Перегляд вихідного коду сторінки Натуральне число

[[Файл:Three_apples(1).svg|right|thumb|Натуральні числа можуть використовуватись для лічби (одне яблуко, два яблука, три яблука, …).]]
[[Файл:Venn_Diagram_of_Numbers.svg|lang=uk|міні|300px|Відображення '''натуральних''', [[цілі числа|цілих]], [[раціональні числа|раціональних]], [[дійсне число|дійсних]] і [[комплексне число|комплексних чисел]] <br/>[[Кола Ейлера|колами Ейлера]]]]

У [[Математика|математиці]] '''натура́льні чи́сла''' ({{lang-en|natural numbers}})&nbsp;— це [[Число|числа]] 1, 2, 3 тощо, можливо, включно з 0. Деякі визначення, включно зі стандартом {{нп|ISO/IEC 80000|''ISO'' 80000-2}},<ref name="ISO80000" /> починають натуральні числа з {{math|0}}, що відповідає '''невід'ємним цілим числам''' {{math|1=0, 1, 2, 3, ...}}, тоді як інші починають їх з {{math|1}}, що відповідає '''додатним цілим числам''' {{math|1, 2, 3, ...}}<ref name="Merriam-Webster" />{{efn|{{harvtxt|Carothers|2000|page=3}} каже, «<math>\N</math> це множина натуральних чисел (додатних цілих).» Визнаються обидва визначення, залежно від зручності, й загального консенсусу щодо того, чи слід включати нуль до натуральних чисел, не існує.<ref name=":1"/>}} [[множина|Множину]] натуральних чисел заведено позначати [[знак]]ом <math>\N.</math>

Існують два основних [[підхід|підходи]] до [[означення]] натуральних чисел:
* числа, які використовують при '''лічбі предметів''' (''перший'', ''другий'', ''третій''…)&nbsp;— підхід, загальноприйнятий у більшості країн світу; формалізованим різновидом цього підходу є [[аксіома]]тичне описання системи натуральних чисел за допомогою [[аксіоми Пеано|аксіом Пеано]].
* числа для '''позначення кількості предметів''' (''один предмет'', ''два предмети''…).

Натуральні числа можна записувати за допомогою десяти цифр: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 0.

Множина натуральних чисел є [[нескінченна множина|нескінченною]]: для будь-якого натурального числа знайдеться інше натуральне число, більше за нього.

== Історія натуральних чисел ==

Поняття натурального числа, викликане потребою лічби предметів, виникло ще в [[доісторичні часи]]. Процес формування поняття натурального числа тривав протягом усієї історії людства. На найнижчому етапі первісного суспільства поняття абстрактного числа не існувало. У [[свідомість|свідомості]] первісної людини ще не сформувалося те спільне, що об'єднує наприклад, «три людини» та «три озера». [[Аналіз]] [[мова|мов]] первісних народностей показує, що для лічби предметів різного типу використовували різні словесні звороти. Слово «три» в контекстах «три людини», «три човни» передавалося по-різному. Такі іменовані [[числовий ряд|числові ряди]] були дуже короткими і завершувалися неіндивідуалізованим поняттями «багато», які також були іменованими, тобто висловлювалися різними словами для різних типів об'єктів, такими, як «натовп», «стадо», «купа» тощо.

Спочатку числові [[термін]]и мали якісніший характер&nbsp;— відрізняли один, два та більшу кількість. Більші числа одержували [[додавання]]м. Наприклад, в австралійського племені [[Муррей (річка)|ріки Муррей]], 1&nbsp;— енза, 2&nbsp;— петчевал, 3&nbsp;— петчевал-енза, 4&nbsp;— петчевал-петчевал. Але навіть такі здібності людство здобуло після великого проміжку часу, в який користувалися лише з понять «один», «два» та «багато» (ще й досі збереглося [[плем'я]], яке зупинилося на цьому етапові розвитку вмінь числового абстрагування).

Джерелом виникнення поняття абстрактного числа була [[лічба]] предметів, що базувалася на зіставленні предметам даної сукупності предметів певної сукупності, що мала роль [[еталон]]у. У більшості [[народ]]ів першим таким еталоном були [[пальці]] («лічба на пальцях»), що безпосередньо підтверджується [[мовознавство|мовознавчим]] [[аналіз]]ом назв перших чисел. На цьому етапі число стає абстрактним, незалежним від якості об'єктів лічби, але разом з тим пов'язаним з природою сукупності-еталону. Розширення потреб лічби спонукало людей користуватися з інших еталонів лічби, наприклад, зарубок на паличці. Для фіксації порівняно великих чисел стали використовувати нову [[ідея|ідею]]: позначення деякого певного числа (у більшості [[народ]]ів&nbsp;— десяти) новим знаком, наприклад, зарубкою на іншій паличці.

З розвитком [[писемність|писемності]] можливості відтворення чисел значно розширились. Спочатку числа стали позначати рисками на матеріалі, що слугував для запису ([[папірус]], глиняні таблички тощо). Потім були введені інші знаки для великих чисел. [[Вавилонський клинопис|Вавилонські клинописні]] [[вавилонська нумерація|позначення чисел]], а також «[[римська система числення|римські цифри]]», що збереглися до наших днів, ясно свідчать саме про цей шлях формування позначень для чисел.

Великим прогресом було винайдення «[[Цифра|цифр]]». Тепер стало можливим записати будь-яке число обмеженим набором символів. Наприклад, вавилоняни розвинули потужну [[позиційна система числення|позиційну систему]], що базувалася на цифрах 1 та 10, але фактично її основою було число 60. Зручнішою була індійська позиційна система числення, що дозволяла записати будь-яке натуральне число за допомогою десяти знаків&nbsp;— цифр; вона згодом стала всесвітньо визнаною і досі залишається такою (хоча форма цифр дещо змінювалася; цифри цієї системи ми називаємо арабськими, оскільки система прийшла в [[Європа|Європу]] через [[араби|арабів]]). Таким чином, паралельно з розвитком писемності, поняття натурального числа приймає все абстрактнішу форму, відокремлену від будь-якої конкретності поняття числа, відтворюваного як у формі слів в усній мові, так і в формі позначення спеціальними знаками в письмовій.

Важливим кроком у розвитку поняття натурального числа є усвідомлення [[нескінченність|нескінченності]] натурального ряду чисел&nbsp;— потенційної можливості його безмежного продовження. Чітке уявлення про нескінченність натурального ряду відображене в пам'ятниках античної математики ([[III століття до н.е.]]), у працях [[Евклід]]а й [[Архімед]]а. У «Началах» Евкліда встановлюється навіть нескінченність кількості [[просте число|простих чисел]], а у книзі Архімеда «Псаміт»&nbsp;— принципи для побудови назв та позначень як завгодно великих чисел, зокрема більших за «число піщинок у світі».

Питання про обґрунтованість поняття натурального числа довгий час у науці не ставилося. Поняття натурального числа настільки звичне і просте, що не виникало потреби в його означенні в [[термін]]ах будь-яких простіших понять. Лише в середині [[XIX століття]], під впливом розвитку аксіоматичного методу в математиці з одного боку, і критичного перегляду основ [[Математичний аналіз|математичного аналізу]]&nbsp;— з іншого, назріла необхідність обґрунтування поняття кількісного натурального числа.

Чітке означення поняття натурального числа на основі поняття [[множина|множини]] було дано в [[1870-ті|70-х]] роках [[XIX століття]] в роботах [[Кантор Георг|Георга Кантора]]. Спочатку він означує [[рівнопотужність]] множин. Потім число елементів однієї множини означається як те спільне, що має дана множина і будь-яка інша, рівнопотужна їй, незалежно від якісних особливостей елементів цих множин. Таке означення відображає суть натурального числа як результату лічби предметів.

Інше обґрунтування поняття натурального числа базується на [[аналіз]]і відношення порядку слідування, яке може бути задано за допомогою [[аксіома|аксіом]]. Побудована на цьому принципі система аксіом була сформульована [[Джузеппе Пеано]].

== Означення ==
[[Файл:U+2115.svg|right|thumb|upright|Велику літеру N із подвоєною лінією, часто використовують для позначення множини всіх натуральних чисел (див. [[Таблиця математичних символів]]).]]

Математики використовують символ '''N''' або {{math|ℕ}} для позначення [[Множина|множини]] всіх натуральних чисел. В старих текстах також іноді використовували символ ''J'' для позначення цієї множини.<ref>{{Cite book|url=https://archive.org/details/1979RudinW|title=Principles of Mathematical Analysis|last=Rudin|first=W.|publisher=McGraw-Hill|year=1976|isbn=978-0-07-054235-8|location=New York|pages=25|quote=|via=}}</ref> Ця множина є [[Зліченна множина|нескінченнозліченою]]: тобто вона є [[Нескінченна множина|нескінченною]] і при тому [[Зліченна множина|зліченою]] за визначенням. Також говорять що, [[Кардинальне число|кардинальним числом]] цієї множини є [[Числа алеф#Алеф-нуль|Алеф-нуль]] ({{math|ℵ<sub>0</sub>}}).<ref>{{MathWorld |urlname=CardinalNumber |title=Cardinal Number}}</ref>

Щоб задати однозначно чи включено в цю множину число 0 або ні, іноді в першому випадку додають нижній індекс (або верхній) «0» при формальнішому позначенні, а в другому випадку додають верхній індекс «{{math|*}}» або нижній підпис «{{math|>0}}»:<ref name = "ISO80000" />
: {{math|1=ℕ<sup>0</sup> = ℕ<sub>0</sub> = {0, 1, 2, …}}}
: {{math|1=ℕ<sup>*</sup> = ℕ<sup>+</sup> = ℕ<sub>1</sub> = ℕ<sub>>0</sub> = {1, 2, …}}}.

=== Аксіоми Пеано ===
{{main|Аксіоми Пеано}}
Формальне означення натуральних чисел сформулював італійський [[математик]] [[Джузеппе Пеано]] в [[1889]] році. [[Аксіоми Пеано]] базувалися на розробках [[Грассман Герман Гюнтер|Грассмана]], хоча саме [[Пеано Джузеппе|Пеано]] надав їм сучасного вигляду. Ці [[аксіома|аксіоми]] дозволили формалізувати [[арифметика|арифметику]]. Після їх введення з'явилася можливість доводити, наприклад, рівність <math>2 \cdot 2 = 4\,</math>, основні властивості натуральних чисел, а також формалізовано будувати системи [[ціле число|цілих]], [[раціональне число|раціональних]], [[дійсне число|дійсних]] чисел.

'''Аксіоми Пеано:'''

Введемо [[функція (математика)|функцію]] <math>S(x)\,</math>, котра зіставляє числу <math>x\,</math> ''наступне'' за ним число (інакше кажучи, число, що ''слідує'' за ним).
# <math>1\in\N</math> (одиниця є натуральним числом).
# Якщо <math>a\in\N</math>, то <math>S(a)\in\N</math> (число, наступне за натуральним, також є натуральним).
# <math>\not\exists a\in\N\ (S(a) = 1)</math> (одиниця не слідує за жодним натуральним числом).
# Якщо <math>\ S(b) = a</math> та <math>\ S(c) = a,</math> то <math>\ b = c</math> (натуральне число не може слідувати за двома різними натуральними числами).
# '''Аксіома [[індукція математична|індукції]]''': Нехай деяке висловлювання, залежне від числа <math>\ n</math>, істинне для <math>\ n = 1</math> ('''база індукції'''). І нехай для кожного натурального <math>\ k</math> з істинності цього висловлювання для <math>\ n=k</math> випливає його істинність для <math>\ n=S(k)</math> ('''індукційне припущення'''). Тоді це висловлювання істинне для всіх натуральних <math>\ n</math>.

В оригіналі Джузеппе Пеано першим натуральним числом брав 0, а не 1. Для множини натуральних чисел у цьому «розширеному» сенсі, тобто <math>\ \{ 0, 1, 2, ... \}</math>, зазвичай використовують позначення <math>\N_0</math> або <math>\Z_{+}.</math> У деяких джерелах і зараз вважають це множиною натуральних чисел, але загальноприйнято вважати, що найменше натуральне число&nbsp;— це 1; натомість множину <math>\N_0</math> можна назвати множиною цілих невід'ємних чисел.

=== Теоретико-множинне означення ===

Згідно з [[Теорія множин|теорією множин]], усі об'єкти побудови будь-яких математичних систем можна трактувати як множини. Розвиваючи цю точку зору, натуральні числа можна означати, базуючися на множинах. У теоретико-множинному означенні натуральні числа включають і число 0.

==== Стандартне означення ====

У стандартному теоретико-множинному означенні використовують конструкцію,яку запропонував [[Джон фон Нейман]]. Згідно з нею, натуральні числа ототожнюються з певними множинами, відповідно до таких двох правил:
:* <math>0 = \varnothing</math>&nbsp;— [[порожня множина]];
:* <math>S(n) = n \cup \{n\}.</math>
Тут, як і вище, під <math>S(n)\,</math> ми розуміємо число, наступне відносно <math>n\,</math>. Числа, задані таким чином, називаються [[Ординальне число|ординальними]].

Ось [[Ординальне число|ординальні числа]] та відповідні їм натуральні числа:
:* <math>0 = \varnothing</math>
:* <math>1 = \{0\} = \{\varnothing\}</math>
:* <math>2 = \{0, 1\} = \{\varnothing, \{\varnothing\}\}</math>
:* <math>3 = \{0, 1, 2\} = \{\varnothing, \{\varnothing\}, \{\varnothing, \{\varnothing\}\}\}</math>
:* <math>\mathbb{}...</math>
:* <math>n+1 = \{0, 1,..., n\} = n \cup \{n\}</math>
:* <math>\mathbb{}...</math>

Згідно з цим означенням, у множині, що відповідає числу <math>n\,</math>, є рівно <math>n\,</math> елементів (у наївному розумінні) і <math>n\leq m\,</math>, якщо і тільки якщо множина, що відповідає числу <math>n\,</math>, є [[підмножина|підмножиною]] множини, що відповідає числу <math>m\,</math>.

==== Інші означення ====

Хоча стандартна конструкція корисна, але вона не є єдиною можливою конструкцією. Наприклад:

''Означимо правила так'' :
* <math>0 = \varnothing;</math>
* <math>\mathbb{}S(n) = \{n\}.</math>
Тоді маємо
:* <math>0 = \varnothing</math>
:* <math>1 = \{0\} = \{\varnothing\}</math>
:* <math>2 = \{1\} = \{\{\varnothing\}\}</math>
:* <math>\mathbb{}...</math>

''Або можна означити правила так'' :
* <math>0 = \{\varnothing\};</math>
* <math>S(n) = n \cup \{n\}.</math>
Тоді маємо
:* <math>0 = \{\varnothing\}</math>
:* <math>1 = \{\varnothing, 0\} = \{\varnothing, \{\varnothing\}\}</math>
:* <math>2 = \{\varnothing, 0, 1\} = \{\varnothing, \{\varnothing\}, \{\varnothing, \{\varnothing\}\}\}</math>
:* <math>\mathbb{}...</math>

Можливо, ''найстаріше означення натуральних чисел''&nbsp;— означення, звичайно приписуване [[Готліб Фреге|Фреге]] та [[Рассел Бертран|Расселу]], в якому кожне конкретне натуральне число <math>n</math> означене як множина всіх множин з <math>n</math> елементами.
Це означення може здатися нечітким, але насправді воно може бути строго переформульовано таким чином:
:* <math>0 = \{\varnothing\}</math>&nbsp;— множина всіх множин без елементів (з нульовою кількістю елементів);
:* <math>S(A) = \{x \cup \{y\} \mid x \in A \wedge y \not\in x\}</math>, для будь-якої множини ''A''.
Тоді 0 буде множиною всіх множин без елементів, <math>1=S(0)\,</math> буде множиною всіх множин з 1 елементом, <math>2=S(1)\,</math> буде множиною всіх множин з 2 елементами, і так далі.

== Операції над натуральними числами ==

До арифметичних операцій над натуральними числами заведено відносити такі операції:
* [[Додавання]]: [[доданок]] + доданок = [[сума]].
* [[Множення]]: [[множник]] <math>\cdot\,</math> множник = [[добуток]]. Крім знака <math>\cdot\,</math>, для позначення множення використовують знак <math>\times\,</math> або відсутність знака (у випадку, коли це не спричинює двозначності запису).
* [[Віднімання]]: [[зменшуване]] <math>-\,</math> [[від'ємник]] = [[різниця]]. При цьому, щоб результат також був натуральним числом, зменшуване повинно бути більшим за від'ємник. За означенням, <math>a-b=c\,</math>, якщо <math>a = b+c\,</math>.
* [[Ділення]]: [[ділене]] / [[дільник]] = [[частка]]. За означенням, <math>a/b=c\,</math>, якщо <math>a = bc\,</math>. Ділення може позначатися також горизонтальною рискою (ділене зверху, дільник знизу) або двокрапкою. У багатьох випадках ділення виводить за межі множини натуральних чисел (див. [[Подільність]]). Тому запроваджується також інша операція.
* [[Ділення з остачею]]: ділене / дільник = (частка, [[остача]]). За означенням, ділене = ''a'', дільник = ''b'', частка = ''q'', остача = ''r'', якщо <math>a = bq + r\,</math>, <math>0\leq r<b\,</math>. Для натуральних чисел дільник має бути меншим за ділене. Така дія над натуральними числами завжди здійсненна й однозначна, хоча можливі значення для остачі&nbsp;— це натуральні числа та 0.

Операції додавання та множення є основними, а інші означаються через них, як описано вище; це характерно для будь-яких математичних структур з аналогічними операціями. Зазначимо також, що додавання та множення є ''замкненими'' операціями у множині натуральних чисел, оскільки вони завжди дають у результаті натуральне число (якщо були здійснені над натуральними числами); цього не можна сказати про віднімання та ділення.

== Основні властивості ==

# [[Комутативність]] додавання: <math>\,\! a + b = b + a</math>
# Комутативність множення: <math>\,\! ab = ba</math>
# [[Асоціативність]] додавання: <math>\,\! (a + b) + c = a + (b + c)</math>
# Асоціативність множення: <math>\,\! (ab)c = a(bc)</math>
# [[Дистрибутивність]] множення відносно додавання: <math>\,\! \begin{cases} a(b+c) = ab + ac \\ (b + c)a = ba + ca \end{cases}</math>

== Алгебраїчна структура ==
* Додавання натуральних чисел утворює [[моноїд]] ([[напівгрупа|напівгрупу]] з [[нейтральний елемент|нейтральним елементом]], а саме '''0''').
* Множення утворює моноїд з нейтральним елементом '''1'''.
* За допомогою [[Замикання (математика)|замикання]] відносно додавання-віднімання та множення-ділення утворюються групи цілих чисел <math>\Z</math> та раціональних додатних чисел <math>\mathbb Q_+</math> відповідно.

== Див. також ==
{{Вікіпідручник|Основні числові системи}}
{{Портал|Математика}}
* [[Від'ємне число]]
* [[1 + 2 + 3 + 4 + ⋯]]

== Виноски ==
{{Notelist}}

== Примітки ==
{{reflist|refs=

<ref name="ISO80000">{{cite book |title=ISO 80000-2:2019 | language = en |chapter-url=https://cdn.standards.iteh.ai/samples/64973/329519100abd447ea0d49747258d1094/ISO-80000-2-2019.pdf#page=10 |publisher=[[Міжнародна організація зі стандартизації|International Organization for Standardization]]| chapter = Standard number sets and intervals | date=19 травня 2020 |page=4|url=https://www.iso.org/standard/64973.html}}</ref>

<ref name="Merriam-Webster">{{cite dictionary
| url = http://www.merriam-webster.com/dictionary/natural%20number
| title = natural number
| language = en
| dictionary = Merriam-Webster.com
| publisher = [[Мерріам-Вебстер|Merriam-Webster]]
| access-date = 4 жовтня 2014
| archive-url = https://web.archive.org/web/20191213133201/https://www.merriam-webster.com/dictionary/natural%20number
| archive-date = 13 грудня 2019
| url-status = live
}}</ref>

<ref name=":1">{{cite web |last=Weisstein |first=Eric W. |title=Natural Number |url=https://mathworld.wolfram.com/NaturalNumber.html |access-date=11 серпня 2020 |website=mathworld.wolfram.com |language=en}}</ref>

}}

== Джерела ==
* {{Завало.Курс алгебри}}
* {{cite book
 |last=Carothers |first=N.L.
 |year=2000
 |title=Real Analysis
 |language=en
 |publisher=Cambridge University Press
 |isbn=978-0-521-49756-5
 |via=Google Books
 |url=https://books.google.com/books?id=4VFDVy1NFiAC&q=%22natural+numbers%22
 |ref=harv
}}
* Большая Советская Энциклопедия: 3-е изд.&nbsp;— М.: Сов. энциклопедия, 1969&nbsp;— 1978.

{{Математика-доробити}}
{{Quantity}}

[[Категорія:Числа]]
[[Категорія:Теорія чисел]]
[[Категорія:Елементарна математика]]
[[Категорія:Цілі числа]]
[[Категорія:Потужність множин]]