Перегляд вихідного коду сторінки Наука про мережі

{{Наука про мережі}}
'''Наука про мережі'''&nbsp;— це наукова галузь, яка вивчає [[складні мережі]], такі як [[Телекомунікаційна мережа|комунікаційні]], [[Комп'ютерна мережа|комп'ютерні]], [[Біологічна мережа|біологічні]], когнітивні і [[Семантична мережа|семантичні мережі]], а також [[Соціальна мережа|соціальні мережі]], і розглядає різні елементи або учасників процесу, представлених ''вузлами'' (або ''[[Вершина (теорія графів)|вершинами]]''), і зв'язки між елементами або учасниками, представлені ''зв'язками'' (або ''[[Словник термінів теорії графів|ребрами]]''). Ця наукова галузь використовує теорії і методи [[Теорія графів|теорії графів]], [[Статистична механіка|статистичної механіки]], [[Добування даних|інтелектуального аналізу даних]] і [[Візуалізація інформації|візуалізації інформації]] з інформатики, [[Статистичне висновування|моделювання логічного висновку]] зі статистики і [[Соціальна структура|соціальної структури]] із соціології. {{Не перекладено|Національна науково-дослідницька рада США||en|United States National Research Council}}<!-- Проблема вікіфікації: Сторінка [[:en:United States National Research Council]] (→ [[:en:National Academies of Sciences, Engineering, and Medicine#Program units]]) перекладена як [[Національні академії наук, інженерії та медицини]], хоча хотіли [[Національна науково-дослідницька рада США]] (SashkoR0B0T)--> визначає науку про мережі як «вивчення мережевих подань фізичних, біологічних і соціальних явищ, що веде до прогностичних моделей цих явищ».<ref>{{Книга
|автор = National Research Council
|рік = 2005-12-07
|ISBN = 9780309100267
|заголовок = Network Science
|посилання = https://www.nap.edu/catalog/11516/network-science
}}</ref>

== Передумови та історія ==
Вивчення мереж зустрічається в різних дисциплінах і мережева модель використовується як засіб аналізу складних і пов'язаних даних. Найраніша стаття з цієї галузі&nbsp;— знаменита стаття про [[Сім мостів Кеніґсберґа|сім кенігсберзьких мостів]], яку написав [[Леонард Ейлер]] 1736 року. Запропонований Ейлером математичний опис вершин і ребер став основою [[Теорія графів|теорії графів]]&nbsp;— галузі математики, яка вивчає властивості попарних зв'язків у мережевій структурі. [[Теорія графів]] розвинулася і знайшла застосування в хімії<ref>{{Стаття|author=J. J. Sylvester|date=1878|doi=10.2307/2369436|issn=0002-9327|issue=1|pages=64–104|видання=American Journal of Mathematics|title=On an Application of the New Atomic Theory to the Graphical Representation of the Invariants and Covariants of Binary Quantics, with Three Appendices|url=https://www.jstor.org/stable/2369436|том=1}}</ref>.

[[Денеш Кеніг]], угорський професор математики, написав 1936 року першу книгу з теорії графів «Теорія скінченних і нескінченних графів»{{Sfn|Kőnig|1990}}.
[[Файл:Moreno_Sociogram_1st_Grade.png|міні|Соціограма Морено 1-го класу.]]
У 1930-х роках [[Якоб Леві Морено]], психолог, що працював у традиціях [[Гештальтпсихологія|гештальтпсихології]], прибув до США. Він розробив {{Нп|Соціограма|соціограму|en|Sociogram}} й представив її публіці в квітні 1933 року на з'їзді студентів-медиків. Морено стверджував, що «до винаходу соціометрії ніхто не знав, як ''точно'' виглядає міжособистісна структура групи»{{Sfn|Moreno|1953}}. Соціограма була поданням соціальної структури групи учнів початкової школи. Хлопці дружили з хлопцями, а дівчата&nbsp;— з іншими дівчатами, лише з одним винятком: один із хлопців сказав, що йому подобається одна дівчина, але почуття не було обопільним. Мережеве подання соціальної структури справило таке сильне враження, що про нього написали в газеті [[Нью-Йорк таймс|The New York Times]]<ref>{{Цитата:Новини|title=Emotions mapped by new geography|last=|url=https://diana-jones-public.s3.amazonaws.com/Emotions-Mapped-by-New-Geography.pdf|work=The New York Times|date=1933-04-03|page=17|format=PDF|language=en|accessdate=2021-01-21|archive-date=2019-08-12|archive-url=https://web.archive.org/web/20190812120024/https://diana-jones-public.s3.amazonaws.com/Emotions-Mapped-by-New-Geography.pdf}}</ref>. Соціограми знайшли безліч застосувань, на їх основі сформувались підходи до [[Аналіз соціальних мереж|аналізу соціальних мереж]].

Застосування теорії ймовірності в науці про мережі розвивалося як відгалуження [[Теорія графів|теорії графів]] у вигляді восьми знаменитих статей [[Пал Ердеш|Пала Ердеша]] і [[Альфред Реньї|Альфреда Реньї]] про [[Випадковий граф|випадкові графи]]. Для [[Соціальна мережа|соціальних мереж]] {{Не перекладено|експоненційна модель випадкового графу||en|exponential random graph model}} або p* є чудовою основою для подання простору ймовірнісних зв'язків, що з'являються в [[Соціальна мережа|соціальній мережі]]. Альтернативним підходом до ймовірнісних мережевих структур є {{Не перекладено|матриця ймовірностей мережі||en|network probability matrix}}, яка моделює ймовірність ребер, що виникають у мережі, ґрунтуючись на історичній присутності або відсутності ребра в мережах, що виникають.

У 1998 Девід Крекгард і Кетлін Карлі представили ідею метамережі з моделлю PCANS. Вони припустили, що «всі організації утворюють три домени: Люди, Завдання і Ресурси». В їхній статті введено концепцію, що мережі виникають у кількох доменах, а тому вони взаємозв'язані. Ця галузь виросла в іншу підгалузь науки про мережі, яка називається {{Не перекладено|Динамічний аналіз мережі|динамічним аналізом мережі|en|dynamic network analysis}}.

Пізніше наукові зусилля були сфокусовані на математичному описі різних мережевих топологій. [[Дункан Ваттс]] поєднав дані на мережах з математичним поданням, яке описує [[Світ тісний (граф)|граф «Світ тісний»]]. [[Альберт-Ласло Барабаші]] і {{Не перекладено|Река Альберт||en|Reka Albert}} розробили [[Безмасштабна мережа|масштабно-інваріантну мережу]], яка в загальних рисах визначає мережеву топологію, яка містить вузлові вершини (хаби) зі множиною з'єднань, кількість яких зростає, зберігаючи постійне відношення числа з'єднань до числа вузлів. Хоча багато мереж, такі як інтернет, зберігають це відношення, інші мережі мають довгі хвости розподілу вузлів, які лише наближено зберігають [[Інваріантність щодо масштабу|масштабну інваріантність]].

=== Ініціативи Міністерства оборони США ===
Військовики США першими (1996 року) зацікавилися [[Мережево-центрична війна|мережево-центричною війною]] як концепцією військових дій, заснованих на науці про мережі. Джон А. Парментола, керівник науково-дослідного центру і лабораторій армії США ({{lang-en|the U.S. Army Director for Research and Laboratory Management}}), проголосив на армійській раді з науки і техніки ({{lang-en|the Army’s Board on Science and Technology, BAST}}) 1 грудня 2003 року, що наука про мережі стає новою галуззю досліджень в армії. BAST, відділ інженерно-технічних та природничих наук ({{lang-en|the Division on Engineering and Physical Sciences}}) Національної ради з досліджень ({{lang-en|the National Research Council, NRC}}) державної академії наук, наділений повноваженнями організації обговорень наукових і технологічних актуальних питань для армії і здійснення нагляду за незалежними пов'язаними з армією вивченнями, які проводить академія наук. BAST вивчає, чи може допомогти визначення рамок та фінансування нової галузі науки про мережі, закрити розрив між потребами здійснення [[Мережево-центрична війна|інформаційних операцій]] та поточним примітивним станом фундаментальних знань про мережі.

Як результат BAST випустив 2005 року дослідницьку роботу NRC, з назвою «Наука про мережі», в якій визначено нову галузь основних досліджень у науці про мережі для армії. Ґрунтуючись на отриманих у цій роботі результатах та рекомендаціях і на подальшому звіті NRC 2007 року під назвою «Стратегія для армійських центрів науки про мережі, технології й експериментів», основні армійські дослідницькі ресурси перенаправлено на ініціалізацію нових головних дослідницьких програм у науці про мережі. Щоб побудувати нові теоретичні засади для складних мереж, підтримуються деякі нові ключові моменти дослідженнь науки про мережі, адресовані армійським лабораторіям:

* Математичні моделі поведінки мереж для прогнозування продуктивності за розміром, складністю мережі й оточенням.
* Оптимізована продуктивність людей, необхідна для мережевої війни.
* Організація мереж в екосистемах та в комірках на молекулярному рівні.

2004 року з подачі Фредеріка В. Мокслі і за підтримки Девіда С. Альбертса Міністерство оборони допомогло створити, спільно з [[Військова академія США|військовою академією]] ({{lang-en|the United States Military Academy, USMA}}) армії США, перший Центр науки про мережі ({{lang-en|Network Science Center}}). Під керівництвом Мокслі і співробітників USMA створено міждисциплінарні студентські курси науки про мережі для курсантів [[Військова академія США|Вест-Пойнт]]. Для кращого впровадження основних положень науки про мережі серед майбутніх лідерів USMA заснували також курс з п'яти дисциплін.

2006 року [[армія США]] і [[Велика Британія]] (UK) сформували {{Не перекладено|International Technology Alliance|Міжнародний технологічний альянс|en|International Technology Alliance}} ({{lang-en|International Technology Alliance}}) з мережевої та інформаційної науки ({{lang-en|the Network and Information Science}}), партнерство армійської дослідної лабораторії Міністерства оборони Великої Британії і консорціуму індустрії та університетів США і Великої Британії. Метою альянсу є здійснення досліджень з підтримки [[Мережево-центрична війна|інформаційних операцій]] в інтересах обох націй.

2009 року армія США сформувала {{Не перекладено|Network Science CTA|Спільний технологічний альянс з науки про мережі|en|}}, альянс зі спільних досліджень [[Дослідницька лабораторія Армії США|Дослідницької лабораторії Армії США]], {{Не перекладено|Центр електронно-комунікаційних досліджень, розробки і проєктування армії СЩА|CERDEC|en|CERDEC}} і консорціуму 30 промислових дослідницьких центрів США. Метою альянсу є розробка глибокого розуміння загальних рис переплетених соціальних/когнітивних, інформаційних і комунікаційних мереж, а як результат, покращення можливості аналізувати, передбачати, розробляти і впливати на складні переплетені системи мереж багатьох видів.

Потім, як результат цих зусиль, [[міністерство оборони США]] спонсорувало численні дослідницькі проєкти, що підтримують науку про мережі.

== Властивості мереж ==
Часто мережі мають деякі атрибути, які можуть бути обчислені для аналізу їхніх властивостей і характеристик. Поведінку цих властивостей мереж часто визначають [[Мережева модель даних|мережеві моделі]] і вони можуть бути використані для аналізу, чим відрізняються одні моделі від інших. Багато визначень інших термінів, які використовуються в науці про мережі, можна знайти в статті «<nowiki/>[[Словник термінів теорії графів]]<nowiki/>».

=== Розмір ===
Під розміром мережі може розумітися число вузлів <math>N</math> або, рідше, число ребер <math>E</math>, яке (для зв'язних графів без кратних ребер) може змінюватися від <math>N-1</math> (дерево) до <math>E_{\max}</math> (повний граф). У разі простого графу (мережа, в якій існує максимум одне (неорієнтоване) ребро між будь-якою парою вершин і в якій жодна з вершин не з'єднана сама з собою), ми маємо <math>E_{\max}=\tbinom N2=N(N-1)/2</math>. Для орієнтованих графів (без петель) <math>E_{\max}=N(N-1)</math>. Для орієнтованих графів з дозволеними петлями <math>E_{\max}=N^2</math>. Для випадку графу, в якому можливі кратні ребра між парою вершин <math>E_{\max}=\infty</math>.

=== Щільність ===
Щільність <math>D</math> мережі з <math>N</math> вузлами визначається як відношення числа ребер <math>E</math> до числа можливих ребер у мережі і задається (у разі простих графів) [[Біноміальний коефіцієнт|біноміальним коефіцієнтом]] <math>\tbinom N2</math>, що дає

: <math>D =\frac{E-(N-1)}{Emax - (N-1)}=\frac{2(E-N+1)}{N(N-3)+2}</math>

Інше можливе рівняння&nbsp;— <math>D=\frac{T-2N+2}{N(N-3)+2},</math> де зв'язки <math>T</math> неорієнтовані{{Sfn|Wasserman, Faust|1994}}<ref>http://psycnet.apa.org/journals/prs/9/4/172/</ref>. Це дає краще розуміння щільності мережі, оскільки неорієнтовані зв'язки можна виміряти.

=== Планарна мережева щільність ===
Щільність мережі <math>D</math>, в якій немає перетинів ребер, визначається як відношення числа ребер <math>E</math> до максимального числа ребер у мережі з <math>N</math> вузлами без перетинів ребер <math>(E_{\max}=3N-6)</math>, що дає <math>D=\frac{E-N+1}{2N-5}.</math>

=== Середній степінь вузла ===
Степінь <math>k</math> вузла&nbsp;— це кількість ребер, пов'язаних з ним. Тісно пов'язана з щільністю мережі середня щільність, <math>\langle k\rangle=\tfrac{2E}{N}</math> (або, у разі орієнтованих графів <math>\langle k\rangle=\tfrac{E}{N}</math>. Множник 2 в попередній рівності виникає з того, що кожне ребро в неорієнтованому графі робить внесок у степені двох різних вершин). У [[Модель Ердеша — Реньї|моделі випадкового графу Ердеша&nbsp;— Реньї]] (<math>G(N,p)</math>) ми можемо обчислити очікуване значення <math>\langle k \rangle </math> (рівне очікуваному значенню <math>k</math> довільної вершини)&nbsp;— випадкова вершина має <math>N-1</math> можливих інших вершин з імовірністю з'єднання <math>p</math>. Тоді <math>\mathbb{E}[\langle k \rangle]=\mathbb{E}[k]= p(N-1)</math>.

=== Середня довжина найкоротшого шляху (або характеристика довжини шляху) ===
Середня довжина найкоротшого шляху обчислюється відшуканням найкоротшого шляху між усіма парами вузлів та обчисленням середньої довжини за всіма шляхами (довжиною є кількість ребер, що містяться в шляху, тобто відстань <math>d_{u,v}</math> між двома вершинами <math>u,v</math> в графі). Це показує нам, у середньому, число кроків, які потрібно зробити від одного вузла мережі до іншого. Поведінка математичного очікування середньої довжини найкоротшого шляху як функції числа вершин <math>N</math> моделі випадкової мережі визначає, чи відбиває модель [[Світ тісний|ефект тісного світу]]. Якщо вона поводиться як <math>O(\ln N)</math>, модель генерує модель мереж малого світу. За зростання більшого, ніж [[Логарифмічне зростання|логарифмічне]], модель не дає «тісного світу». Особливий випадок зростання <math>O(\ln\ln N)</math> відомий як ефект ультратісного світу.

=== Діаметр мережі ===
Як інший засіб вимірювання графів мереж можна визначити діаметр мережі, як найдовший з обчислених найкоротших шляхів у мережі. Це найкоротша відстань між двома найвіддаленішими один від одного вузлами мережі. Іншими словами, після того, як обчислено довжину найкоротшого шляху з кожного вузла у всі інші вузли, діаметр є найдовшим з усіх обчислених довжин шляхів. Діаметр є поданням лінійного розміру мережі.

=== Коефіцієнт кластеризації ===
Коефіцієнт кластеризації є мірою властивості «всі мої друзі знають один одного». Це іноді описується як «друзі мого друга&nbsp;— мої друзі». Точніше, коефіцієнт кластеризації вузла дорівнює відношенню наявних зв'язків, що з'єднують сусідів вузла один з одним, до найбільшого числа таких зв'язків. Коефіцієнт кластеризації всієї мережі дорівнює середньому коефіцієнту кластеризації всіх вузлів. Високий коефіцієнт кластеризації для мережі є іншою ознакою [[Світ тісний|тісного світу]].

Коефіцієнт кластеризації <math>i</math>-го вузла дорівнює

: <math>C_i={2e_i\over k_i{(k_i - 1)}}\,,</math>

де <math>k_i</math>&nbsp;— число сусідів <math>i</math>-го вузла, а <math>e_i</math>&nbsp;— число зв'язків між цими сусідами. Максимальна кількість можливих зв'язків між сусідами тоді дорівнює

: <math>{\binom {k}{2}}={{k(k-1)}\over 2}\,.</math>

З точки зору теорії ймовірності очікуваний локальний коефіцієнт кластеризації дорівнює ймовірності існування зв'язку між двома довільно вибраними сусідами одного вузла.

=== Зв'язність ===
Спосіб, яким мережа зв'язана, грає велику роль в аналізі й інтерпретації мережі. Мережі класифікуються на чотири категорії:

* ''Кліка''/''повний граф''&nbsp;— повністю зв'язна мережа, в якій кожен вузол пов'язаний з кожним іншим вузлом. Ці мережі симетричні, оскільки всі вузли мають вхідні з'єднання від всіх інших вузлів і вихідні з'єднання у всі інші вузли.
* ''Гігантська компонента''&nbsp;— одна зв'язна компонента містить більшість вузлів мережі.
* ''Слабко-зв'язна компонента''&nbsp;— набір вузлів, у якому існує шлях з будь-якого вузла в будь-який інший без урахування напрямку ребер.
* ''Сильно-зв'язна компонента''&nbsp;— набір вузлів, у якому існує ''орієнтований'' шлях з будь-якого вузла в будь-який інший.

=== Центральність вузла ===
Показники [[Центральність|центральності]] породжують ранжування, яке намагається виявити найважливіші вузли в моделі мережі. Різні показники центральності кодують різні контексти слова «важливість». [[Центральність#Центральність за посередництвом|Центральність за посередництвом]]<ref name="Мелешко"/>, наприклад, вважає вузол дуже важливим, якщо він утворює мости між багатьма іншими вузлами. На противагу, [[Центральність#Центральність за впливовістю|центральність за впливовістю]] вважає вузол дуже важливим, якщо багато інших дуже важливих вузлів пов'язані з ним. В літературі запропоновано сотні таких мір.

Ознаки центральності точні тільки для виявлення найбільш центральних вузлів. Ці міри рідко мають сенс, якщо взагалі мають, для інших вузлів мережі{{Sfn|Lawyer|2015|с=8665}}{{Sfn|Sikic, Lancic, Antulov-Fantulin, Stefancic|2013|с=440}}. Також вони точні, тільки тоді, коли використовуються в контексті важливості вузлів і прагнуть «стати помилковими» в інших контекстах{{Sfn|Borgatti|2005|с=55–71}}. Наприклад, уявімо дві спільноти, які з'єднуються тільки ребром між наймолодшими членами кожної зі спільнот. Оскільки перехід із однієї спільноти в іншу має йти через це ребро, двоє молодших членів будуть мати високу центральність за посередництвом. Але, оскільки вони молоді (очевидно), вони мають мало зв'язків з «важливими» вузлами у власній спільноті, це означає, що їхня центральність за впливовістю буде досить низькою.

Концепцію центральності в контексті статичних мереж розширено на основі емпіричних і теоретичних досліджень до динамічної центральності{{Sfn|Braha, Bar-Yam|2006|с=59–63}} в контексті залежних від часу і тимчасових мереж{{Sfn|Hill, Braha|2010|с=046105}}{{Sfn|Gross, Sayama|2009}}{{Sfn|Holme, Saramäki|2013}}.

=== Вплив вершин ===
Обмеження мір центральності призвели до розвитку більш загальних мір. Двома прикладами є '''досяжність''', яка використовує розкид довжини випадкових маршрутів для вимірювання, наскільки досяжна решта мережі від вибраного початкового вузла{{Sfn|Travençolo, da Costa|2008|с=89–95}}, і '''очікувана сила''', похідна від очікуваного значення [[Сила інфекції|сили інфекції]], породженої вузлом{{Sfn|Lawyer|2015|с=8665}}. Обидві ці міри можна змістовно обчислити з самої структури мережі.

== Мережеві моделі ==
Мережеві моделі використовуються як основа для розуміння взаємозв'язків всередині емпіричних складних мереж. Різні моделі генерування [[Випадковий граф|випадкових графів]] утворюють мережеві структури, які можна використати в порівнянні зі складними мережами реального світу.

=== Модель випадкового графу Ердеша&nbsp;— Реньї ===
[[Файл:ER_model.svg|міні|[[Модель Ердеша — Реньї]], згенерована з <math>N =4 </math> вузлами. Для кожного ребра в повному графі, утвореному усіма {{Mvar|N}} вузлами, генерується випадкове число і порівнюється із заданим значенням ймовірності. Якщо випадкове число менше від {{Mvar|p}}, утворюється ребро.]]
'''[[Модель Ердеша — Реньї]]''', названа іменами [[Пал Ердеш|Пала Ердеша]] і [[Альфред Реньї|Альфреда Реньї]], використовується для генерування [[Випадковий граф|випадкових графів]], у яких ребра утворюються між вузлами з однаковими ймовірностями. Модель можна використати в [[Імовірнісний метод|імовірнісному методі]] для доведення існування графів з різними властивостями або для забезпечення строгого визначення, які властивості виконуються майже для всіх графів.

Для генерування моделі Ердеша&nbsp;— Реньї <math>G(n, p)</math> потрібно задати два параметри&nbsp;— загальну кількість вузлів {{Mvar|n}} і ймовірність {{Mvar|p}}, з якою довільну пару вузлів має зв'язувати ребро.

Оскільки модель генерується без переваг для певних вузлів, розподіл вузлів за числом зв'язків біноміальний&nbsp;— для випадково вибраного вузла <math>v</math>,

: <math>P(\deg(v)=k)={n-1\choose k} p^k (1-p)^{n-1-k}.</math>

В цій моделі коефіцієнт кластеризації дорівнює {{Math|0}} [[майже напевно]]. Поведінку <math>G(n, p)</math> можна розбити на три області.

''Субкритична,'' <math>n p < 1</math>: Всі компоненти прості і дуже маленькі, найбільша компонента має розмір <math>|C_1|= O(\log n)</math>;

''Критична,'' <math>n p=1</math>: <math>|C_1|= O(n^\frac{2}{3})</math>;

''Суперкритична,'' <math>n p >1</math>: <math>|C_1|\approx yn</math>, де <math>y=y(n p)</math> є додатним розв'язком рівняння <math>e^{-p n y }=1-y</math>.

Найбільша зв'язна компонента має високу складність. Всі інші компоненти прості і малі <math>|C_2|= O(\log n)</math>.

=== Конфігураційна модель ===
Як вхід для конфігураційної моделі вибирається послідовність степенів вершин{{Sfn|Bender, Canfield|1978|с=296–307}}{{Sfn|Molloy, Reed|1995|с=161–180}} або розподіл степенів вершин{{Sfn|Newman, Strogatz, Watts|2001|с=026118}}{{Sfn|Лифшиц|2006|с=4.2. Конфигурационная модель}} (яка потім використовується для генерування послідовності вершин) і створюється випадково зв'язний граф зі збереженням усіх степенів вершин послідовності. Це означає, що для даного вибору послідовності степенів граф вибирається однорідно із множини всіх графів, які мають таку послідовність степенів вершин. Степінь <math>k</math> випадково вибраної вершини є [[Незалежні однаково розподілені випадкові величини|незалежною і однаково розподіленою]] випадковою змінною з цілими значеннями. При <math display="inline">\mathbb E [k^2] - 2 \mathbb E [k]>0</math> конфігураційний граф містить [[Гігантська компонента|гігантську зв'язну компоненту]] необмеженого розміру{{Sfn|Molloy, Reed|1995|с=161–180}}. Інші компоненти мають скінченні розміри, які можна виразити кількісно за допомогою розподілу розміру. Ймовірність <math>w(n)</math>, що випадково вибраний вузол пов'язаний з компонентою розміру <math>n</math> визначається {{Не перекладено|Степінь згортки|степенем згортки|en|convolution power}} розподілу степенів{{Sfn|Kryven|2017|с=052303}}

: <math display="block">w(n)=\begin{cases}
\frac{\mathbb E [k]}{n-1} u_1^{*n}(n-2),& n>1, \\
u(0) & n=1,		
\end{cases}</math>

де <math>u(k)</math> означає розподіл вузлів за кількістю зв'язків <math>u_1(k)=\frac{(k+1)u(k+1)}{\mathbb E[k]}</math>. Гігантську компоненту можна зруйнувати випадковим видаленням критичної частки <math>p_c</math> всіх вершин. Цей процес називається [[Теорія протікання|перколяцією (протіканням) на випадкових мережах]]. Якщо другий момент степеня розподілу скінченний, тобто <math display="inline">\mathbb E [k^2]<\infty</math>, ця критична частка ребер задається рівністю{{Sfn|Kryven|2018|с=140–157}}

: <math>p_c=1-\frac{\mathbb E[k]}{ \mathbb E [k^2] - \mathbb E[k]}</math>

і [[Середня довжина шляху|середня відстань між вершинами]] <math>l</math> гігантської компоненти логарифмічно пропорційна повному розміру мережі <math>l=O(\log N) </math>{{Sfn|Newman, Strogatz, Watts|2001|с=026118}}.

У моделі орієнтованої конфігурації степінь вузла задається двома числами, напівстепенем входу <math>k_\text{in}</math> і напівстепенем виходу <math>k_\text{out}</math>, і, відповідно, розподіли степенів вершин будуть двоваріантними. Очікуване число вхідних ребер і вихідних ребер збігаються, так що <math display="inline">\mathbb E [k_\text{in}]=\mathbb E [k_\text{out}]</math>. Орієнтована конфігураційна модель містить [[Гігантська компонента|гігантську компоненту]] [[тоді й лише тоді]], коли{{Sfn|Kryven|2016|с=012315}}

: <math display="block">2\mathbb{E}[k_\text{in}] 
\mathbb{E}[k_\text{in}k_\text{out}]
- \mathbb{E}[k_\text{in}] 
\mathbb{E}[k_\text{out}^2]
- \mathbb{E}[k_\text{in}] 
\mathbb{E}[k_\text{in}^2] 
+\mathbb{E}[k_\text{in}^2] \mathbb{E}[k_\text{out}^2] 
 - \mathbb{E}[k_\text{in} k_\text{out}]^2 >0.</math>

Зауважимо, що <math display="inline">\mathbb E [k_\text{in}]</math> і <math display="inline">\mathbb E [k_\text{out}]</math> рівні, а тому взаємозамінні в останній нерівності. Ймовірність того, що випадково вибрана вершина належить компоненті розміру <math>n</math>, задається формулою{{Sfn|Kryven|2017|с=052304}}

: <math display="block">h_\text{in}(n)=\frac{\mathbb E[k_{in}]}{n-1} \tilde u_\text{in}^{*n}(n-2), \;n>1, \; \tilde u_\text{in}=\frac{k_\text{in}+1}{\mathbb E[k_\text{in}]}\sum\limits_{k_\text{out}\geq 0}u(k_\text{in}+1,k_\text{out}),</math>

для вхідних компонент, і

: <math>h_\text{out}(n)=\frac{\mathbb E[k_\text{out}]}{n-1} \tilde u_\text{out}^{*n}(n-2), \;n>1, \;\tilde u_\text{out}=\frac{k_\text{out}+1}{\mathbb E[k_\text{out}]}\sum\limits_{k_\text{in}\geq0}u(k_\text{in},k_\text{out}+1),</math>

для вихідних компонент.

=== Модель тісного світу Уаттса&nbsp;— Строгаца ===
[[Файл:Watts-Strogatz-rewire.png|міні|[[Модель Ваттса — Строгаца]] використовує для отримання структури моделі концепцію перемонтування. Генератор моделі ітерує через усі ребра у вихідній структурі ґратки. Ребро може змінити пов'язані з ним вершини з заданою ймовірністю перемонтування. В даному прикладі <math>\langle k\rangle=4</math>.]]
[[Модель Ваттса — Строгаца]] є моделлю генерування випадкового графу, яка дає графи з [[Світ тісний|властивостями «світ тісний»]].

Для генерування моделі Ваттса&nbsp;— Строгаца використовується початкова структура ґратки. Кожен вузол мережі спочатку пов'язаний з <math>\langle k\rangle</math> найближчими сусідами. Інший параметр задає ймовірність перемонтування. Кожне ребро має ймовірність <math>p</math>, що його буде перемонтовано в граф як випадкове ребро. Очікуване число перемонтованих з'єднань у моделі дорівнює <math>pE=pN\langle k\rangle/2</math>.

Оскільки модель Ваттса&nbsp;— Строгаца починається як невипадкова ґратчаста структура, вона має дуже високий коефіцієнт кластеризації разом з високою середньою довжиною шляху. Кожне перемонтування з великою ймовірністю створює скорочений шлях між сильно зв'язними кластерами. При збільшенні ймовірності перемонтування коефіцієнт кластеризації зменшується повільніше, ніж середня довжина шляху. Як наслідок, це дозволяє середній довжині шляху мережі істотно зменшуватися за слабкого зменшення коефіцієнта кластеризації. Високі значення ''p'' приводять до більшого числа перемонтувань ребер, що в цілому робить модель Ваттса&nbsp;— Строгаца випадкової мережею.

=== Модель Барабаші&nbsp;— Альберт бажаних приєднань ===
[[Модель Барабаші — Альберт]]&nbsp;— це модель випадкової мережі, яка використовується для демонстрування бажаних приєднань або ефекту «багатий стає багатшим». У цій моделі ребро найімовірніше з'єднує вузли з найбільшими степенями. Мережа починається з мережі з ''m''<sub>0</sub> вузлами, де <math>m_0 \geqslant 2</math>, а степінь кожного з вузлів початкової мережі має бути принаймні 1, в іншому випадку вузол назавжди залишиться від'єднаним від решти мережі.

У моделі Барабаші&nbsp;— Альберт нові вузли додаються в мережу по одному. Кожен новий вузол з'єднується з <math>m</math> наявними вузлами з імовірністю, яка пропорційна числу вузлів, що вже існують. Формально, ймовірність <math>p_i</math>, що новий вузол зв'язний з вузлом ''i'', дорівнює{{Sfn|Albert, Barabási|2002|с=47–97}}

: <math>p_i=\frac{k_i}{\sum_j k_j},</math>

де ''k''<sub>''i''</sub> є степенем вузла ''i''. Найбільш пов'язані вузли («хаби») прагнуть швидко акумулювати навіть більше з'єднань, тоді як вузли з меншим числом з'єднань навряд чи будуть вибрані для нового з'єднання. Нові вузли мають «перевагу» приєднатися до вже найзв'язніших вузлів.
[[Файл:Barabasi-albert_model_degree_distribution.svg|міні|Розподіл вузлів за числом зв'язків моделі Барабаші BA, яка випливає за степеневим законом. При масштабуванні за допомогою loglog функції степеневого закону отримуємо пряму{{Sfn|Barabási, Albert|1999|с=509—512}}.]]
Розподіл вузлів за кількістю зв'язків, що отримується з BA моделі, [[Безмасштабна мережа|масштабно інваріантний]], зокрема, це степеневий закон вигляду

: <math>P(k)\sim k^{-3} \, </math>

Хаби показують високу центральність за посередництвом, дозволяючи існування коротких шляхів між вузлами. Як наслідок, модель BA прагне мати дуже коротку середню довжину шляхів. Коефіцієнт кластеризації цієї моделі також прямує до 0. Тоді як діаметр D багатьох моделей, зокрема моделі випадкового графу Ердеша&nbsp;— Реньї і деяких мереж [[Світ тісний (граф)|«тісного світу»]], пропорційний log N, модель BA показує D~loglogN (ультратісний світ){{Sfn|Cohen, Havlin|2003|с=058701}}.

==== Модель приєднання за допомогою посередника ====
У {{Не перекладено|Модель приєднання через посередника|моделі приєднання через посередника|en|mediation-driven attachment model}} (MDA) новий вузол приходить з <math>m</math> ребрами, для чого вибирається випадковим чином наявний пов'язаний вузол і новий вузол з'єднується не тільки з цим випадково вибраним вузлом, але також з <math>m</math> його сусідами, вибраними також випадково. Ймовірність <math>\Pi(i)</math>, що сусідній вузол <math>i</math> наявного вузла вибирається, дорівнює

: <math> \Pi(i)=\frac{k_i} N \frac{ \sum_{j=1}^{k_i} \frac 1 {k_j} }{k_i}.</math>

Множник <math>\frac{\sum_{j=1}^{k_i}{\frac{1}{k_j}}}{k_i}</math> дорівнює оберненій величині [[Середнє гармонійне|середнього гармонійного]] (ОСГ) степенів <math>k_i</math> сусідів вузла <math>i</math>. Велике чисельне дослідження дозволяє припустити, що при <math>m > 14</math> середнє значення ОСГ за великих <math>N</math> прямує до константи, це означає, що <math>\Pi(i) \propto k_i</math>. З цього випливає, що чим більше зв'язків (степінь) вузол має, тим вищий у нього шанс отримати більше зв'язків, оскільки їх можна отримати більшим числом способів через посередників, що, по суті, втілює інтуїтивну ідею «багаті стають багатшими» (або правило переважного приєднання моделі Барабаші&nbsp;— Альберт). Тому мережі MDA, як можна зрозуміти, підкоряються правилу PA, але в неявному вигляді{{Sfn|Hassan, Islam, Arefinul Haque|2017|с=23–30}}.

Однак при <math>m=1</math> отримуємо механізм «переможець забирає все», оскільки майже <math>99\%</math> загального числа вузлів мають степінь 1, а один вузол стає супербагатим. У міру збільшення значення <math>m</math> диспропорція між надбагатими і бідними скорочується і при <math>m>14</math> спостерігаємо перехід від механізму «багатий стає супербагатим» до механізму «багатий стає багатшим».

=== Модель відповідності ===
Іншу модель, у якій ключовим інгредієнтом є природа вершини, запропонував {{Нп|Гвідо Калдареллі|Калдареллі|en|Guido Caldarelli}} зі співавторами{{Sfn|Caldarelli, Capocci, De Los Rios, Muñoz|2002|с=258702}}. У ній зв'язок між двома вершинами <math>i,j</math> створюється зі ймовірністю, що задається функцією зв'язку <math>f(\eta_i,\eta_j)</math> {{Не перекладено|Модель відповідності (теорія мереж)|модель відповідності|en|Fitness model (network theory)}} залучених вершин. Степінь вершини <math>i,j</math> задається формулою{{Sfn|Servedio, Caldarelli, Buttà|2004|с=056126}}

: <math>k(\eta_i)=N\int_0^\infty f(\eta_i,\eta_j) \rho(\eta_j) \, d\eta_j </math>

Якщо <math>k(\eta_i)</math> є оборотною зростаючою функцією від <math>\eta_i</math>, то розподіл імовірності <math>P(k)</math> задається формулою

: <math>P(k)=\rho(\eta(k)) \cdot \eta'(k)</math>

Як наслідок, якщо відповідність <math>\eta</math> розподілено за степеневим законом, то так само розподілено й степені вузлів.

Менш очевидно при швидко спадному розподілі ймовірностей <math>\rho(\eta)=e^{-\eta}</math> разом зі зв'язною функцією виду

: <math> f(\eta_i,\eta_j)=\Theta(\eta_i+\eta_j-Z)</math>

з константою <math>Z</math> та функцією Хевісайда <math>\Theta</math>, що ми отримуємо масштабно-інваріантні мережі.

Така модель була успішно застосована для опису торгівлі між країнами за допомогою [[Валовий внутрішній продукт|ВВП]] як міри відповідності для різних вузлів <math>i,j</math> і зв'язної функції виду{{Sfn|Garlaschelli, Loffredo|2004|с=188701}}{{Sfn|Cimini, Squartini, Garlaschelli, Gabrielli|2015|с=15758}}

: <math> \frac{\delta \eta_i\eta_j}{1+ \delta \eta_i\eta_j}.</math>

== Аналіз мережі ==

=== Аналіз соціальних мереж ===
'''Аналіз [[Соціальна мережа|соціальної мережі]]''' досліджує структуру зв'язків між громадськими суб'єктами{{Sfn|Wasserman, Faust|1994}}. Ці суб'єкти є часто людьми, але можуть бути також і [[Соціальна група|групами]], [[організація]]ми, [[Національна держава|національними державами]], [[Вебсайт|сайтами]], [[Наукометрія|науковими публікаціями]].

Від 1970-х років емпіричне вивчення мереж відіграє центральну роль у соціальній науці і багато [[Математика|математичних]] і [[Статистика|статистичних]] засобів, що використовуються для вивчення мереж, розроблено в [[Соціологія|соціології]]{{Sfn|Newman|2010}}. Серед багатьох інших застосувань аналіз соціальної мережі використовується для розуміння [[Дифузія інновацій|дифузії інновацій]], новин і чуток. Аналогічно, його можна використати як для дослідження поширення [[Епідеміологія|хвороб]], так і [[Соціологія медицини|пов'язаної зі здоров'ям поведінки]]. Його застосовували для [[Економічна соціологія|вивчення ринку]], де використовували для перевірки ролі довіри в [[Теорія соціального обміну|товарно-грошових відносинах]] і соціальних механізмів у формуванні цін. Аналогічно його використовували для вивчення залучення в [[Політичний рух|політичні рухи]] і соціальні організації. Використовували його також для осмислення наукових розбіжностей і академічної репутації. Нещодавно мережевий аналіз (і його найближчий родич, {{Не перекладено|аналіз трафіку||en|traffic analysis}}) почали інтенсивно використовувати у військовій розвідці для розкриття соціальних мереж опору, що мають як ієрархічну, так і [[Безлідерний спротив|безлідерну]] природу{{R|GT-33|NaTN}}.

=== Динамічний аналіз мережі ===
{{Не перекладено|Динамічний аналіз мережі||en|dynamic network analysis}} досліджує зміни структури зв'язків серед різних класів об'єктів у складних соціо-технічних системах і відбиває соціальну стабільність і зміни, такі як поява нових груп, дискусій і лідерів{{Sfn|Braha, Bar-Yam|2006|с=59–63}}{{Sfn|Hill, Braha|2010|с=046105}}{{Sfn|Gross, Sayama|2009}}{{Sfn|Holme, Saramäki|2013}}{{Sfn|Xanthos, Pante,  Rochat, Grandjean|2016||с=417–419}}. Динамічний аналіз мережі фокусується на метамережах, складених з вузлів багатьох різних видів (об'єктів) та {{Не перекладено|Мультизв'язна мережа|множинних типах зв'язків|en|Multidimensional network}}. Ці об'єкти можуть дуже варіюватися{{Sfn|Braha, Bar-Yam|2006|с=59–63}}. Прикладами можуть бути люди, організації, теми, ресурси, завдання, події, місця розташування і віри (погляди).

Техніки динамічної мережі особливо зручні для оцінки часових трендів, виділення лідерів, що з'являються, і дослідження [[Коеволюція|коеволюції]] людей та ідей.

=== Аналіз біологічних мереж ===
При недавньому вибуховому збільшенні публічно доступних біологічних даних аналіз молекулярних мереж набув значного інтересу. Аналіз у цих умовах тісно пов'язаний з аналізом соціальної мережі, але часто фокусується на локальних закономірностях у мережі. Наприклад, мережеві мотиви&nbsp;— це маленькі підграфи, які надмірно представлені в мережі. Мотиви активності подібні надмірно представленим закономірностям у властивостях вузлів і ребер у мережі, які надмірно представлені в мережевій структурі. Аналіз [[Біологічна мережа|біологічних мереж]] привів до розвитку {{Не перекладено|Мережева медицина|мережевої медицини|en|network medicine}}, яка розглядає ефект хвороб у [[Інтерактом|интерактомі]]{{Sfn|Barabási, Gulbahce, Loscalzo|2011|с=56–68}}.

=== Аналіз зв'язків ===
Аналіз зв'язків є підмножиною мережевого аналізу, що досліджує асоціації між об'єктами. Прикладом може бути перегляд адрес підозрюваних і жертв, номерів телефонів, які вони набирали, фінансових [[Транзакційний аналіз|транзакцій]], до яких вони долучались у розглянутий проміжок часу, та ступеня споріднення цих об'єктів як частина поліційного розслідування. Аналіз зв'язків тут забезпечує вкрай важливі відносини і асоціацію між дуже великим числом об'єктів різних видів, які не очевидні під час розгляду частин інформації окремо. Автоматизований аналіз зв'язків все більше експлуатують [[банк]]и та [[Страхування|страхові агентства]] для виявлення [[Шахрайство|шахрайства]], оператори зв'язку для аналізу комунікаційних мереж, медичні дослідники в [[Епідеміологія|епідеміології]] та [[Фармакологія|фармакології]], органи охорони правопорядку для [[Кримінальний процес|розслідувань]], [[Пошукова система|пошукові системи]] для оцінювання [[Релевантність|релевантності]] рейтингів (і навпаки, [[Пошуковий спам|спамери]] для [[Пошуковий спам|спамдексингу]] і власники бізнесу для [[Оптимізація для пошукових систем|пошукової оптимізації]]), а також всі, хто має потребу аналізувати зв'язки між великою кількістю об'єктів.

==== Стійкість мережі ====
Структурна стійкість мереж{{Sfn|Cohen, Havlin|2010}} вивчається за допомогою [[Теорія протікання|теорії перколяції]]. Коли критична частка вузлів видаляється з мережі, мережа розпадається на дрібні кластери. Цей феномен називається перколяцією{{Sfn|Bunde, Havlin|1996}} і являє собою тип [[Фазовий перехід|фазового переходу]] «порядок-безлад» з [[Критичні індекси|критичним значенням]].

==== Аналіз пандемії ====
[[SIR-модель в епідеміології]] належить до найвідоміших алгоритмів передбачення поширення глобальних пандемій в інфікованій популяції.

===== Від стану сприйнятливості до зараження =====

: <math>S=\beta\left(\frac 1 N \right)</math>

Формула вище описує силу інфекції для кожної сприйнятливої одиниці в зараженій популяції, де <math>\beta</math> еквівалентне швидкості поширення хвороби.

Для відстеження змін цієї сприйнятливої одиниці в зараженій популяції:

: <math>\Delta S=\beta \times S {1\over N} \, \Delta t</math>

===== Від зараження до одужання =====

: <math>\Delta I=\mu I \, \Delta t</math>

З часом число таких загроз залежить від заданої швидкості одужання, поданої числом <math>\mu</math>, але за середній період зараження <math>{1\over \tau}</math>, від числа заражених осіб <math>I</math> і від числа змін за час <math>\Delta t</math>.

===== Контагіозний період =====
Чи вражена популяція пандемією, з позиції SIR-моделі, залежить від значення <math>R_0</math> або «середнього числа людей, заражених від інших людей».

: <math>R_0=\beta\tau={\beta\over\mu}</math>

==== Аналіз Web-посилань ====
Деякі алгоритми [[Ренкінг|ранжування]] [[Пошукова система|пошукових систем]] використовують засновані на посиланнях міри центральності, серед яких (у порядку появи) алгоритми {{Не перекладено|Hyper Search|||Hyper Search}} {{Не перекладено|Массімо Марчіорі|Марчіорі|en|Massimo Marchiori}}, [[PageRank]] [[Google]], [[алгоритм HITS]] Клейнберга, {{Не перекладено|CheiRank|||CheiRank}} і {{Не перекладено|TrustRank|||TrustRank}}. Аналіз зв'язків може здійснюватися в інформаційній аналітиці, щоб зрозуміти і виділити інформацію з набору вебсторінок. Наприклад, це може бути аналіз зв'язків між сайтами або блогами політиків.

===== PageRank =====
[[PageRank]] працює шляхом випадкового вибору вузла або інтернет-сайту і «випадкового переходу» з деякою ймовірністю на інші вузли. Випадкові переходи на ці та інші вузли дозволяють оцінці PageRank повністю обійти мережу, оскільки деякі сторінки містяться на периферії мережі і їх складно оцінити.

Кожен вузол <math>x_i</math> має PageRank, визначений як сума для сторінок <math>j</math> обернених величин до числа сторінок, пов'язаних з вузлом <math>i</math> вихідними дугами, або «півстепінь виходу» вузла <math>j</math> на «важливість» або PageRank вузла <math>j</math>.

: <math>x_i=\sum_{j\rightarrow i}{1\over N_j}x_j^{(k)}</math>

====== Випадкові переходи ======
Як пояснено вище, PageRank здійснює випадкові переходи в спробі призначити PageRank кожній сторінці в інтернеті. Ці випадкові переходи знаходять сайти, які не можуть бути знайдені в результаті звичайних методів пошуку, таких як [[пошук у ширину]] і [[пошук у глибину]].

Поліпшення наведеної вище формули для визначення PageRank включає компоненти цих випадкових переходів. Без випадкових переходів деякі сторінки отримають PageRank, рівний 0, що не є добре.

Першою компонентою є <math>\alpha</math>, або ймовірність, що випадковий перехід станеться. Протилежним є «коефіцієнт загасання», або <math>1 - \alpha</math>.

: <math>R{(p)}={\alpha\over N} + (1 - \alpha) \sum_{j\rightarrow i} {1\over N_j} x_j^{(k)}</math>

З іншого боку:

: <math>R(A)=\sum {R_B\over B_\text{(outlinks)}} + \cdots + {R_n \over n_\text{(outlinks)}}</math>

=== Міри центральності ===
Інформацію про відносну важливість вузлів та ребер у графах можна отримати через міри [[Центральність|центральності]], широко використовувані в дисциплінах, таких як [[соціологія]]. Міри центральності необхідні, коли мережевий аналіз не дає відповіді на питання, такі як: «Які вузли в мережі слід залучити, щоб забезпечити, щоб повідомлення або інформація поширювалась на всі або більшість вузлів мережі?» або, навпаки, «На які вузли слід впливати, щоб зупинити поширення хвороби?». Формально визначеними мірами центральності є [[Центральність#Центральність за степенем|центральність за степенем]]<ref name="Мелешко"/>, [[Центральність#Центральність за близькістю|центральність за близькістю]]<ref name="Мелешко"/>, [[Центральність#Центральність за посередництвом|Центральність за посередництвом]]<ref name="Мелешко">{{Cite web|url=http://irbis-nbuv.gov.ua/cgi-bin/irbis_nbuv/cgiirbis_64.exe?C21COM=2&I21DBN=UJRN&P21DBN=UJRN&IMAGE_FILE_DOWNLOAD=1&Image_file_name=PDF/suntz_2016_4_18.pdf|title=Дослідження методів визначення центральності акторіву соціальних мережах для задач інформаційної безпеки|last=Є.В. Мелешко, В.С. Гермак, С.М. Охотний|first=|date=|website=|publisher=|language=укр.|accessdate=22 січня 2021}}</ref>, [[Центральність#Центральність за впливовістю|центральність за впливовістю]] і [[Центральність#Центральність за Кацом|центральність за Кацом]]. Мета аналізу мережі зазвичай визначає використовуваний тип мір(и) центральності{{Sfn|Wasserman, Faust|1994}}.

* '''Центральність за степенем''' вузла мережі&nbsp;— це число зв'язків (вершин), інцидентних вузлу.
* '''Центральність за близькістю''' визначає, наскільки «близький» вузол мережі іншим вузлам обчисленням суми найкоротших відстаней (геодезичних шляхів) між цим вузлом і іншими вузлами мережі.
* '''Центральність за посередництвом''' визначає відносну важливість вузла шляхом вимірювання величини потоку, що протікає через цей вузол до інших вузлів у мережі. Це робиться шляхом вимірювання частки шляхів, що з'єднують всі пари вузлів і містять розглянутий вузол. Групова центральність за посередництвом вимірює величину потоку, що протікає через групу вузлів{{Sfn|Puzis, Yagil, Elovici, Braha|2009|с=1}}.
* '''Центральність за впливовістю''' є складнішою версією ступеня центральності, коли центральність вузла не тільки залежить від числа зв'язків, інцидентних вузлу, але й від якості цих зв'язків. Цей показник якості визначається власними векторами матриці суміжності мережі.
* '''Центральність за Кацом''' вузла вимірюється як сума геодезичних (тобто найкоротших) шляхів між цим вузлом і всіма (досяжними) вузлами мережі. Ці шляхи зважені: шляхи, що з'єднують вузол з його безпосередніми сусідами, мають більшу вагу, ніж зв'язки з віддаленішими вузлами.

== Поширення вмісту в мережах ==
[[Інформаційне наповнення сайту|Вміст]] у [[Складні мережі|складній мережі]] може розповсюджуватися двома головними способами: поширення зі збереженням і поширення без збереження{{Прояснити}}{{Sfn|Newman, Barabási, Watts|2006}}. Під час поширення зі збереженням загальна кількість вмісту під час його проходження через мережу залишається сталою. Модель поширення зі збереженням можна уявити як глечик, що містить певну кількість води, яка виливається в ряд стоків, сполучених трубами. Тут глечик моделює джерело, а вода&nbsp;— поширюваний вміст. Ємності і з'єднувальні труби моделюють вузли і зв'язки між ними відповідно. При переході води з однієї ємності в іншу вона зникає з ємності-джерела. У поширенні без збереження кількість вмісту змінюється в міру проходження через мережу. Модель без збереження можна уявити як неперервний струмінь з водопровідного крана, що розтікається по стоках, сполучених трубами. Тут кількість води з початкового джерела не обмежена. Також будь-який стік, до якого вода дійшла, продовжує отримувати воду, навіть якщо вона проходить до інших стоків. Моделі без збереження найпридатніші для пояснення передання більшості [[Інфекція|інфекцій]].

=== SIR-модель ===
1927 року {{Нп|Вільям Кермак|В. О. Кермак|en|William Ogilvy Kermack}} і {{Нп|Андерсон Маккендрик|А. Г. Маккендрик|en|Anderson Gray McKendrick}} створили {{Нп|Теорія Кермака – Маккендрика|модель|en|Kermack–McKendrick theory}}, у якій вони розглядають фіксовану популяцію всього з трьома станами&nbsp;— сприйнятливий, <math>S(t)</math>, заражений, <math>I(t)</math> і вилікуваний, <math>R(t)</math>. Категорії, які використовуються в цій моделі, складаються з трьох класів:

* <math>S(t)</math> подає число осіб, ще не заражених хворобою в момент часу t (сприйнятливих до хвороби);
* <math>I(t)</math> означає число заражених осіб, які здатні передавати хворобу сприйнятливим особам;
* <math>R(t)</math>&nbsp;— категорія осіб, що перенесли хворобу і вилікувалися. Особи цієї категорії, не здатні заразитися повторно або передати інфекцію іншим особам.

Перебіг цієї моделі можна подати так:

: <math>\mathcal{S} \rightarrow \mathcal{I} \rightarrow \mathcal{R} </math>

Використовуючи фіксовану популяцію <math>N=S(t) + I(t) + R(t)</math>, Кермак і Маккендрик вивели такі рівняння:

: <math>
\begin{align}
\frac{dS}{dt} &=- \beta S I \\[8pt]
\frac{dI}{dt} &=\beta S I - \gamma I \\[8pt]
\frac{dR}{dt} &=\gamma I
\end{align}
</math>

Для формулювання цих рівнянь зроблено деякі припущення. Для першого рівняння імовірність зараження окремого представника популяції така ж, як і будь-якого іншого представник, зі швидкістю <math>\beta</math>, яка приймається як швидкість поширення інфекції або хвороби. Отже, заражений представник контактує і здатний передати хворобу <math>\beta N</math> інших представників за одиницю часу і частка контактів заражених представників зі сприйнятливими дорівнює <math>S/N</math>. Кількість нових інфікувань за одиницю часу на одного зараженого тоді становить <math>\beta N (S/N)</math>, що дає швидкість нових заражень (або тих, хто залишає категорію сприйнятливих) як <math>\beta N (S/N)I=\beta SI</math>{{Sfn|Brauer, Castillo-Chavez|2001}}. Для другого і третього рівнянь вважається, що особи залишають клас сприйнятливих з тією ж швидкістю, з якою входять у клас заражених. Однак, за одиницю часу цей клас залишають <math>\gamma</math> інфкованих (<math>\gamma</math>&nbsp;— середня швидкість одужання, а <math>1/\gamma</math>&nbsp;— середній час хвороби) і переходять до класу видужалих. Ці процеси, що відбуваються одночасно, описує [[закон діючих мас]], поширена ідея, що швидкість контактів між двома групами в популяції пропорційна розміру кожної з двох розглянутих груп{{Sfn|Daley, Gani|2001}}. Нарешті, передбачається, що швидкість зараження і одужання значно більша, ніж народження і вмирання, а тому ці фактори в моделі не враховуються.

Більше про цю модель можна дізнатися на сторінці [[Полігамні моделі в епідеміології]].

=== Метод основного рівняння ===
Основне рівняння описує зростання неорієнтованої мережі, в якій на кожному кроці додається новий вузол, з'єднаний зі старим вузлом (вибраним випадково і без привілеїв). Початкова мережа містить два вузли і два зв'язки між ними в момент <math>t=2</math>. Така конфігурація необхідна для спрощення подальших обчислень, так що в момент часу <math>t=n</math> мережа має <math>n</math> вузлів і <math>n</math> зв'язків.

[[Майстер-рівняння|Основне кінетичне рівняння]] для цієї мережі

: <math>p(k,s,t+1)=\frac 1 t p(k-1,s,t) + \left(1 - \frac 1 t \right)p(k,s,t),</math>

де <math>p(k,s,t)</math> дорівнює ймовірності мати вузол <math>s</math> зі степенем <math>k</math> в момент часу <math>t+1</math>, а <math>s</math>&nbsp;— часом, коли вузол додано в мережу. Зауважимо, що є тільки два способи для старого вузла <math>s</math> мати <math>k</math> з'єднань у момент <math>t+1</math>:

* вузол <math>s</math> має степінь <math>k-1</math> у момент <math>t</math> і буде з'єднаний з новим вузлом з імовірністю <math>1/t</math>;
* вузол вже має степінь <math>k</math> в момент <math>t</math> і не буде з'єднаний з новим вузлом.

Після спрощення цієї моделі розподіл вузлів за числом зв'язків дорівнюватиме <math>P(k)=2^{-k}</math>{{Sfn|Dorogovtsev, Mendes|2003}}.

Ґрунтуючись на цій зростальній мережі, епідемічна модель розвивається за таким простим правилом: щоразу додається новий вузол і після вибору, до якого вузла приєднувати, вирішується, буде цей вузол зараженим чи ні. Основне рівняння для цієї епідемічної моделі

: <math>p_r(k,s,t)=r_t \frac 1 t p_r(k-1,s,t) + \left(1 - \frac 1 t \right) p_r(k,s,t),</math>

де <math>r_t</math> визначає зараження (<math>r_t=1</math>) або відсутність зараження (<math>r_t=0</math>). Для цього основного рівняння отримуємо такий розв'язок:<math>\tilde{P}_r(k)=\left(\frac r 2 \right)^k. </math>{{Sfn|Cotacallapa, Hase|2016|с=065001}}.

== Взаємозалежні мережі ==
Взаємозалежна мережа&nbsp;— це система пов'язаних мереж, у яких вузли однієї або більше мереж залежать від вузлів інших мереж. Такі залежності посилюються розвитком сучасних технологій. Залежності можуть призвести до каскадних пошкоджень мереж і відносно малі пошкодження можуть спричинити катастрофічне руйнування системи. Відключення електрики демонструє важливість зв'язків мереж. Нещодавно{{Коли?}} розвинулась концепція вивчення каскадних порушень у системі взаємозалежних мереж{{Sfn|Buldyrev, Parshani, Paul и др.|2010|с=1025–28}}{{Sfn|Gao, Buldyrev, Havlin, Stanley|2011|с=195701}}.

== Багатошарові мережі ==
'''Багатошарові мережі'''&nbsp;— це мережі з декількома видами зв'язків{{Sfn|Coscia, Rossetti, Pennacchioli и др.|2013|с=434}}{{Sfn|De Domenico, Solé-Ribalta, Cozzo и др.|2013|с=041022}}{{Sfn|Battiston, Nicosia, Latora|2014|с=032804}}{{Sfn|Kivela, Arenas, Barthelemy и др.|2014|с=203–271}}{{Sfn|Boccaletti, Bianconi, Criado и др.|2014|с=1–122}}{{Sfn|Battiston, Nicosia, Latora|2017|с=401–416}}. Витончені спроби змоделювати системи реального світу як багатозв'язні мережі дали цінні знання в галузі [[Аналіз соціальних мереж|аналізу соціальних мереж]]{{Sfn|De Domenico, Solé-Ribalta, Cozzo и др.|2013|с=041022}}{{Sfn|Battiston, Nicosia, Latora|2014|с=032804}}{{Sfn|Mucha|2010|с=876–878}}{{Sfn|De Domenico, Lancichinetti, Arenas, Rosvall|2015|с=011027}}{{Sfn|De Domenico, Sole-Ribalta, Omodei, Gomez, Arenas|2015|с=6868}}{{Sfn|Battiston, Iacovacci, Nicosia, Bianconi, Latora|2016|с=e0147451}}, економіці, історії{{Sfn|Grandjean|2016|с=531–534}}, міському та міжнародному транспорті{{Sfn|Cardillo|2013|с=1344}}{{Sfn|Boeing|2017|с=126–139}}{{Sfn|Gallotti, Barthelemy|2014|с=6911}}{{Sfn|De Domenico, Sole-Ribalta, Gomez, Arenas|2014|с=8351–8356}}, екології{{Sfn|Pilosof, Porter, Pascual, Kefi|2015}}{{Sfn|Kouvaris, Hata, Diaz-Guilera|2015|с=10840}}{{Sfn|Timóteo, Correia, Rodríguez-Echeverría, Freitas, Heleno|2018|с=140}}{{Sfn|Costa, Ramos, Timóteo и др.|2018}}, психології{{Sfn|Fiori, Smith, Antonucci|2007|с=P322–30}}, медицині, біології{{Sfn|De Domenico, Nicosia, Arenas, Latora|2015|с=6864}}, комерції, кліматології, фізиці{{Sfn|Gao, Buldyrev, Stanley, Havlin|2011|с=40–48}}{{Sfn|De Domenico, Granell, Porter, Arenas|2016|с=901–906}}, нейроінформатиці{{Sfn|Timme, Ito, Myroshnychenko и др.|2014|с=e115764}}{{Sfn|De Domenico, Sasai, Arenas|2016|с=326}}{{Sfn|Battiston, Nicosia, Chavez, Latora|2017|с=047404}}, управлінні операціями і фінансах.

== Оптимізація мережі ==
Мережеві задачі, які використовують пошук оптимального шляху в будь-яких цілях, вивчаються під назвою [[Комбінаторна оптимізація|комбінаторної оптимізації]]. Прикладами є [[Потокова мережа|потоки в мережі]], [[задача про найкоротший шлях]], [[транспортна задача]], {{Не перекладено|задача про перевезення||en|transshipment problem}}, [[задача про розміщення об'єктів]], [[Парування (теорія графів)|задача про парування]], [[задача про призначення]], [[задачі пакування]], [[Маршрутизація|задача маршрутизації]], [[метод критичного шляху]] і [[Техніка оцінювання та аналізу програм|PERT]] (метод оцінювання та аналізу проектів).

== Примітки ==
{{Reflist|2|refs=<ref name="GT-33">{{cite web
|title=Toward a Complex Adaptive Intelligence Community The Wiki and the Blog |url=https://www.cia.gov/library/center-for-the-study-of-intelligence/csi-publications/csi-studies/studies/vol49no3/html_files/Wik_and_%20Blog_7.htm
|work=D. Calvin Andrus
|publisher=cia.gov
|accessdate=25 серпня 2012
|archive-date=2008-05-14
|archive-url=https://web.archive.org/web/20080514083409/https://www.cia.gov/library/center-for-the-study-of-intelligence/csi-publications/csi-studies/studies/vol49no3/html_files/Wik_and_%20Blog_7.htm
}}</ref>
<ref name="NaTN">{{Cite web |url=http://firstmonday.org/htbin/cgiwrap/bin/ojs/index.php/fm/article/view/941/863 |title=Network analysis of terrorist networks |accessdate=2019-07-14 |archiveurl=https://web.archive.org/web/20121123010939/http://firstmonday.org/htbin/cgiwrap/bin/ojs/index.php/fm/article/view/941/863 |archivedate=2012-11-23 |deadlink=yes }}</ref>}}

== Література ==
{{Refbegin|colwidth=30em}}
* {{Стаття|author=Юрий Лифшиц|ref=Лифшиц|title=Структура сложных сетей. Лекция № 4 курса «Алгоритмы для Интернета»|date=2006|url=https://logic.pdmi.ras.ru/~yura/internet/04ianote.pdf|language=|видання=|тип=|місяць=|число=|том=|номер=|pages=|issn=}}
* {{Стаття|author=Евин И.А.|ref=Евин|url=http://crm.ics.org.ru/uploads/crmissues/crm2010-2-2/crm10201.pdf|title=Введение в теорию сложных сетей|видання=КОМПЬЮТЕРНЫЕИССЛЕДОВАНИЯИМОДЕЛИРОВАНИЕ|date=2010|том=2|номер=2|pages=121–141|language=|тип=|місяць=|число=|issn=}}
* {{Книга
|заголовок = Epidemic Modelling: An Introduction
|серія = Cambridge Studies in Mathematical Biology
|том = 15
|автор = 
|ref = Daley, Gani
|видавництво = 
|рік = 2001
|ISBN = 0521014670
|відповідальний = 
|видання = 
|місце = 
|сторінки = 
|сторінок = 
|isbn2 = 
}}
* {{Книга
|заголовок = Who Shall Survive?
|автор = Jacob Levy Moreno
|ref = Moreno
|рік = 1953
|видавництво = Beacon House, Inc
|відповідальний = 
|видання = 
|місце = 
|сторінки = 
|сторінок = 
|ISBN = 
|isbn2 = 
}}
* {{Книга
|автор = Dénes Kőnig
|ref = Kőnig
|заголовок = Theory of finite and infinite graphs
|рік = 1990
|видавництво = Birkhäuser
|місце = Boston
|ISBN = 0-8176-3389-8
|відповідальний = 
|видання = 
|сторінки = 
|сторінок = 
|isbn2 = 
}} Перевод Ричарда Маккоарта, комментарии Татта
* {{Книга
|ref = Brauer, Castillo-Chavez
|рік = 2001
|заголовок = Mathematical Models in Population Biology and Epidemiology
|серія = Texts in Applied Mathematics
|ISBN = 978-1-4614-1685-2
|isbn2 = 978-1-4614-1686-9
|видавництво = Springer
|місце = New York, NY
|автор = Fred Brauer, Carlos Castillo-Chavez
|відповідальний = 
|видання = 
|сторінки = 
|сторінок = 
}}
* {{Книга
|заголовок = Network Science
|ref = National Research Council
|видавництво = THE NATIONAL ACADEMIES PRESS
|місце = Washington, D.C.
|ISBN = 978-0309653886
|рік = 2006
|посилання = http://www.nap.edu/catalog/11516.html
|doi = 10.17226/11516
|автор = 
|відповідальний = 
|видання = 
|сторінки = 
|сторінок = 
|isbn2 = 
}}
* {{Стаття|ref=Borgatti|author=Stephen P. Borgatti|date=2005|title=Centrality and Network Flow|видання=Social Networks|том=27|doi=10.1016/j.socnet.2004.11.008|url=|language=|тип=|місяць=|число=|номер=|pages=|issn=}}
* {{Стаття|ref=Lawyer|bibcode=2015NatSR...5E8665L|pages=|число=|тип=|language=|url=|arxiv=1405.6707|pmid=25727453|author=Glenn Lawyer|doi=10.1038/srep08665|номер=O8665|date=2015|місяць=March|том=5|видання=[[Scientific Reports]]|title=Understanding the spreading power of all nodes in a network|issn=}}
* {{Стаття|author=Mile Sikic, Alen Lancic, Nino Antulov-Fantulin, Hrvoje Stefancic|doi=10.1140/epjb/e2013-31025-5|число=|тип=|language=|url=|bibcode=2013EPJB...86..440S|arxiv=1110.2558|номер=10|ref=Sikic, Lancic, Antulov-Fantulin, Stefancic|pages=440|том=86|date=2013|місяць=October|видання=European Physical Journal B|title=Epidemic centrality -- is there an underestimated epidemic impact of network peripheral nodes?|issn=}}
* {{Стаття|author=Braha D., Bar-Yam Y.|url=|pages=|номер=|число=|місяць=|тип=|language=|bibcode=2006Cmplx..12b..59B|ref=Braha, Bar-Yam|arxiv=physics/0611295|doi=10.1002/cplx.20156|issue=2|том=12|видання=Complexity|title=From Centrality to Temporary Fame: Dynamic Centrality in Complex Networks|date=2006|issn=}}
* {{Стаття|author=Hill S.A., Braha D.|bibcode=2010PhRvE..82d6105H|pages=|номер=|число=|місяць=|тип=|language=|url=|arxiv=0901.4407|ref=Hill, Braha|pmid=21230343|doi=10.1103/physreve.82.046105|issue=4|том=82|видання=Physical Review E|title=Dynamic Model of Time-Dependent Complex Networks|date=2010|issn=}}
* {{Книга
|відповідальний = Gross T., Sayama H.
|ref = Gross, Sayama
|рік = 2009
|заголовок = Adaptive Networks: Theory, Models and Applications
|видавництво = Springer
|автор = 
|видання = 
|місце = 
|сторінки = 
|сторінок = 
|ISBN = 
|isbn2 = 
}}
* {{Книга
|автор = Holme P., Saramäki J.
|ref = Holme, Saramäki
|рік = 2013
|заголовок = Temporal Networks
|видавництво = Springer
|відповідальний = 
|видання = 
|місце = 
|сторінки = 
|сторінок = 
|ISBN = 
|isbn2 = 
}}
* {{Стаття|author=Travençolo B. A. N., da Costa F. L.|url=|pages=|номер=|число=|місяць=|тип=|language=|bibcode=2008PhLA..373...89T|ref=Travençolo, da Costa|doi=10.1016/j.physleta.2008.10.069|issue=1|том=373|date=2008|видання=Physics Letters A|title=Accessibility in complex networks|issn=}}
* {{Стаття|author=Edward A. Bender, E. Rodney Canfield|ref=Bender, Canfield|місяць=May|date=1978|title=The asymptotic number of labeled graphs with given degree sequences|видання=Journal of Combinatorial Theory, Series A|том=24|issue=3|doi=10.1016/0097-3165(78)90059-6|issn=0097-3165|url=|language=|тип=|число=|номер=|pages=}}
* {{Стаття|author=Michael Molloy, Bruce Reed|ref=Molloy, Reed|місяць=March|date=1995|title=A critical point for random graphs with a given degree sequence|видання=Random Structures & Algorithms|том=6|issue=2–3|pages=161–180|doi=10.1002/rsa.3240060204|issn=1042-9832|url=|language=|тип=|число=|номер=}}
* {{Стаття|author=Newman M. E. J., Strogatz S. H., Watts D. J.|arxiv=cond-mat/0007235|pages=|номер=|число=|тип=|language=|url=|bibcode=2001PhRvE..64b6118N|pmid=11497662|ref=Newman, Strogatz, Watts|doi=10.1103/PhysRevE.64.026118|issue=2|том=64|видання=Physical Review E|title=Random graphs with arbitrary degree distributions and their applications|місяць=07|date=2001|issn=}}
* {{Стаття|ref=Kryven|arxiv=1607.03793|pages=|номер=|число=|тип=|language=|url=|bibcode=2016PhRvE..94a2315K|pmid=27575156|author=Ivan Kryven|doi=10.1103/PhysRevE.94.012315|issue=1|том=94|видання=Physical Review E|title=Emergence of the giant weak component in directed random graphs with arbitrary degree distributions|місяць=07|date=2016|issn=}}
* {{Стаття|ref=Kryven|arxiv=1703.05413|pages=|номер=|число=|тип=|language=|url=|bibcode=2017PhRvE..95e2303K|pmid=28618550|author=Ivan Kryven|doi=10.1103/PhysRevE.95.052303|issue=5|том=95|видання=Physical Review E|title=General expression for the component size distribution in infinite configuration networks|місяць=05|date=2017|issn=}}
* {{Стаття|ref=Kryven|arxiv=1709.04283|pages=|номер=|число=|тип=|language=|url=|bibcode=2017PhRvE..96e2304K|pmid=29347790|author=Ivan Kryven|doi=10.1103/PhysRevE.96.052304|issue=5|том=96|видання=Physical Review E|title=Finite connected components in infinite directed and multiplex networks with arbitrary degree distributions|місяць=11|date=2017|issn=}}
* {{Стаття|ref=Kryven|author=Ivan Kryven|date=2018|місяць=01|title=Analytic results on the polymerisation random graph model|видання=Journal of Mathematical Chemistry|том=56|issue=1|pages=140–157|doi=10.1007/s10910-017-0785-1|issn=0259-9791|url=|language=|тип=|число=|номер=}}
* {{Книга
|автор = Garlaschelli D., Loffredo M. I.
|ref = Garlaschelli, Loffredo
|видання = Physical Review Letters
|том = 93
|видавництво = 
|сторінки = 268701
|заголовок = Patterns of link reciprocity in directed networks
|рік = 2004
|відповідальний = 
|місце = 
|сторінок = 
|ISBN = 
|isbn2 = 
}}
* {{Книга
|автор = Cimini G., Squartini T., Garlaschelli D., Gabrielli A.
|ref = Cimini, Squartini, Garlaschelli, Gabrielli
|заголовок = Systemic risk analysis on reconstructed economic and financial networks
|видання = [[Scientific Reports]]
|сторінки = 15758
|видавництво = 
|рік = 2015
|відповідальний = 
|місце = 
|сторінок = 
|ISBN = 
|isbn2 = 
}}
* {{Стаття|author=Servedio V.D.P., Caldarelli G., Buttà P.|ref=Servedio, Caldarelli, Buttà|видання=Physical Review E|title=Vertex intrinsic fitness: How to produce arbitrary scale-free networks|том=70|date=2004|url=|language=|тип=|місяць=|число=|номер=|pages=|issn=}}
* {{Стаття|author=Hassan M. K., Liana Islam, Syed Arefinul Haque|bibcode=2017PhyA..469...23H|pages=|номер=|число=|тип=|language=|url=|arxiv=1411.3444|ref=Hassan, Islam, Arefinul Haque|том=469|видання=Physica A|doi=10.1016/j.physa.2016.11.001|title=Degree distribution, rank-size distribution, and leadership persistence in mediation-driven attachment networks|date=2017|місяць=March|issn=}}
* {{Стаття|author=Caldarelli G., Capocci A., De Los Rios P., Muñoz M.A.|ref=Caldarelli, Capocci, De Los Rios, Muñoz|title=Scale-Free Networks from Varying Vertex Intrinsic Fitness|видання=Physical Review Letters|том=89|issue=25|date=2002|url=|language=|тип=|місяць=|число=|номер=|pages=|issn=}}
* {{Стаття|ref=Cohen, Havlin|bibcode=2003PhRvL..90e8701C|pages=|номер=|число=|місяць=|тип=|language=|arxiv=cond-mat/0205476|issue=5|author=Cohen R., Havlin S.|pmid=12633404|doi=10.1103/PhysRevLett.90.058701|url=http://havlin.biu.ac.il/Publications.php?keyword=Scale-free+networks+are+ultrasmall&year=*&match=all|том=90|date=2003|видання=Phys. Rev. Lett.|title=Scale-free networks are ultrasmall|issn=}}
* {{Стаття|url=http://www.nd.edu/~networks/Publication%20Categories/03%20Journal%20Articles/Physics/StatisticalMechanics_Rev%20of%20Modern%20Physics%2074,%2047%20(2002).pdf|arxiv=cond-mat/0106096|номер=|число=|місяць=|тип=|language=|archivedate=2015-08-24|archiveurl=https://web.archive.org/web/20150824235818/http://www3.nd.edu/~networks/Publication%20Categories/03%20Journal%20Articles/Physics/StatisticalMechanics_Rev%20of%20Modern%20Physics%2074,%2047%20(2002).pdf|bibcode=2002RvMP...74...47A|author=Albert R., Barabási A.-L.|doi=10.1103/RevModPhys.74.47|date=2002|pages=47–97|issue=1|том=74|видання=[[Reviews of Modern Physics]]|title=Statistical mechanics of complex networks|ref=Albert, Barabási|issn=}}
* {{Стаття|url=http://www.nd.edu/~networks/Publication%20Categories/03%20Journal%20Articles/Physics/EmergenceRandom_Science%20286,%20509-512%20(1999).pdf|arxiv=cond-mat/9910332|pages=|номер=|число=|тип=|language=|archivedate=2012-04-17|archiveurl=https://web.archive.org/web/20120417112354/http://www.nd.edu/~networks/Publication%20Categories/03%20Journal%20Articles/Physics/EmergenceRandom_Science%20286,%20509-512%20(1999).pdf|bibcode=1999Sci...286..509B|pmid=10521342|author=Albert-László Barabási, Réka Albert|issue=5439|doi=10.1126/science.286.5439.509|date=1999|місяць=October|том=286|видання=[[Science]]|title=Emergence of scaling in random networks|ref=Barabási, Albert|issn=}}
* {{Книга
|заголовок = Complex Networks: Structure, Robustness and Function
|автор = Cohen R., Havlin S.
|ref = Cohen, Havlin
|рік = 2010
|видавництво = Cambridge University Press
|посилання = http://havlin.biu.ac.il/Shlomo%20Havlin%20books_com_net.php
|відповідальний = 
|видання = 
|місце = 
|сторінки = 
|сторінок = 
|ISBN = 
|isbn2 = 
}}
* {{Книга
|заголовок = Fractals and Disordered Systems
|автор = Bunde A., Havlin S.
|ref = Bunde, Havlin
|рік = 1996
|видавництво = Springer
|посилання = http://havlin.biu.ac.il/Shlomo%20Havlin%20books_fds.php
|відповідальний = 
|видання = 
|місце = 
|сторінки = 
|сторінок = 
|ISBN = 
|isbn2 = 
}}
* {{Книга
|автор = Stanley Wasserman, Katherine Faust
|ref = Wasserman, Faust
|рік = 1994
|заголовок = Social Network Analysis: Methods and Applications
|місце = Cambridge
|видавництво = Cambridge University Press.
|відповідальний = 
|видання = 
|сторінки = 
|сторінок = 
|ISBN = 
|isbn2 = 
}}
* {{Книга
|автор = Newman M.E.J.
|ref = Newman
|заголовок = Networks: An Introduction
|видавництво = Oxford University Press
|рік = 2010
|ISBN = 
|відповідальний = 
|видання = 
|місце = 
|сторінки = 
|сторінок = 
|isbn2 = 
}}
* {{Книга
|автор = Aris Xanthos, Isaac Pante, Yannick Rochat, Martin Grandjean
|ref = Xanthos, Pante, Rochat, Grandjean
|рік = 2016
|посилання = http://dh2016.adho.org/abstracts/407
|частина = Visualising the Dynamics of Character Networks
|заголовок = Digital Humanities 2016: Jagiellonian University & Pedagogical University
|місце = Kraków
|сторінки = 417–419
|відповідальний = 
|видання = 
|видавництво = 
|сторінок = 
|ISBN = 
|isbn2 = 
}}
* {{Стаття|author=Barabási A. L., Gulbahce N., Loscalzo J.|url=|pages=|номер=|число=|місяць=|тип=|language=|pmid=21164525|ref=Barabási, Gulbahce, Loscalzo|doi=10.1038/nrg2918|issue=1|том=12|видання=Nature Reviews Genetics|title=Network medicine: a network-based approach to human disease|date=2011|issn=}}
* {{Стаття|author=Puzis R., Yagil D., Elovici Y., Braha D.|тип=|archiveurl=https://web.archive.org/web/20131207133417/http://necsi.edu/affiliates/braha/Internet_Research_Anonimity.pdf|issn=|pages=|номер=|число=|місяць=|language=|ref=Puzis, Yagil, Elovici, Braha|doi=10.1108/10662240910927821|том=19|видання=Internet Research|url=http://necsi.edu/affiliates/braha/Internet_Research_Anonimity.pdf|title=Collaborative attack on Internet users' anonymity|date=2009|archivedate=2013-12-07}}
* {{Книга
|відповідальний = Newman M., Barabási A.-L., Watts D.J.
|ref = Newman, Barabási, Watts
|рік = 2006
|заголовок = The Structure and Dynamics of Networks
|місце = Princeton, N.J.
|видавництво = Princeton University Press
|автор = 
|видання = 
|сторінки = 
|сторінок = 
|ISBN = 
|isbn2 = 
}}
* {{Книга
|автор = Dorogovtsev S. N., Mendes J. F. F.
|ref = Dorogovtsev, Mendes
|заголовок = Evolution of Networks: From Biological Nets to the Internet and WWW
|рік = 2003
|видавництво = Oxford University Press, Inc.
|місце = New York, NY, USA
|ISBN = 978-0198515906
|відповідальний = 
|видання = 
|сторінки = 
|сторінок = 
|isbn2 = 
}}
* {{Стаття|ref=Cotacallapa, Hase|url=|pages=|номер=|число=|місяць=|тип=|language=|arxiv=1604.01049|author=Cotacallapa M., Hase M. O.|bibcode=2016JPhA...49f5001C|doi=10.1088/1751-8113/49/6/065001|issue=6|том=49|date=2016|видання=Journal of Physics A|title=Epidemics in networks: a master equation approach|issn=}}
* {{Стаття|author=Buldyrev S. V., Parshani R., Paul G., Stanley H. E., Havlin S.|arxiv=0907.1182|pages=|номер=|число=|місяць=|тип=|language=|pmid=20393559|bibcode=2010Natur.464.1025B|ref=Buldyrev, Parshani, Paul и др.|url=http://havlin.biu.ac.il/Publications.php?keyword=Catastrophic+cascade+of+failures+in+interdependent+networks&year=*&match=all|issue=7291|doi=10.1038/nature08932|date=2010|том=464|видання=Nature|title=Catastrophic cascade of failures in interdependent networks|issn=}}
* {{Стаття|author=Jianxi Gao, Sergey V. Buldyrev, Shlomo Havlin, H. Eugene Stanley|issue=19|pages=|номер=|число=|місяць=|тип=|language=|pmid=22181627|arxiv=1010.5829|ref=Gao, Buldyrev, Havlin, Stanley|bibcode=2011PhRvL.107s5701G|doi=10.1103/PhysRevLett.107.195701|url=http://havlin.biu.ac.il/Publications.php?keyword=Robustness+of+a+Tree-like+Network+of+Interdependent+Networks&year=*&match=all|том=107|date=2011|видання=Phys. Rev. Lett.|title=Robustness of a Network of Networks|issn=}}
* {{Книга
|автор = Michele Coscia, Giulio Rossetti, Diego Pennacchioli, Damiano Ceccarelli, Fosca Giannotti
|заголовок = "You Know Because I Know": A Multidimensional Network Approach to Human Resources Problem
|видання = Advances in Social Network Analysis and Mining (ASONAM)
|том = 2013
|ref = Coscia, Rossetti, Pennacchioli и др.
|рік = 2013
|doi = 10.1145/2492517.2492537
|ISBN = 9781450322409
|відповідальний = 
|місце = 
|видавництво = 
|сторінки = 
|сторінок = 
|isbn2 = 
}}
* {{Стаття|doi=10.1093/comnet/cnu016|title=Multilayer networks|видання=Journal of Complex Networks|том=2|issue=3|date=2014|author=Kivela M., Arenas A., Barthelemy M., Gleeson J. P., Moreno Y., Porter M. A|ref=Kivela, Arenas, Barthelemy и др.|url=http://comnet.oxfordjournals.org/content/2/3/203.full|language=|тип=|місяць=|число=|номер=|pages=|issn=}}
* {{Стаття|title=The structure and dynamics of multilayer networks|url=|pages=|номер=|число=|місяць=|тип=|language=|bibcode=2014PhR...544....1B|видання=Physics Reports|arxiv=1407.0742|doi=10.1016/j.physrep.2014.07.001|date=2014|ref=Boccaletti, Bianconi, Criado и др.|author=Boccaletti S., Bianconi G., Criado R., del Genio C. I., Gómez-Gardeñes J.,  Romance M., Sendiña-Nadal I., Wang Z., Zanin M.|issue=1|том=544|issn=}}
* {{Стаття|author=Federico Battiston, Vincenzo Nicosia, Vito Latora|arxiv=1606.09221|номер=|число=|тип=|language=|url=|bibcode=2017EPJST.226..401B|issn=1951-6355|ref=Battiston, Nicosia, Latora|doi=10.1140/epjst/e2016-60274-8|issue=3|том=226|видання=The European Physical Journal Special Topics|title=The new challenges of multiplex networks: Measures and models|місяць=02|date=2017|pages=}}
* {{Стаття|doi=10.1103/PhysRevX.3.041022|language=|archiveurl=https://web.archive.org/web/20140225011229/http://www.isi.it/wp-content/uploads/publication/document/physrevx_3_041022_1389284935.pdf|issn=|pages=|номер=|число=|місяць=|тип=|arxiv=1307.4977|title=Mathematical Formulation of Multilayer Networks|bibcode=2013PhRvX...3d1022D|url=http://www.isi.it/wp-content/uploads/publication/document/physrevx_3_041022_1389284935.pdf|ref=De Domenico, Solé-Ribalta, Cozzo и др.|author=De Domenico M., Solé-Ribalta, A., Cozzo E.,  Kivelä M., Moreno Y., Porter M., Gómez S., Arenas A.|date=2013|issue=4|том=3|видання=Physical Review X|archivedate=2014-02-25}}
* {{Стаття|date=2014|bibcode=2014PhRvE..89c2804B|номер=|число=|місяць=|тип=|language=|url=|arxiv=1308.3182|pmid=24730896|ref=Battiston, Nicosia, Latora|doi=10.1103/PhysRevE.89.032804|pages=032804|issue=3|том=89|видання=Physical Review E|title=Structural measures for multiplex networks|author=Battiston F., Nicosia V., Latora V.|issn=}}
* {{Стаття|date=2010|pmid=20466926|pages=|номер=|число=|місяць=|тип=|language=|bibcode=2010Sci...328..876M|doi=10.1126/science.1184819|ref=Mucha|url=https://people.maths.ox.ac.uk/porterm/papers/multislice.pdf|arxiv=0911.1824|issue=5980|том=328|видання=Science|title=Community structure in time-dependent, multiscale, and multiplex networks|author=Mucha P.|issn=}}
* {{Стаття|date=2015|bibcode=2015PhRvX...5a1027D|номер=|число=|місяць=|тип=|language=|url=|arxiv=1408.2925|ref=De Domenico, Lancichinetti, Arenas, Rosvall|doi=10.1103/PhysRevX.5.011027|pages=011027|issue=1|том=5|видання=Physical Review X|title=Identifying Modular Flows on Multilayer Networks Reveals Highly Overlapping Organization in Interconnected Systems|author=De Domenico M., Lancichinetti A., Arenas A., Rosvall M.|issn=}}
* {{Стаття|date=2015|arxiv=1311.2906|номер=|число=|місяць=|тип=|language=|url=|bibcode=2015NatCo...6E6868D|ref=De Domenico, Sole-Ribalta, Omodei, Gomez, Arenas|pmid=25904405|doi=10.1038/ncomms7868|pages=6868|том=6|видання=[[Nature Communications]]|title=Ranking in interconnected multilayer networks reveals versatile nodes|author=De Domenico M., Sole-Ribalta A., Omodei E., Gomez S., Arenas A.|issn=}}
* {{Стаття|author=Federico Battiston, Jacopo Iacovacci, Vincenzo Nicosia, Ginestra Bianconi, Vito Latora|pmid=26815700|номер=|число=|тип=|language=|url=|bibcode=2016PLoSO..1147451B|arxiv=1506.01280|issn=1932-6203|ref=Battiston, Iacovacci, Nicosia, Bianconi, Latora|doi=10.1371/journal.pone.0147451|issue=1|том=11|видання=PLOS ONE|title=Emergence of Multiplex Communities in Collaboration Networks|місяць=01|date=2016|pages=}}
* {{Книга
|ref = Grandjean
|автор = Martin Grandjean
|рік = 2016
|посилання = http://dh2016.adho.org/abstracts/154
|частина = Archives Distant Reading: Mapping the Activity of the League of Nations’ Intellectual Cooperation
|заголовок = Digital Humanities 2016
|видавництво = Jagiellonian University & Pedagogical University, Kraków
|сторінки = 531–534
|відповідальний = 
|видання = 
|місце = 
|сторінок = 
|ISBN = 
|isbn2 = 
}}
* {{Стаття|date=2013|url=|pages=|номер=|число=|місяць=|тип=|language=|arxiv=1212.2153|ref=Cardillo|bibcode=2013NatSR...3E1344C|pmid=23446838|doi=10.1038/srep01344|том=3|видання=[[Scientific Reports]]|title=Emergence of network features from multiplexity|author=Cardillo A.|issn=}}
* {{Стаття|url=https://www.researchgate.net/publication/309738462|doi=10.1016/j.compenvurbsys.2017.05.004|номер=|число=|місяць=|тип=|language=|arxiv=1611.01890|accessdate=2017-08-26|author=Boeing G.|pages=126–139|том=65|date=2017|видання=Computers, Environment and Urban Systems|title=OSMnx: New Methods for Acquiring, Constructing, Analyzing, and Visualizing Complex Street Networks|ref=Boeing|issn=}}
* {{Стаття|date=2014|bibcode=2014NatSR...4E6911G|номер=|число=|місяць=|тип=|language=|url=|pmid=25371238|ref=Gallotti, Barthelemy|doi=10.1038/srep06911|arxiv=1411.1274|pages=6911|том=4|видання=[[Scientific Reports]]|title=Anatomy and efficiency of urban multimodal mobility|author=Gallotti R., Barthelemy M.|issn=}}
* {{Стаття|date=2014|bibcode=2014PNAS..111.8351D|номер=|число=|місяць=|тип=|language=|url=|pmid=24912174|ref=De Domenico, Sole-Ribalta, Gomez, Arenas|doi=10.1073/pnas.1318469111|pages=8351–8356|issue=23|том=111|видання=PNAS|title=Navigability of interconnected networks under random failures|author=De Domenico M., Sole-Ribalta A., Gomez S., Arenas A.|issn=}}
* {{Стаття|author=Pilosof S., Porter M.A., Pascual M., Kefi S.|url=|pages=|номер=|число=|місяць=|тип=|language=|видання=Nature Ecology & Evolution|ref=Pilosof, Porter, Pascual, Kefi|issue=4|том=1|pmid=28812678|doi=10.1038/s41559-017-0101|date=2015|arxiv=1511.04453|title=The Multilayer Nature of Ecological Networks|issn=}}
* {{Стаття|author=Kouvaris N.E., Hata S., Diaz-Guilera A.|bibcode=2015NatSR...510840K|pages=|номер=|число=|місяць=|тип=|language=|url=|arxiv=1412.2923|ref=Kouvaris, Hata, Diaz-Guilera|pmid=26042606|doi=10.1038/srep10840|date=2015|issue=1|том=5|видання=[[Scientific Reports]]|title=Pattern Formation in Multiplex Networks|issn=}}
* {{Стаття|author=Timóteo S., Correia M., Rodríguez-Echeverría S., Freitas H., Heleno R.|url=|pages=|номер=|число=|місяць=|тип=|language=|issue=1|ref=Timóteo, Correia, Rodríguez-Echeverría, Freitas, Heleno|том=9|pmid=29321529|doi=10.1038/s41467-017-02658-y|date=2018|видання=[[Nature Communications]]|title=Multilayer networks reveal the spatial structure of seed-dispersal interactions across the Great Rift landscapes|issn=}}
* {{Стаття|author=Costa J.M., Ramos J.A., Timóteo S., da Silva L.P., Ceia R.C., Heleno R.|ref=Costa, Ramos, Timóteo и др.|title=Species activity promote the stability of fruit-frugivore interactions across a five-year multilayer network|date=2018|doi=10.1101/421941|url=|language=|видання=|тип=|місяць=|число=|том=|номер=|pages=|issn=}}
* {{Стаття|pmid=18079416|url=http://psychsocgerontology.oxfordjournals.org/content/62/6/P322.long|номер=|число=|місяць=|тип=|language=|doi=10.1093/geronb/62.6.p322|pages=P322–30|date=2007|issue=6|том=62|видання=The Journals of Gerontology Series B|title=Social network types among older adults: A multidimensional approach|author=Fiori K. L., Smith J., Antonucci T. C.|ref=Fiori, Smith, Antonucci|issn=}}
* {{Стаття|date=2015|bibcode=2015NatCo...6E6864D|номер=|число=|місяць=|тип=|language=|url=|pmid=25904309|ref=De Domenico, Nicosia, Arenas, Latora|doi=10.1038/ncomms7864|pages=6864|том=6|видання=[[Nature Communications]]|title=Structural reducibility of multilayer networks|author=De Domenico M., Nicosia V., Arenas A., Latora V.|issn=}}
* {{Стаття|author=Gao, Buldyrev, Stanley, Havlin|bibcode=2012NatPh...8...40G|pages=|номер=|число=|тип=|language=|url=|issue=1|ref=Gao, Buldyrev, Stanley, Havlin|том=8|doi=10.1038/nphys2180|видання=Nature Physics|title=Networks formed from interdependent networks|date=2011|місяць=December|issn=}}
* {{Стаття|author=De Domenico M., Granell C., Porter M. A., Arenas A.|bibcode=2016NatPh..12..901D|pages=|номер=|число=|тип=|language=|url=|видання=Nature Physics|ref=De Domenico, Granell, Porter, Arenas|issue=10|том=12|doi=10.1038/nphys3865|arxiv=1604.02021|title=The physics of multilayer networks|date=2016|місяць=April|issn=}}
* {{Стаття|author=Timme N., Ito S., Myroshnychenko M., Yeh F.C., Hiolski E., Hottowy P., Beggs J.M.|url=|pages=|номер=|число=|місяць=|тип=|language=|bibcode=2014PLoSO...9k5764T|doi=10.1371/journal.pone.0115764|date=2014|title=Multiplex Networks of Cortical and Hippocampal Neurons Revealed at Different Timescales|issue=12|том=9|видання=PLoS ONE|pmid=25536059|ref=Timme, Ito, Myroshnychenko и др.|issn=}}
* {{Стаття|author=De Domenico M., Sasai S., Arenas A.|ref=De Domenico, Sasai, Arenas|doi=10.3389/fnins.2016.00326|pmid=27471443|видання=Frontiers in Neuroscience|том=10|title=Mapping multiplex hubs in human functional brain networks|date=2016|url=|language=|тип=|місяць=|число=|номер=|pages=|issn=}}
* {{Стаття|author=Battiston F., Nicosia V., Chavez M., Latora V.|bibcode=2017Chaos..27d7404B|pages=|номер=|число=|місяць=|тип=|language=|url=|видання=Chaos: An Interdisciplinary Journal of Nonlinear Science|ref=Battiston, Nicosia, Chavez, Latora|issue=4|том=27|pmid=28456158|doi=10.1063/1.4979282|date=2017|title=Multilayer motif analysis of brain networks|arxiv=1606.09115|issn=}}
{{Refend}}

== Література для подальшого читання ==

* "Connected: The Power of Six Degrees, " https://web.archive.org/web/20111006191031/http://ivl.slis.indiana.edu/km/movies/2008-talas-connected.mov
* {{Стаття|author=Cohen R., Erez K., Havlin S.|date=2000|title=Resilience of the Internet to random breakdown|url=http://havlin.biu.ac.il/Publications.php?keyword=Resilience+of+the+Internet+to+random+breakdown&year=*&match=all|видання=Phys. Rev. Lett.|том=85|issue=21|pages=4626–4628|doi=10.1103/physrevlett.85.4626|bibcode=2000PhRvL..85.4626C|pmid=11082612|arxiv=cond-mat/0007048}}
* {{Стаття|author=Cun-Lai Pu, Wen, Jiang Pei, Andrew Michaelson|date=2012|title=Robustness analysis of network controllability|url=http://www.barabasilab.com/pubs/CCNR-ALB_Publications/201204-24_PhysicaA-RobustnessControllability/201204-24_PhysicaA-RobustnessControllability.pdf|видання=Physica A|том=391|issue=18|pages=4420–4425|doi=10.1016/j.physa.2012.04.019|bibcode=2012PhyA..391.4420P|archiveurl=https://web.archive.org/web/20161013130539/http://www.barabasilab.com/pubs/CCNR-ALB_Publications/201204-24_PhysicaA-RobustnessControllability/201204-24_PhysicaA-RobustnessControllability.pdf|archivedate=2016-10-13}}
* "Leader Profile: The Burgeoning Field of Science Network, The Military Engineer recently had the opportunity to speak with Frederick I. Moxley, Ph.D, " https://web.archive.org/web/20190215025457/http://themilitaryengineer.com/index.php/item/160-leader-profile-the-burgeoning-field-of-network-science
* {{Книга
|автор = Dorogovtsev S.N., Mendes J.F.F.
|заголовок = Evolution of Networks: From biological networks to the Internet and WWW
|видавництво = Oxford University Press
|рік = 2003
|ISBN = 0-19-851590-1
}}
* {{Книга
|заголовок = Linked: The New Science of Networks
|автор = Albert-laszlo Barabasi, Jennifer Frangos
|ref = Barabási, Frangos
|видавництво = Perseus Publishing, Cambridge
|ISBN = 0738206679
|рік = 2002
}}
* {{Книга
|посилання = https://global.oup.com/academic/product/scale-free-networks-9780199665174?q=Caldarelli&lang=en&cc=it
|заголовок = Scale-Free Networks: Complex Webs in Nature and Technology
|автор = Guido Caldarelli
|ref = Caldarelli
|рік = 2007
|ISBN = 9780199211517
|серія = Oxford Finance Series
|видавництво = Oxford University Press
|місце = Oxford
}}
* {{Книга
|заголовок = The Structure and Dynamics of Networks
|автор = Mark Newman, Albert-László Barabási, Duncan J. Watts
|видавництво = The Princeton Press
|рік = 2006
|ISBN = 0-691-11357-2
}}
* {{Книга
|заголовок = Dynamical processes on complex networks
|автор = Alain Barrat, Marc Barthelemy, Alessandro Vespignani
|видавництво = Cambridge University Press
|рік = 2008
|ISBN = 978-0-521-87950-7
}}
* {{Книга
|заголовок = Network Science: Theory and Applications
|автор = Ted G. Lewis
|видавництво = Wiley
|рік = 2009
|ISBN = 0-470-33188-7
}}
* {{Книга
|заголовок = Nexus: Small Worlds and the Groundbreaking Theory of Networks
|автор = Mark Buchanan
|видавництво = W. W. Norton & Company
|рік = 2003
|ISBN = 0-393-32442-7
}}
* {{Книга
|заголовок = Six Degrees: The Science of a Connected Age
|автор = Duncan J. Watts
|видавництво = W. W. Norton & Company
|рік = 2004
|ISBN = 0-393-32542-3
}}
* {{Стаття|author=Kitsak M., Gallos L. K., Havlin S., Liljeros F., Muchnik L., Stanley H. E., Makse H.A.|date=2010|title=Influential Spreaders in Networks|url=http://havlin.biu.ac.il/Publications.php?keyword=Identification+of+influential+spreaders+in+complex+networks++&year=*&match=all|видання=Nature Physics|том=6|issue=11|pages=888–893|doi=10.1038/nphys1746|arxiv=1001.5285|bibcode=2010NatPh...6..888K}}

[[Категорія:Теорія мереж]]
[[Категорія:Кібернетика]]
[[Категорія:Сторінки з неперевіреними перекладами]]