeton University Press
 |year = 2005
 |pages = [https://archive.org/details/matrixmathematic00unse/page/44 44]
 |isbn = 0-691-11802-7 }}
</ref>) Цей підхід особливо вигідний якщо '''A''' є діагональною і '''D'''&minus;'''CA'''<sup>&minus;1</sup>'''B''' ([[доповнення Щура]] щодо '''A''') це маленька матриця, оскільки лише ці дві матриці потребують обернення.

[[Теорема виродженості]] говорить про те, що виродженість '''A''' дорівнює виродженості підблока в нижньому правому куті оберненої матриці, і що виродженість '''B''' дорівнює виродженості підблока в горішньому правому куті оберненої матриці.

Процедура обернення, що призвела до рівняння (1) виконувала блокові матричні операції, які спочатку працювали на '''C''' і '''D''' . Натомість, якщо почати з '''A''' і '''B''', і за умови несингулярності '''D''' і '''A'''&minus;'''BD'''<sup>&minus;1</sup>'''C'''
,<ref>
{{cite book
 |last = Bernstein
 |first = Dennis
 |title = Matrix Mathematics
 |url = https://archive.org/details/matrixmathematic00unse
 |publisher = Princeton University Press
 |year = 2005
 |pages = [https://archive.org/details/matrixmathematic00unse/page/45 45]
 |isbn = 0-691-11802-7 }}
</ref> результатом є
{| border="0" cellpadding="0" cellspacing="0" width="100%"
|-
| align="left" |
:<math>
\begin{bmatrix} \mathbf{A} & \mathbf{B} \\ \mathbf{C} & \mathbf{D} \end{bmatrix}^{-1} = \begin{bmatrix} (\mathbf{A}-\mathbf{BD}^{-1}\mathbf{C})^{-1} & -(\mathbf{A}-\mathbf{BD}^{-1}\mathbf{C})^{-1}\mathbf{BD}^{-1} \\ -\mathbf{D}^{-1}\mathbf{C}(\mathbf{A}-\mathbf{BD}^{-1}\mathbf{C})^{-1} & \quad \mathbf{D}^{-1}+\mathbf{D}^{-1}\mathbf{C}(\mathbf{A}-\mathbf{BD}^{-1}\mathbf{C})^{-1}\mathbf{BD}^{-1}\end{bmatrix}.
</math>
| align="right"|<math>(2)\,</math>
|}
Прирівнявши (1) і (2) отримуємо
{| border="0" cellpadding="0" cellspacing="0" width="100%"
|-
| align="left" |
:<math>
(\mathbf{A}-\mathbf{BD}^{-1}\mathbf{C})^{-1} = \mathbf{A}^{-1}+\mathbf{A}^{-1}\mathbf{B}(\mathbf{D}-\mathbf{CA}^{-1}\mathbf{B})^{-1}\mathbf{CA}^{-1}\,
</math>
| align="right"|<math>(3)\,</math>
|}
:<math>
(\mathbf{A}-\mathbf{BD}^{-1}\mathbf{C})^{-1}\mathbf{BD}^{-1} = \mathbf{A}^{-1}\mathbf{B}(\mathbf{D}-\mathbf{CA}^{-1}\mathbf{B})^{-1}\,
</math>
:<math>
\mathbf{D}^{-1}\mathbf{C}(\mathbf{A}-\mathbf{BD}^{-1}\mathbf{C})^{-1} = (\mathbf{D}-\mathbf{CA}^{-1}\mathbf{B})^{-1}\mathbf{CA}^{-1}\,
</math>
:<math>
\mathbf{D}^{-1}+\mathbf{D}^{-1}\mathbf{C}(\mathbf{A}-\mathbf{BD}^{-1}\mathbf{C})^{-1}\mathbf{BD}^{-1} = (\mathbf{D}-\mathbf{CA}^{-1}\mathbf{B})^{-1}\,
</math>
де рівняння (3) є лемою обернення матриці.

Оскільки поблокове обернення <math>n\times n</math> матриці потребує обернення двох матриць половинного розміру і 6 множень між матрицями половинного розміру, можна показати, що алгоритм [[Розділяй та володарюй (інформатика)|розділяй та володарюй]], який використовує поблокове обернення для обернення матриці виконується з такою ж часовою складністю, що й алгоритм множення матриць.<ref>{{CLRS|chapter=28.2 Обернення матриць}}</ref>

===Через ряд Неймана===
{{Написати}}

== Див. також ==
*[[Теорія матриць]]
*[[Вироджена матриця]]
*[[Союзна матриця]]

== Примітки ==
{{примітки}}

==Джерела==
* {{Гантмахер.Теорія матриць}}

{{Лінійна алгебра}}
[[Категорія:Теорія матриць]]
[[Категорія:Типи матриць]]